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常州市2018—2018学年度第二学期高一数学质量评估题
——（平面向量）评分标准 2018.5
一、选择题：DCBAD DACCC BC
二、填空题： 13
14、28 15、→
c =2a b -r r
16、S
是
三、解答题：
17、解法一：设D 坐标为（x,y ），对角线AC 与BD 的交点为O
∵点O 为A 、C 中点，易得O （0495
,
22
+-+），即O(2,-2) 又∵点O 为B 、D 中点，则222
622
x y +?=???+?=-??，解得210x y =??=-?，故D 坐标为(2,－10)
解法二：设D 坐标为（x,y ），依题意得，AB DC =u u u r u u u r
而(2,15)AB =u u u r ，(4,5)DC x y =--u u u r ， 则42
515x y -=??-=?
，
解得解得2
10
x y =??
=-?，故D 坐标为(2,－10)
18、解：11()22DE DB BE AC AD a b =+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r r r
11()22
CF CB BF AD AC b a =+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r
22111()33233
BG BC CG AD CF b b a a b =+=-+=-+-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r
19.解：k +=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)
-3=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)
(1)若k a +b 与a -3b 垂直，则（k a +b ）·（a -3b ）＝0 即10(k-3)+(-4)(2k+2)=0，解得k=19
(2)解法一：若k +与-3平行，则(-4)(k-3)-10(2k+2)=0,解得k=13
-
此时k +=(-103,4
3
), -3=(10,-4)，故它们反向。
B
A
解法二：若k a +b 与a -3b 平行，设k a +b =λ(a -3b )=λa -3λb ，
∴13k λλ
=??
=-?，解得1
03k =-<，它们反向
20、解：设(,)c x y =r
，c r 与a r 的夹角为α，c r 与b r 的夹角为β，
依题意得 22
cos cos 1x y αβ
=??+=?，
cos ||||a c a c α==
r r g r r
cos ||||b c b c β==r r g r r 解得x=y ，代入x 2+y 2
=1
，解得22
x x y y ??
==????
?
???
==???
?
∴,(,2222
c c ==--r r 或 21、解：（1）由正弦定理和余弦定理可知，222
2222b a a b c R R ab
+-=g （其中R 为外接圆半径） 化简可得 2
2
2
2
b a b
c =+- 即2
2
a c =， 故△ABC 为等腰三角形，其中∠A ＝∠C
(2)当最小角为∠B 时，∠A ＝∠C 为最大角，此时3cos 4
B =
且22
cos cos()cos 2(2cos 1)12cos B A C A A A =-+=-=--=-
∴cos A =，又∠A
为锐角，故cos A =
，A = 当最小角为∠A 时，∠B 为最大角，此时3
cos 4
A =
且22
cos cos()cos 2(2cos 1)12cos B A C A A A =-+=-=--=-
∴1cos 8B =-，可见∠B 为钝角，1
arccos 8
B π=-
22、解：如右图，设该市为A ，经过t 小时后台风开始影响该城市，
则t 小时后台风经过的路程PC ＝（20t ）km ，
台风半径为CD ＝（10+10t ）km ，需满足条件：CD ≥AC 根据余弦定理可知，
2222cos AC AP PC AP PC θ=+-g g
22
219
200(20)22002040000400760020
t t t =+-=+-g g g
∴2
2
2
400004007600(1010)t t CD t +-≤=+
整理得2
3007800399000t t -+≤ 即2
261330t t -+≤
解得719t ≤≤
∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时。