陕西省黄陵中学2017高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题含答案
陕西省黄陵中学2017高三下学期第五次
模拟考试数学（文）试题
一、选择题（60分）
1.抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A.(0，a ) B.(a ，0) C.? ?
?
??0，116a
D.? ??
??
116a ，0 2.执行如图所示的算法框图，输出的n 为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
3.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，
AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于( ) A.5
B.4
C.3
D.2
4.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
5.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点.若AF →＝mFB →，则实数m 的值为( ) A. 3
B.32
C.2
D.3
6.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A.10
B.11
C.13
D.21
7.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( ) A.0
B.－14
C.0或－1
4
D.2
8.第31届夏季奥运会于2016年8月5日在巴西里约热内卢举行.运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( ) A.115
B.25
C.35
D.1415
9..设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若z 2≥0，则z 是实数 B.若z 2＜0，则z 是虚数 C.若z 是虚数，则z 2≥0
D.若z 是纯虚数，则z 2＜0
10.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A.x 2
＝833y
B.x 2
＝1633y
C.x 2＝8y
D.x 2＝16y
11.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y
2b 2＝1(a >0，b >0)的一个
焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2
D.1＋ 3
12.已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A.－2
B.－1
C.1
D.3
二、填空题（20分）
13.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则|MF |＝________.
14.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c ，b 与c 的位置关系是________.
15.已知向量OA →⊥AB →， |OA →|＝3，则OA →·OB
→＝________.
16.从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________. 三、解答题（70题，17题10分，其余12分）
17.双曲线y 2a 2－x 2
4＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过M (－1，0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程.
18.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；
(3)若AB
→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 19.已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ? ?
???ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，
且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；
(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间.
20.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝? ????
22
，－22，n ＝(sin x ，cos x )，
x ∈? ????0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π
3，求x 的值.
21.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ? ????
θ－π4＝2 2.
(1)求C 1与C 2交点的极坐标；
(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为????
?x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值.
22.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1
y 的最小值.
参考答案
1.解析 抛物线y ＝4ax 2
(a ≠0)化为标准方程x 2
＝14a y ，因此其焦点坐标? ?
?
??0，116a ，
故选C. 答案 C
2.解析 由算法框图可知：a ＝32，n ＝2；a ＝75，n ＝3，a ＝17
12，n ＝4，此时不满足条件，结束循环，输出n ＝4，故选B. 答案 B
3.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝
(3，－1).∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.
答案 A
4.解析 ∵(a ＋b )⊥(2a －b )，∴(a ＋b )·(2a －b )＝0，
∴2a 2－a ·b ＋2b·a －b 2＝0，∴a ·b ＝0，∴向量a 与b 的夹角为90°.故选C. 答案 C
5.解析 联立抛物线与直线方程得，???y ＝3（x －1），y 2＝4x ，解得x A ＝3，x B ＝13，∵所
给直线经过抛物线的焦点F ，且其准线为x ＝－1，∴A 点到准线的距离为4，B 点到准线的距离为43，据抛物线定义可有|AF |＝3|FB |，结合已知条件AF →＝mFB →可
得，m ＝3.故选D.
6.解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *
)，由基本不等式得y ＝x ＋
100x ＋1.5≥2 x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100
x ，即x ＝10时取等号，所以选
A. 答案 A
7.解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，
即函数仅有一个零点；
当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根.∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－1
4. 综上，当a ＝0或a ＝－1
4时，函数仅有一个零点. 答案 C
8.解析 记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2，4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种.其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种.故所求概率P ＝915＝3
5.故选C. 答案 C
9.解析 举反例说明，若z ＝i ，则z 2＝－1＜0，故选C. 答案 C
10解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2
＋b 2
a 2＝4，∴b
a ＝ 3.
x 2
＝2py 的焦点坐标为? ??
??0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±
b a x ，即y ＝±3x .由题意得p
21＋（3）
2
＝2，
∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 答案 D
11.解析 ∵两条曲线的交点的连线过点F ? ????
p 2，0，∴两交点的横坐标为p 2，则
其中一交点为? ????
p 2，p .代入双曲线方程得p 2
4a 2－p 2b 2＝1.又p 2＝c ，化简得c 4－6a 2c 2＋
a 4
＝0，解得e ＝c a ＝1＋ 2.故选C. 答案 C
12.解析 依题意，得???a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得?
??a 1＝1，
d ＝3，选D.
答案 D
13.解析 由抛物线的定义可知|MF |＝x M ＋p
2＝2＋1＝3. 答案 3
14.解析 ∵a ∥b ，a ?α，b ?α，∴b ∥α. 又∵b ?β，α∩β＝c ，∴b ∥c .∴a ∥b ∥c . 答案 a ∥b ∥c
15.解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋
OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 答案 9
16解析 从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为34.
答案 34
17解 (1)双曲线的离心率e ＝
1＋4
a 2＝5，
又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0，1)，又p >0， ∴抛物线的焦点为(0，1)， ∴抛物线方程为x 2＝4y .
(2)由题知，直线l 的斜率必存在，
设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，
∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 2
2， 当l 1⊥l 2时，x 12·x 2
2＝－1， ∴x 1x 2＝－4，
由???y ＝k （x ＋1），x 2＝4y
得x 2－4kx －4k ＝0，
∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0， ∴k <－1或k >0.① 由根与系数的关系得，
x 1·x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①， 即直线的方程为x －y ＋1＝0.
18解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.
又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π
3.
(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. (3)∵AB
→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB
→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，
∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3
2＝3 3.
19解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ? ????ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·
? ????32sin ωx ＋1
2cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ?
?
???2ωx ＋π6＋1＋a .
当sin ? ?
???2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，
又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.
又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期T ＝π， ∴2ω＝2π
T ＝2，∴ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝2sin ?
?
???2x ＋π6，
由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π
3＋k π，k ∈Z .
令k ＝0，得π6≤x ≤2π
3，
∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为??????
π6，2π3.
20解 (1)因为m ＝? ????
22
，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .
所以m ·n ＝0，即22sin x －2
2cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，
即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ? ??
??x －π4＝12，
因为0 12. 21解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为 x ＋y －4＝0.解???x 2＋（y －2）2 ＝4，x ＋y －4＝0，得???x 1＝0，y 1＝4，???x 2＝2， y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为? ? ???4，π2，? ????22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3). 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2 ＋1， 所以?????b 2＝1，－ab 2＋1＝2， 解得a ＝－1，b ＝2. 22解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立.因此 有???2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得???x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10. ∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝? ????1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120? ? ???7＋5y x ＋2x y ≥120? ?? ?? 7＋2 5y x ·2x y ＝ 7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时等号成立. 由?????2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得?????x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1 y 的最小值为7＋21020.