单摆研究毕业论文
毕业设计（论文）
2012 届
题目影响单摆周期因素的研究
专业物理
学生姓名
学号
指导教师
论文字数11000字
完成日期
湖州师范学院教务处印制
影响单摆周期因数的研究
摘要：本文研究了单摆的周期受摆角、摆球的线度、介质黏度和介质密度参数的影响；作出了周期比随参数变化的曲线。经计算表明：这些因数对周期的影响很小。我们导出了一个简单、实用、精度高的理想单摆运动周期近似公式。近似公式中的K=0.06224，与文献[1]提及的K值相近。通过不断改变K值找到接近于实验数据的值为0.057。并用这个近似公式求得的重力加速度g与标准值比较，结果表明：计算得到的重力加速度接近于标准值。
关键词：单摆，周期，参数，近似公式
Impact factor of the pendulum period
Abstract: This paper studies the pendulum's period by the swing angle, swing the ball line degrees, medium viscosity and density parameters of the medium; to the cycle than the curve with parameter changes. The calculations show that: these factors have little effect on the cycle. We derive a simple, practical, ideal for high precision pendulum movement cycle approximate formula. Approximate formula K = 0.06224, with the literature [1] mentioned that the K values are similar. By changing the value of K is found close to the experimental data of 0.057. And use the approximate formula obtained with the standard value of acceleration due to gravity g, the results show that: the acceleration of gravity close to the calculated standard value.
Keywords:pendulum, period, parameters, approximate formula
目录
前言 (1)
第一章简谐振动-----单摆 (3)
1.1 小角度下理想单摆公式的推导 (3)
1.2 大角度下理想单摆公式的推导 (3)
第二章影响单摆周期的因素 (5)
2.1 摆角对单摆周期的影响 (5)
2.2 摆球线度对单摆周期的影响 (6)
2.3 空气黏度对单摆周期的影响 (7)
2.4 介质密度对单摆周期的影响 (9)
第三章单摆周期的测量 (11)
3.1 实验仪器介绍 (11)
3.2 装置与用法 (11)
3.3 实验数据记录 (12)
3.3.1 部分数据 (12)
3.3.2 实验测得周期与理论值 (13)
3.4 实验数据的近似公式 (15)
3.5 结论 (18)
总结 (21)
参考文献 (22)
致谢 (23)
前言
单摆：质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和摆长l及当地的重力加速度g有关，即而和质点的质量、形状和振幅的大小都无明显关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于 10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不服从简单的简谐振动规律了。此时单摆的摆动的周期需要由高等数学来做推导。
而在现实生活中由于阻尼的作用使得单摆周期与理论值有偏差，需要做的是怎么对实验数据处理从而达到与理论值相接近。在理论的基础上对单摆进行改良使其能更精确的测量重力加速度。
对单摆摆动的研究起源于Galileo,他在1581年发现摆的等时性,在1638年的著作中用落体公式推得摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方根,但没得到正确的比例系数。他还从运动量守恒的角度讨论摆的振动。1673年Huygens把摆动视为圆周运动的一部分,利用几何方法得到单摆振动周期的正确公式,提出摆动中心的概念，从而将形状复杂的摆简化为单摆。1687年Newton考察了单摆在有阻尼介质中的运动。从现代观点考虑,弦线振动是无穷多自由度连续系统的振动,单摆摆动是单自由度离散系统的振动,振幅不大时都可认为是线性的。单摆振动比较简单,对后来线性振动的发展影响不大,弦线振动则成为18世纪振动力学研究的中心问题之一.。振动力学的物理基础在17世纪已经奠定。
单摆模型是一个形状、大小都可以看成质点的小球系在不计伸长和质量的摆线上的理想模型。它是处理摆动问题中必不可少的模型，作为一种经典物理模型，已在大多人学物理教材中有涉及。
在现在通行的理论力学教材中，在处理单摆模型时只讨论了小角度摆动时的近似运动状况，当单摆做大摆角运动时，运动微分方程为非线性方程，由于计算上的困难没有涉及。许多文献已对大摆角单摆运动进行研究，文献[1-4]进行了大摆角运动周期的近似研究。
以上的文献都是近似情况下的研究，其求解的精确度在全局下未必能够得到保证。学过常微分方程我们知道，对于高阶的常微分方程，可以降价为一阶微分方程组，进而可以使用数值分析中的相关理论得到较为精确的数值解。文献[5-7]提出单摆振动周期的精确解。因此可以使用以上的方法对大摆角运动进行精确的求解。
单摆实验最初是由伽利略做的，就是在摆球摆角很小的情况下（小于5o），摆会做周期性的摆动。摆动周期与摆长成正比，摆长越长，摆的周期就越大。而且它的周期还跟重力加速度g有关，不同地点，它的周期不同，且g越小，它的周期越大。它的应用有比如钟表，就是用摆规定的周期作为时间测量的工具。还有，就是它可以测重力加速度g，这也是它的一个很好的应用。
在实际测量中单摆运动并不是理想状态，它受到多个外界因数的影响，例如摆球线度、
空气阻力等因数使得测量周期与理论值有偏差，文章中研究了这些因数对周期产生的影响。并推导出一个精简的近似计算公式（公式中K=0.06224）。通过改变近似公式中的K值使其曲线更加接近实验曲线，从而使实验得到单摆运动周期可以由这个公式比较精确的计算重力加速度g。
文章总共分了三章，第一章中我们介绍了理想单摆周期公式的推导；在第二章中提出影响单摆运动周期的因数，并作出一定的分析；第三章我们从实验中得到的数据进行分析和理论对照，给出理想单摆运动周期近似公式和在实际摆动中的近似公式。
第一章 简谐振动-----单摆
1.1 小角度下理想单摆公式的推导
单摆测重力加速度是一个传统的经典力学实验。单摆测重力加速度实验并非直接测重力加速度，而是通过测单摆的周期，再由周期公式计算出重力加速度，所以我们首先来看理想情况下的单摆周期公式。
如图（1），一根细线上端固定，下端系一金属球。细线质量与小球质量相比可以忽略不记，球的直径相比摆长的长度可以忽略不记而作为质点。设摆长l ，重力加速度g ，其运动方程：
m sin 0l mg θθ''+= （1.1.1）
当摆角很小时，0,sin θθθ≈≈，则上述公式为：
m 0l mg θθ''+= （1.1.2） 式（1.1.2）除以ml 得到：
0g
l
θθ''+= （1.1.3）
令0w g l =
，为单摆周期圆频率。式（1.1.3）就可以写为：
00w θθ''+= （1.1.4）
故其周期0022T w l g ππ==，这就是单摆在小角度下的周期解。
可见，小角度下理想单摆周期T 0只与单摆摆长和当地的重力加速度有关，若测得摆长和周期，就可以求出当地的重力加速度：2
2
4g l T π=。 1.2 大角度下理想单摆公式的推导
在第一节中我们推导了小角度下的单摆周期公式，那么单摆在大角度下的周期公式该怎么推导呢？
如果不对θ角进行近似，即sin θθ≠，由（1.1.3）式可以得到：
22sin 0d g
dt l
θθ+= （1.2.1） 令2
o g
w l
=
，它的精确解是第一类完全椭圆积分，利用积分法可求得[9]： 210
2
20
41sin sin 2
o
d T w π
?θ?
=
-?
（1.2.2）
其精确的周期的解为[10]：
2
460001011173=(1+163072737280
T T θθθ+++…）
（1.2.3）
这就是理想情况下单摆的精确解。
第二章 影响单摆周期的因素
单摆是大学物理中的一个理想物理模型，在摆角很小时，无阻尼单摆作谐振动，其振动周期与摆角及摆的质量无关。然而在实际应用中，由于介质阻力、浮力、摆球的线度等参数的影响，振动周期会发生变化。这一章将对上述影响单摆振动周期的参数逐一进行分析，并应用Origin 作图，得出振动周期随各参数的变化曲线。 2.1 摆角对单摆周期的影响
我们知道单摆在不同摆角下的周期是不同的对式（1.2.3）略去高阶小量，保留其前四项得：
2460001111732(1)163072737280
l
T g θθθπ=+++ （2.1.1）
因为02l T g π
=，其周期比为110
T R T =： 2460001
10111731163072737280
T R T θθθ==+++ （2.1.2）
表一 摆角变化对周期的影响
θ
2o 3o 5o 10o 20o 30o 45o 1R
1.000076
1.00017
1.00048
1.0019
1.0075
1.017
1.037
式（2.1.1）与0T 比较：当05o
θ=时，有约万分之五（0.00048）的差别，因此我们不能把0T 成立条件写作05o
θ<：因为如果只计摆角影响，我们要求实验结果的精确度高于万分
之五时，05o θ=就足够了。反之，如果我们容许实验的不高于千分之二时，010o
θ=式（2.2.1）
与0T 差0.0019，也是允许的。
为便于作图，将式（2.1.2）中的0θ弧度化为角度，并取0090o
o
θ≤≤，则1R 随摆角0
θ的变化曲线如图1所示。
由图1可知，周期比1R 随摆角0θ的增大而增大。
2.2 摆球线度对单摆周期的影响
在讨论摆球线度对单摆周期的影响时，处理摆长通常是悬挂点到摆球质心的距离，设悬挂点到摆球质心的距离为z ，摆线的质量忽略不计，摆球的质量为m ，半径为r ，忽略摆球摆 动引起的z 的变化，按复摆公式计算时，该摆动装置对固定点的转动惯量为：2
2
25
ml mr +，则单摆周期为：
22
2252l r T gl
π
+= （2.2.1） 将（2.2.1）化简得： 2
22215l r T g l π??
=+ ???
（2.2.2） 当
1r l
<<时，将式（2.2.2） 对r
l 展开成Taylor 级数，取前4项得[11]：
246
211121550250l
r r r T g
l l l π
????????=+-+?? ? ? ???????????
（2.2.2）
周期比2
20
T R T =
为： 2
4
6
21111550250r r r
R l l l
??????=+-+ ? ?
???????
（2.2.3）
为便于作图，取 1.0,00.05l m r m =≤≤，则2R 随摆球半径r 的变化曲线如图2所示。
由图2可知，周期比2R 随摆球半径r 的增大而增大。 2.3 空气黏度对单摆周期的影响
以上是讨论单摆的振动不受任何阻力,果真如此,由于能量守恒,它将永远振动下去,然而,振动系统都受阻力作用,如无外界能量补偿,振幅将不断减小而归于静止。振动系统因受阻力作振幅减小的运动，叫阻尼振动。
振动速度较小时，可以认为摩擦阻力正比于质点的速率。为简单起见，设质点在一直线上，于平衡位置附近做反复运动。我们选择质点平衡位置为原点，令坐标轴Ox 与质点轨迹重合，有：
x dx
F v dt
γγ
=-=-阻 （2.3.1） γ为阻力系数，它与物体的形状以及周围介质的性质有关，负号表示阻力与质点速度的方向
相反。物体在油中或在较黏稠液体中缓慢运动时所受阻力即为这种阻力的典型例子。图（a ）表示阻尼振动的演示实验。可通过改变液体的黏度或没于液中圆片A 的大小来调整阻力。系统振动以后，使附有记录纸的转筒做匀速转动，则固定于B 上的指针在纸上画出振动的位移—时间曲线。图（b ）所示的在阻力不太大的情况下位移—时间曲线。
图（a ） 图（b ） 图（c ） 设弹簧振子系统中质点受弹力以及如(2.3.1)式所示阻力作用。根据牛顿第二定律，
22d x dx m kx dt dt
γ=-- （2.3.2） 以m 遍除各项
22d x k dx x dt m m dt
γ=-- 并令 2
0,2k w m m
γ
β=
=
（2.3.3） 0w 即振动系统的固有圆频率，β称为阻尼系数，和振动系统以及介质的性质有关。于是，
方程可写为：
22
0220d x dx w x dt dt
β++= （2.3.4） 按照微分方程理论，对于一定振动系统，可根据阻尼因数β大小之不同，由此动力学方程解出三种可能的运动状态：欠阻尼状态、过阻尼状态、临界阻尼状态。 在单摆运动过程中主要考虑的是欠阻尼状态。
当阻力很小时,以致0w β<,可由式(2.3.4)求出质点得的运动学方程：
cos(),t x Ae w t βα-'=+ （2.3.5）
2
20w w β'=- （2.3.6）
A α与为待定常数，由初始条件决定。因子t Ae β-表示不断随时间而衰减的振幅，
cos()w t α'+则以w '为圆频率周期地变化，二因子相乘表示质点作运动范围不断缩小的往
复运动，这种振动状态称欠阻尼状态。根据式（2.3.5）画出的位移—时间图线即图（b ）。图（c ）则显示与之对应的相轨迹。
由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。不过，cos()w t α'+是周期变化的，它保证了质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动所需的时间间隔是相同的，于是把cos()w t α'+的周期叫阻尼振动的周期，并用T ' 表示：
22
22T w w π
πβ
'=
='
- （2.3.7）
显然，阻尼振动的周期大于同样振动系统的简谐振动的周期00
2T w π
=
，见图（b ）。 t Ae β-随时间的推移趋于零，表示质点趋于静止。β越大，阻尼越大，振动衰减越快；
β越小，衰减越慢。可用相隔一周期的振动振幅之比的自然对数，即：
()ln t
t T Ae T Ae
βββ-'-+'Λ==
作为阻尼大小的标志，称对数减缩。
在单摆运动中式（2.3.5）我们可以写为00cos()t
e
w t βθθ?-'=+，则其振动周期3T 为：
12
2
3220
002221T w
w w w π
π
π
ββ-
??
??
??==
=- ?
'??-????
（2.3.8） 将式（2.3.8）展开成Taylor 级数，得：
246
3000135212816l T g w w w βββπ
????????
??=++++ ? ? ???????????
… （2.3.9） 取式（2.3.9）前4项得周期比3
30
T R T =
为： 2463000
1351()()()2816R w w w βββ
=+++ (2.3.10)
在低雷诺数下[12]=6r γπη，将32r
m
m
γ
πηβ=
=
代入式(2.3.10)得: 2246
3000
924336451()()()2816r r r R mw mw mw πηηη=+++ (2.3.11)
为简单计,取空气黏度00.2Pa s η≤≤ .重力加速度g=9.82
m s - ，摆长 1.0l m =，摆球半径0.01r m =，摆球密度3
3
=7.910k g m ρ-? 球，则3R 随空气黏度η的变化曲线如图（3）所示。
R 3
1.000
0 /η （
Pa s) 图（3）R 3随空气黏度η的变化曲线
由图3可知，周期比3R 随空气黏度η的增大而增大。 2.4 介质密度对单摆周期的影响
设介质的密度为ρ，则介质对小球的浮力为gV ρ球，摆长为l 的单摆作有限振动时，其运动方程为：
(sin ml mg gV θρθθ+-= 球） （2.4.1）
当5o
θ<时，sin θθ≈，式（2.4.1）化为：
+(1)0g
l
ρ
θ
θρ-= 球
（2.4.2） 其振动周期4T 为：
1
242(1)l T g ρπρ-=-球
（2.4.3）
将（2.4.3）式展开成Taylor 级数，得[13]：
2341352[1()()()2816l T g ρρρ
π
ρρρ=++++球球球
…] （2.4.4） 取前4项得周期比4
4o
T R T =
为： 2341351()()()2816R ρρρ
ρρρ=+++球球球
（2.4.5）
取3
-3
=7.910kg m ρ? 球，-30 1.29kg m ρ≤≤ ，则4R 随介质密度ρ的变化曲线如图（4）
所示。
由图（4）可知，周期比4R 随介质密度ρ的增大而增大。
第三章 单摆周期的测量
3.1 实验仪器介绍
单摆实验在大学基础物理和中学物理教学中都是一个重要的必做的实验。以往此实验都限于单摆在小角度（小于5o
）内做近似等周期摆动的情况下，测量小球振动周期，一般不涉及周期与摆角之间的关系。要研究此二者间关系就必须在不同摆角，甚至大摆角下进行周期测量。传统方法的周期测量用手控秒表计时，测量误差较大。为了降低误差，必须采用多周期测量后取平均值的方法，由于空气组你的存在，摆角随时间的延长而衰减，因此无法测的大摆角下摆动周期的准确值。采用集成开关型霍耳传感器和电子计时器实现自动计时之后，能够在很短几个振动周期内准确测得单摆在大摆角下的周期，这样可以减小空气阻尼的影响，使研究周期与摆角关系的实验得以顺利进行。在得
到周期与摆角的关系后，可以绘制实验曲线并于理论曲线相比较，在理论上计算使得其周期跟接近理论值。
本实验 仪采用UGN3109型集成开关霍耳传感器（简称：集成霍耳开关）与HTM 电子计时器实现自动计时。如图（5）所示，集成霍耳开关效应放置在小球正下方1.0cm 处，1.1cm 为集成开关的导通（或截至）距离。钕铁硼小磁钢放在小球的正下方，当小磁钢随小球从集成霍耳开关上方经过时，由于霍耳应，会使集成霍耳关的out V 端输出
一个信号给计时器，计时器便进行计时。当磁钢经半个周 图（5）计时原理
期回复至平衡位置时，又产生一信号让计时器停止计时。所以单摆摆动1个周期，在计时器上反应2个周期。
HTM 电子计时器精度为0.001S ，采用单片机计时原理，有周期次数预置开关，从0~66次，可以任意调剂计时次数，以便按实验要求的精度进行周期测量。 3.2 装置与用法
以静止的单摆为铅垂线，把米尺上所附的平面镜移动，
使悬点在平面镜上所刻的水平划线处成像。通过仔细调节使悬点、横划线、悬点的像三点共线。记下横划线在米尺上的位置读数，此即悬点位置。后在平面镜上方装上传感器，再移动置摆球下方约1.0cm 处即可。
如图（6）所示，在金属小球做的摆锤底部贴一块小型钕铁硼小磁钢，调节摆线长度，让静止时磁钢产生的磁场能被传感器接收到。记下摆线的长度1L 。调节计时器，预置
开关次数。将小球拉开一段距离，用调节好的水平直尺测量 图（6）实验简易图 x 的距离，应用三角函数计算出摆角θ（()2=arctan x L θ）的大小。如图（6）所示，实验
时水平直尺与A 点应尽可能在同一平面内，以消除视差。放开小球，让小球在传感器所在铅锤平面内摆动，单摆振动计时将有传感器和计时器自动完成，由于小球放手时的不一致性，因此在同一摆角处应多次测量，求其平均值，取不同的摆角，重复实验。
实验仪器实物图 实验时应注意以下事项：
1） 小球必须与支架平面上做平行运动，不可做椭圆运动。
2） 当摆长测定后，集成霍耳传感器与磁钢之间距离须放置离磁钢在1.0cm 左右。 3） 假如摆球上的磁钢拿下来后，再次安装时要注意，磁钢装上后摆球摆动时如果传感器
感应不到的话，请把磁钢换个面装上即可。 4） 霍耳传感器请勿用力拉动，以免损坏。 3.3 实验数据记录 3.3.1 部分数据
①空气密度：3
=1.205kg /m ρ（一个大气压，20摄氏度 ） ②摆线长度：39.0o l cm = ③摆线质量：0.116o m g = ④摆球质量：32.8618m g = ⑤摆球直径：20.00d mm =
⑥重力加速度：29.7964g m s -= （湖州地区） ⑦空气的粘滞阻力：)/(108.14s cm g ??=-η
⑧摆球密度： 332.86187.8452/43
m g
g cm V ρπ=
=
≈球球
由以上数据可以对周期公式进行修正当我们考虑摆球半径对周期的影响时可以用公式
（2.2.3）：246
21111550250r r r R l l l ??????
=+-+ ? ? ?
??????
修正，代入数据可以得到
52 1.131510R -≈?，可见计算结果对周期的影响不是很大。如果在实验中摆球取更小的半
径，实验结果将更符合理论值。
在考虑有空气阻力时，可以利用公式（2.3.8）：
22463000
924336451()()()2816r r r R mw mw mw πηηη=+++，o l
w g
=
进行修正，代入数据可以得到8
3 1.110R -≈?由此可见在本实验中在计算周期的时候可以忽略，也就是说，空气阻力的影响很小，可以忽略不计。
当我们考虑介质密度对周期的影响时可以用公式（2.4.5）：
2341351()()()2816R ρρρ
ρρρ=+++球球球
修正，代入数据可以得到44 1.764810R -≈?，可见
这个计算结果对周期的影响也不是很大。
剩下的就是摆角对周期的影响可以由图（1）看到，当摆角越大时其R 1的值也就越大，对周期的影响就不能忽略了。 3.3.2 实验测得周期与理论值
在实验中我们取摆长L=40.0cm （摆线长+小球半径），先从小角度测3个周期，在仪器上反应的就是6个周期，慢慢的增大角度，在450时考虑到大角度下阻尼作用增大，可以减小周期的摆动，在这里我取2个周期，相应的在仪器上反应的是4个周期。
实验中的角度可以用()2=arctan x L θ公式得到，理论值可以用Mathematical 得到。以下是实验中的数据：
表二 实验数据的记录
摆角o θ 测量值（s ） 理论值（s ） /*100%-（理论值实验值）理论值
1.640 1.2649 1.26969 0.380
3.270 1.2671 1.2689 0.139
4.900 1.2686 1.27021 0.127 6.520 1.2692 1.27066 0.115 8.130 1.2698 1.27123 0.112 9.730 1.2707 1.27192 0.099 11.310 1.2707 1.27273 0.157 12.875 1.2719 1.27365 0.135 14.420 1.2732 1.27467 0.115 1
5.945 1.2747 1.2758 0.089 17.450 1.2753 1.27703 0.138 18.920 1.2763 1.27834 0.162 20.380 1.2773 1.27974 0.193 21.800 1.2784 1.28121 0.219 23.430 1.2800 1.28303 0.236 2
6.565 1.2839 1.2869 0.231 29.540 1.2872 1.29105 0.298 32.350 1.2915 1.2954 0.298 34.990
1.2952
1.29987
0.359
38.660 1.3011 1.30673 0.428
41.350 1.3065 1.31224 0.435
43.830 1.3120 1.31768 0.431
44.435 1.3155 1.31907 0.273
45.085 1.3187 1.32058 0.145
46.120 1.3224 1.32304 0.048
48.240 1.3245 1.32828 0.285
50.190 1.3234 1.33334 0.745
53.130 1.3327 1.34142 0.650
55.710 1.3429 1.34898 0.451
57.990 1.3499 1.35603 0.452
60.020 1.3567 1.36261 0.434
61.820 1.3653 1.36868 0.247
63.430 1.3704 1.37431 0.285
65.556 1.3761 1.38204 0.430
67.380 1.3772 1.38894 0.845
68.960 1.3827 1.39513 0.891
70.350 1.3894 1.40074 0.810
71.285 1.3930 1.4046 0.826
72.650 1.3997 1.41037 0.757
73.610 1.4034 1.41452 0.786
75.235 1.4177 1.42172 0.283
77.640 1.4287 1.4328 0.286
79.550 1.4357 1.44198 0.436
81.260 1.4484 1.45049 0.144
85.340 1.4719 1.47195 0.003
由以上数据分析可得其误差最高不会超过千分之八，可见这套仪器还是十分精确的，再得到数据后可以由Origin画图。
图（7）实验值与理论值的比较
从上图中可以看到实验值的曲线在理论曲线的下方，但基本和理论曲线一致，但还是有些许偏差。
下面对实验得到的数据与理论值进行简单处理画出（
T
T θ-）曲线（图中横轴为θ，纵轴为
T T ）：
图（8） 理论曲线与实验曲线的比较
可见实验的周期比与实理论的周期比还是存在一定的偏差，从理论上讲实验的周期应该比理论值大，实验的曲线应该在理论曲线上方但可能由于各因数的影响使得在实验时单摆在阻力作用下衰减角度较大，使得周期偏小以致曲线在理论曲线下方。从图中还可以看到在小角度情况下实验曲线和理论曲线符合的还是相当精确的，但在大角度下有些许偏小，但误差不大。
3.4 实验数据的近似公式
理想公式210
2
20
41sin sin 2
o
d T w π
?θ?
=
-?
,0g
w l
=
适用摆角为任意值的情形，但这一公式是用椭圆积分表示的，过于繁杂，应用时有很多不变，给实际应用带来许多不便。为找到单摆运动周期的简单公式，我们可以这样分析，根据受力分析，单摆所受回复力及产生的加速度分别为：
sin F mg θ= （3.4.1）
sin dv
a g dt
θ=
= （3.4.2） 按机械能守恒定律有：
2
00(cos cos )22(cos cos )
mv mgL v gL θθθθ=-=- （3.4.3） 0θ为初始角，对θ求导并结合式（3.4.2）得：
02(cos cos )g d d dv
dt dv dt L
θθθθ-==- （3.4.4） 下面利用近似方法对上式求解。
把式（3.4.4）改写如下形式：
2()d g F dt L
θθ=- （3.4.5） 其中()0cos cos F θθθ=-（），当0θ取不同值时例如取90o ，60o ，45o 时的曲线图为： 图中横坐标为0θ的取值，纵坐标为()F θθ 的值。 0=2
π
θ
0=3
π
θ
()F θ
0=
4
π
θ
θ
图（9）()F
θ与θ的曲线图
从上图可以看到这些曲线与长、短半轴分别为0θ和02sin 2θ??
???
的椭圆曲线在第一象限的部分很相似，而这样的椭圆方程为()20102sin 1()2F θθθθ??
=
- ???
，把这个近
似表达式代入式（37）整理得到：2
020
2sin (1)2
d g dt L θθ
θθ=--，解此微分方程得到： 000
422
002sin 2T
L d dt g θθθθθθ=
??- ?
??
?
? ，通过积分得到： 00sin 2L
T g
πθθ=
?? ???
（3.4.6）
这就是单摆运动的一个近似周期公式。为了使它与理论值吻合得更好，还需对它修正。