牟合方盖

牟合方盖

会计一班 周一奇 2015110155

魏晋时数学家刘徽在研究我国古代数学名著《九章算术》时，为《九章》作注，书名为《九章算术注》。在该书中，刘徽明确指出《九章算术》中的球体积公式316

9d V （d 为球的直径）是错误的，错误的原因在于误以为球和它的外切圆柱的体积的比是π∶4。为了纠正这一错误，刘徽在他的《九章算术注》中，提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积。

何谓“牟合方盖”？用一个正方体的土坯，用一与之内切且等高的空心铁圆柱一套，拿出来，正方体变成了圆柱体，底面正好为原正方体底面的内接圆，然后横放此圆柱，再用同样的一个空心铁圆柱一套（如图一），出现了图二中形状的物体——即由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这个立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞(整个造形也像两顶餐桌上挡苍蝇用的桌罩反向迭合而成的)，所以就称它为“牟合方盖”。

在这个立体里面，可以内切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。刘徽指

图 一 图 二 图 三 出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为 π : 4（见图三），所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比亦应为 π : 4。而显然，因为内切圆柱的体

积大于合盖的体积，所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比和球体体积与它的外切圆柱的体积的比应不相等，由此说明《九章算术》中的球体积公式是错误的。

显然,只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。可惜的是，刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积，但是他坦诚地记下了自己的困惑，表示“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙言,以候能言者”,表现了一位伟大学者实事求是、寄希望于后学的坦荡胸怀。

二百年后，能实现刘徽愿望的人终于出现了。他就是祖暅！祖暅是南北朝时代大数学家祖冲之的儿子。同刘徽一样，除了少量的史料外，我们对祖氏父子二人的认识甚少，就连他们的著作《缀术》亦早已失传，非常可惜。

祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一——不妨称为“小牟合方盖”（如图四），设 OP = h ，过 P 点作平面 PQRS 平行于 OABC 。又设内切球体的半径为 r ，则 OS = OQ = r ，由勾股定理有PS = PQ =22h r -，故此正方形 PQRS 的面积是 r 2 - h 2。

图 四 图 五 图 六

如果将图四的立体放在一个边长为 r 的正立方体之内（如图五），不难证明图五中与图四等高处阴影部分的面积等于h 2。在图六中，设由方锥顶点至方锥截面的高度为h ，不难发现对于任何的h ，方锥截面面积也必为h 2。由此可知，在等高处，图五中阴影部分的面积与图六中倒立的正立方锥体的横切面的面积总相等。所以，有理由相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总

是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异。”

将图四中八分之一个“牟合方盖”的体积，加上图六中的锥体体积，应该等于图五的正立方体体积，由此可知八分之一个“牟合方盖”的体积V =3333231r r r =-，而整个“牟合方盖”的体积为33

28r ?。再根据刘徽的想法，4：：合盖球π=V V ，使得球体体积为333

43164r r V ππ=?=

球。这就是正正式式的球体体积公式。 在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。“祖暅原理”从方法至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出，这不能不算是一项杰出的成就。这一球体体积公式比欧洲阿基米德的虽然出现较迟，但二者有异曲同工之妙。所用“缘幂势既同，则积不容异”的原理，其中“势”即是高，“幂”是面积，意思是说，“如果二等高的立体在同高处截二立体的面积恒等，则这两个物体的体积相等。”这就是我们今天所称的“祖暅原理”。

“祖暅原理”在17世纪由意大利数学家卡瓦列里重新发现，现在一般认为是由卡瓦列利首先引用，称为卡瓦列利原理(Principle of Cavalieri)，但事实上由于受刘徽的启发，祖氏父子比卡瓦列利早一千年就用到了这个原理，所以我认为称之为“刘祖原理”可能更切合实际?