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数值分析试题答案(1)

数值分析试题答案(1)
数值分析试题答案(1)

《数值分析》模拟试题(一)

一、填空题 (20分)

(1) 设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值,则*x 有________位有效数字. (2) 设3()1f x x x =+-,则差商[0,1,2,3]f =_____________,[0,1,2,3,4]f =________________.

(3) ()x f x =求方程根的牛顿迭代格式是__________________.

4).梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式 (对或错). 5).牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n

n k k C =∑ .

二、计算题(每小题15分,共60分)

(1) 用二次拉格朗日插值多项式2()L x 计算sin 0.34的值。插值节点和相应的函数值是(0,0),(0.30,0.2955),(0.40,0.3894).

(2) 用二分法求方程3

()1f x x x =--在[1.0,1.5]区间内的一个根,误差限210ε-=.

(3) 用列主元消去法解线性方程组

1231231232346,3525,433032.

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?

(4) 确定求积公式

012()()(0)()

h

h

f x dx A f h A f A f h -≈-++?

.

中待定参数i A 的值(0,1,2)i =,使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公式的代数精度. 三、证明题 (10分)

设()[,]f x C a b ∈,()max |()|n n a x b

M f x ≤≤=,若取

21

cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n +--=

+=

作节点,证明Lagrange 插值余项有估计式21()max |()|!2n

n n a x b M b a R x n -≤≤-≤. 四、程序题(10分)

试用Matlab 语言写出(Gauss--Seidel)迭代公式求解线性方程组Ax=b 的算法.

要求:输入方程个数n,矩阵A 的元素和b,初始向量120000(,,,)n T x x x x = ,

输出近似解和迭代次数.

《数值分析》模拟题一参考答案

一、填空题(每小题4分,共20分) (1) 3; (2)1,0; (3)1()

1()

n n n n n x f x x x f x +-=-'-; (4)错; (5)1. 二、计算题(每小题15分,共60分)

(1)

020*******

010*********()()()()()()

()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=++------

=0.333336 (2) N=6

1234561.25 1.375 1.3125

1.34375 1.328125 1.3203125

x x x x x x ===

==

=

(3)解:

23464330324

3303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012??????

? ? ?

→→ ? ? ? ? ? ??????

?????

?

?

→--→-- ? ? ? ?--????

?? ?→-- ? ???

123123

233433032,13,

118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==????

-=-?=????==??

(4)分别将2

()1,,f x x x =,代入求积公式,可得

02114

,33A A h A h

===。

令3()f x x =时求积公式成立,而4

()f x x =时公式不成立,从而精度为3.

三、证明题(10分) (1)

()1

1

()()()()

!!

n n

n

n k k

k k M f R x x x x x n n ξ===-≤-∏∏

121

1

21

22

()()2cos 22()max ()!2n

n n

n

k n k n

n n a x b a b b a

x t b a b a x x n M b a R x n θ--=-≤≤+-=

+--??-=≤ ???-≤∏令

四、程序题(10分)

AX 的MATLAB主程序1 用高斯-塞德尔迭代定义解线性方程组b

function X=gsdddy(A,b,X0,P,wucha,max1)

D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1); dD=det(D);

if dD==0

disp('请注意:因为对角矩阵D奇异,所以此方程组无解.')

else

disp('请注意:因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解.')

iD=inv(D-L); B2=iD*U;f2=iD*b;jX=A\b; X=X0;

[n m]=size(A);

for k=1:max1

X1= B2*X+f2; djwcX=norm(X1-X,P);

xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);

if (djwcX

return

else

k,X1',k=k+1;X=X1;

end

end

if (djwcX

disp('请注意:高斯-塞德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下:')

else

disp('请注意:高斯-塞德尔迭代的结果没有达到给定的精度,并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下:') X=X';jX=jX'

end

end

X=X';D,U,L,jX=jX'

数值分析课后答案

1、解:将)(x V n 按最后一行展开,即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ,.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ,即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解:(1)设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时,有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式, ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ, ξ介于j x 之间,.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地,当0=k 时, 10) (=∑=n j x j l 。 (2) 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x )利用(。 7、证明:以b a ,为节点进行线性插值,得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ,故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ,b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解:设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=, k x x g =)(,记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ,则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ, ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时,0)()1(=-ξn g , 当 1-=n k 时,)!1()(1-=-n g n ξ, 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解:根据差商与微商的关系,有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f , [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 ( 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式, 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f )。 25、解:(1) 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 (2)左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6.设,0,1,,j x j n =L 为互异节点,求证: (1) 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L (2)0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 (1) 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ,则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证: 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解:令01,x a x b ==,以此为插值节点,则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的,其中的残差 r i = (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ,(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且f (x )

数值分析课后题答案

数值分析 2?当x=1,—1,2时,f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解: X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点,求证: n (1 )7 x:l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j £ 证明 (1)令f(x)=x k

n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n,则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!

.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j :o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解:令x^a,x^b,以此为插值节点,则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解,并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证:非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异,要说明A不一定能做LU分解,只需举出一个反例即可。现考虑矩阵,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,则 故,而,显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解,故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解,只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有 从而有 故,,, 故,,, 4设A是任一阶对称正定矩阵,证明是一种向量范数 证明(1)因A正定对称,故当时,,而当时, (2)对任何实数,有 (3)因A正定,故有分解,则 故对任意向量和,总有 综上可知,是一种向量范数。 5 设,,已知方程组的精确解为 (1)计算条件数; (2)若近似解,计算剩余; (3)利用事后误差估计式计算不等式右端,并与不等式左边比较,此结果说明了什么?解(1) (2)

(3)由事后误差估计式,右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时,尽管剩余很小,误差估计仍然较大。因此,当A病态时,用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为,证明当时,有最小值 证明设,则 又 故 从而当时,即时,有最小值,且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛,比较哪一种方法收敛较快,其中 解对雅可比方法,迭代矩阵 , 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法,迭代矩阵 ,故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设,求解方程组,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 , 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 , 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为,其中,求证:若,则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵,故 又,故, 即,故故系数矩阵A按行严格对角占优,从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵,考虑迭代格式 求证:(1)对任意初始向量,收敛; (2)收敛到的解。 证明(1)所给格式可化为 这里存在是因为,由A对称正定,,故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为,为相应的特征向量,则与做内积,有 因正定,故,从而,格式收敛。

数值分析试卷及其答案

1、(本题5分)试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ; 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为

数值分析课后习题答案

习 题 一 解 答 1.取3.14,3.15, 227,355113 作为π的近似值,求各自的绝对误差,相对误差和有效数字的位数。 分析:求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意,不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求,即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位,再确定有效数的末位是哪一位,进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后,可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化为科学记数形式,然后解答。 解:(1)绝对误差: e(x)=π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159…≈0.0016。 相对误差: 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字: 因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.14=0.314×10,m=1。 而π-3.14=3.14159265…-3.14=0.00159… 所以│π-3.14│=0.00159…≤0.005=0.5×10-2=21311 101022 --?=? 所以,3.14作为π的近似值有3个有效数字。 (2)绝对误差: e(x)=π-3.15=3.14159265…-3.14=-0.008407…≈-0.0085。 相对误差: 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字: 因为π=3.14159265…=0.314159265…×10,3.15=0.315×10,m=1。 而π-3.15=3.14159265…-3.15=-0.008407… 所以│π-3.15│=0.008407……≤0.05=0.5×10-1 =11211101022 --?=? 所以,3.15作为π的近似值有2个有效数字。 (3)绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差:

数值分析习题集及答案

(适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》) 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析试卷及答案

二 1求A的LU分解,并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证:非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异,要说明A不一定能做LU分解,只需举出一个反例即可。现考虑矩阵,显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解,则 故,而,显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解,故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解,只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。

3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素,故有 从而有 故,,, 故,,,

4设A是任一阶对称正定矩阵,证明是一种向量范数 证明(1)因A正定对称,故当时,,而当时, (2)对任何实数,有 (3)因A正定,故有分解,则 故对任意向量和,总有 综上可知,是一种向量范数。 5 设,,已知方程组的精确解为 (1)计算条件数; (2)若近似解,计算剩余; (3)利用事后误差估计式计算不等式右端,并与不等式左边比较,此结果说明了什么?解(1) (2) (3)由事后误差估计式,右端为 而左端

这表明当A为病态矩阵时,尽管剩余很小,误差估计仍然较大。因此,当A病态时,用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为,证明当时,有最小值 证明设,则 又 故 从而当时,即时,有最小值,且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛,比较哪一种方 法收敛较快,其中 解对雅可比方法,迭代矩阵 , 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法,迭代矩阵

,故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设,求解方程组,求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 , 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ,

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1)k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ (2)一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (0,1……)产生的序列{}k x 收敛于 2 解: ①迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组,其中:?? ?=13A ?? ?2 2,?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(0,1……)求解,问取什么实数α ,可使 迭代收敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2%,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

数值分析试卷及其答案2

1、(本题5分)试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字,并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π (2分) 这里,3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 (1分) 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r (2分) 2、(本题6分)用改进平方根法解方程组:???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ; 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得: 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d (3分) 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== (3分) 3、(本题6分)给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1)写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式; 2)考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性; 解 1)Jacoib 迭代格式为

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解: (1) 故所求二次拉格朗日插值多项式为 (2)一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 所以,法方程为

011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ,经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程,得到14a =,011 6 a = 故,所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解: 若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,这样,有 所以,法方程为 解法方程,得到00.8732a =,1 1.6902a =, 故,所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解: (1)用4n =的复合梯形公式 由于2h =,( )f x =()121,2,3k x k k =+=,所以,有 (2)用4n =的复合辛普森公式 由于2h =,( )f x =()121,2,3k x k k =+=,()12 220,1,2,3k x k k + =+=,所以,有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解:先消元 再回代,得到33x =,22x =,11x = 所以,线性方程组的解为11x =,22x =,33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解: 设 则由A LU =的对应元素相等,有 1114u = ,1215u =,1316u =, 2111211433l u l =?=,3111311 22 l u l =?=, 2112222211460l u u u +=?=-,2113232311 545l u u u +=?=-,

数值分析课后习题答案

第一章 题12 给定节点01x =-,11x =,23x =,34x =,试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项: (1) (1) 3 ()432f x x x =-+ (2) (2) 4 3 ()2f x x x =- 解 (1)(4) ()0f x =, 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=; (2)(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明:对于()f x 以0x ,1x 为节点的一次插值多项式()p x ,插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --,其中01x x ξ≤≤, 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==,(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x : (1) (1) 用待定系数法; (2) (2) 利用承袭性,先考察插值条件(0)(0)0p p '==,(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 (1)有四个插值条件,故设230123()p x a a x a x a x =+++,2 123()23p x a a x a x '=++, 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之,得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?

数值分析试题及答案

一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . ()00l x =0, ()111l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1,()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . 232 x x -+= B .232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题(每小题3分,共15分)

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数()()() 33301213,88C C C ===,那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题(每题15分,共60分) 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据: 求分 段线性插值函数,并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈, ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

(参考资料)数值分析课后答案1

1第一章 习题解答 1 设x >0,x 的相对误差限为δ,求 ln x 的误差。 解:设 x 的准确值为x *,则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解: e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。 解:| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005,| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005,所以 ε( x )=0.005, ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005,问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38,x 2= –0.0312,x 3= 0.00086 解:根据有效数字定义,绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知,x 1,x 2, x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字,x 2具有一位有效数字,x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字,试求其相对误差限。 解:| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28,按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1,2,…) 计算到y 100。若取≈78327.982 (五位有效数字),试问,计算 y 100 将有多大的误差? 解:由于初值 y 0 = 28 没有误差,误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982,783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减,得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以,有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简,得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以,计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根,问要使它们具有四位有效数字,D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字? 如果利用韦达定理,D 又应该取几位有效数字? 解:在方程中,a = 1,b = – 56,c = 1,故D=4562?≈55.96427,取七位有效数字。

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