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第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导(新)

第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导(新)
第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导(新)

第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导

(一)基本内容

1.-λ矩阵,可逆的-λ矩阵,-λ矩阵的秩.

2.-λ矩阵的初等变换及标准形,-λ矩阵的等价.

3.行列式因子,不变因子,初等因子.

4.若尔当标准形,最小多项式,矩阵的有理标准形.

(二)主要方法

1.-λ矩阵的逆矩阵的求法.

2.化-λ矩阵为标准形的方法.

3.-λ矩阵的不变因子与初等因子的求法.

4.矩阵相似的判别.

5.矩阵与对角矩阵相似的判别.

6.复系数矩阵的若尔当标准形的求法.

7.矩阵的最小多项式的求法.

(三)重要习题

例1:求可逆-λ矩阵的逆矩阵. 【①伴随矩阵法:)()(1

)(1λλλ?

-=A A A , ②初等变换法:()???→?初等行变换E A )(λ()

)(1λ-A E 】 例2:化-λ矩阵为标准形.

如:课本P334例.

类似题有:课本P355习题1.

例3:求-λ矩阵的不变因子与初等因子.

如:课本P342例.

类似题有:课本P356习题2、习题3.

例4:求复系数矩阵A 的若尔当标准形.

【这是重点!①先求初等因子,②写出初等因子对应的若尔当块,③得到A 的若尔当标准形.】

如:课本P349例1、例2.

类似题有:课本P357习题6.

例5:判别矩阵相似.

【两矩阵相似的充分必要条件是它们的不变因子或初等因子相等】

见:课本P341推论、P343定理8.

方法:求出它们对应的特征多项式的行列式因子或不变因子或初等因子. 如:课本P357习题5.

例6:判别矩阵与对角矩阵相似.

【矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是初等因子全为一次因子或其不变因子都没有重根】

见:课本P351定理12、13.

方法:求出对应的特征多项式的不变因子或初等因子.

例7:求矩阵的最小多项式. 【最小多项式是特征多项式的因式】 方法:先求出特征多项式,再找满足条件的因式.

如:课本P317例1、2.

类似题有:课本P326习题27.

矩阵的若尔当标准型及简单应用

哈尔滨师范大学 学年论文 题目矩阵的若尔当标准型及简单应用 学生李小琴 指导老师穆强 年级 2005级 专业数学与应用数学 系别数学系 学院数学与计算机科学学院 哈尔滨师范大学 07年6月

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 李小琴 摘 要:复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似,本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用. 关键词:若尔当 线性变换 矩阵 标准 定义1 设λ是一个复数,矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00 (00) ( 1 ) 其中主对角上的元素都是λ,紧邻主对角线下方的元素都是1,其余位置都是零,叫做属于 λ的一个若尔当(或若尔当块). 当λ=0时,就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值,那么存在V 的一个基,似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 ( 2 ) 这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ,而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块,.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=,而)(x P 在复数域上是不可约 的因式分解,这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值,k r r r ,...,,21是正整数,又设 i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{) (|0)(=-ξλσi r i },,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解 V =....1k V V ⊕⊕ 对于每一i ,令i τ是σ—i λ在i V 上的限制,那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换,而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和:i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间

矩阵的各种标准形研究

玉林师范学院本科生毕业论文 反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 学生班级2010级1班 姓名 学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院 指导教师姓名 指导教师职称副教授

数学与应用数学2010级1班梁玉漫 指导老师钟镇权 摘要 数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板,供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明: “摘要”是摘要部分的标题,不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体:黑体,居中,字号:四号,1.5倍行距,段前为0,段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影,文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制,除特别情况外,数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”,每段落首行缩进2个汉字;或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字,字体:宋体,字号:小四,行距:多倍行距1.25,间距:前段、后段均为0行,取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限,字数为300-500字. 摘要正文后,列出3-5个关键词。“关键词:”是关键词部分的引导,不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔,末尾不加标点,3-5个,黑 体,小四.

Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form

第八章λ矩阵与若尔当标准形复习指导

第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导 (一)基本内容 1.-λ矩阵,可逆的-λ矩阵,-λ矩阵的秩. 2.-λ矩阵的初等变换及标准形,-λ矩阵的等价. 3.行列式因子,不变因子,初等因子. 4.若尔当标准形,最小多项式,矩阵的有理标准形. (二)主要方法 1.-λ矩阵的逆矩阵的求法. 2.化-λ矩阵为标准形的方法. 3.-λ矩阵的不变因子与初等因子的求法. 4.矩阵相似的判别. 5.矩阵与对角矩阵相似的判别. 6.复系数矩阵的若尔当标准形的求法. 7.矩阵的最小多项式的求法. (三)重要习题 例1:求可逆-λ矩阵的逆矩阵. 【①伴随矩阵法:)() (1)(1λλλ?-=A A A , ②初等变换法:()???→?初等行变换E A )(λ() )(1λ-A E 】 例2:化-λ矩阵为标准形. 如:课本P334例. 类似题有:课本P355习题1. 例3:求-λ矩阵的不变因子与初等因子. 如:课本P342例. 类似题有:课本P356习题2、习题3. 例4:求复系数矩阵A 的若尔当标准形. 【这是重点!①先求初等因子,②写出初等因子对应的若尔当块,③得到A 的若尔当标准形.】 如:课本P349例1、例2. 类似题有:课本P357习题6. 例5:判别矩阵相似. 【两矩阵相似的充分必要条件是它们的不变因子或初等因子相等】 见:课本P341推论、P343定理8. 方法:求出它们对应的特征多项式的行列式因子或不变因子或初等因子. 如:课本P357习题5. 例6:判别矩阵与对角矩阵相似. 【矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是初等因子全为一次因子或其不变因子都没有重根】 见:课本P351定理12、13. 方法:求出对应的特征多项式的不变因子或初等因子. 例7:求矩阵的最小多项式. 【最小多项式是特征多项式的因式】 方法:先求出特征多项式,再找满足条件的因式. 如:课本P317例1、2. 类似题有:课本P326习题27.

复矩阵若当标准形的性质与应用

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目:复矩阵若当标准形的性质与应用 姓名:廉换霞 学号:410401143 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 25 日

复矩阵若当标准形的性质与应用 数本041 廉换霞 410401143 摘要:若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些 性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”,在解线性递推关系式等等中都有它的应用,我们通过一些例题来说明。最后,利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。 关键词:若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理 一、 定义及性质 1、若当形矩阵的定义 形式为 1(,)1t t J t λλλλ??? ? ?= ? ? ?? 的矩阵称为若当块,其中λ是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。 特别地一级若当块就是一级矩阵,因此若当形矩阵包括对角矩阵。 2、若当标准形的性质 性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外,被它的初等因子惟一决定。 此性质可用于求矩阵的若当标准形。 例1 求矩阵 126103114A --?? ?=- ? ?--?? 的若当标准形 解:首先求E A λ-的初等因子 22212601321001301101111411401321001 00011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ??+--+-+-???? ? ? ? -=-→--+→--+ ? ? ? ? ? ?---+-+-?????????? ? ?→--+→- ? ? ? ?-+--???? 因此,A 的初等因子是1λ-,2(1)λ-,A 的若当标准形是

第5讲 λ矩阵与标准形

第5讲 λ-矩阵与标准形 内容:1. 矩阵的Jordan 标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith 标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容, 在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan 标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1 设A 和B 是矩阵,C 和D 是非奇异矩阵,若DAC B =,则称A 和B 相抵;若AC C B T =,则称A 和B 相合(或合同);若AC C B 1-=,则称A 和B 相似,即若n n C B A ?∈,,存在n n n C P ?∈,使得B AP P =-1,则称A 与B 相似,并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别,当1-=P P H ,称A 与B 酉相似,当1-=P P T ,称A 与B 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质:

定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式,则 (1) 反身性:A 与A 相似; (2) 对称性:若A 与B 相似,则B 与A 也相似; (3) 传递性:若A 相似于B ,B 相似于C ,则A 与C 相似; (4) 若A 与B 相似,则B A det det =,rankB rankA =; (5) 若A 与B 相似,则)(A f 与)(B f 相似; (6) 若A 与B 相似,则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式,从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一,无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题:方阵A 能否相似于一个对角矩阵? 定义1.2 设n n C A ?∈,若A 相似于一个对角矩阵,则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈,则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =,则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =,可见i λ是A 的特征值,P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量, 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ,即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =,记),,,(21n p p p P =,则P 可逆,且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==

利用若当标准型讨论矩阵的秩

利用若当标准型讨论矩阵的秩 首先, 对于如下r ?r 的若当块矩阵 J =100100λλ?? ? ? ? ??? 任给η∈C ,考虑矩阵 Q(η)= η?E r ?r - J , 那么我们如下简单性质: 性质1. 如果η≠λ, 那么Q(η)为可逆矩阵. 性质2. 当1≤ m ≤ r 时,rank(Q(λ)m )= r -m . 性质3. 当m ≥ r 时Q(λ)m = 0. 设矩阵A 为n ?n 的矩阵,它的若当标准型J =diag(J 1,J 2,…,J K ),即存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1 成立,其中J i =100100i i λλ?? ? ? ? ??? , 并且J i 的阶数为r i , i =1,2,…,K . 很明显,对于不同的i ,相应的若当块的对角元素可能是相同的。 很自然,我们有如下的简单关系: r 1+r 2+…+r K = n 下面我们讨论一下矩阵(λ?E n ?n - A )m 的秩。由于存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立,我们只需要分析矩阵(λ?E n ?n - J )m 的秩就可以了。 当λ 不为A 的特征值时,(λ?E n ?n - J )m 为可逆矩阵,这对于我们进一步的讨论没有任何意义。因此,我们只考虑λ 是A 特征值的情形, 并且不妨设在A 的若当标准型中λ=λi =λi +1=…=λi +s -1所对应的若当块为J i , J i +1,…, J i +s -1共s 个,那么 rank((λ?E n ?n - A )m )=rank ((λ?E n ?n - J )m )= 1rank(())i i K m r r i i λ?=?-∑E J 很明显,当j < i 或者j ≥ i +s 时rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= r j ; 对于i ≤j ≤i +s -1 的情形,我们需要区分1≤m ≤ r j 和m >r j 的情况。 根据性质2,当i ≤j ≤i +s -1 且1≤ m ≤ r j 时,rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= r j -m ; 根据性质3,当i ≤j ≤i +s -1且m ≥ r j 时, rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= 0; 如果对于x ∈R 引入记号 (x )+= max{x ,0}, 那么我们有: 当i ≤j ≤i +s -1 时,rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= (r j -m )+ . 因此 rank((λ?E n ?n - A )m )=1rank(())i i K m r r i i λ?=?-∑E J =1 11()i K i s j j j j j i s j i r r r m -+-+==+=++-∑∑∑

矩阵的若尔当标准型及简单应用

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 摘要: 矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分,他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。 每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似,这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的,它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说,如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时,此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。 本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法,以及若而当标准型的几种求解方法,对若而当标准型矩阵进行探讨。 关键词:若尔当线性变换矩阵标准

定义1: 设λ是一个复数,矩阵 ??? ? ? ??? ? ?λλλ λ1000 0..................00 (1000) ...0100 (00) ,其中主对角上的元素都是λ,紧邻主对角线下方的元素都是1,其余位置都是零,叫做属于的λ一个若尔当(或若尔当块). 当λ=0时,就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 : 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值,那么存在V 的一个基,σ关于这个基的矩阵有形式 ??????? ? ?k B B B 002 1 这里i B = ??????? ? ?i is i i J J J 002 1 ,而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当 块,.,...,2,1k i = 证: 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=,而)(x P 在复数域 上是不可约的因式分解,这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值, k r r r ,...,,21是正整数。 又i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{)(| 0)(=-ξλσi r i },,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕

一些情况下若尔当标准型的简解

问题:有没有简便的方法求若尔当标准型? 记号:以下U ?表示矩阵U 的共轭转置 命题1:若存在酉矩阵U ,使得U ?AU=B ,设A=【a ij 】,B=【b ij 】,则: |a ij |2n i,j=1= |b ij |2n i,j=1 证明: |a ij |2n i,j=1=tr A ?A , |b ij |2n i,j=1= tr B ?B =tr U ?A ?AU , 由矩阵乘法在迹运算下的可交换知:tr A ?AU U ?= tr A ?A ,得证 由这个定理,则将矩阵A 酉相似为若尔当标准型后,记s= |a ij |2n i,j=1, t= |λi |2n i=1(λi 为A 的特征根) ,则s 与t 的差值即为若尔当标准型中剩下的1的个数。对每个若尔当块J t 为n t ×n t ,有n t -1个“1”,设化为若尔当标准型后有k 个若尔当块,则s ?t = (n i ?1)=n-k ,故 k=n+t-s . 命题:记号同上,矩阵A 的若尔当标准型中若尔当块的个数k= n+t-s . 推论:记号同上,则s-t 为非负整数,且等于0当且仅当A 可对角化当且仅当A 是正规矩阵. 分析:记号同上,设矩阵A 的特征根λi 的重数为n i ,若重数大于1的特征根只有1个,设其为λt ,对应重数为n t ,那么应该有n t -1个1,而其他的特征值由于互异,对应的若尔当块没有1,若矩阵A 一共有m 个不同的特征根,其中只有λi 的重数大于1,为n i ,那么λi 将对应k-m+1个若儿当块,此时可以很快写出若尔当标准型。 命题:记号同上,设矩阵A ,若重数大于1的特征根只有1个,设其

矩阵对角化、若当标准型

第三章 矩阵的对角化、若当标准型 §3.1 矩阵对角化 线性变换在基下的矩阵若为对角阵,则向量在基下的表示将非常简单,而线性变换在两个基下的矩阵相似,故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。 一、特征值、特征向量性质 定义1 设n n A ?∈C ,称A 的全体特征值为A 的谱。 下面定理1是显然的。 定理1 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的谱。 由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和,故有下面定理2。 定理2 设n n A ?∈C ,则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。 定义2设n n A ?∈C ,i λ为A 的特征值,称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度,称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。 由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。 定理3 设n n A ?∈C ,i λ为A 的特征值,i α为i λ的几何重复度,则 证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ,所以 例1 求123323001A ????=????-??的谱,及相异特征值的代数重复度和几何重复度。 解 1 23det()3 2300 1I A λλλλ----=---+ 所以A 的谱为11,1λ=--,24λ=,12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。 1λ的几何重复度113rank()I A αλ=-- 2λ的几何重复度223rank()I A αλ=-- 定理4 设n n A ?∈C ,i λ为A 的特征值,i m 为i λ的代数重复度,i α为i λ的几何重复度,则i i m α≤。

求矩阵的Jordan标准形的两种方法

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法 方法1. 利用矩阵的初等因子 原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形. 方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 例. 设??? ? ? ?? -----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形. 解: 方法1. .)1(0 001000 1120011000123101100 014111102310411316212222 )1(232132???? ? ??-- →????? ??-+---??→?????? ??-+----→?? ? ? ? ??----+--???→?????? ??---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为 . 1100 1000121??? ? ? ??=???? ??=J J J 方法2. (1) 首先求A 的特征值. 3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1. (2) 求出相应的特征向量. 求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解: .000000311311311622???? ? ??-→????? ?? ---=-A E 相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基. (3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.

矩阵的分类

合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型) (2012-04-05 13:58:14) 分类:工作篇 标签: 校园 合同矩阵 在线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵和是合同的,当且仅当存在一个可逆矩阵,使得 。 对于二次型的矩阵表示来说,做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 性质 合同关系是一个等价关系,也就是说满足: 反身性: 对称性:合同于,则可以推出合同于。 传递性:合同于,合同于,则可以推出合同于。 由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式,对于矩阵来说,就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵,后者称为一个标准形。根据谱定理,替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。 如果不考虑替换矩阵的正交性,那么在复数域中,每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。 在实数域中,根据惯性定理,每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p,-1的个数是q,那么给定(p,q)后,就确定了一个关于合同关系的等价类。数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数,-1的个数q称为负惯性指数,p-q叫做符号差。据此可以得出:合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。 正定二次型 主条目:正定二次型 一个二次型被称为半正定的,如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵,那么称其为正定二次型。一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩;是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型必然是可逆矩阵,而且它的行列式大于0。 同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。 参看 相似矩阵

浅谈矩阵Jordan标准形及其应用

数学写作论文 题目:浅谈矩阵Jordan标准形及其应用专业代码: 作者姓名: 学号: 单位: 级班 指导教师: 年月日

原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指导教师签名: 日期

目录 第一章引言 (1) 第二章基本概念 (1) 2.1若尔当标准形的定义 (1) 2.2若尔当标准形的性质 (3) 第三章若尔当标准形的应用 (5) 3.1矩阵分解论中的应用 (5) 3.2解矩阵方程中的应用 (6) 3.3解线性递推关系式中的应用 (7) 3.4哈密顿—凯莱定理的证明 (11) 第四章结束语 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)

摘要 矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan标准形的定义、性质及其应用,例如:每个n级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的不变因子没有重根等,对于今后的高等代数的进一步研究学习有很大的帮助. 关键词:若尔当标准形; 矩阵分解;线性递推;哈密顿—凯莱定理 Abstract Matrix is very import in high level mathematic. There are many kinds of matrix. This paper describes several equivalent definitions of mathematic, and then focused on the properties of Jordan matrix and application of the Jordan matrix such as every n level plural is similar for a Jordon matrix, plural A is similar to diagonally matrix on the base of the unconverted factor without two same results Key words Jordan matrix; matrix resolve; analysis linearly; Hamilton-Caylay

第5讲 λ-矩阵与标准形

第5讲λ-矩阵与标准形 内容:1. 矩阵的Jordan标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容,在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1设A和B是矩阵,C和D是非奇异矩阵,若B=,则称A和B相抵;若AC DAC =,则称A和B相合(或合 B T C 同);若AC =,则称A和B相似,即若n n C C B1- ∈ ,,存在n n n C A? B ∈, P?使得B -1,则称A与B相似,并称P为把A变成B的相似变P= AP 换矩阵.特别,当1- P H,称A与B酉相似,当1- =P P T,称A与B =P 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质:

定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式,则 (1) 反身性:A 与A 相似; (2) 对称性:若A 与B 相似,则B 与A 也相似; (3) 传递性:若A 相似于B ,B 相似于C ,则A 与C 相似; (4) 若A 与B 相似,则B A det det =,rankB rankA =; (5) 若A 与B 相似,则)(A f 与)(B f 相似; (6) 若A 与B 相似,则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式,从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一,无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题:方阵A 能否相似于一个对角矩阵? 定义1.2 设n n C A ?∈,若A 相似于一个对角矩阵,则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈,则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =,则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =,可见i λ是A 的特征值,P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量, 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ,即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =,记),,,(21n p p p P =,则P 可逆,且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==

Jordan标准形及其应用

Jordan 标准形及其应用 摘要: 关于矩阵的Jordan 标准形最常见的求法是通过初等因子来求解,本文介绍了有关矩阵Jordan 标准形的基本概念,包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan 块、Jordan 标准形,同时介绍了Jordan 标准形的相关定理.还主要介绍了Jordan 标准形的三种求法:初等因子法、计算 的方法以及幂零矩阵的Jordan 标准形的求法. 关键词: 初等因子;Jordan 块;Jordan 标准形. The Jordan canonical form and its application Abstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common .This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form ,including polynomial matrix ,the canonical form of polynomial matrix,,Jordan block and the Jordan canonical form .In the meantime ,it introduces the related theories of the Jordan canonical form .3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced :elementary divisor method ,method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix . Keywords: Elementary divisor ;Jordan block ;Jordan canonical form 定义1 设λ是一个复数,矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00...00 ( 1 ) 其中主对角上的元素都是λ,紧邻主对角线下方的元素都是1,其余位置都是零,叫做属于 λ的一个若尔当(或若尔当块). 当λ=0时,就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值,那么存在V 的一个基,似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 ( 2 ) 这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ,而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块,.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=,而)(x P 在复数域上是不可约

若尔当(Jordan)标准形介绍

§8 若尔当(Jordan)标准形介绍 由前面的讨论可知,并不是对于每一个线性变换都有一组基,使它在这组基下的矩阵成为对角形.下面先介绍一下,在适当选择的基下,一般的一个线性变换能化简成什么形状. 定义8 形式为 t t t J ???? ??? ?? ? ?=λλλλ λ100001000001 0000),( 的矩阵称为若尔当(Jordan)块,其中λ是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如 ????? ? ? ??s A A A 21 (1) 其中 i i k k i i i i i A ?????? ??? ? ?=λλλλ1 1 1 , 并且s λλλ,,,21 中有一些可以相等. 例如 ??? ? ???????? ? ? ?????? ??i i 10,0100 001000010000 ,210021002 都是若尔当块,而

????????? ? ? ?41 00 0004100000 4 000000 400000011000001 是一个若尔当形矩阵. 一级若尔当块就是一级矩阵,因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵. 在一个线性变换的若尔当标准形中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根(重根按重数计算). 定理13 设A 是复数域上线性空间V 的一个线性变换,则在V 中必定存在一组基,使A 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵. 引理 n 维线性空间V 上的一个线性变换B 满足B k =?,k 是某正整数,就称 B 为V 上幂零线性变换.对幂零线性变换B , V 中必有下列形式的一组元素作为基 ) 0() 0() 0(,,21121112 1 21 2121===---s k k k s k k k s s s s B B B B B B B B B αααααααααααα (2) 于是B 在这组基下的矩阵

若尔当标准型的研究

第一章:绪论(2) 第二章: 若尔当典范性的定义(3) 定义:上三角矩阵 00000 0()0 00000 def k c c J c c c ?? ? ? ? ? ? ?? ? = 称为若尔当块(jordan block )。 由若尔当块构成的对角矩阵112233() 0000 ()0000() 00000()k k k ks s J J J J λλλλ?? ? ? ? ? ? ?? ? 称为若尔当矩阵。 引理1:如果存在数字矩阵,()n P Q M K ∈使得对矩阵A 与B 的特征矩阵有: ()E A P E B Q λλ-=- 则矩阵A 与B 相似。 定理1:任意的复数域矩阵()n A M c ∈都与一个若尔当矩阵相似,这个若尔当矩阵除去其中若尔当块的排列次序外,被矩阵A 唯一确定,称为矩阵A 的若尔当典范型。 证明:如果矩阵A 的初等因子组是 () 1 1k λλ-,()22k λλ-,……,()ks s λλ- 则若尔当矩阵

112233() 0000 ()0000()00000()k k k ks s J J J J λλλλ?? ? ? ? ? ? ?? ? 有同样的初等因子组,因此A 与J 相似,如果A 又与另一个若尔当矩阵1J 相似,则J 与1J 有相同的初等因子组,因而有相同的若尔当块,它们之间的差别只是块的排列次序不同。 例1. 求矩阵131614676687A ?? ??=---????---?? 的若尔当典范型。 解:先求A 的初等因子,然后由初等因子写出A 的若尔当标准形。 1316141 214676016687117E A λλλλλλλλλ-+--????????-=-+-??→+???? ????--+---++???? ()()2 12 141016100711λλλλλ?? +--????????→+??→????????+??+-?? ? ? 其中最后一步又行列式因子而得到。从而A 的初等因子为()1λ-,()2 1λ+, 它们所对应的若尔当块分别为 1(1)J =与211 ( )0 1 J -=- 所以A 的若尔当典范形为 100011001J ?? ??=-?? ??-?? 第二章:矩阵最小多项式

jordan标准型的认识

Jordan 标准型的认识 欧峥 11应数一班 2011326660117 矩阵内容,是大学学习中必须学习的知识点!其广泛的应用性,还有在处理数据上的优越性,矩阵是学习很多知识体系的支柱,在数据结构,自动控制原理,常微分计算等等上都是基础! 矩阵的对角化用处很大,因为对角化后,对矩阵加乘等运算都可以简单很多,尤其在涉及特征值的方面!但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是Jordan 标准型的形式,因为矩阵的Jordan 标准型是最简单的! 一、若尔当标准型 定义1 设λ是一个复数,矩阵????? ?? ? ? ?λλλ λ1 0000 (00) ...1 00 (01) 00 (00) ( 1 ) 其中主对角上的元素都是λ,紧邻主对角线下方的元素都是1,其余位置都是零,叫做属于 λ的一个若尔当(或若尔当块). 当λ=0时,就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换,k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值,那么存在V 的一个基,似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 ( 2 ) 这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ,而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块,.,...,2,1k i = 定义2 形式如???? ?? ? ? ?m J J J 002 1 的n 阶矩阵,其中每一J 都是一个若尔当块,叫做一个若尔当标准形式.

例如:??? ??? ? ? ?????????? ?????????? ??2000001000 00100 0001100002 ,2000001000 00100 0001000002 ,110000110000100 0002100002 都是若尔当标准形式. 定理2 复数域上每一n 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似,除了各若尔当块排列的次序外,与A 相似的若尔当标准形式是由A 唯一确定的. 二、用Jordan 标准型求解线性微分方程组 现实的很多问题,都可以用现行微分方程组近似的去模拟,但很多的死后,不需要用到复数去求解,这个时候,如果使用Jordan 标准型就可以迅速的解决问题!上面我们大概讲述了Jordan 标准型的定义及定理,下面我们就来看一下其应用。 1),方程组Ax x ='的基本解矩阵为 12 )exp(-?????? ? ? ?=T T A J J J 1 m t t t e e e t 其中,??? ? ?? ? ? ?=i i i i λλλJ 11 是i n 阶的若当块,m i ,,2,1 =,n n n n m =+++ 21, 而m 为矩阵E A λ-的初等因子的个数,i λ,m i ,,2,1 =为矩阵A 的特征根,T 为n 阶 非奇异矩阵,使得J AT T =-1 ,?????? ? ? ?=m J J J J 2 1 。 注:矩阵中空白的地方为零,T 称为过渡矩阵。 2),以?? ? ??+=+=+=3132122 112dt d 34-dt d -d ε εεεεεεεε 为例, 对于这类问题,一般有两种思路:一种思路是利 用高阶线性微分方程的理论与常系数高阶线性微分方程的求解方法如常数变易法齐次化原 理算子解法等可以得到方程(1)的特解和通解另一种思路就是将它化为与之等价的一阶线性微分方程组计算相应的齐线性方程组的基解矩阵

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