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Quantal Two-Centre Coulomb Problem treated by means of the Phase-Integral Method I. General

a r X i v :n l i n /0012055v 1 [n l i n .S I ] 26 D e c 2000Quantal Two-Centre Coulom

b Problem treated by means of the Phase-Integral

Method I.General Theory

N.Athavan,1,?N.Fr¨o man,2P.O.Fr¨o man,2and https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,kshmanan 1

Centre for Nonlinear Dynamics,Department of Physics,

Bharathidasan University,Tiruchirapalli 620024,India 2Department of Theoretical Physics,University of Uppsala,Box 803,S-75105Uppsala,Sweden

The present paper concerns the derivation of phase-integral quantization conditions for the two-

centre Coulomb problem under the assumption that the two Coulomb centres are ?xed.With this

restriction we treat the general two-centre Coulomb problem according to the phase-integral method,

in which one uses an a priori unspeci?ed base function .We consider base functions containing three unspeci?ed parameters C,?C

and Λ.When the absolute value of the magnetic quantum number m is not too small,it is most appropriate to choose Λ=|m |=0.When,on the other hand,|m |is

su?ciently small,it is most appropriate to choose Λ=0.Arbitrary-order phase-integral quantiza-tion conditions are obtained for these choices of Λ.The parameters C and ?C

are determined from the requirement that the results of the ?rst and the third order of the phase-integral approximation

coincide,which makes the ?rst-order approximation as good as possible.

In order to make the paper to some extent self-contained,a short review of the phase-integral

method is given in the Appendix.

PACS numbers:PACS numbers:03.65.Sq,31.15.-p,31.15.Gy 1.INTRODUCTION The two-centre Coulomb problem,that is,the problem of solving the Schr¨o dinger equation for the motion of an electron with the charge ?e (e >0)in the ?eld of two ?xed Coulomb centres with charges Z 1e and Z 2e at the distance r 12from each other,plays an important role in several ?elds of theoretical physics,for example in the theory of diatomic molecules,in scattering theory,and in the three-body problem.The two-centre Coulomb problem has therefore been the subject of extensive studies both by numerical and by approximate analytical methods,and hence the literature on this problem is very comprehensive.In spite of this fact it is still of interest to continue the treatment of this problem for arbitrary values of Z 1,Z 2and r 12.One reason for this is that the numerically exact solution of the problem meets with di?culties when |Z 1?Z 2|increases.There appear also numerical di?culties for large values of r 12.For a general review of the problem we refer to Eyring et al.[1],Herzberg [2],Slater [3]and Rosen [4].Ignoring the ?niteness of the mass of the protons,Bates et al.[5]obtained important numerical results for the hydrogen molecule ion.Corresponding numerical results were obtained by Wallis and Hulburt [6]for the homonuclear one-electron two-centre problem,by Bates and Carson [7]for the ion HeH 2+(Z 1=1,Z 2=2),by Wind [8]for the ground state of the hydrogen molecule ion,by Peek [9]for the states 1sσg and 2pσu of the hydrogen molecule ion,and by Ponomarev and Puzynina [10,11]for several states of the Coulomb two-centre system with Z 1=1and Z 2=2,3,...,8.Hunter and Pritchard[12]used a numerical procedure to compute nonadiabatic energies for the ?rst few rotation-vibration levels of 2Σg H +2,2ΣHD +and 2Σg D +2.For the hydrogen molecule ion Rosenthal and E.Bright Wilson,Jr.,[13]calculated an accurate value of the ground state energy which is in agreement with the values

obtained by Wind [8]and Peek[9].For di?erent internuclear distances Bates and Reid [14],Murai [15]and Murai and Takatsu [16]calculated electronic energies for various states of the hydrogen molecule ion under the assumption of in?nite proton mass.For a large range of internuclear distances Winter et al.[17]made very accurate calculations for the lowest 20states of the molecule ion HeH 2+.Klaus[18]studied the electronic energy of the ground state of the hydrogen molecule ion for small internuclear separation r 12and con?rmed the remarkable discovery by Byers Brown and Steiner [19]that the electronic energy cannot be expanded in powers of r 12alone,but that powers of ln r 12must also be included.Klaus [18]also obtained for the hydrogen molecule ion further terms in the series given by Byers Brown and Steiner [19]for the general two-centre Coulomb problem.

There exist also various approximate analytical methods for solving the quantal two-centre Coulomb problem.In one of them one uses the quasiclassical approximation,that is,the ?rst order of the phase-integral approximation.In using this method,one encountered in the early papers di?culties associated with the divergence of the phase-integral

due to an inappropriate choice of the phase-integrand(also called the quasimomentum),which is not determined quite uniquely.Di?erent authors have mastered these di?culties in di?erent ways,but no single unifying method has until now been proposed for the two-centre Coulomb problem.An essential feature in our method is the use of the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function;see the Appendix.

The semiclassical quantization of the low-lying electronic states of the hydrogen molecule ion was treated by Strand and Reinhardt[20].Pajunen[21]calculated the energy levels of the hydrogen molecule ion(under the assumption of in?nitely heavy nuclei)in the?rst and the third order of the phase-integral approximation.Although he refers to one of the papers(his reference10)in which the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function was introduced,he does not use the freedom to choose optimal expressions for the functions that he denotes by Q mod(μ)and Q mod(ν),and that in the present paper correspond to the more general base functions?Q(ξ)and Q(η), respectively.In the present paper we shall make full use of the possibility to choose?Q(ξ)and Q(η)most conveniently. The phase-integral method,in which one uses the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function[22],o?ers a method for mastering the previously mentioned di?culties in a uni?ed way for an arbitrary order of the phase-integral approximation.In the present paper we shall apply this method to the quantal two-centre Coulomb problem with?xed Coulomb centres.

For the convenience of the reader a short review of the phase-integral method and formulas to be used are given in the Appendix.

The present paper will be the basis for further work,in which convenient transformations to complete elliptic integrals will be used,analogously as in papers by Lakshmanan and Kaliappan[23]and Lakshmanan et al.[24,25]. Thereby the contour integrals,occurring in the quantization conditions,will be expressed in terms of complete elliptic integrals.

2.SEPARATION OF THE SCHR¨ODINGER EQUATION IN ELLIPTIC COORDINATES

We start by quoting some well-known results.The time-independent Schr¨o dinger equation for the motion of an electron of massμand charge?e(e>0)in the?eld of two?xed Coulomb centres with charges Z1e and Z2e takes the following form

?ˉh2r1?Z2e2

+E,(2.2)

r12

where r12is the distance between the two centres.The di?erential equation(2.1)is separable in elliptic coordinates. If one introduces the variables

r1+r2

ξ=

,?1≤η≤+1,(2.3b)

r12

and puts

Ψ( r)=X(ξ)Y(η)e imφ,(2.4) where m is the magnetic quantum number(positive or negative integer or zero),andφis the corresponding angle, the separation yields,in atomic units(ˉh=e=μ=1),the two di?erential equations

?p2ξ2+b′ξ+A?m2

dξ +

Y=0,(2.5b)

dη (1?η2)dY1?η2

where A is the separation constant and

p2=?

(ξ2?1)1

(1?η2)1

dξ2

+?R(ξ) f(ξ)=0,(2.8a)

ξ2?1?

m2?1

1?η2?

m2?1

2(ξ)exp ±i ξ?q(ξ)dξ (3.1a)

and

q?1

3.1.Base functions generating phase-integral solutions

As is seen from(2.9a,b),the functions?R(ξ)and R(η)have poles atξ=±1andη=±1,respectively;these poles are of the second order if m=±1,but of the?rst order if m=±1.Furthermore,we note that when m=0the

coe?cients of the second-order poles di?er from1

There are two main alternatives,discussed in the Appendix for the case of the radial Schr¨o dinger equation,for choosing the base functions generating the phase-integral functions(3.1a)and(3.1b).Unifying these two alternatives, we choose the squares of the base functions to be

?Q2(ξ)=?p2+A′??C+b′ξ

(ξ2?1)2

,(3.2a)

Q2(η)=?p2+?A′+C+bη

(1?η2)2

,(3.2b)

where C,?C andΛare parameters,the choice of which we shall discuss below.The introduction of these parameters increases essentially the?exibility of the phase-integral formulas to be obtained.

By choosing C=?C=1/4one obtains in the limit when r12→0the energy E and the reduced separation constant A′correctly from the?rst-order phase-integral quantization conditions(to be derived in Section3.2).For arbitrary values of r12it is most appropriate to determine C and?C as functions of r12such that one obtains the same value of p2(i.e.,of the energy)and also of A′in the?rst and in the third order of the phase-integral approximation.One thereby achieves the optimal accuracy obtainable from the?rst-order quantization conditions.We emphasize that this can be achieved by the use of the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function (described in the Appendix),but cannot be achieved by means of the JWKB approximation.The decisive properties of the phase-integral approximation in question versus the JWKB approximation have been explained in some detail by Dammert and P.O.Fr¨o man[26]and by Fr¨o man and Fr¨o man[22].

When|m|is not too small,we chooseΛ=|m|=0,but when|m|is su?ciently small we chooseΛ=0.For m=0 one should always chooseΛ=0.The two alternativesΛ=|m|=0andΛ=0yield solutions with di?erent properties. WhenΛ=|m|=0the phase integral solutions of the di?erential equations(2.8a)and(2.8b)remain valid asξ→±1 andη→±1,respectively.WhenΛ=0the phase-integral solutions of the di?erential equations in question break down asξ→±1andη→±1,respectively,but the regular solutions of theξ-andη-equations can be obtained at some distances from those points by the use of the connection formula described in subsection A.2.b of the Appendix, when one there replaces l by(|m|?1)/2;cf.(2.9a,b).The wave functions obtained in that way are expected to be the more accurate the stronger the Coulomb singularities of?R(ξ)and R(η)atξ=±1andη=±1are.However,even if the Coulomb singularities are strong,these wave functions are not expected to be good if|m|is too large,in which case one should useΛ=|m|=0,as mentioned in the beginning of this paragraph.

Using the terminology classically allowed region and classically forbidden region in a generalized sense,viz.to characterize regions where?Q2(ξ)or Q2(η)is larger than zero and less than zero,respectively,we shall now discuss the wave functions pertaining to theξ-equation and theη-equation.

3.1.1.Wave functions pertaining to theξ-equation

According to(3.2a)the function??Q2(ξ),where1≤ξ<+∞,always corresponds to a single-well potential.

ForΛ=|m|=0there are four zeros of?Q2(ξ),which we denote byξ1,ξ2,ξ3andξ4;see Fig.1(a).The zerosξ1 andξ2may be real and both less than1,or they may be complex conjugate.The zerosξ3(>1)andξ4(>ξ3)are real.There is thus a classically allowed region betweenξ3andξ4,but classically forbidden regions for1<ξ<ξ3and ξ>ξ4.The phase-integral wave functions generated from?Q(ξ)are good atξ=1,and we can use the arbitrary-order connection formula,given by(A13)and(A14)in the Appendix,for tracing the physically acceptable wave function from the classically forbidden region between1andξ3to the classically allowed region,that is,the region betweenξ3 andξ4(>ξ3)where?Q2(ξ)>0;see Fig.1(a).

ForΛ=0there are two zeros of?Q2(ξ),which we denote byξ3(<ξ4)andξ4(>1).The classically allowed region lies betweenξ3andξ4whenξ3>1,but between1andξ4whenξ3<1;see Fig.1.The phase-integral wave function is not good atξ=1,but for the physically acceptable wave function one can obtain a phase-integral expression in the interior of the classically allowed region,whenξ3>1and the classically forbidden region between1andξ3is su?ciently large,by means of the arbitrary-order connection formula given by(A13)and(A14)in the Appendix,and whenξ3<1by means of the connection formula presented in subsection A.2.b of the Appendix.

Both when Λ=|m |=0and when Λ=0the wave function,obtained in the classically allowed region to the left of ξ4as described above,can be joined to the physically acceptable wave function traced from the classically forbidden region to the right of ξ4into the classically allowed region to the left of ξ4with the aid of the arbitrary-order connection formula given by (A13)and (A14)in the Appendix.In this way alternative quantization conditions,corresponding to Λ=|m |=0and Λ=0,can be obtained.They can be combined into one quantization condition.Fig.1illustrates the two possible situations that the classically allowed region is delimited either by ξ3and ξ4[Fig.1(a)]or by the pole at ξ=+1and the turning point at ξ=ξ4[Fig.1(b)].

3.1.2.Wave functions pertaining to the η-equation

The function ?Q 2(η)may correspond either to a single-well potential or to a double-well potential.

For Λ=|m |=0the phase-integral solution is valid at the poles η=±1(which delimit classically forbidden regions)and can be traced into the classically allowed region closest to the pole in question with the aid of the connection formula given by (A13)and (A14)in the Appendix.When there is only one classically allowed region,one obtains the quantization condition by identifying the two expressions for the wave function in that region.This case applies when ?Q 2(η)is a single-well potential (Fig.2),or when the energy lies so far above the top of an underdense barrier

[Fig.4(b)]that it is appropriate to disregard the presence of the complex conjugate zeros η2and η3of Q 2(η).When ?Q 2(η)corresponds to a double-well potential,the wave function can be traced from the region on one side of the barrier to the region on the other side with the aid of the arbitrary-order connection formula for a barrier described in Section A.3of the Appendix;see Fig.3and Fig.4.Joining the two expressions for the wave function thus obtained to each other,one obtains the quantization condition.

When Λ=0[Fig.2or Fig.4(b)]the phase-integral wave function is not good at η=±1,but at some distance from these points physically acceptable solutions can be obtained in the same classically allowed region by the use of the connection formulas presented in Sections A.2and A.3of the Appendix.Thus one obtains two expressions for the wave function,and by identifying these expressions one obtains a quantization condition.

3.2.

Quantization conditions 3.2.1.Quantization conditions pertaining to the ξ-equation

For the di?erential equation (2.8a)the physically relevant interval is 1<ξ<∞.The phase-integral quantization condition for the situation in Fig.1(a)involves a contour integral in the complex ξ-plane encircling ξ3and ξ4,while the phase-integral quantization condition for the situation in Fig.1(b)involves a contour integral encircling the simple pole at ξ=1and the generalized classical turning point ξ4.The quantization condition (A31)in the Appendix applies to the ?rst situation,and the quantization condition (A32)in the Appendix applies to the second situation.Introducing the notations

?L =N n =0

?L (2n +1),(3.3a)

(2n +1)=12 Λ?L ′

?q (2n +1)(ξ)dξ,(3.4b)

where ?q (ξ)is obtained according to (A5a,b),(A6a,b,c),(A3)and (A2)in the Appendix,and Λ?L and Λ?L ′are the appropriate contours of integration pertaining to ξ3>1and ξ3<1,respectively,and shown in Fig.1(a)and Fig.1(b),respectively,we can write the two quantization conditions corresponding to ξ3>1and ξ3<1as follows ?L = ?s +

?L ′= |m |

2 π,ξ3<1,(3.5b)

where ?s is an integer.If,when Λ=|m |=0and hence ξ3>1,we enlarge the contour of integration Λ?L in Fig.1(a),so that the new contour Λ?L ′encloses the turning points ξ3and ξ4as well as the pole at ξ=1,and if we compensate in (3.5a)along with (3.3a,b)for this change by taking the residue of the integrand at ξ=1into account,we obtain a general quantization condition,valid for both cases ξ3>1and ξ3<1,i.e.,for both situations depicted in Fig.1,viz .

?L ′= |m |2

π,ξ3>1or ξ3<1.(3.6)Besides condensing the two alternative quantization conditions (3.5a)and (3.5b)nicely into one formula,the quanti-zation condition (3.6)has the further merit that,if the integration along the contour is made numerically (in cases where expressions in terms of complete elliptic integrals are not available),it may be advantageous to use the contour Λ?L ′instead of Λ?L when ξ3>1.The quantization condition (3.6)yields the value of the reduced separation constant A ′as a function of p 2and ?C ;see (3.2a).

3.2.2.Quantization conditions pertaining to the η-equation

In the physically relevant interval ?1<η<1the function ?Q 2(η)may correspond to a single-well potential (Fig.

2)or to a double-well potential with a superdense (Fig.3)or underdense (Fig.4)barrier.When,in the case of an underdense barrier,the energy lies su?ciently far above the top of the barrier,it may be preferable to disregard the barrier and to treat the double-well potential problem as a single-well potential problem.

When Λ=|m |=0or Λ=0,and ?Q 2(η)is or can be considered as a single-well potential,and the classically allowed region is delimited by two simple zeros of Q 2(η),as shown in Fig.2and in Fig.4(a),we obtain from (A31)the single-well quantization condition

L = s +

12 ΛL

q (η)dη,(3.8)

ΛL being a closed contour encircling the generalized classical turning points.Note that in the derivation of (3.7)we have considered the classically forbidden regions to be thick also when Λ=0(Fig.2).When Λ=|m |=0we can with the aid of residue calculus write (3.7)along with (3.8)as

L ′= |m |+s +

12 ΛL ′q (η)dη,

(3.10)

ΛL ′being a closed contour encircling ?1and +1;see Fig.2and Fig.4(a).When Λ=0,and the classically allowed region is delimited by two ?rst-order poles of Q 2(η),as shown in Fig.4(b),and the energy lies far above the top of the barrier,one can consider ?Q 2(η)as a single-well potential.From (A33)one then obtains the quantization condition (3.9)with L ′de?ned by (3.10),where ΛL ′is now the contour in Fig.4(b).

We disregard the possibility that Λ=0and the residues of Q 2(η)at η=?1and η=+1have di?erent signs,since this case has so far not appeared in the applications.

When ?Q 2(η)corresponds to a double-well potential (Fig.3and Fig.4),which is usually the case,the quantization

condition (A39)gives cos(α+β+?φ?2a )=cos(α?β)2

(3.11)where

a =π

2when Λ=0,

(3.12b)α=N

n =0

α(2n +1),

(3.13a)α(2n +1)=Re 1

2 Λβ

q (2n +1)

(η)dη,

(3.14b)ˉK =

N n =0

ˉK 2n ,(3.15a)ˉK 2n =i

2π Λα

q (2n +1)

(η)dη

=?2Im 1

α′(2n+1)=Re

2 Λβ′q(2n+1)(η)dη,(3.17b)

and recalling that the functions Y2n are regular analytic atη=±1whenΛ=|m|=0,we?nd with the use of residue calculus that forΛ=|m|=0

α′?α=β′?β

=Λπ/2,(3.18a)

α′?β′=α?β

bπ

[1+exp(?2πˉK)]1

to expressα′in terms ofβ′.Replacing s′by sαor sβ,we thus obtain from(3.22)and(3.18b)the two quantization conditions

α′= |m|2 π??φ4p

12p 2,(3.23a)

β′= |m|2 π??φ4p

12p 2,(3.23b)

where we choose the branch of arccos such that the last two terms on the right-hand side of(3.23a,b)cancel in the limitˉK→+∞,that is,when the barrier becomes in?nitely thick.In this limit,the formulas(3.23a,b)simplify to

α′= |m|2 π,(3.24a)

β′= |m|2 π.(3.24b)

For the particular case that we have a symmetric two-centre Coulomb problem,i.e.,that Z1=Z2,as is the case for the ion H+2,the double-well potential pertaining to theη-equation becomes symmetric(b=0),and the quantization conditions(3.23a,b)can be simpli?ed:

α′= |m|2 π??φ

arctan exp(?πˉK),(3.25a)

β′= |m|2 π??φ

arctan exp(?πˉK).(3.25b)

The reduced separation constant A′,obtained from(3.23a,b)in the general case and from(3.25a,b)in the symmetric case,is a function of p2and C.

https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,ments on the quantization conditions

In the existing semi-classical treatments,the quantization conditions derived on assumptions valid for m=0are in general extrapolated to m=0(corresponding to a particularization of our caseΛ=0)without any motivation. It is,however,not allowed to obtain a quantization condition corresponding to m=0from a quantization condition corresponding to m=0by letting m take continuous values and tend to zero by a limiting procedure.That the formulas obtained by such an extrapolation are valid is an a posteriori conclusion.The correct justi?cation of the quantization conditions forΛ=0rests on the use of the connection formula in subsection A.2.b of the Appendix. For given values of r12,m and E one can,as already mentioned,obtain the possible values of the reduced separation constant A′in the di?erential equation(2.8a)with(2.9a)by applying phase-integral quantization conditions for a single-well potential,while to obtain the possible values of the reduced separation constant A′in the di?erential equation(2.8b)with(2.9b)one has to use quantization conditions either for a single-well potential or for a double-well potential.The appropriate quantization condition for theξ-equation determines A′as a function of p2and?C. The appropriate quantization condition for theη-equation determines A′as a function of p2and C.The eigenvalues

of p2,and hence the energy eigenvalues E,are obtained from the requirement that these two expressions for A′must be equal to each other.One then obtains A′from the quantization condition for theξ-equation or theη-equation. The value thus obtained for A′depends obviously on the choice of C and?C.One should choose these parameters as funcitons of r12in such a way that very accurate values of p2and A′are obtained already in the?rst order of the phase-integral approximation.A practically useful criterion for this can be formulated as follows.For every value of r12one determines C and?C such that the?rst-order approximation gives the same value as the third-order approximation for p2(and hence for the energy)as well as for A′.In this way one can make all calculations within the framework of the phase-integral method.

Acknowledgments

The work of M.L.forms part of a Department of Science and Technology,Government of India,research project. Support from the Swedish Natural Science Research Council for https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,kshmanan’s visits to Uppsala is gratefully acknowledged.

APPENDIX A:PHASE-INTEGRAL METHOD

Since the present paper is based on phase-integral formulas that are scattered in di?erent publications,we collect in this Appendix the background material that is necessary for reading the paper.

The phase-integral method for solving di?erential equations of the type

d2ψ

2(z),but in many physical problems it is important to use the possibility of choosing Q(z)di?erently when there exist certain exceptional points,for example the origin in connection with the radial Schr¨o dinger equation,and,correspondingly,the poles of?Q2(ξ)and Q2(η)atξ=1and η=±1in the two-centre Coulomb problem.In the present paper we introduce in the base functions a parameterΛ, chosen such that eitherΛ=|m|=0orΛ=0,and two parameters C and?C to be determined such that the?rst-and third-order results coincide,in order that the?rst-order approximation be as good as possible.

To be able to write the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function in condensed form one introduces the new independent variable

ζ= z Q(z)dz(A2) and the function

ε0=Q?3

dz2Q?1

Q2(z)

.(A3)

It can be shown that in a local region of the complex z-plane,where the absolute value ofε0is small,the di?erential equation(A1)has the approximate solutions

ψ=q?1

ε0,(A6b)

Y4=?1

d2ε0

4z2

.(A7a)

However,the replacement of(A7a)by

Q2(z)=R(z)?1

,(A7b)

where the coe?cient of 1

4(e z ?1)2?const

z in R (z )is su?ciently large,if one chooses instead

Q 2(z )=R (z )+l (l +1)

2 Γz 0(z )

q (z )dz,(A8)

where Γz 0(z )is a path of integration that starts at the point corresponding to z on a Riemann sheet adjacent to the complex z -plane under consideration,encircles z 0in the positive or in the negative sense,and ends at z .It is immaterial for the value of the integral in (A8)if the path of integration encircles z 0in the positive or in the negative sense,but the endpoint must be z .For the ?rst-order approximation the de?nitions (A4b)and (A8)are identical.It is useful to introduce a short-hand notation for the integral in the right-hand member of (A8)by the de?nition

z (z 0)

q (z )dz =1

achieves a great formal and practical simpli?cation in the treatment of concrete problems,when an arbitrary order of the phase-integral approximation is used.

We remark that the notations used above di?er from the notations in the original papers published up to the beginning of the eighties in the respect that Q2(z)and Q2mod(z)in those papers correspond in the present paper to R(z)and Q2(z),respectively.

2.Connection formulas associated with a single transition point

a.Connection formulas pertaining to a?rst-order,real transition zero

Before the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function had been introduced,N. Fr¨o man[32]derived arbitrary-order connection formulas associated with a turning point for the particular phase-integral approximation of arbitrary order corresponding to Q2(z)=R(z).After the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function had been introduced,it turned out that these connection formulas remain valid also when Q2(z)=R(z).Below we shall present the general connection formulas.

The functions R(z)and Q2(z)are assumed to be real on the real z-axis(the x-axis).On this axis there is a generalized classical turning point t,i.e.,a simple zero of Q2(z),and there is,in a generalized sense,a classically allowed region on one side of t,i.e.,a region where Q2(x)>0,and a classically forbidden region on the other side of t,i.e.,a region where Q2(x)<0.De?ning

w(x)= x(t)q(z)dz,(A10)

we can write the connection formula for tracing a phase-integral solution of(A1)from the classically allowed to the classically forbidden region as

A q?14

+B q?14 ?→

?→(A+B) q?1|A|+|B|must not be too close to

zero.As a consequence of(A11)we have the connection formula

q?14 →

→sinδ q?1

2(x) exp[?|w(x)|]+C q?1

2(x) cos |w(x)|?π

b.Connection formula pertaining to a ?rst-order transition pole

Now we assume that in a certain region of the complex z -plane around a ?rst-order transition pole t ,i.e.,a ?rst-order pole of Q 2(z ),we have

R (z )=?l (l +1)

z ?t

+a regular function of z,(A15)Q 2(z )=

ˉB (z ?t )l +1=1.(A18)

This formula can be generalized to be valid for an arbitrary order of the phase-integral approximation generated from an unspeci?ed base function and can then be formulated as follows.On the lip of the anti-Stokes line emerging from t ,where arg w (z )is smallest,the solution of (A1)that ful?ls the condition (A18)is,su?ciently far away from t ,given by the phase-integral formula

ψ(z )= πc w (z )2

q ?1

4 π ,(A19)

where c is the residue of [ψ(z )]?2at z =t and is thus determined by the expansion of ψ(z )in powers of z ?t ,and the sign of πc w (z )

2has to be chosen conveniently.For the special case that l =0one ?nds that c =B .Formula (A19)can easily be particularized to the case that R (z )and Q 2(z )are real on the real z -axis (the x -axis)and t lies on that axis.

3.Connection formula for a real,smooth,single-hump potential barrier Our starting point is a paper by Fr¨o man and Fr¨o man

[35].Although it was assumed in the treatment there that Q 2

(z )=R (z )with the notations in the present paper,the results obtained are valid also when Q 2(z )=R (z ).In the present paper it is convenient to introduce partly other notations than in [35].Thus we now denote by t ′and t ′′the two relevant zeros of Q 2(z ),i.e.,the two generalized classical turning points in the sub-barrier case (t ′

(A20a)?=arg F 22,(A20b)

?φ

=?2σ=π2

(z )is chosen as shown

Fig.1in [35].We shall,however,in the following write the formulas in such a way that they remain unchanged if one changes the phase of Q

12(z );see (A5a,b).The quantity K in (A20a)is then given by K =1

[cf.(A20c)]in order to get better agreement with a notation used by other authors;see for instance Child [37].Now we de?ne B ′=A 1exp ?i π4

,(A22b)

where the notations in the right-hand members are those used in [35].Using the short-hand notation de?ned in (A9),we obtain from eqs.(25a)and (9a),with x 1replaced by x ′,in [35]and (A22a,b)in the present paper

ψ(x ′)=A ′ q ?12(x ′) exp ?i Re x ′(t ′)q (z )dz ,(A23a)

and from eqs.(25b)and (23),with x 2replaced by x ′′,in [35]and (A20a,b,c)and (A22a,b)in the present paper

ψ(x ′′)=A ′′ q ?12(x ′′) exp ?i Re x ′′(t ′′)q (z )dz ,(A23b)where

A ′′

B ′′ =?M A ′B ′ ,(A24)?M = θexp ?i (π2exp(+i ?φ)(θ2+1)

12+?) ,(A25a)det ?M =?1.(A25b)

It is seen from (A23a,b)that the coe?cients A ′and A ′′are associated with waves travelling away from the barrier,while the coe?cients B ′and B ′′are associated with waves incoming towards the barrier.From (A25a,b)we obtain

?M ?1= θexp ?i (π2exp(+i ?φ)(θ2+1)12

??) .(A26)

One thus obtains?M?1from?M by replacing?by??.We emphasize that the above formulas are in principle exact, provided that one knows the quantitiesθ,?and?φ,which depend slightly on x′and x′′.Furthermore,the two transition zeros associated with the potential barrier need not lie far away from other possibly existing transition points;see [35].However,when one introduces forθ,?and?φthe approximate values that will be given below,the barrier is assumed to be well separated(in the sense just described)from all transition points that are not associated with the barrier.

When A′and B′are given constants,associated with a wave function that is given at the point x′,the coe?cients A′′and B′′,which are obtained from(A24)along with(A25a),depend slightly on x′and x′′via the quantitiesθ,?and?φ.One obtains the derivatives ofψ(x′)andψ(x′′)from(A23a,b)by considering A′,B′,A′′and B′′formally as constants.

When the transition points that are not associated with the barrier lie su?ciently far away from t′and t′′,it follows from eq.(43a)in[35]and(A20a,b)that

θ≈exp(K),(A27a)

?≈0.(A27b) The quantity?φis particularly important when the energy is close to the top of the barrier,but it is important also for energies well below the top,if one with the use of higher orders of the phase-integral approximation wants to obtain very accurate results.In practice one cannot obtain useful expressions for?φfrom the exact formula(A20c).Under the assumption that d2R(z)

+iˉK ?ˉK ln|ˉK0|+N n=0φ(2n+1),(A28) where

φ(1)=ˉK0,(A29a)

φ(3)=?

2880ˉK30+

ˉK

2ˉK0

,(A29c)

with

ˉK 2n =

,(A30b)

Λbeing the previously described contour of integration encircling t′and t′′but no other transition point,with the integration performed in the direction that makesˉK0positive when t′and t′′are real,i.e.,when the barrier is superdense,but negative when t′and t′′are complex conjugate,i.e.,when the barrier is underdense.(Note that we perform the integrations in(A21)and(A30a)in opposite directions in order to make these formulas to agree with eq.(12)in[35]and eq.(5.4.21)in[38],respectively.)The result given by(A28),(A29a,b,c)and(A30a,b)can also be obtained from[28],where?2σis the same as our?φ.

We emphasize again that for the validity of(A28)with the expressions(A29a-c)forφ(2n+1)the essential restriction is that d2R(z)

parabolic shape close to the top of the barrier that determines the values of the quantities ˉK 2n ,n >0,and one needs accurate values of these quantities for obtaining accurate values of ?φ

in higher orders of the phase-integral approximation.

The barrier connection formula presented in this section is valid uniformly for all energies,below and above the top of the barrier.We would also like to emphasize that while the connection formulas pertaining to an isolated turning point (N.Fr¨o man [32])are one-directional,the barrier connection formula (A23a,b)with (A24)and (A25a),which is valid when the barrier is well isolated and has an approximately parabolic top,is bi-directional.However,the neighbourhood of an energy that corresponds to a resonance requires a careful discussion.

4.Quantization conditions for single-well and double-well potentials

In this section we shall present quantization conditions for general single-well potentials [39,40,41]and double-well potentials [28,41,42,43],valid for any conveniently chosen order of the phase-integral approximation,in forms especially adapted to the two-centre Coulomb problem.In the quantization conditions pertaining to the double-well potential there appears the supplementary quantity ?φ

,which was discussed in Section A.3,and which is of particular importance for energy eigenvalues in the neighbourhood of the top of the barrier;cf.numerical results in [28],where Q 2,Q 2mod

and σcorrespond to R,Q 2and ??φ2 π,s =0,1,2...(A31)

When one of the transition points t ′and t ′′is a ?rst-order transition zero,and the other is a ?rst-order transition pole in the neighbourhood of which R (z )and Q 2(z )can be expanded according to (A15)and (A16)with l =|m |?14,we obtain under the assumptions introduced below those expansions the quantization condition [40] (t ′′)(t ′)q (z )dz = |m |2

π,(A32)where m is an integer (positive,negative or zero),and s is also an integer.

When both transition points t ′and t ′′are ?rst-order transition poles,in the neighbourhood of which R (z )and Q 2(z )

can be expanded according to (A15)and (A16)with l =|m |?1

4for both transition poles but possibly with di?erent coe?cients B and ˉB

for the two transition poles,we obtain under the assumptions introduced below (A15)and (A16)the quantization condition [30]

(t ′′)(t ′)q (z )dz = |m |+s +1

b.Quantization conditions for double-well potentials

We assume that R(z)and Q2(z)are real on the real z-axis(the x-axis)and that there are either two generalized classical turning points t′and t′′(>t′)[real,simple zeros of Q2(z)]associated with a superdense potential barrier or two complex conjugate simple transition zeros t′and t′′[simple zeros of Q2(z);Im t′<0,Im t′′>0]associated with an underdense potential barrier.The classically allowed region to the left of the barrier is to the left delimited by a transition point t?(on the real axis),and the classically allowed region to the right of the barrier is to the right delimited by a transition point t+(on the real axis),where t?and t+are both either generalized classical turning points,i.e.,simple zeros of Q2(z),or?rst-order transition poles,i.e.,?rst-order poles of Q2(z).The points t?and t+,as well as other possibly existing transition points that are not associated with the barrier,are assumed to lie far away from t′and t′′.When t?and t+are simple transition poles we assume that in the neighbourhood of t±we have

R(z)=(1?m2)

z?t±

+a regular function of z,(A34)

Q2(z)=ˉB

?a tan Re (t′′)(t+)q(z)dz

?φ2?1

2+1

,(A36) where

2when t?and t+are transition zeros,

(|m|+1)π

[1+exp(?2K)]1

[4]B.Rosen,Spectroscopie′e lectronique mol′e culaire.Encyclopedia of Physics Volume XXVII,edited by S.Fl¨u gge(Springer-

Verlag,Berlin,G¨o ttingen,and Heidelberg,1964).

[5]D.R.Bates,K.Ledsham,and A.L.Stewart,Phil.Trans.Roy.Soc.London A246,215(1953).

[6]R.F.Wallis and H.M.Hulburt,J.Chem.Phys.22,774(1954).

[7]D.R.Bates and T.R.Carson,Proc.Roy.Soc.A234,207(1956).

[8]H.Wind,J.Chem.Phys.42,2371(1965).

[9]J.M.Peek,J.Chem.Phys.43,3004(1965).

[10]L.I.Ponomarev and T.P.Puzynina,J.Exp.Theor.Phys.(USSR)52,1273(1967);English Translation:Sov.Phys.JETP

25,846(1967).

[11]L.I.Ponomarev and T.P.Puzynina,Joint Institute for Nuclear Research,Dubna,Preprint P4-3175(1967).

[12]G.Hunter and H.O.Pritchard,J.Chem.Phys.46,2153(1967).

[13]C.M.Rosenthal and E.B.Wilson,Jr.,Int.J.Quant.Chem.II,175(1968).

[14]D.R.Bates and R.H.G.Reid,Adv.in Atom.and Mol.Phys.4,13(1968).

[15]T.Murai,Science of Light23,83(1974).

[16]T.Murai and H.Takatsu,Tables of Electronic Energy of H+2.Contributions from the Research Group on Atoms and

Molecules No.10,Progress Report VII,March1974,p.74-111.Research Group on Atoms and Molecules,c/o Department of Physics,Faculty of Science,Ochanomizu University,1-1,Otsuko2chome,Bunkyo-ku,Tokyo112,Japan.

[17]T.G.Winter,M.D.Duncan,and https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,ne,J.Phys.B:Atom.Molec.Phys.10,285(1977).

[18]M.Klaus,J.Phys.A:Math.Gen.16,2709(1983).

[19]W.Byers Brown and E.Steiner,J.Chem.Phys.44,3934(1966).

[20]M.P.Strand and W.P.Reinhardt,J.Chem.Phys.70,3812(1979).

[21]P.Pajunen,Mol.Phys.43,753(1981).

[22]N.Fr¨o man and P.O.Fr¨o man,PHASE-INTEGRAL METHOD Allowing Nearlying Transition Points,With adjoined papers

by A.Dzieciol,N.Fr¨o man,P.O.Fr¨o man,A.H¨o kback.S.Linnaeus,B.Lundborg,and E.Walles.Springer Tracts in Natural Philosophy Vol.40,edited by C.Truesdell(Springer-Verlag,New York,Berlin,and Heidelberg,1996).

[23]https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,kshmanan and P.Kaliappan,J.Phys.A:Math.Gen.13,L299(1980).

[24]https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,kshmanan,F.Karlsson,and P.O.Fr¨o man,Phys.Rev.D24,2586(1981).

[25]https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,kshmanan,P.Kaliappan,https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,rsson,F.Karlsson,and P.O.Fr¨o man,Phys.Rev.A49,3296(1994).

[26]¨O.Dammert and P.O.Fr¨o man,J.Math.Phys.21,1683(1980).

[27]N.Fr¨o man and P.O.Fr¨o man,JWKB Approximation,Contributions to the Theory(North-Holland,Amsterdam,1965.

Russian translation:MIR,Moscow,1967).

[28]N.Fr¨o man,P.O.Fr¨o man,U.Myhrman,and R.Paulsson,Ann.Phys.(NY)74,314(1972).

[29]N.Fr¨o man and P.O.Fr¨o man,On the History of the so-called WKB-Method from1817to1926.Proceedings of the

Niels Bohr Centennial Conference,Copenhagen25-28March1985on Semiclassical Descriptions of Atomic and Nuclear Collisions,p.1-7,edited by Jens Bang and Jorrit de Boer(North-Holland,Amsterdam,Oxford,New York,and Tokyo, 1985).

[30]N.Fr¨o man,P.O.Fr¨o man,and https://www.sodocs.net/doc/809242115.html,rsson,Phil.Trans.Roy.Soc.London A347,1(1994).

[31]N.Fr¨o man,P.O.Fr¨o man,and B.Lundborg,Math.Proc.Camb.Phil.Soc.104,153(1988).

[32]N.Fr¨o man,Ann.Phys.(NY)61,451(1970).

[33]N.Fr¨o man and W.Mrazek,J.Phys.A:Math.Gen.10,1287(1977).

[34]N.Fr¨o man,Ark.Fys.31,381(1966).

[35]N.Fr¨o man and P.O.Fr¨o man,Nucl.Phys.A147,606(1970).

[36]N.Fr¨o man,Semiclassical and Higher-Order Approximations.Properites.Solution of Connection Problems.Article in:

Semiclassical Methods in Molecular Scattering and Spectroscopy,edited by M.S.Child(Reidel,Dordrecht,Boston,and London,1980).

[37]M.S.Child,Molecular Collision Theory(Academic Press,London and New York,1974).Reprinted with corrections in

1984.

[38]N.Fr¨o man,P.O.Fr¨o man,and B.Lundborg,Adjoined paper(Chapter5)in[22].

[39]N.Fr¨o man,Ark.Fys.32,541(1966).

[40]N.Fr¨o man,Phys.Rev.A17,493(1978).

[41]R.Paulsson,F.Karlsson,and R.J.Leroy,J.Chem.Phys.79,4346(1983).

[42]N.Fr¨o man,Ark.Fys.32,79(1966).

[43]N.Fr¨o man and U.Myhrman,Ark.Fys.40,497(1970).

~ξ

?Q 2(ξ)

~ΛFIG.1:The ?gure gives schematic pictures of ??Q 2(ξ)for ξ>1and of the contours of integration in the complex ξ-plane.The cuts are indicated by wavy lines.On the upper lip of the cut ?Q

(ξ)is positive.Only those zeros of ?Q 2(ξ)that are relevant for the contours of integration are shown.For Λ=|m |=0(a)always applies,and the relation between the integrals associated with the contours Λ?L and Λ?L ′is ?L ′=?L +

|m |

小学奥数之容斥原理

五．容斥原理问题 1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11 最大值就是含铁的有43种 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数a2＝6人。 3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？答案：及格率至少为71％。假设一共有100人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）

2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理

【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理，欢迎加入国家公务员考试QQ群：242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.sodocs.net/doc/809242115.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

雷达原理复习

第一章绪论 1、雷达的任务：测量目标的距离、方位、仰角、速度、形状、表面粗糙度、介电特性。雷达是利用目标对电磁波的反射现象来发现目标并测定其位置。当目标尺寸小于雷达分辨单元时，则可将其视为“点”目标，可对目标的距离和空间位置角度定位。目标不是一个点，可视为由多个散射点组成的，从而获得目标的尺寸和形状。采用不同的极化可以测定目标的对称性。 β任一目标P所在的位置在球坐标系中可用三个目标确定：目标斜距R，方位角α，仰角在圆柱坐标系中表示为：水平距离D，方位角α，高度H 目标斜距的测量：测距的精度和分辨力力与发射信号的带宽有关，脉冲越窄，性能越好。目标角位置的测量：天线尺寸增加，波束变窄，测角精度和角分辨力会提高。相对速度的测量:观测时间越长，速度测量精度越高。目标尺寸和形状：比较目标对不同极化波的散射场，就可以提供目标形状不对称性的量度。 2、雷达的基本组成：发射机、天线、接收机、信号处理机、终端设备 3、雷达的工作频率：220MHZ-35GHZ。L波段代表以22cm为中心，1-2GHZ;S波段代表10cm，2-4GHZ；C波段代表5cm，4-8GHZ；X波段代表3cm，8-12GHZ；Ku代表2.2cm，12-18GHZ；Ka代表8mm，18-27GHZ。第二章雷达发射机 1、雷达发射机的认为是为雷达系统提供一种满足特定要求的大功率发射信号，经过馈线和收发开关并由天线辐射到空间。雷达发射机可分为脉冲调制发射机：单级振荡发射机、主振放大式发射机；连续波发射机。 2、单级振荡式发射机组成：大功率射频振荡器、脉冲调制器、电源触发脉冲脉冲调制器大功率射频振荡器收发开关电源高压电源接收机主要优点：结构简单，比较轻便，效率较高，成本低；缺点：频率稳定性差，难以产生复杂的波形，脉冲信号之间的相位不相等 3、主振放大式发射机：射频放大链、脉冲调制器、固态频率源、高压电源。射频放大链是发射机的核心，主要有前级放大器、中间射频功率放大器、输出射频功率放大器射频输入前级放大器中间射频放大器输出射级放大器射频输出固态频率源脉冲调制器脉冲调制器高压电源高压电源电源脉冲调制器：软性开关调制器、刚性开关调制器、浮动板调制器 4、现代雷达对发射机的主要要求：发射全相参信号；具有很高的频域稳定度；能够产生复杂信号波形；适用于宽带的频率捷变雷达；全固态有源相控阵发射机 5、发射机的主要性能指标：

国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲

2015国考行测暑期每日一练数学运算：容斥原理和抽屉原理精讲容斥原理和抽屉原理是国家公务员测试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的【例1】一次期末测试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C -A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

集合与容斥原理

第一讲集合与容斥原理数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与a?A仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. （3）无序性 2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：R , ,应熟记。 N, Z Q 3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4．子集、真子集及相等集（1）A?? B A?B或A＝B；（2）A?B?A?B且A≠B；（3）A＝B?A?B且A?B。 5．一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。 6．集合的交、并、补运算 x∈} A B={A |且B x∈ x x∈} A B={A |或B x x∈ x?} A∈ {且A =| I x x 要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律A B＝B A，A B＝B A；（2）结合律A （B C）＝（A B） C， A （ B C）＝(A B) C；

抽屉原理

网易新闻微博邮箱闪电邮相册有道手机邮印像派梦幻人生更多博客博客首页博客话题热点专题博客油菜地找朋友博客圈子博客风格手机博客短信写博邮件写博博客复制摄影摄影展区每日专题搜博文搜博客随便看看关注此博客选风格不再艰难搬家送Lomo卡片注册登录显示下一条| 关闭86012747lktd的博客andrsw@https://www.sodocs.net/doc/809242115.html, QQ：86012747 导航首页日志相册音乐收藏博友关于我日志86012747 加博友关注他最新日志倒推法解题数的整除奇数、偶数质数、合数小学数学思维训练5-5.组合图小学数学思维训练5-6.公约数博主推荐相关日志随机阅读 7大细节破译男人是否来电？破解《黎明之前》口碑形成之谜收租婆的忧伤谁人知？禁看湖南卫视引发的大哭与大笑独家:超闪亮水晶配饰BlingBling惹人爱Selina剃头俞灏明植皮偶像明星也难做首页推荐毛利:烂人完美标本游资为什么炒作农产品？美国人忙着捡便宜兽兽亮相车展遭围攻洗澡时发现婆婆是双性恋为何有些物种要变性更多>> 抽屉原理抽屉原理习题(初一）抽屉原理习题默认分类2008-04-17 16:03:44 阅读217 评论0 字号：大中小订阅

简单 1.在一米长的线段上任意点六个点。试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。 2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。请你证明：他们中至少有两个人是在同一天出生的。 3.夏令营有400个小朋友参加，问：在这些小朋友中， (1)至少有多少人在同一天过生日？ (2)至少有多少人单独过生日？ (3)至少有多少人不单独过生日？ 4.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。 5.在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小于10米？ 6.在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？ 7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？ 8.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问： (1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ (2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子？ (3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子？ 9.据科学家测算，人类的头发每人不超过20万根。试证明：在一个人口超过20万的城市中，至少有两人的头发根数相同。 10.第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。试证明：在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。 11.证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。

雷达的工作原理及相控阵雷达

问：有源相阵控雷达和无源相阵控雷达的区别是什么？ h t p:/b s.t i e x u e.n e t/] [ 转自铁血社区答：区别就是无源是只有单个或者几个发射机子阵原只能接收，而有源是每个阵原都有完整的发射和接收单元！机载雷达经历了从机械扫描形式到相控阵电子扫描，再到最新的保形"智能蒙皮"天线的发展过程，电子扫描雷达在作战使用中的优势在哪里？未来的综合式射频（RF）传感器系统的总体特点和关键技术是哪些？您将从本文中得到启发近50多年来，机载雷达不断采用新的技术成果，性能不断提高，其中重要的有全向多脉冲射频（MPRF）模式和高分辨率多普勒波束锐化（DBS）技术在雷达中的实际应用。目前，由于在信号处理和砷化镓微波集成电路领域技术的进步，雷达作为战术飞机主传感器的地位仍然会继续保持下去。电子扫描技术的发展雷达波束天线电子扫描应用的第一步是无源电子扫描阵列（ESA），其主要优点是实现了波束的无惯性扫描，在作战中有助于对辐射能量的控制。现役的此种类型的雷达有美国空军的B1-B和俄罗斯的米格-31装备的雷达，在研的有法国装备其"阵风"战斗机的RBE-2雷达。有源ESA的出现是技术上的又一进步。它的每一个阵元中都有一个RF发射机和灵敏的RF接收机，在各个发射/接收（T/R）模块内都有一个功率放大器、一个低噪声放大器和用砷化镓技术制造的相位振幅控制装置。有源ESA雷达技术放弃了传统的中心式高功率发射机，除了具有无源相控阵雷达的优点外，还提高了能量的使用效率并具有自适应波束控制、强抗干扰能力和高可靠性等优点。 h t p:/b s.t i e x u e.n e t/] 血社区 [ 转自铁西方国家第一代有源相控阵雷达系统接近定型的有美国装备F-22和日本装备 FS-X的雷达。英、法和德国共同研制的AMSAR项目也确定使用先进的有源相控阵雷达技术，为其后续的欧洲战斗机雷达的升级改装做准备。从今天的角度来看，雷达技术未来的下一个发展方向是保形"智能蒙皮"阵列，它把有源ESA技术和多功能共用RF孔径结合了起来，在天线阵元的安排上，与飞机机身的结构巧妙地配合，实现宽波段和多功能。保形天线阵列有高性能的处理器并使用空-时自适应处理技术有效地抑制了外部的噪声、干扰和杂波并能以最优化的方式来探测所感兴趣的目标。虽然有许多相关的技术问题需要解决，但保形"智能蒙皮"技术并非是个不切实际的解决方案，预计在20～25年的时间内就可以达到实用阶段。在10～15年内，对战术飞机射频传感器（包括雷达）未来所执行的任务来说，最迫切的需要是增加功能、提高性能，并且还要注重经济性和可维护性。美国的"宝石路"计划已经证明，航空电子系统通过采用通用模块、资源共享和传感器的空间重构（重构的设备包括雷达、电子战及通信-导航-识别等射频传感器）可以做到系统的造价和重量减小一半，而可靠性提高三倍。它所确立的综合模块化航空电子的设计原则已用于JSF战斗机的综合传感器系统（ISS）和多重综合式射频传感器工程的设计中，欧洲类似的用于未来战术飞机的综

抽屉原理和容斥原理

I ．抽屉原则 10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则. 将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式：原则一：把m 个元素分成n 类（m >n ），不论怎么分，至少有一类中有两个元素. 原则二：把m 个元素分成n 类（m >n ）（1）当n |m 时，至少有一类中含有至少 n m 个元素；（2）当n |m 时，至少有一类中含有至少[n m ]+1个元素. 其中n m 表示n 是m 的约数，n m 表示n 不是m 的约数，[ n m ]表示不超过n m 的最大整数. 原则三：把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至少有k m 个元素. 原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素. 以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略. 一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性. 如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题：（1）什么是“苹果”？（2）什么是“抽屉”？（3）苹果、抽屉各多少？用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定

重叠问题(容斥原理,包含与排除)

包含与排除例题1，(1)五年级一班参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，两项活动都参加的有13人，全班每人至少参加一项活动。问这个班有多少人？ (2)三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？ 1，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 2,某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？ 3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。第一小组共有多少人？例题2，(1)五年级一班有42人，参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，全班每人至少参加一项活动。问这个班两项活动都参加的有多少人？ (2)一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？

(3)3,某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？ 1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ 2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？ 3，学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？例题3，(1)四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ (2)全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。仅会打羽毛球的有多少人？ 1，40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？

人教版初中《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案

人教版初中《抽屉原理和容斥原理》竞赛专题复习含答案抽屉原理和容斥原理 24.1 抽屉原理 24.1.1★在任意的61个人中，至少有6个人的属相相同．解析因为一共有12种属相，把它看作12个抽屉，61151612?? +=+=????，根据抽屉原理知，至少有6个人的属相相同．评注抽屉原理又称鸽笼原理或狄里克雷原理．这一简单的思维方式在解题过程中却可以有很多颇具匠心的运用．抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现．许多有关存在性的证明都可用它来解决．抽屉原理1 如果把1n +件东西任意放入n 个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两件东西．抽屉原理2 如果把m 件东西任意放人n 个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有女件东西，这里 ,1,m m n n k m m n n ??? =? ??? +????? ?是的位不是的位当数时; 当数时. 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]4.94=，[]2.63-=-等等． 24.1.2★从2，4，6，…，30这15个偶数中任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34．解析把2，4，6，…，30这15个数分成如下8组（8个抽屉）；（2）（4，30），（6，28），（8，26），（10，24），（12，22），（14，20），（16，18）．从2，4，6，…，30这15个数中任取9个数，即是从上面8组数中取出9个数．抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的和就是34． 24.1.3★★在1，2，3， …，100这100个正整数中任取11个数，证明其中一定有两个数的比值不超过 32 ； {}1，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}， {11，12，…，16}，{17，18，…，25}， {26，27，…，39}，{40，41，…，60}． {61，62，…，91}，{92，93，…，100}．从1，2，…，100中任取11个数，即是从上面10组中任取11个数，由抽屉原理知，其中一定有两个数取自同一组，这两个数的比值不超过 32 ． 24.1.4★求证：任给五个整数，必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除．解析任何数除以3所得余数只能是0、1、2，分别构造3个抽屉：{0}、{1}、{2}．（1）若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除．（2）若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，根据抽屉原理，其中一个抽

高中数学抽屉原理容斥原理

高中数学抽屉原理容斥原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。（一）抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一

个集合，其中至少有两个元素。证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 3．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。 4．已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。 5．在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点。 6．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。 7．17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。

相控阵雷达的发射和接收机制分析

毕业论文（设计）相控阵雷达的发射和接收机制分析学生姓名：杨雨杭指导教师：姜国兴（副教授）合作指导教师：专业名称：通信工程所在学院：信息工程学院 2013年5月

目录摘要 (4) Abstract (5) 第一章前言 (6) 1.1 研究目的和意义 (6) 1.2 国内外研究现状 (6) 1.3 研究内容和方法 (6) 第二章雷达原理 (8) 2.1 相控阵雷达的原理 (8) 2.2 相控阵雷达的特点 (9) 2.3 相控阵雷达的分类 (9) 第三章相控阵天线的分析 (11) 3.1 相控阵天线的简介及应用 (11) 3.2 相控阵天线的基本原理 (11) 3.3 相控阵基本特性 (17) 3.4 相控阵天线馈电 (21) 3.5 多波束阵列天线 (21) 第四章雷达发射和接收机制分析 (23) 4.1 雷达发射机制分析 (23) 4.2固态发射机 (25) 4.3 脉冲调制器 (26) 4.4 雷达发射机的主要质量指标 (26) 4.5雷达接收机制分析 (28) 4.6 接收机工作的考虑因素 (30) 4.7 接收机前端 (33) 4.8本振 (33) 4.9增益控制放大器 (37) 4.10 滤波 (38) 4.11 雷达接收机的主要质量指标 (39) 第五章结论 (41) 致谢 (42)

参考文献 (43)

摘要在当代，雷达的应用越来越广泛，从事雷达研究和开发的人也越来越多。本论文对雷达的工作原理进行了分析，便于帮助大家了解掌握雷达的基本信息。本论文第一章主要讲述了研究相控阵雷达的意义，目前国内外此领域的发展现状等。第二章介绍了相控阵雷达的原理、分类、和优缺点。第三章着重分析相控阵天线的特点，与其他天线的比较，以及相控阵天线的原理、算法等。第四章具体阐述了雷达的发射机和接收机，分别讨论他们的各个组成部分，技术指标，工作原理等。最后对于全篇进行了总结，对未来的发展进行了展望。关键字：相控阵雷达，发射机，接收机

无源有源相控阵雷达原理、电扫阵列及典型雷达系统

相参技术相参雷达是指雷达系统的发射信号、本振电压、相参震荡电压和定时器的触发脉冲均由同一基准信号提供，使得这些信号之间可以保持确定的相位关系，同时接收的回波信号也可以提取信号的相位信息。相参技术对主振源信号具有极高的频率稳定度要求和频谱纯度，对天线性能，信号处理器等都具有很高的要求。相同频率，不同相位的信号叠加效果移相器

移相器的作用是将信号的相位移动一个角度，相位和频率保持稳定的对应关系是移相器的一个重要特性。铁氧体移相器铁氧体移相器的基本原理是利用外加直流磁场改变波导内铁氧体的导磁系数，从而改变电磁波的相速，得到不同的相移量。铁氧体移相器的主要优点是承受功率较高，插入损耗较小，带宽较宽。其缺点是所需激励功率比PIN管移相器大，开关时间在微秒(us)量级。半导体PIN二极管 PIN二极管开关从“开”到“关”或者相反动作的起始状态达到稳定状态的时间称为开关时间。以半导体PIN二极管作为开关器件的数字式移相器相位转换时间可以达到纳秒(ns)量级。

GaAs FET GaAs FET开关是数控移相器的主要构成元素，它作为一个三端器件，可以通过对栅偏置电压的控制来改变源漏间电阻，从而实现开关动作，转换时间也在纳秒(ns)量级。相控阵雷达原理有了信号叠加的原理和移相器，相控阵雷达原理就好理解了，其基本思想：通过移相器改变每个辐射元件发射信号的相位，以提供相长/相消干涉，从而实现波束的电子扫描，在期望的方向上形成窄波束，雷达天线不需要机械转动。电子扫描阵列很好的解决了机械雷达的机械惯性和扫描需要时间长等问题，实现了波束指向的无惯性快速扫描，为任务的灵活敏捷性创造了很好的条件。

小学数学《容斥原理和抽屉原理》教案

容斥原理和抽屉原理第一课时教学内容：容斥原理和抽屉原理教学目标：本节课是在学生已学过两个基本原理和排列组合基础知识后，对学生提出的较高要求。根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，本节课从知识、方法、能力和发展性等层面确定了相应的教学目标。教学重点：容斥原理作为解决计数问题的重要方法成为本节课教学重点；教学难点：而容斥原理由一般到特殊的归纳和推广是本节课的教学难点。教学方法的选择：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用探究、讨论的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。教学手段的利用：采用多媒体技术，目的在于通过大容量信息的呈现和生动形象的演示，提高学生学习兴趣、激活学生思维、加深理解。学法指导：学法指导的目标：(1)指导学生对一系列问题进行化归，找到解决问题的方法。(2)通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。教学过程： |一、脑筋急转弯激趣，导入新课师：同学们，喜欢脑筋急转弯吗？老师出个脑筋急转弯考考你

们？脑筋急转弯：一张照片上有两对父子，数数却只有三个人,为什么？学：因为多数了一个人，爷爷和爸爸，爸爸和儿子，爸爸多数了，所以，是2+2-1=3（人）二、讲授新课师：同学们，你们知道什么容斥原理。学：不知道。师：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。师：就像是我们看到的图片一样，把重复的数目排斥出去。你们知道了吗？学：知道了师：下面让我们实际挑战吧三：出示例1 例1:从1到20中2或3的倍数的个数共有（）个。师：同学们，我们想知道从1到20中2或3的倍数的个数共有多少个？我们应该怎么来做这题？学：我们可以先把2的倍数数出来，在再把3 的倍数数出来师：那我们现在来数2的倍数？学：2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。一共有10个。师：那么3的倍数又有多少个？

相控阵天线的基本原理介绍

相控阵天线的基本原理介绍相控阵天线是目前卫星移动通信系统中最重要的一种天线形式，由三个部分组成：天线阵、馈电网络和波束控制器。基本原理是微处理器接收到包含通信方向的控制信息后，根据控制软件提供的算法计算出各个移相器的相移量，然后通过天线控制器来控制馈电网络完成移相过程。由于移相能够补偿同一信号到达各个不同阵元而产生的时间差，所以此时天线阵的输出同相叠加达到最大。一旦信号方向发生变化，只要通过调整移相器的相移量就可使天线阵波束的最大指向做相应的变化，从而实现波束扫描和跟踪。相控阵天线有相控扫描线天线阵和平面相控阵天线。图一图一 N单元相阵远区观察点P处的总场强可以是认为线阵中N个单元在P点产生的辐射场强叠加：

图二线性相控阵天线这一天线阵的方向图函数为：图三平面相控阵天线相控阵在快速跟踪雷达、测相等领域得到广泛的应用，它可以使主瓣指向随着通信的需要而不断地调整。相控阵为主瓣最大值方向或方向图形主要由单位激励电流的相对来控制天线阵。通过控制阵列天线中辐射单元的馈电相位改变方向图形状的天线。控制相位可以改变

天线方向图最大值的指向，以达到波速扫描的目的。在特殊情况下，也可以控制副瓣电平、最小值位置和整个方向图的形状。用机械方法旋转天线时，惯性大、速度慢，相控阵天线克服了这已缺点，波速的扫描高。它的馈电相一般用电子计算机控制，相位变化速度快，即天线方向图最大值指向或其他参数的变化迅速。这是相控阵天线的最大特点。一般相控阵天线应对每一辐射单元的相位进行控制。为了节省移相器和简化控制线路，有时几个辐射单元共用一个移相器。相控阵天线的关键器件是移相器和天线辐射单元。移相器分连续式移相器和数字式移相器两种。连续式移相器的移相值可在0°～360°范围内连续变化，数字式移相器的移相值是离散的，只能是360×(1/2)^n的整数倍，移相器应保证在一定的频率范围内获得所需要的移相值。天线辐射单元的设计应使一定移相范围内和一定频率范围内的输入阻抗的变化尽可能小，以保证发射机正常工作，防止由于射频信号的多次反射而出现寄生副瓣和方向图中出现凹点的现象。相控阵天线的馈电方式分传输线馈电和空间馈电两种。在传输线馈电方式下，射频能量通过波导、同轴线和微带线等微波传输线馈给辐射单元。在空间馈电方式下，发射机产生的射频能量通过辐射装置辐射至自由空间，传输一段距离后由一个接收阵接收，接收阵的每个单元或一组单元所接收到的信号，经过移相器移相后再馈给发射阵的发射单元并辐射出去。相控阵天线阵列本身的设计主要是幅度、相位分布设计和单元阻

相控阵雷达简介

相控阵雷达简介第一部分：引言论坛上朋友们对相控阵雷达很感兴趣，而且对美军的有源相控阵雷达表示出近乎崇拜的热情，总是哀叹我们为什么没有这么神气的雷达。但是在很多朋友的帖子中，都表现出我们对相控阵雷达的概念不是很清楚，甚至有的雷达专业的网友有时也有一些似是而非的说法。其实要正确的了解雷达中的很多基本概念，并不是很容易的事情，要能给别人讲清楚，更需要实际的工作经验。碰巧我参加过相控阵雷达研制，虽然做的工作是边边角角的，但是想结合自己的体会和一些专业书上的概念，尽可能把我认为正确的概念介绍给各位朋友。第二部分：相控阵技术综述相控阵技术是一种通过控制阵列天线的各个单元的相位和幅度以便形成在空间满足一定分布特性的波束，并且能够改变其扫描角度（指向）的技术。这种技术目前一般都是用计算机控制波束的形成和扫描，因此最大和好处是可以实现一些传统天线没有的优势，即：形状、指向和波束的个数无惯性的改变。这里解释一下什么是波束，波束实际上是一个形象的说法，在天线和传播技术领域，我们经常讲某个天线发射的（或者接收的）波束是“笔型波束”、“扇行波束”等等之类的，并不是说在空间存在这样的一个笔形或者扇形的东西，而是说当这个天线发射信号时（或者接受信号时）它在不同的方向信号放大倍数是不同的（或者对接收在不同空间到达方向的信号放大倍数不同），有的方向倍数大（叫增益），有的方向小，就形成了一个增益和方向的关系曲线，形象的说，就是一个“笔形的波束”或者“扇形波束”。需要说明的是，所有的天线都有波束的概念，而且接收的时候和发射的时候可以是不同的。相控阵的天线通过电控的单元相位改变，使波束指向、形状、个数等可以很快的改变，这是它根本的优势。还有一个顺便可以提到的问题，就是雷达干扰和抗干扰问题。在雷达对抗领域，经常提到一个旁瓣干扰的概念，这个又是一个和波束概念有关系的。一般在天线增益最大的方向附近是天线的主波瓣，在这个方向附近之外，天线增益下降很快，但是

相控阵雷达系统的设计与分析

第一章相控阵雷达系发射信号的设计与分析 1.1 雷达工作原理雷达是Radar （RAdio Detection And Ranging ）的音译词，意为“无线电检测和测距”，即利用无线电波来检测目标并测定目标的位置，这也是雷达设备在最初阶段的功能。典型的雷达系统如图1.1，它主要由发射机，天线，接收机，数据处理，定时控制，显示等设备组成。利用雷达可以获知目标的有无，目标斜距，目标角位置，目标相对速度等。现代高分辨雷达扩展了原始雷达概念，使它具有对运动目标(飞机，导弹等)和区域目标(地面等)成像和识别的能力。雷达的应用越来越广泛。图1.1：简单脉冲雷达系统框图雷达发射机的任务是产生符合要求的雷达波形（Radar Waveform ），然后经馈线和收发开关由发射天线辐射出去，遇到目标后，电磁波一部分反射，经接收天线和收发开关由接收机接收，对雷达回波信号做适当的处理就可以获知目标的相关信息。假设理想点目标与雷达的相对距离为R ，为了探测这个目标，雷达发射信号 ()s t ,电磁波以光速C 向四周传播，经过时间R C 后电磁波到达目标，照射到目标上的电磁波可写成：()R s t C - 。电磁波与目标相互作用，一部分电磁波被目标散射，被反射的电磁波为()R s t C σ?-，其中σ为目标的雷达散射截面（Radar Cross Section ,简称RCS ），反映目标对电磁波的散射能力。再经过时间R 后，被雷达接收天线接收的信号为(2)R s t C σ?-。如果将雷达天线和目标看作一个系统，便得到如图1.2的等效，而且这是一

个LTI （线性时不变）系统。图1.2：雷达等效于LTI 系统等效LTI 系统的冲击响应可写成: 1 ()()M i i i h t t σδτ==-∑ (1.1) M 表示目标的个数，i σ是目标散射特性，i τ是光速在雷达与目标之间往返一次的时间， 2i i R c τ= (1.2) 式中，i R 为第i 个目标与雷达的相对距离。雷达发射信号()s t 经过该LTI 系统，得输出信号(即雷达的回波信号)()r s t ： 1 1 ()()*()()*()()M M r i i i i i i s t s t h t s t t s t σδτστ====-=-∑∑ (1.3) 那么，怎样从雷达回波信号()r s t 提取出表征目标特性的i τ(表征相对距离)和 i σ(表征目标反射特性)呢？常用的方法是让()r s t 通过雷达发射信号()s t 的匹配滤波器，如图1.3。图1.3：雷达回波信号处理 ()s t 的匹配滤波器()r h t 为： *()()r h t s t =- (1.4) 于是， *()()*()()*()*()o r r s t s t h t s t s t h t ==- （1.5）对上式进行傅立叶变换：

初中数学抽屉原理与容斥原理

初中数学抽屉原理与容斥原理有人说：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；又说：“某校一个年级的400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”，你认为他的说法对吗？你能说明为什么对或为什么不对吗？ 1947年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”这道题看起来与数学没有多大关系，似乎无法用数学知识解决。但解决时并不要用到多少高深知识，立即引起了许多数学爱好者的关注和兴趣。以上问题就是数学中的一类与“存在性”有关的问题。解决以上这几个问题，要用到数学中的抽屉原理。我们很容易理解这样一个事实：把3只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2只或2只以上的苹果。用数学语言表达这一事实，就是：将n+1个元素放入n 个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n 为正整数）。这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理。这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄里克雷原理。抽屉原理还有另外的常用形式：抽屉原理2：把m 个元素任意放入n n m ()<个集合里，则一定有一个集合里至少有k 个元素，其中： k m n n m m n n m =????? ?+???????，（当能整除时）（当不能整除时）1. m n m n m n ???????????? 表示不大于的最大整数，亦即的整数部分。抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。现在你能肯定前面的两种说法是正确的吗？你能说明这两种说法是正确的吗？利用抽屉原理，可以解决一些相当复杂甚至感到无从下手的问题，抽屉原理也是解决存在性问题的常用方法。例1. 在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。解：1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。试一试：从2，5，8，11，……，101中任取20个数，其中必有两对数，它们的和为106。