弹塑性力学在工程上的应用综述

弹塑性力学在工程上的应用综述弹性力学和塑性力学是现代固体力学的分支、是固体力学的两个重要部分，固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（载荷、温度交化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的学科分支。弹性力学和塑性力学的任务，一般就是在实验所建立的关于材料变形的力学基础上，用严谨的数学方法来研究各种形状的变形固体在外荷载作用下的应力、应变和位移。

弹性力学又称弹性理论，是固体力学最基本也是最主要的内容，从宏观现象规律的角度，利用连续数学的工具研究任意形状的弹性物体受力后的变形、各点的位移、内部的应变与应力的一门科学，它的研究对象是“完全弹性体”。

塑性力学又称塑性理论，是研究物体塑性的形成及其应力和变形规律的一门科学，它是继弹性力学之后，对变形体承载能力认识的发展深化。

弹塑性理论研究的对象是弹性体，指的是一种物体在每一种给定的温度下，存在着应力和应变的单值关系，与时间无关。通常这一关系是线性的，当外力取消后，应变随即消失，物体能够恢复原来的状态，同时物体内的应力也完全消失。

弹塑性理论在工程上有着广泛的应用，经常结合有限元软件分析结构及杆件产生的内力、位移、变形等条件判断结构是否满足安全性、耐久性等其他方面的要求。

一、弹塑性力学在材料上的应用

1.1 三轴围压下砂浆弹塑性损伤变形的研究

水泥砂浆可以视为无粗骨料的混凝土，在工程上有着广泛的应用，其力学性能的研究也得到广泛的关注。

砂浆材料作为一种类岩石材料，其三轴围压作用下的力学行为作为表征其材料性质的一个重要方面。大量的实验结果表明，应力状态对脆性材料的力学性能有着重要影响。一般情况下，对于许多脆性材料，在单轴加载或低围压下，表现出明显的脆性特性；而随着围压的增大，试件的强度和韧性都有着显著地提高。然而，据目前的研究现状而言，对于砂浆材料三轴压缩状态下的力学响应的研究成果较少，在模拟方面大多数是基于唯象模型，缺乏结构的信息，模型结构没有材料内部的结构变化相联系。因此，利用基于微观物理机制的本构模型研究三轴压缩状态下的砂浆材料的力学响应有着非常重要的科学意义。

材料的变形虽然复杂多样，但其力学行为取决于它的微结构、微结构物理性质及其演化。近年来，基于材料微观物理机制的连续介质本构模型迅速发展，如虚内键模型、准连续介质模型以及近年来由邓守春等人建立的构元组集模型。构元组集模型从材料的微观物理机制出发，砂浆的弹塑性损伤变形的研究是基于对

泛函数和Cauchy-born 准则，抽象出弹簧束构元和体积构元，组集两种构元的力学响应，给出了材料的弹性损伤的本构关系；考虑滑移作为主要的弹塑性变形机制，提出了滑移构元，给出了材料的塑性本构关系利用变形分解机制，得到了三种构元共同描述的弹塑性损伤的本构关系。阐述了给定应变条件下弹塑性损伤本构关系的迭代流程。从材料细观变形角度解释了随着围压增加，材料的承载能力增加的现象，初步验证了弹塑性理论处理非比例加载的问题。

1.2 基于弹塑性理论计算钢筋锈胀力

以弹塑性为基础，视钢筋混凝土为半脆性材料，取外半径为)(c R +、内半径为R 的厚壁圆环为研究对象，根据厚壁筒原理，假定材料的体积不可压缩，外部混凝土受到钢筋锈蚀的挤压经过弹性阶段、弹塑性阶段和塑性阶段三种状态。由于混凝土的非均质性，在混凝土开裂之前会存在一定的塑性，故裂缝出现在弹塑性阶段，在弹塑性阶段弹塑性区与弹性区的交界处应力θσ将达到最大。为简化计算，忽略混凝土与钢筋之间的间隙，如图1所示。

图1 弹塑性状态下混凝土所受内压力

弹性区应力分布：

()()s s s r p r c R r c R r ??????+--+=2222

2

1σ (1) ()()s s s p r c R r c R r ??????++-+=

2222

21θσ (2) 塑性区应力分布： R r p s r ln 32σσ+

-= (3) ??

?

??++-=R r p s ln 132

σσθ (4) 式中，r σ为径向正应力；θσ为环向正应力；p 为钢筋与混凝土接触处的锈胀力、

s p 为塑性区与弹性区分界处的锈胀力；s σ为屈服应力。

在s r r =处，由于它是塑性区的外壁，利用塑性区的径向正应力公式可得：

()R r p p s s r r r s s ln 3

2σσ-=-== (5) 同时，在s r r =处，由于它也是弹性区的内壁，故应力s p 应是弹性极限压力，将是(1)、(2)代入Miss 屈服条件

()r σσσθ-=

32 求得等效应力：

2222

2])[()(3r

r c R c R r p s s -++=σ 当s r r =时，混凝土首先打到屈服，该处等效应力：

222)()()(3s

s r r r c R c R p s -++===σσ 则由弹性极限压力公式可得：

3

])(1[22s s s c R r p σ+-= (6) 由式(5)、(6)可得：

p r c R R

r c R r c R p s s s s ])[(ln )(2])[(22222-+++-+= (7) 由式(2)、(7)可得：

p r c R R

r c R r c R s s s r r s ])[(ln )(2)(22222)(-+++++==θθ 当环向应力达到混凝土的抗拉极限应力tk f 时，即产生裂缝，上式可表示为：

p r c R R

c R r c R f s s s tk ])[(ln )(2)(22222-+++++= 或

tk s s s f r c R r c R R r c R p 2

2222)(])[(ln

)(2++-+++= (8)

对式(8)求导，利用matlab 求方程，可得到max p p =下的s r ，即：

}21])([21{22Re -+=R e c R lambertw s r (9)

式中，lambertw(m)为matlab 中的内置函数，即方程m xe x =的解。将式(9)代入式

(8)即可求得钢筋的临界锈胀力。

二、基于弹塑性力学理论分析工程构件的内力变形等 2.1 钢筋混凝土壳体结构弹性理论分析

壳体结构是由曲面形板与边缘构件组成的空间结构。壳体结构具有很好的空间传力性能，能以较小的构件厚度形成承载力高、刚度大的承重结构，能覆盖或围护大跨度的空间而不需要中间支柱，能兼承重结构和围护结构的双重作用，从而节约结构材料。

壳体结构可做成各种形状，以适应工程造型的需要，因而广泛的应用于工程结构中，如大跨度建筑物顶盖、中小跨度屋面板、工程结构与衬砌、各种工业用管道压力容器与冷却塔、反应堆安全壳、无线电塔、贮液罐等。工程结构中采用的壳体多由钢筋混凝土做成。钢筋混凝土壳体结构有很多的优点，首先，混凝土壳体结构工程造价较低，屋面自重轻，造型美观，而且节约材料。其次，这种结构的受力性能很好，整个结构所受弯矩很小，基本是轴力作用，另外混凝土是受压性能很好的材料。

薄壳能承受很大的正向力（或法向力N x 和N y ）和板面内的顺剪力S ，见图

2。这些内力都作用在曲面内，且与曲面相切，故都可以称之为曲面应力或切向力。又称为薄膜应力，也称这些内力为直接应力。

横向受荷传力的梁，材料不能充分利用，并非经济的结构形式。而以曲杆承

荷传力的拱能进一步发挥材料性能。壳体与此相

仿，以曲板承荷传力。它不像拱是单向受荷传力的

平面结构，面是双向受荷传力的空间结构，这是空

间壳与平面拱的根本区别之一。

顺剪力S 的存在是壳与拱的根本区别之二。拱

以直接应力（只有轴向力）只能承受一种形式（曲

线均布）荷载。而壳体因有顺剪力S ，能以直接应

力（有正向力N x 和N y 与顺剪力S ）抵抗任何形式

的荷载。这也是壳优于拱的性能之一。

壳体结构分析，一般包含两种截然不同的应用理论。其一为“薄膜理论”通常应用于整个壳体结构的绝大部分。第二种理论是考虑弯曲效应的“弯曲理论”或称“一般理论”。这一理论可用以分析在荷载或结构不连续处邻近的局部区域

所发生的不连续应力。

通常认为，如果壳体的厚度h 远小于壳体中面的最小曲率半径R (h/R≤

0.02)，则称为薄壳，壳体理论基于以下基本假设。

①Kirchhoff 直法线假设，即壳体中面法线变形过程中保持为直线，且中面法线与其垂直线段之间的直角也保持不变，这意味着忽略这两个方向的剪切变形；②垂直于中面方向的挤压应力较小，由它所产生的应变可忽略不计；③与中面平行的截面上的正应力远小于其垂直面上的正应力，因而可以忽略它对变形的影响；④壳体上的体力和面力都可以简化为作用于中面的荷载。

对于薄壳，理想的薄膜没有抵抗弯曲和扭曲的能力，只能承受位于中面内的轴向力N1、N2和顺剪力S12=S21的作用见图3，这些内力统称为薄膜内力。但若壳体的抗弯刚度所引起的作用不能忽略时，壳体中就会产生弯曲内力，弯曲内力是由于壳体中面的曲率和扭率的改变而产生的，包括弯矩M1、M2，竖向剪力Q1、Q2和扭矩M12=M21，见图3。

由于薄膜内力沿壳体厚度均匀分布，而且以压力为主，材料的利用最充分，可充分发挥混凝土的抗压作用，因而当壳体主要通过薄膜内力传递荷载时，材料最省，重量最轻，结构效率最高。而弯曲内力不仅分布不均匀，而且可能出现拉应力从而引起混凝土的开裂。所以，使薄壳尽可能地避免或限制弯曲内力，使其处于薄膜内力状态，成为薄壳结构设计的主要任务。

壳体结构的基本方程：（1）几何方程采用正交曲线坐标系，根据壳体理论的基本假设，由弹性体在正交曲线坐标下的集合方程，可以推导薄壳的几何方程，共三个方程；（2）物理方程根据壳体理论的第三个基本假设，不考虑Z轴方向的应力对变形的影响，将内力用中面形变量，积分推导后可以得出薄壳的物理方程的内力表达式，由表达式可以得到，在薄壳体中，由薄膜力N1，N2和S引起的应力沿壳厚均匀分布，弯矩和扭转引起的弯矩应力沿厚度直线分布；（3）平衡方程在曲线坐标系下，考虑壳微元，同时将外荷载折算为单位中面面积的荷载分量Ｘ，Ｙ和Ｚ。

2.2 自由杆对简支梁的多次弹塑性撞击

柔性结构的弹塑性撞击是航空、航天、船舶、和机械领域中普遍存在的问题，对此类问题的研究分析，是工程领域的一项长期又艰巨的重要的任务。

可以通过弹塑性理论对自由杆件多次弹塑性撞击进行分析，将单轴压结模型应用于模拟多次撞击的分离过程中接触区的弹塑性接触行为，推导出弹性杆件和弹塑性梁的动力学方程并采用有限差分方法加以求解，研究了弹性自由杆撞击弹塑性简支梁的全过程。研究发现自由杆与简支梁的水平撞击过程实际上是一个复杂的多次弹塑性撞击过程，整个撞击过程包含两个以上的明显撞击区，每个撞击区包含了形式多样的复杂撞击过程。与第一个撞击区相比，剩余撞击区的撞击冲量不可忽略，所以多个撞击区将对撞击系数产生重要影响。撞击产生的纵向应力波在弹性杆件中的传播和反射，直接影响多次弹塑性撞击行为，使得撞击过程初期出现了撞击突降为零的现象。杆撞击端曲率对第一次撞击力峰值影响明显，但对整个撞击过程中的动力学特征影响有限。

工程技术人才必须具有坚实的力学基础，而弹塑性力学是力学基础的重要环节，是高等工程类人才知识结构中必不可少的部分。对研究生而言，弹塑性力学是工程技术基础学科，是工科院校工程力学土木工程等专业必须的一门课程，土木工程专业的硕士研究方向一般是桥梁、道路与铁道、结构工程、防灾减灾、岩土等方面，这些方向都是以弹塑性力学的知识为基础，弹塑性理论在工程上具有广泛的应用。

武汉大学弹塑性力学简答题以及答案

弹塑性力学简答题 2002年 1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 3两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？ 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量、、不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。

卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。 中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。 7用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？协调方程和边界条件。 8薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？ 平面内应力分量最大，最主要的是应力，横向剪应力较小，是次要的应力；z方向的挤压应力最小，是更次要的应力。 9什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？ 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。 10什么是随动强化？试用单轴加载的情况加以解释？ 2004 1对于各项同性线弹性材料，应用广义胡克定律说明应力与应变主轴重合？ ，当某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零，这说明应力的主方向与应变的主方向重合。 2应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3虚位移原理等价于哪两组方程？这说明了什么？

应用弹塑性力学李同林第四章

应用弹塑性力学李同林第四章 这是变形理论。这个理论首先由亨斯基提出，然后由前苏联的伊留申进一步完善。问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。因此，这个理论也被称为亨奇-伊柳辛理论。伊柳欣的变形理论应该满足几个条件: (1)外载荷(包括体力)成比例增加，变形体处于主动变形过程中(即应力强度无中间卸载)； (2)材料所用体积不可压缩，采用泊松比μ = 1/2进行计算；(3)材料的应力-应变曲线具有幂强化形式，即 或者 ； 在变形过程中 (4)满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。满足上述条件后，变形理论将给出正确的结果。如果负载没有成比例地增加，则外部负载成比例地增加是简单负载的必要条件。这样不仅不能保证物体内部的简单加载状态，而且物体表面也不能满足简单加载条件。体积不可压缩性和泊松比μ=1/2的假设不仅简化了具体计算，而且与实验结果基本一致，因此变形理论的物理关系主要表现为应力挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。 法律。 使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，但实际上该模型对不同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数a的指

数m来拟合拉伸曲线。采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件，而且证明了简单加载定理。他提出，在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正比，即: 如果使用主应力，有 等效应变的表达式为: 从这里 因此，Hench-Ilyushin理论的应力-应变关系可以写成如下: 展开等式(4-84): 根据胡克定律(4-33)，弹性应变为: 因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程(4-85)和(1)获得: 公式(4-86)可以缩写为: 实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为R，平均直径为D，壁厚为T，圆筒长度为L，并且承受内压P以产生塑性变形。材料是各向同性的。尝试找到: (1)如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一点处增加； (2)如果材料是不可压缩的，即μ=1/2，圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。 因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力ζr=0。

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系

可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，

已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。

弹塑性力学理论及其在工程上的应用

弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用 第一章 弹塑性力学的基本理论 （一）应力理论 1、 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作 用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如 将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上 的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?， 如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S F S 0lim 2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。

当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无 关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。 （1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均 为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0) (2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ δ ττz zy z zx 图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z 轴的任一微小面积上均有 0=z σ， 0==zy zx ττ 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为 ???? ??????=00000y yx xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分 布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位

应用弹塑性力学 李同林 第四章

第四章弹性变形·塑性变形·本构方程 当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。 在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式(3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。 大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。 在图4-1中，OA段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用虎克定律来表示: ζ=Eε(4-1) 式中E为弹性模量，在弹性变形过程中，E为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作ζP。由A点到B 点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作ζr。对于许多材料，A点到B点的间距很小，也即ζP与ζr数值非常接近，通常并不加以区分，而均以ζr表示，并认为当应力小于ζr时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于ζr时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由O到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作ζs。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到0.01。由E点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于OA线的MO'''(或HO'、KO'')路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O'''(或O'、O'')重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着O'''MFG (或O'HEFG、O''KFG)变化，在M点(或H点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。

《工程弹塑性力学》习题

《工程弹塑性力学》习题 1、（1）试分析下列应力函数可解什么样的平面应力问题： 2232 343y q c xy xy c F +???? ??-=? （2）为使函数φ(r ，z)＝C(r 2十z 2)n 能够作为轴对称情况下的应力函数，式中n 应为何值? 2、已知下列应力状态： Pa ij 5101138303835????? ??????=σ 试求八面体正应力与剪应力。 3、已知材料的真实应力应变曲线为：B T =σ? n 或 m T c εσ=，试证： n e m --=1 4、试证： ()dV u dS u n dV u u i V j ij i j s ij i j j i ij V ???????-=+,,,21σσσ 5、试证图示悬臂梁的应变能公式及泛函ΠP 为： ()dx w EJ U l 20 ''21?= 及 () ()()l Fw l Mw Pw dx w EJ l l P +--=∏??0'20''21 并说明其附加条件 6、试求图示斜坡的最大承载能力。 7、对Mises 屈服条件，证明 8、已知理想弹塑性材料的悬臂梁，一端受集中力P 作用，如此杆的截面ij ij ij s J f =σ??=σ??2

为矩形，其尺寸为h b 2?，弹性模量E ，屈服极限为s σ，试求作用点的挠度值。 9、试证明虚位移与虚应力原理是下列高斯散度定理的特殊情况： dS u T dS u T dV u F dV i S i i S i i V i ij V ij u T ????????++=εσ 10、名词解释 1、主平面、主应力、应力主方向 2、李兹法 3、工程应变 4、滑移线 5、Drucker 公设 6、伽辽金法 7、壳体、壳体的厚度、中曲面 8、屈服面、屈服函数 9、增量理论 10、完全解 11、简答题 1、什么是八面体及其特点？ 2、阐述弹性力学的平面问题的基本假设？ 3、矩形、圆形薄板弯曲的三类边界条件的区别？ 4、在大应变问题中，为什么只有用自由应变才能得出合理的结果？ 5、Tresca 和Mises 的屈服条件的比较？ 6、论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 7、各向均匀受压对金属材料体积的影响及写出Bridgman 提出p 与单位体积的关系式。 8、阐述弹性本构理论的特点？ 9、阐述滑移线的性质？ 12、（1）矩形薄板其边界条件见图，不受 横向载荷(q ＝0)，但在两个简支边上受有均 布弯矩M ，在两个自由边上受均布弯矩 μM ，证明：ω＝f(x)能满足一切条件，并求 出挠度、弯矩和反力。

(完整版)弹塑性力学作业(含答案)

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）

我所认识的弹塑性力学知识交流

我所认识的弹塑性力学 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。 一绪论 1、弹塑性力学的概念和研究对象 弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。 2、弹塑性简化模型及基本假定 在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性

假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。 3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别 一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。 弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别

工程弹塑性力学题库及答案

第一章弹塑性力学基础 1.1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 1.2对照应力张量与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 解：两者主方向相同。。 1.3 简述应力和应变Lode参数定义及物理意义： 解：μσ的定义、物理意义：； 1) 表征S ij的形式；2) μσ相等，应力莫尔圆相似，S ij形式相同；3) 由μσ可确定S1：S2：S3。 1.4设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应 力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解：该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为：

1.5利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解：求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为， 1.6 已知应力分量为，其特征方程为 三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求以及与的关系。 解：求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系

代入数据得，， 1.7已知应力分量中，求三个主应力。 解：在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 1.8已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解：先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。 由此求得： 然后求得：，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 1.9 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个

弹塑性力学习题题库加答案

第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 306.768 6.77() 104 sin 2cos 2sin 602cos 6022 1 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα=----+= ?+= ?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ xy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 602 2 1 32 3.598 3.60()2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+=----+=- ?+=- ?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3

c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = 　；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-????+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τ n 。 题—图 16

弹塑性力学总结

应用弹塑性力学读书报告 姓名： 学号： 专业：结构工程 指导老师：

弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学） 假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

弹塑性力学习题及答案

1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题 解答 Revised on November 25, 2020

应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，，

，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得

第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，， ，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得 则主应变有

(整理)弹塑性力学答案

一、简答题 1答：（1）如图1所示，理想弹塑性力学模型： e s s e E E σε εεσεσεε=≤==>当当 （2）如图2所示，线性强化弹塑性力学模型： () 1e s s e E E σε εεσσεεεε=≤=+->当当 （3）如图3所示，幂强化力学模型：n A σε= （4）如图4所示，钢塑性力学模型：（a ）理想钢塑性： s s εσσεσσ=≤=>当不确定 当 （b ）线性强化钢塑性： ()0 /s s s E εσσεσσσσ=≤=->当当 图1理想弹塑性力学模型 图2线性强化弹塑性力学模型 图 3幂强化力学模型 （a ） （b ） 图4钢塑性力学模型 2答：

3答：根据德鲁克公设， ()00,0p p ij ij ij ij ij d d d σσεσε-≥≥。在应力空间中，可将0ij ij σσ-作为向量ij σ与向量0 ij σ之差。由于应力主轴与应变增量主轴是重合的，因此，在应力空间 中应变增量也看作是一个向量。利用向量点积的定义： ()0 0cos 0p p ij ij ij ij ij ij d σ σεσσε?-=-≥，?为两个向量的夹角。由于0ij ij σσ-和p ij ε都是 正值，要使上式成立，?必须为锐角，因此屈服面必须是凸的。 4 答：逆解法就是先假设物体内部的应力分布规律，然后分析它所对应的边界条件，以确定这样的应力分布规律是什么问题的解答。 半逆解法就是针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的函数，从而推断出应力函数，从而用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。如果能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确的解答。否则需另外假定，重新求解。 二、计算题 1解：对于a 段有：0N a a a a F A E a a σσεε==?= ，对b 段有：0 N b b b b P F A E b b σσεε-==?= 又a b ?=? 则N bP F a b = + 2解：代入公式，116I =，227I =-，30I = 故117.5MPa σ=，20MPa σ=， 3 1.5MPa σ=- ()0123/3 5.33MPa σσσσ=++= 08.62MPa τ= = 3解：（1）代入公式，110I =，2200I =-，30I = 故主应力：120MPa σ=，20MPa σ=， 310MPa σ=-

弹塑性力学(工学专业工程硕士研究生)复习题

复习题 一、选择题 01．受力物体内一点处于空间应力状态（根据oxyz 坐标系），一般确定一点应力状态需（ ）独 立的应力分量。 A ．18个； B ．9个； C ．6个； D ．2个； 02．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小（ ）。 A ．一般不等于零； B ．等于极大值； C ．等于极小值； D ．必定等于零 ； 03．一点应力状态主应力作用截面和主剪应力作用截面间的夹角为（ ）。 A ．π/2； B ．π/4； C ．π/6； D ．π； 04．正八面体单元微截面上的正应力σ8为：（ ）。 A ．零； B ．任意值； C ．平均应力； D ．极值； 05．从应力的基本概念上讲，应力本质上是（ ）。 A ．集中力； B ．分布力； C ．外力； D ．内力； 06．若研究物体的变形，必须分析物体内各点的（ ）。 A ．线位移； B ．角位移； C ．刚性位移； D ．变形位移； 07．若物体内有位移u 、v 、w （u 、v 、w 分别为物体内一点位置坐标的函数），则该物体（ ）。 A ．一定产生变形； B ．不一定产生变形； C ．不可能产生变形； D ．一定有平动位移； 08．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系（ ）的关系式。 A ．应力分量与应变分量； B ．面力分量与应力分量； C ．应变分量与位移分量； D ．位移分量和体力分量； 09．当受力物体内一点的应变状态确定后，一般情况下该点必有且只有三个主应变。求解主应变的方程可得出三个根。这三个根一定是（ ）。 A ．实数根； B ．实根或虚根； C ．大于零的根； D ．小于零的根； 10．固体材料受力产生了塑性变形。此变形过程（ ）。 A ．必定要消耗能量； B ．必定是可逆的过程； C ．不一定要消耗能量； D ．材料必定会强化； 11．理想弹塑性模型, 这一力学模型抓住了（ ）的主要特征。 A ．脆性材料； B ．金属材料； C ．岩土材料； D ．韧性材料； 12．幂强化力学模型的数学表达式为σ=A εn ，当指数n=1时，该力学模型即为（ ）。 A ．理想弹塑性力学模型； B ．理想线性强化弹塑性力学模型； C ．理想弹性模型； D ．理想刚塑性力学模型； 13．固体材料的弹性模E 和波桑比ν（即横向变形系数）的取值区间分别是：（ ）。 14．应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶偏导数(0ij ij U σε?=?)此式是用于（ ）。 A ．刚体； B ．弹性体； C ．弹塑性体； D ．刚塑性体 ； 15．主应力空间π 平面上各点的（ ）为零。 A ．球应力状态m ij σδ； B ．偏斜应力状态ij s ； C ．应力状态ij σ； D ．应变状态ij ε； 16．在π 平面上屈服曲线具有的重要性质之一是（ ）。 A ．坐标原点被包围在内的一条封闭曲线； B ．一条封闭曲线； C ．坐标原点被包围在内一条开口曲线； D ．一条封闭折线； 17．Tresca 屈服条件表达式中的k 为表征材料屈服特征的参数，其确定方法为：若用简单拉伸试

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第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=??+=?……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=?? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ?++?=±=????=?=±?=? 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3

应用弹塑性力学1

弹塑性力学课程总结 主要内容： 1.应力分析 2.应变分析 3.弹性与塑型应力与应变的关系 4.弹性与塑性力学的解题方法 5.旋转圆盘的分析 第一章 应力分析 1．点的应力状态：①定义——合力dP 与面积微元dS 的比值 ②描述方法（3个正应力分量与3个剪应力分量可以描述点 的应力状态）； ③分解：意义、方法（m ij ij ij σδσσ+=' ）、图示 2．特殊应力： ①主应力（相互正交），含义/求解？ '3 '2'1'3 21321,,,,,,I I I I I I ij ij →→→σσσσσ ②最大剪应力 （主应力平面上的剪应力为零；最大剪应力位于坐标 轴分角面上，而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一 半）且最大剪应力为： 23 1max σστ-= ③等倾面上的正应力和剪应力 等倾面即和三个主应力轴成相同角 度的面满足 12 22=++n m l ④ 平均应力（静水压力） 只产生体积缩胀，不产生形变；抑制裂 纹扩展。满足： () 321031 σσσσ++= ⑤应力偏量 ?? ?≠==j i j i ij 当当01δ 从而有 ij ij ij s +=0σδσ 3平衡微分方程：

熟悉35页公式1-39与37页1-40 第二章 应变分析 1．点的应变状态：定义、描述、分解 a 正应变（变形分布均匀） l l l x -= ε b 用位移表示应变的几何关系47页式 （2-8） 柱坐标应变的几何方程48页式 （2-9） 球坐标应变的几何方程50页式 （2-12） 2．应力、应变分析的相似性与差异性（概念、分解、表示、相容性等） 一点的应变状态可以用50页式 （2-13） 3. 应变张量和应变偏量（注意：主应变、主剪应变形式差别） 31max εεγ-= 4. 应变协调方程 见67页式 （2-40） 柱坐标的变形协调方程见68页式 （2-41） 第三章 弹性与塑性应力应变关系 应力与应变的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。 注意复习与掌握5组基本方程： 1. 应力平衡微分方程：含义：表征点的应力之间的关系（基体假设的应用，平面问题的具体形式） 2．几何方程：含义：位移-应变的关系 3．物理方程：广义虎克定律 含义：σ—ε关系 ①公式；②参数含义、关系 ()μ+= 12E G a 胡克定律用应力表示应变见85页式 （3-15） b 胡克定律用应变来表示应力见87页式 （3-18） 4．应变协调方程（相容方程，连续方程）：含义，平面问题的相容方程（塑性变形连续方程：） 0321=++p p p εεε a 特雷斯卡屈服条件见90页式 （3-21） b 米泽斯屈服条件见式 （3-23） c 熟悉特雷斯卡条件(1、2、3）与米泽斯条件（1、2、3）的不同处与相同处（1、2） d 塑性应力应变关系（增量理论）：莱维-米泽斯本构方程（100）(3-31) 普朗特-罗伊斯本构方程（102）(3-39) （全量理论）：亨奇-伊柳辛变形理论 （111）(3-49)

弹塑性力学试题答案完整版

弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25） 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -?? =-????-? ?，其中()13 m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率； 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点： 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ??????????? ????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即