材料力学-切应力计算

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第四章 弹性杆横截面上的切应力分析

§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力

梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有切应力 τ。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1．矩形截面梁

对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致。由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。又因截面高度h 大于宽度b ，切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：

1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。

2）切应力沿截面宽度均匀分布。

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图4-16c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图4-16d ）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微

块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 图4-16

图4-15

2

*1I 1**z z A

z A S I M dA I My dA N ==

=??σ （4-29） *1II 2)()(**z z A

z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+=

=??σ (4-30) 式中，*A 为微块的侧面面积，)(

II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力，?=

*

1*A z dA y S 。 由微块沿x 方向的平衡条件∑=0x ，得

021='-+-dx b N N τ （4-31）

将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得 0*='-bdx S I dM z z

τ 故 z

z bI S dx dM *='τ 因ττ='=,Q F dx

dM ，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力τ为 z z

Q bI S F *=τ （4-32）

式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q F 为截面上的剪力； z I 为整个截面

对中性轴z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度；*y S 为面积*A 对中性轴的静矩。

对于矩形截面梁（图4-17），可取1bdy dA =，于是

)4

(2222111*y h b dy by dA y S h y A z -===?? 这样，式（4-32）可写成

)4

(222

y h I F z Q -=τ 上式表明，沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化（图

4-17）。

在截面上、下边缘处，y=±

2

h ,τ=0；在中性轴上，y=0，切应力值最大，其值为

3 A

F Q 23max =τ （4-33） 式中A =bh ,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的2

3倍。

2．圆形截面梁

在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线aa 1两

端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y 轴上的c 点。因

此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应

力的方向皆平行于剪力F Q ，设为均匀分布，其值为最大。由式

（4-32）求得 A Q 34max =

τ （4-34） 式中24

d A π=

，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的34倍。 3．工字形截面梁

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其值为

Z z Q dI S F max max )(*=

τ 式中（S *z ）m ax 为中性轴一侧截面面积对中性轴

的静矩。对于轧制的工字钢，式中的

max

*)(z z S I 可以从型钢表中查得。 计算结果表明，腹板承担的剪力约为

（0.95~0.97）F Q ，因此也可用下式计算τ

m ax 的

近似值 d h F Q

1max ≈τ

式中h 1为腹板的高度，d 为腹板的宽度。

材料力学的基本计算公式

材料力学的基本计算公式

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材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律

8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材 料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）

18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0/10 ，R0为圆管的平均半 径）扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关 系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,

材料力学常用公式

材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功 率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件 横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标 距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力 ，脆性材料 ，塑 性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所 求点到圆心距离r） 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式

20.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不 同（如阶梯轴）时 或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料 ；脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公 式, 28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力， ，33.三向应力状态最大与最小正应力 , 34.三向应力状态最大切应力 35.广义胡克定律

材料力学-切应力计算

第四章弹性杆横截面上的切应力分析 § 4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但一般情况下，切应力 对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面 上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1.矩形截面梁 对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q。现分析距中性轴z为y的横线aa1 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa1两端的剪应力必与截面两侧边相切， 即与剪力F Q的方向一致。由于对称的关系，横线aa i中点处的剪应力也必与F Q的方向相同。 根据这三点剪应力的方向，可以设想aa i线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q。又因截面高度h大于宽度b,切应力的数值沿横线aa i不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj力F Q。 2）切应力沿截面宽度均匀分布。 图4-15 图4-16 基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16c所示，现欲求距中性 轴z为y的横线aa1处的切应力。过aa1用平行于中性层的纵截面aa2C1自dx微段中截出 一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为N1和N2，其中

y 1dA 。 A * 由微块沿x 方向的平衡条件 这样，式（4-32）可写成 N 1 I dA A * My 1 dA Ms ； z A * I z (4-29) N 2 II dA (M dM)y 1dA A * A * I z (M dM)。 * ^n^Sz (4-30) 式中，A 为微块的侧面面积， （ii ）为面积 A 中距中性轴为 y i 处的正应力， 将式 N 1 N 2 （4-29）和式（4-30）代入式 dM * nr S z bdx 0 4-31)，得 bdx 0 dM S ； dx bI z (4-31) 因 F Q , dx ，故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力 * F Q S Z bn (4-32) 式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中， F Q 为截面上的剪力; I z 为整个截面 对中性轴z 的惯性矩；b 为横截面在所求应力点处的宽度; S y 为面积A *对中性轴的静矩。 对于矩形截面梁（图4-17），可取dA bdy i ，于是 * S z y i dA A 2(h y 2) 电( h! y 2) 上式表明，沿截面高度剪应力 4-17 ）。 按抛物线规律变化（图 在截面上、下边缘处，y= ± h , =0；在中性轴上，y=0， 2 切应力值最大，其值为 ■ 1 1 r 尸蛰 T *17 A" y 图 4-17 * S z 0,得

材料力学的基本计算公式

材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1、弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2、轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力FN，横截面面积A，拉应力为正） 3、轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4、纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5、纵向线应变和横向线应变 6、泊松比 7、胡克定律 8、受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9、承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10、轴向拉压杆的强度计算公式1 1、许用应力，脆性材料，塑性材料1 2、延伸率1 3、截面收缩率1 4、剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）1 5、拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式1 6、圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆1

7、圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r ）1 8、圆截面周边各点处最大切应力计算公式1 9、扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆20、薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式2 1、圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式2 2、同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或2 3、等直圆轴强度条件2 4、塑性材料；脆性材料2 5、扭转圆轴的刚度条件? 或2 6、受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,2 7、平面应力状态下斜截面应力的一般公式 ,2 8、平面应力状态的三个主应力 , ,2 9、主平面方位的计算公式30、面内最大切应力3 1、受扭圆轴表面某点的三个主应力，，3 2、三向应力状态最大与最小正应力 ,3 3、三向应力状态最大切应力3 4、广义胡克定律3 5、四种强度理论的相当应力3

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所示。梁的横截面尺寸如图4-16c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图4-16d ）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 * 1I 1** z z A z A S I M dA I My dA N == =??σ （4-29） * 1II 2)()(* * z z A z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+= =??σ (4-30) 式中，*A 为微块的侧面面积， )(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处 的正应力，?=* 1*A z dA y S 。 由微块沿x 方向的平衡条件∑=0x ，得 21='-+-dx b N N τ （4-31） 将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得 0* ='-bdx S I dM z z τ 故 z z bI S dx dM * = 'τ 因 ττ='=,Q F dx dM ， 故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪 应力τ为 z z Q bI S F *= τ （4-32） 式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q F 为截面上的剪力； z I 为整个截面对中性轴z 的惯性矩；b 为横截面在所求应 力点处的宽度；* y S 为面积*A 对中性轴的静矩。 对于矩形截面梁（图4-17），可取1bdy dA =，于是 )4 (222 2111* y h b dy by dA y S h y A z -===? ? 这样，式（4-32）可写成

材料力学切应力计算

第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 §4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力 梁受横弯曲时,虽然横截面上既有正应力 σ,又有切应力 τ。但一般情况下,切应力对梁的强度与变形的影响属于次要因素,因此对由剪力引起的切应力,不再用变形、物理与静力关系进行推导,而就是在承认正应力公式(6-2)仍然适用的基础上,假定剪应力在横截面上的分布规律,然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1.矩形截面梁 对于图4-15所示的矩形截面梁,横截面上作用剪力F Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理,横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切,即与剪力F Q 的方向一致。由于对称的关系,横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向,可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。又因截面高度h 大于宽度b,切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化,可以认为就是均匀分布的。基于上述分析,可作如下假设: 1)横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。 2)切应力沿截面宽度均匀分布。 基于上述假定得到的解,与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段,其左右截面上的内力如图4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图4-16c 所示,现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块(图4-16d)。根据切应力成对定理,微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 与2N ,其中 图4-16 图4-15

材料力学公式汇总

材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??= →?lim 正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限 s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材 料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ= ， []b b n σσ= ，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 [] σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1， 沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?=ε， A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -= ?= 1' ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φ ργτρρ==。力 学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ? ? ? == = 2 2 ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T = = max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：??= = l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl = ? 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d = = '??，][max max ??'≤='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系 )()(x q dx x dQ =； ()()x Q dx x dM =； () ()()x q dx x dQ dx x M d == 2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。

材料力学的基本计算公式

材料力学的基本计算公 式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件 横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹 角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4. 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试 样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6. 7.纵向线应变和横向线应变 8. 9.泊松比 10.胡克定律

11.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 12.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算 公式 13.轴向拉压杆的强度计算公式 14.许用应力，脆性材料，塑性 材料 15.延伸率 16.截面收缩率 17.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 18.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关 系式 19.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 20.（b）空心圆

21.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭 矩T，所求点到圆心距离r） 22.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 23.扭转截面系数，（a）实心圆 24.（b）空心圆 25.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均 半径）扭转切应力计算公式 26.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的 关系式 27.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 28.等直圆轴强度条件 29.塑性材料；脆性材料

材料力学切应力计算精编

材料力学切应力计算精 编 Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986

第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 §4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有切应力 τ。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1．矩形截面梁 对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致。由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。又因截面高度h 大于宽度b ，切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。 2）切应力沿截面宽度均匀分布。 图4-16

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图4-16c 所示，现欲求距 中性轴z 为y 的横线1aa 处的切 应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图4-16d ）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 * 1I 1** z z A z A S I M dA I My dA N == =??σ （4-29） *1II 2)()(* * z z A z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+= =??σ (4-30) 式中，*A 为微块的侧面面积，)(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力，?= * 1 * A z dA y S 。 由微块沿x 方向的平衡条件∑=0x ，得 021='-+-dx b N N τ （4-31） 将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得 图4-15

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精品文档 第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 §4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有切应力 τ。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1．矩形截面梁 对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致。由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。又因截面高度h 大于宽度b ，切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。 2）切应力沿截面宽度均匀分布。 基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图4-16c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图4-16d ）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 图4-16 图4-15