正玄余玄正切值对照表
82 0.990268069 0.139173101 7.115369722
83 0.992546152 0.121869343 8.144346428
84 0.994521895 0.104528463 9.514364454
85 0.996194698 0.087155743 11.4300523
86 0.99756405 0.069756474 14.30066626
87 0.998629535 0.052335956 19.08113669
88 0.999390827 0.034899497 28.63625328
89 0.999847695 0.017452406 57.28996163
90 1 0 /
91 0.999847695 -0.017452406 -57.28996163
92 0.999390827 -0.034899497 -28.63625328
93 0.998629535 -0.052335956 -19.08113669
94 0.99756405 -0.069756474 -14.30066626
95 0.996194698 -0.087155743 -11.4300523
96 0.994521895 -0.104528463 -9.514364454
97 0.992546152 -0.121869343 -8.144346428
98 0.990268069 -0.139173101 -7.115369722
99 0.987688341 -0.156434465 -6.313751515 100 0.984807753 -0.173648178 -5.67128182 101 0.981627183 -0.190808995 -5.144554016 102 0.978147601 -0.207911691 -4.704630109 103 0.974370065 -0.224951054 -4.331475874 104 0.970295726 -0.241921896 -4.010780934 105 0.965925826 -0.258819045 -3.732050808 106 0.961261696 -0.275637356 -3.487414444 107 0.956304756 -0.292371705 -3.270852618 108 0.951056516 -0.309016994 -3.077683537 109 0.945518576 -0.325568154 -2.904210878 110 0.939692621 -0.342020143 -2.747477419 111 0.933580426 -0.35836795 -2.605089065 112 0.927183855 -0.374606593 -2.475086853 113 0.920504853 -0.390731128 -2.355852366 114 0.913545458 -0.406736643 -2.246036774 115 0.906307787 -0.422618262 -2.144506921 116 0.898794046 -0.438371147 -2.050303842 117 0.891006524 -0.4539905 -1.962610506 118 0.882947593 -0.469471563 -1.880726465 119 0.874619707 -0.48480962 -1.804047755 120 0.866025404 -0.5 -1.732050808 121 0.857167301 -0.515038075 -1.664279482 122 0.848048096 -0.529919264 -1.600334529 123 0.838670568 -0.544639035 -1.539864964 124 0.829037573 -0.559192903 -1.482560969 125 0.819152044 -0.573576436 -1.428148007 126 0.809016994 -0.587785252 -1.37638192 127 0.79863551 -0.601815023 -1.327044822
128 0.788010754 -0.615661475 -1.279941632
129 0.777145961 -0.629320391 -1.234897157
130 0.766044443 -0.64278761 -1.191753593
131 0.75470958 -0.656059029 -1.150368407
132 0.743144825 -0.669130606 -1.110612515
133 0.731353702 -0.68199836 -1.07236871
134 0.7193398 -0.69465837 -1.035530314
135 0.707106781 -0.707106781 -1
136 0.69465837 -0.7193398 -0.965688775
137 0.68199836 -0.731353702 -0.932515086
138 0.669130606 -0.743144825 -0.900404044
139 0.656059029 -0.75470958 -0.869286738
140 0.64278761 -0.766044443 -0.839099631
141 0.629320391 -0.777145961 -0.809784033
142 0.615661475 -0.788010754 -0.781285627
143 0.601815023 -0.79863551 -0.75355405
144 0.587785252 -0.809016994 -0.726542528
145 0.573576436 -0.819152044 -0.700207538
146 0.559192903 -0.829037573 -0.674508517
147 0.544639035 -0.838670568 -0.649407593
148 0.529919264 -0.848048096 -0.624869352
149 0.515038075 -0.857167301 -0.600860619
150 0.5 -0.86602540 -0.577350269
151 0.48480962 -0.874619707 -0.554309051
152 0.469471563 -0.882947593 -0.531709432
153 0.4539905 -0.891006524 -0.509525449 154 0.438371147 -0.898794046 -0.487732589
155 0.422618262 -0.906307787 -0.466307658
156 0.406736643 -0.913545458 -0.445228685
157 0.390731128 -0.920504853 -0.424474816
158 0.374606593 -0.927183855 -0.404026226
159 0.35836795 -0.933580426 -0.383864035
160 0.342020143 -0.939692621 -0.363970234
161 0.325568154 -0.945518576 -0.344327613
162 0.309016994 -0.951056516 -0.324919696
163 0.292371705 -0.956304756 -0.305730681
164 0.275637356 -0.961261696 -0.286745386
165 0.258819045 -0.965925826 -0.267949192
166 0.241921896 -0.970295726 -0.249328003
167 0.224951054 -0.974370065 -0.230868191
168 0.207911691 -0.978147601 -0.212556562
169 0.190808995 -0.981627183 -0.194380309
170 0.173648178 -0.984807753 -0.176326981
171 0.156434465 -0.987688341 -0.15838444
172 0.139173101 -0.990268069 -0.140540835 173 0.121869343 -0.992546152 -0.122784561 174 0.104528463 -0.994521895 -0.105104235 175 0.087155743 -0.996194698 -0.087488664 176 0.069756474 -0.99756405 -0.069926812 177 0.052335956 -0.998629535 -0.052407779 178 0.034899497 -0.999390827 -0.034920769 179 0.017452406 -0.999847695 -0.017455065 180 0 -1 0
三角函数值表
三角函数值表 sin0=0, sin15=（√6-√2)/4 , sin30=1/2, sin45=√2/2, sin60=√3/2, sin75=(√6+√2)/2 , sin90=1, sin105=√2/2*(√3/2+1/2) sin120=√3/2 sin135=√2/2 sin150=1/2 sin165=（√6-√2)/4 sin180=0 sin270=-1 sin360=0
sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383 sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346 sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087 sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931 sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074 sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474 sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027 sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015 sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675 sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994 sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027 sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731 sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375 sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582 sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475 sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941 sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708 sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474 sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239 sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386 sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678 sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009
三角函数 正切、余切图象及其性质
正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心 （0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])
正玄余玄正切值对照表
82 0.990268069 0.139173101 7.115369722 83 0.992546152 0.121869343 8.144346428
84 0.994521895 0.104528463 9.514364454 85 0.996194698 0.087155743 11.4300523 86 0.99756405 0.069756474 14.30066626 87 0.998629535 0.052335956 19.08113669 88 0.999390827 0.034899497 28.63625328 89 0.999847695 0.017452406 57.28996163 90 1 0 / 91 0.999847695 -0.017452406 -57.28996163 92 0.999390827 -0.034899497 -28.63625328 93 0.998629535 -0.052335956 -19.08113669 94 0.99756405 -0.069756474 -14.30066626 95 0.996194698 -0.087155743 -11.4300523 96 0.994521895 -0.104528463 -9.514364454 97 0.992546152 -0.121869343 -8.144346428 98 0.990268069 -0.139173101 -7.115369722 99 0.987688341 -0.156434465 -6.313751515 100 0.984807753 -0.173648178 -5.67128182 101 0.981627183 -0.190808995 -5.144554016 102 0.978147601 -0.207911691 -4.704630109 103 0.974370065 -0.224951054 -4.331475874 104 0.970295726 -0.241921896 -4.010780934 105 0.965925826 -0.258819045 -3.732050808 106 0.961261696 -0.275637356 -3.487414444 107 0.956304756 -0.292371705 -3.270852618 108 0.951056516 -0.309016994 -3.077683537 109 0.945518576 -0.325568154 -2.904210878 110 0.939692621 -0.342020143 -2.747477419 111 0.933580426 -0.35836795 -2.605089065 112 0.927183855 -0.374606593 -2.475086853 113 0.920504853 -0.390731128 -2.355852366 114 0.913545458 -0.406736643 -2.246036774 115 0.906307787 -0.422618262 -2.144506921 116 0.898794046 -0.438371147 -2.050303842 117 0.891006524 -0.4539905 -1.962610506 118 0.882947593 -0.469471563 -1.880726465 119 0.874619707 -0.48480962 -1.804047755 120 0.866025404 -0.5 -1.732050808 121 0.857167301 -0.515038075 -1.664279482 122 0.848048096 -0.529919264 -1.600334529 123 0.838670568 -0.544639035 -1.539864964 124 0.829037573 -0.559192903 -1.482560969 125 0.819152044 -0.573576436 -1.428148007 126 0.809016994 -0.587785252 -1.37638192 127 0.79863551 -0.601815023 -1.327044822
(完整word版)特殊角三角函数值表
特殊角三角函数值表： 函数名 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦（cos）:角α的邻边比斜边 正切（tan）:角α的对边比邻边余切（cot）:角α的邻边比对边 特殊函数人倒数关系: tanα ?cotα=1sinα ?cscα=1cosα ?secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα 特殊函数人平方关系：sinα2+cosα2=11+tanα2=secα21+cotα=cscα2 以下关系，函数名不变，符号看象限 sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=-tanα cot（π－α）=-cotα sin（2π－α）=-sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=-tanα cot（2π－α）=-cotα 以下关系，奇变偶不变，符号看象限 sin（90°-α）=cosα cos（90°-α）=sinα tan（90°-α）=cotα cot（90°-α）=tanα sin（90°+α）=cosα cos（90°+α）=sinα tan（90°+α）=-cotαcot（90°+α）=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系： sinα ?cosβ=（1/2）*[sin（α+β）+sin（α－β）] cosα ?sinβ=（1/2）*[sin（α+β）－sin（α－β）] cosα ?cosβ=（1/2）*[cos（α+β）+cos（α－β）] sinα ?sinβ=（1/2）*[cos（α+β）－cos（α－β）] 特殊三角函数 - 和差化积公式 sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]
正切三角函数值表
正切函数值表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405 38 0.615661475 0.788010754 0.781285627 39 0.629320391 0.777145961 0.809784033
正切函数和余切函数的图像和性质
正切函数和余切函数的 图像和性质 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用； 教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念： （1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数； y x 2.函数的图像和性质： （1）正切函数的图像： 见正切函数图像课件。 （2）正切函数图像： （3）与切函数的图像： 归纳填表格：
例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3 y x π =-+； （2）221tgx y tg x =+ ； （3）cot tan y x x =-； （4）2 2tan 21tan 2 x y x =-； （5）sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24 y x π =++； （2）tan()123 x y π=-+-； （3）12log cot y x ?= ?? 例3.求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = （3）y =
例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044 x x ππ+-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34 x a π∈∈时，函数max y =a 的值； 例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π∈≠。 求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。
正玄余玄正切值对照表
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*
82 0.990268069 0.139173101 7.115369722 83 0.992546152 0.121869343 8.144346428 84 0.994521895 0.104528463 9.514364454 85 0.996194698 0.087155743 11.4300523 86 0.99756405 0.069756474 14.30066626 87 0.998629535 0.052335956 19.08113669 88 0.999390827 0.034899497 28.63625328 89 0.999847695 0.017452406 57.28996163 90 1 0 / 91 0.999847695 -0.017452406 -57.28996163 92 0.999390827 -0.034899497 -28.63625328 93 0.998629535 -0.052335956 -19.08113669 94 0.99756405 -0.069756474 -14.30066626 95 0.996194698 -0.087155743 -11.4300523 96 0.994521895 -0.104528463 -9.514364454 97 0.992546152 -0.121869343 -8.144346428 98 0.990268069 -0.139173101 -7.115369722 99 0.987688341 -0.156434465 -6.313751515 100 0.984807753 -0.173648178 -5.67128182 101 0.981627183 -0.190808995 -5.144554016 102 0.978147601 -0.207911691 -4.704630109 103 0.974370065 -0.224951054 -4.331475874 104 0.970295726 -0.241921896 -4.010780934 105 0.965925826 -0.258819045 -3.732050808 106 0.961261696 -0.275637356 -3.487414444 107 0.956304756 -0.292371705 -3.270852618 108 0.951056516 -0.309016994 -3.077683537
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
正切函数图象
正切函数 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx (其中x ≠k π+2π ,k ∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0, 从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π ).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx
注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)是增函数，但不能说成在整个定 义域是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像. 解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π ］ -tanx,x ∈(k π-2π ,k π)(k ∈Z) 所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π ,k π］(k ∈Z).
正切和余切_1
正切和余切 第一课时一、教学目标1．使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用、表示直角三角形（其中一个锐角为）中两边的比，了解与成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。2．逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。3．培养学生独立思考、勇于创新的精神。二、学法引导1．教学方法：运用类比法指导学生探索研究新知。2．学生学法：运用类比法主动探索研究新知。三、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。2．难点：了解的概念。3．疑点：正切与余切概念的混淆．4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。四、教具准备投影机、投影片（自制）、三角板五、教学步骤（一）明确目标1．什么是锐角的正弦、余弦？（结合下图回答）。2．填表3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦
值有何变化规律？5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习。（二）整体感知正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。（三）教学过程1．引入正切、余切概念①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是”。②给出正切、余切概念。如图，在中，把的对边与邻边的比叫做的正切，记作。即并把的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即2．与的关系请学生观察与的表达式，得结论（或，）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与区别开．3．锐角三角
三角函数特殊角值表
三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。
三角函数值表
三角函数值表 三角函数 单位圆（及半径的圆）在三角函数的学习中具有举足轻重的地位。我们可以利用单位圆来定义三角函数、求解三角函数问题。在解决三角函数问题的过程中，单位圆是一个非常有用的工具。 设角的终边与单位圆（此处是以原点为圆心）交于点,则有 正弦：，余弦： 正切：，余切： 正割：，余割： （二）反三角函数 反三角函数是一种基本初等函数，它包括反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割，他们各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为时的角。例如，当时，；当时，，具体如，。 反三角函地并不能狭义地理解为三角函数的反函数。三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数对称。 三、同角三角函数基本关系 1.倒数关系： 2.商的关系：
3.平方关系： 四、三角函数的诱导公式 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.此处仅列出了几个易混的诱导公式，过于常规的就没有列出。个人认为，只需记住与、、的三角函数值关系，便可推出所有的诱导公式。 1.任意角与的三角函数值之间的关系： 2.任意角α与-α的三角函数值之间的关系： 3.任意角与的三角函数值之间的关系： 4.任意角与的的三角函数值之间的关系： 五、三角函数的和差角公式
六、倍角公式和半角公式 1.倍角公式 变形： 2.三倍角公式 3.半角公式（也叫降幂公式） 4.升幂公式 七、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 2.和化积公式 八、万能公式
万能公式是将和均用表示。 九、辅助角公式 得到辅助角公式： 其中与。 又（） 从而得到三角函数辅角公式：，；用余弦表示则为：，。 例如，，在实数域上，最大值为，最小值为十、三角函数和反三角函数的导数 十一、反三角函数相关公式 十二、其他常用结论
三角函数值表
三角函数表 第（1）页 共（11）页 角度正弦值余弦值正切值余切值角度正弦值余弦值正切值余切值00.0000 1.00000.0000不存在 0.10.0017 1.00000.0017572.957 4.10.07150.99740.071713.9507 0.20.0035 1.00000.0035286.478 4.20.07320.99730.073413.6174 0.30.0052 1.00000.0052190.984 4.30.07500.99720.075213.2996 0.40.0070 1.00000.0070143.237 4.40.07670.99710.076912.9962 0.50.0087 1.00000.0087114.589 4.50.07850.99690.078712.7062 0.60.01050.99990.010595.4895 4.60.08020.99680.080512.4288 0.70.01220.99990.012281.8470 4.70.08190.99660.082212.1632 0.80.01400.99990.014071.6151 4.80.08370.99650.084011.9087 0.90.01570.99990.015763.6567 4.90.08540.99630.085711.6645 10.01750.99980.017557.290050.08720.99620.087511.4301 1.10.01920.99980.019252.0807 5.10.08890.99600.089211.2048 1.20.02090.99980.020947.7395 5.20.09060.99590.091010.9882 1.30.02270.99970.022744.0661 5.30.09240.99570.092810.7797 1.40.02440.99970.024440.9174 5.40.09410.99560.094510.5789 1.50.02620.99970.026238.1885 5.50.09580.99540.096310.3854 1.60.02790.99960.027935.8006 5.60.09760.99520.098110.1988 1.70.02970.99960.029733.6935 5.70.09930.99510.099810.0187 1.80.03140.99950.031431.8205 5.80.10110.99490.10169.8448 1.90.03320.99950.033230.1446 5.90.10280.99470.10339.6768 20.03490.99940.034928.636360.10450.99450.10519.5144 2.10.03660.99930.036727.2715 6.10.10630.99430.10699.3572 2.20.03840.99930.038426.0307 6.20.10800.99420.10869.2052 2.30.04010.99920.040224.8978 6.30.10970.99400.11049.0579 2.40.04190.99910.041923.8593 6.40.11150.99380.11228.9152 2.50.04360.99900.043722.9038 6.50.11320.99360.11398.7769 2.60.04540.99900.045422.0217 6.60.11490.99340.11578.6427 2.70.04710.99890.047221.2049 6.70.11670.99320.11758.5126 2.80.04880.99880.048920.4465 6.80.11840.99300.11928.3863 2.90.05060.99870.050719.7403 6.90.12010.99280.12108.2636 30.05230.99860.052419.081170.12190.99250.12288.1443 3.10.05410.99850.054218.46457.10.12360.99230.12468.0285 3.20.05580.99840.055917.88637.20.12530.99210.12637.9158 3.30.05760.99830.057717.34327.30.12710.99190.12817.8062 3.40.05930.99820.059416.83197.40.12880.99170.12997.6996 3.50.06100.99810.061216.34997.50.13050.99140.13177.5958 3.60.06280.99800.062915.89457.60.13230.99120.13347.4947 3.70.06450.99790.064715.46387.70.13400.99100.13527.3962 3.80.06630.99780.066415.05577.80.13570.99070.13707.3002 3.90.06800.99770.068214.66857.90.13740.99050.13887.2066 40.06980.99760.069914.300780.13920.99030.14057.1154
分别是 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
分别就是正弦余弦正切余切正割余割 角θ得所有三角函数 (见:函数图形曲线) 在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点得坐标为(x,y)有 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y (斜边为r,对边为y,邻边为x。) 以及两个不常用,已趋于被淘汰得函数: 正矢函数versinθ =1-cosθ 余矢函数coversθ =1-sinθ 正弦(sin):角α得对边比上斜边 余弦(cos):角α得邻边比上斜边 正切(tan):角α得对边比上邻边 余切(cot):角α得邻边比上对边 正割(sec):角α得斜边比上邻边 余割(csc):角α得斜边比上对边 [编辑本段] 同角三角函数间得基本关系式: ·平方关系: sin^2α＋cos^2α＝1 1＋tan^2α＝sec^2α 1＋cot^2α＝csc^2α ·积得关系: sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα ·倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商得关系: sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 直角三角形ABC中, 角A得正弦值就等于角A得对边比斜边, 余弦等于角A得邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·[1]三角函数恒等变形公式 ·两角与与差得三角函数: cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角与得三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tan α) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+arctan(B/A)),其中 sint=B/(A²+B²)^(1/2) cost=A/(A²+B²)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B ·倍角公式: sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)] ·三倍角公式: sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)