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matlab复变函数画图形

matlab复变函数画图形
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第四篇计算机仿真

第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用

基于MA TLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MA TLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件(MA THEMA TIC,MA THCAD,MAPLE)的仿真方法是类似的.

本章将重点介绍使用MA TLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证;并介绍仿真计算留数、积分的方法;以及复变函数中Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换.

21.1 复数运算和复变函数的图形

21.1.1 复数的基本运算

1复数的生成

复数可由语句z=a+b*i 生成,也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta),其中theta是复数辐角的弧度值,r 是复数的模.

2复矩阵的生成

创建复矩阵有两种方法.

(1)一般方法

例 21.1.1创建复矩阵的一般方法.

【解】仿真程序为

A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)]

%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i

5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i

(说明: %后为注释语句,不需输入)

(2)可将实、虚矩阵分开创建,再写成和的形式

例 21.1.2将实、虚部合并构成复矩阵

【解】仿真程序为

re=rand(3,2);

im=rand(3,2);

com=re+i*im

%运行后答案为com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i

0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i

0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i

21.1.2 复数的运算

1 复数的实部和虚部

复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag 实现.调用形式如下:

real(z)返回复数z 的实部;

imag(z) 返回复数z 的虚部.

2 共轭复数

复数的共轭可由函数conj实现.调用形式为:conj(z)返回复数 z 的共轭复数.

3 复数的模与辐角

复数的模与辐角的求取由函数abs 和angle实现.调用形式为:

abs(z)返回复数z 的模;

angle(z)返回复数z 的辐角.

例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角.

(1)

1

32i

+;(2)

13i

i1i

-

-;(3)

(34i)(25i)

2i

+-

;(4)821

i4i i

-+.

【解】a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]

%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i

real(a)

%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000

(注明:凡ans 及其后面的内容均不需输入,它是前面语句的答案.本句ans 是real(a)的答案) imag(a)

%ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000

conj(a)

%ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 1.0000 + 3.0000i

abs(a)

%ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623

angle(a)

%ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490

4 复数的乘除法

复数的乘除法运算由“*”和“/”实现.

5 复数的平方根

复数的平方根运算由函数sqrt实现.调用形式如下:

sqrt(z)返回复数z 的平方根值

6 复数的幂运算

复数的幂运算的形式是 z^n ,结果返回复数 z 的 n 次幂.

7 复数的指数和对数运算

复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和log 实现.调用形式如下:

exp (z ) 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;

log (z ) 返回复数 z 的以 e 为底的对数值.

例21.1.2 求下列式的值.

(1))10ln(-; (2)πi

2e .

【解】log(-10)

%ans= 2.3026 + 3.1416i

exp(pi/2* i)

%ans =0.0000+ 1.0000i 21.1.3 复变函数的图形

1.整幂函数的图形

例 21.1.6 绘出幂函数 2z 的图形.

【解】 z=cplxgrid(30);

cplxmap(z,z.^2);

colorbar('vert');

title('z^2')

%(如图21.1所示)

2. 根式函数的图形

例 21.1.7 绘出幂函数 12z 的图形

【解】 z=cplxgrid(30);

cplxroot(2);

colorbar('vert');

title('z^{1/2}' ) %(如图21.2).

3. 复变函数中对数函数的图形

例 21.1.3 绘出对数函数Ln z 的图形.

【解】

z=cplxgrid(20);

w=log(z);

for k=0:3

w=w+i*2*pi;

surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));

hold on

title('Lnz')

end

view(-75,30) %(如图21.3) 例 21.1.4 计算机仿真编程实践: 若 (1,2,,)k z k n =???对应为10n z -=的根,其中2n ≥且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式

11

()10,()n

n k k m m m k z z ==≠=-∑

成立.

【解】仿真程序

n=round(1000*random('beta',1,1))+1

% n=input('please enter n=')

su=1;

sum=0;

for s=1:n

N(s)=exp(i*2*s*pi/n);

end

图21.3 对数函数Ln z

图21.2 复变函数12

z 的图形 图21.1 复变函数2z 的图形

for k=1:n

for s=1:n

if s~=k

su=1/(N(k)-N(s))*su;

end

end

sum=sum+su;

su=1;

end

sum

%仿真验证结果为:n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i

其中n的值为随机产生的整数,可见其和的实部和虚部均接近于零。

另一篇:

matlab表现复变函数(四维)的方法是用三维空间坐标再加上颜色,类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。

单值函数:单叶

多值函数:多叶

matlab使用下列函数进行复变函数的做图:

cplxgrid:构建一个极坐标的复数数据网格

z=cplxgrid(m); %产生(m+1)*(2*m+1)的极坐标下的复数数据网格。最大半径为1的圆面

cplxmap:对复变函数做图

cplxmap(z,f(z),[optional bound]) %画复变函数的图形,可选项用以选择函数的做图范围

cplxmap做图时,以xy平面表示自变量所在的复平面,以z轴表示复变函数的实部,颜色表示复变函数的虚部

cplxroot:画复数的n次函数曲面

cplxroot(n) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面

cplxroot(n,m) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面,为(m+1)*(2m+1)的方阵

例1:画复数z^3的图形

z=3*cplxgrid(30);

cplxmap(z,z.^3);

colorbar

其结果如图

可见,自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。

cplxmap做图时,以xy平面表示自变量所在的复平面,以z轴表示复变函数的实部,颜色表示复变函数的虚部

由于函数为单页的,所以函数是单值的

例2:画复数(z-0.5)^0.5的图形

仿照cplxroot函数的程序,编程如下

m=20;

n=2;

r=(0:m)'/m;

theta=pi*(-m:m)/m;

z=r*exp(i*theta)-0.5;

w1=z.^(1/n);

subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1)); colorbar

w2=w1.*exp(i*2*pi/n);

subplot(2,2,2),surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar

subplot(2,1,2)

surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1));

hold on

surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2));

colorbar

如果仅使用 w1=z.^(1/n);,则所得结果为图(2,2,1)

可见,对于多值函数,MATLAB仅仅是对其主值进行计算。

例3:复变函数1/(1-z)的级数展开

复变函数1/(1-z)是级数展开中常用的一个函数。

当abs(z)<1时,它的泰勒展开式为

1/(1-z)=求和(k=0,+无穷)z^k

当abs(z)>1时,它的罗朗展开式为

1/(1-z)=求和(k=-无穷,-1)z^k

泰勒展开与罗朗展开的区别

在复变函数里面,一些函数无法被展开为泰勒级数,因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话,我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数.

从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项,也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数,但可以表示为洛朗级数。

可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式

m=30;

r=2*(0:m)'/m;

theta=pi*(-m:m)/m;

z=r*exp(i*theta)-0.5;

z(find(z==1))=nan;

z1=z;

z1(abs(z1)>=1)=nan;

w1=1;u1=1;

for k=1:100

u1=u1.*z1;

w1=u1+w1;

end

subplot(2,2,1)

cplxmap(z1,w1)

colorbar

z2=z;

z2(abs(z2)<=1)=nan;

w2=1./z2;u2=1./z2;

for k=1:100

u2=u2./z2;

w2=u2+w2;

end

subplot(2,2,2)

cplxmap(z2,-w2)

colorbar

subplot(2,2,3)

cplxmap(z,1./(1-z))

colorbar

temp1=caxis;

subplot(2,2,4)

cplxmap(z1,w1)

hold on

cplxmap(z2,-w2)

caxis(temp1)

axis([min(min(real(z))),max(max(real(z))),min(min(imag(z))),max(max(imag(z))),min(min(re al(1./(1-z)))),max(max(real(1./(1-z))))])

colorbar

图(2,2,1)为泰勒展开,图(2,2,2)为罗朗展开

图(2,2,3)为matlab计算结果,图(2,2,4)为泰勒展开和罗朗展开的综合结果

几个分形的matlab实现

几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koch曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Koch分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Koch曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点得坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/3) —sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵 for k=1:4 d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式 q=p(1:n—1,:); %以原点为起点,前n—1个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上得点得坐标 p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点得连线 axis([0 10 0 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Koch分形曲线:

MATLAB在复变函数与积分变换里的应用

MATLAB在复变函数与积分变换里的应用 目录 1复数的生成 (1) 2 复常数的运算 (1) 2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1) 2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2) 2..9MA TLAB极坐标绘图 (6) 3 泰勒级数的展开 (3) 4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4) 4.1 留数计算 (4) 4.2 有理函数的部分分式展开 (5) 5 Fourier变换及其逆变换 (6) 6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7) 参考文献 (10)

复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算,还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。 1.复数的生成 复数的生成有两种形式。 a: z=a+b*i example1:>> z=2+3*i z = 2.0000 + 3.0000i b: z=r*exp(i*theta) example2: >> z=2*exp(i*30) z = 0.3085 - 1.9761i 2.复数的运算 2.1、复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real(x)返回复数的实部 imag(x)返回复数的虚部 example3: >> z=4+5*i; >> real(z) ans = 4 >> imag(z) ans = 5

复变函数论文

复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位,通过复变函数发展简介和内容,我们认识到复变函数的发展史和学术地位,因为它运用广泛,作为当代大学生,我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用,从学习中的地位延伸到专业中的地位,从而了解他在GIS的运用,借助复变函数推出柯西—黎曼曲面,进而导出复球面的紧性,得出扩充复平面是紧的,得出结论,体会,心德和认识,最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数,地理信息系统,复平面,柯西—黎曼曲面 三正文 (一)复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年,欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪,就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔,法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分,他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用,而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容,一般叫做几何函数论,复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象,共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数,它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分,可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后,再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算,当奇点是极点的时候,计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充,以满足实际研究工作的需要,这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质,只要稍加改变后,同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛,不但应用在流体力学的研究方面,而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。

Matlab实验报告:分形迭代

数学实验报告:分形迭代 练习1 1.实验目的:绘制分形图案并分析其特点。 2.实验内容:绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形,观察这些图形的局部和原来分形图形的关系。 3.实验思路:利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程,当迭代指标n为0时运行作图操作,否则继续迭代。 4.实验步骤: (1)Koch曲线 function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标,n为迭代次数 if (n==0) plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal else a=(2*p+q)/3; % 求出从p 到q 的1/3 处端点a b=(p+2*q)/3; % 求出从p 到q 的2/3 处端点b c=a+(b-a)*exp(pi*i/3);% koch(p, a, n-1); % 对pa 线段做下一回合 koch(a, c, n-1); % 对ac 线段做下一回合 koch(c, b, n-1); % 对cb 线段做下一回合 koch(b, q, n-1); % 对bq 线段做下一回合 end (2)Sierpinski三角形 function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c为三角形顶点,n为迭代次数 if (n==0) fill([real(a) real(b) real(c)],[imag(a) imag(b) imag(c)],'b');% 填充三角形abc hold on; axis equal else a1=(b+c)/2; b1=(a+c)/2; c1=(a+b)/2; sierpinski(a,b1,c1,n-1); sierpinski(a1,b,c1,n-1); sierpinski(a1,b1,c,n-1); end (3)树木花草 function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标,n为迭代次数

用matlab绘制的漂亮图形

目录 1.不同坐标系下的图形对比 (4) 2.球曲面的法线 (4) 3.浪花—山峰 (5) 4.色彩斑斓的圆筒 (7) 5.分层的不明物 (8) 6.马鞍面 (9) 7.螺旋线 (11) 8.光芒四射---矢量图+等势线 (13) 9.山谷—山峰【线性】 (14) 10.山谷—山峰【面】 (16) 11.牛顿环(动态的) (16) 12.衍射调制下的双孔干涉条纹 (18) 13.双缝衍射图 (20) 14.沙丘 (21) 15.漂亮的尤物 (22) 16.圆花饼 (23) 17.火红的心—尤物 (24) 18.神秘的罗盘 (25) 19.山峰分析图 (26) 20.小球 (27) 21.波浪、涟漪---像不像装鸡蛋的 (28) 22.(动画的)山峰 (28) 23.瀑布图 (29) 24.三宝 (30) 25.涟漪四视图 (31) 26.3D腰带 (32) 27.彩皮球 (33) 28.山崩地裂 (34) 29.飘荡的柔纱 (35) 30.波纹 (36) 31.相交的椭圆 (37) 32.飘落的线 (38) 33.跳动的正弦线 (39)

34.磁滞回线—尤物 (40) 35.复制的美 (40) 36.评议扫描图 (42) 37.旋转扫描图 (43) 38.混沌吸引子 (43) 39.动画演示混沌吸引分子形成 (44) 40.绘制Julia集图形 (44) 41.擦除动画实例——卫星绕地球运动(注释很详细) (46) 42.擦除动画实例——太阳|地球|月亮|卫星,绕转演示动画(注释很详细) (48) 43.流行划过天空 (50) 44.旋转的山峰 (50) 45.抛物运动 (51)

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:
z=x+iy i2=-1 ,x,y 分别称为 z 的实部和虚部,记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π<θ?≤π ,
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ,
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分:
定义:设函数 w=f(z)定义在区域 D 内,C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线,把曲线 C 任意分成 n 个弧段,设分点为
A=z0 ,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1,弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时,
不论对 c 的分发即?k 的取法如何,Sn 有唯一的极限,则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为:
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时,f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题:计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲

实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制

实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制 一、复变函数图形的绘制 例题:编程绘制出复变函数31/31 ,的图形。 z z , z 解: %experiment1.m close all clear all m=30; r=(0:m)'/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta); w=z.^3; blue=0.2; x=real(z); y=imag(z); u=real(w); v=imag(w); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(u)); m=min(min(u)); axis([-1 1 -1 1 m M]) caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围 s=ones(size(z)); subplot(131) mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 hold on surf(x,y,u,v) %%画表面图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('z^3') hold off colormap(hsv(64)) %%画色轴 w=z.^(1/3); x=real(z); y=imag(z); subplot(132) for k=0:2 rho=abs(w);

phi=angle(w)+k*2*pi/3; u=rho.*cos(phi); v=rho.*sin(phi); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u))); m=min(min(min(m,u))); surf(x,y,u,v) %%画表面图 axis([-1 1 -1 1 m M]) hold on end s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('z^{1/3}') colormap(hsv(64)) %%画色轴 w=1./z; w(z==0)=NaN; x=real(z); y=imag(z); u=real(w); v=imag(w); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u))); m=min(min(min(m,u))); subplot(133) surf(x,y,u,v) %%画表面图 hold on axis([-1 1 -1 1 m M]) s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('1/z') colormap(hsv(64)) %%画色轴

分形树__Matlab

%这是一个生成树的主函数,它的输入分别为每叉树枝的缩短比、树枝的偏角、生长次数. %注意:把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行!!!!!!!! %注意:把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行!!!!!!!! %注意:把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行!!!!!!!! %注意:把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行!!!!!!!! %注意:把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行!!!!!!!! %注意:把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行!!!!!!!! %注意:把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行!!!!!!!! %%小提示:若用做函数,请将虚线框内语句删去。 function f=tree(w,dtheata,NN) %%%--------------------虚线框--------------------%%% clear;clc;clf;w=0.8;dtheata=pi/6;NN=8;%建议生长次数NN不要超过10 %%%--------------------虚线框--------------------%%% n=2^NN;%从主枝算起,共需生成2^NN个树枝 for NNK=1:n x1=0; y1=0; r1=1; theata1=pi/2; dataway=ten2twoN(NNK,NN); %把每一个树枝的编号转化为一个NN位的二进制数 for NNL=1:NN if dataway(NNL)==0 [x2,y2,r2,theata2]=antmoveleft(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%若路径数组上对应的数字为0,则向左生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) else [x2,y2,r2,theata2]=antmoveright(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%否则,数字为1,向右生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) end end end hold off %--------------------------------------------------------------------------

MATLAB绘图功能大全

Matlab绘图 强大的绘图功能是Matlab的特点之一,Matlab提供了一系列的绘图函数,用户不需要过多的考虑绘图的细节,只需要给出一些基本参数就能得到所需图形,这类函数称为高层绘图函数。此外,Matlab 还提供了直接对图形句柄进行操作的低层绘图操作。这类操作将图形的每个图形元素(如坐标轴、曲线、文字等)看做一个独立的对象,系统给每个对象分配一个句柄,可以通过句柄对该图形元素进行操作,而不影响其他部分。 本章介绍绘制二维和三维图形的高层绘图函数以及其他图形控制函数的使用方法,在此基础上,再介绍可以操作和控制各种图形对象的低层绘图操作。 一、二维绘图 二维图形是将平面坐标上的数据点连接起来的平面图形。可以采用不同的坐标系,如直角坐标、对数坐标、极坐标等。二维图形的绘制是其他绘图操作的基础。 (一)绘制二维曲线的基本函数 在Matlab中,最基本而且应用最为广泛的绘图函数为plot,利用它可以在二维平面上绘制出不同的曲线。 1.plot函数的基本用法

plot函数用于绘制二维平面上的线性坐标曲线图,要提供一组x 坐标和对应的y坐标,可以绘制分别以x和y为横、纵坐标的二维曲线。plot函数的应用格式 plot(x,y) 其中x,y为长度相同的向量,存储x坐标和y坐标。 例51 在[0 , 2pi]区间,绘制曲线 程序如下:在命令窗口中输入以下命令 >> x=0:pi/100:2*pi; >> y=2*exp(-0.5*x).*sin(2*pi*x); >> plot(x,y) 程序执行后,打开一个图形窗口,在其中绘制出如下曲线 注意:指数函数和正弦函数之间要用点乘运算,因为二者是向量。 例52 绘制曲线 这是以参数形式给出的曲线方程,只要给定参数向量,再分别求出x,y向量即可输出曲线: >> t=-pi:pi/100:pi; >> x=t.*cos(3*t); >> y=t.*sin(t).*sin(t); >> plot(x,y) 程序执行后,打开一个图形窗口,在其中绘制出如下曲线 以上提到plot函数的自变量x,y为长度相同的向量,这是最常见、最基本的用法。实际应用中还有一些变化。

分形插值算法和MATLAB实验

一,分形插值算法 ——分形图的递归算法1,分形的定义 分形(Fractal)一词,是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的,其原意包含了不规则、支离破碎等意思。Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究,于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学,用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。分形几何有其显明的特征,一是自相似性;分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。其定义有如下两种描述: 定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数 r D ,则称该集合为分形集,简称分形。 定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 对于定义 1 的理解需要一定的数学基础,不仅要知道什么是Hausdorff 维数,而且要知道什么是拓扑维数,看起来很抽象,也不容易推广。定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性,那么这个物质就是分形。正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受,同时也促进了分形的发展。 根据自相似性的程度,分形可分为有规分形和无规分形。有规分形是指具有严格的自相似的分形,比如,三分康托集,Koch 曲线。无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形,比如,曲折的海岸线,漂浮的云等。本文主要研究有规分形。

2. 分形图的递归算法 2.1 三分康托集 1883 年,德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的,然而,它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发,再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。 其详细构造过程是:第一步,把闭区间[0,1]平均分为三段,去掉中间的 1/3 部分段,则只剩下两个闭区间[0,1/3]和[2/3,1]。第二步,再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段,同样去掉中间的区间段,这时剩下四段闭区间:[0,1/9],[2/9,1/3],[2/3,7/9]和[8/9,1]。第三步,重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去,最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的 Hausdorff 维数是0.6309。 图2.2 三分康托集的构造过程

Matlab在复变函数中应用解读

Matlab在复变函数中应用 数学实验(一) 华中科技大学数学系 二○○一年十月

MATLAB在复变函数中的应用 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 使用MATLAB来进行复变函数的各种运算;介绍留数的概念及MAT–LAB的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开(Laurent展开Laplace变换和Fourier变换)。 1 复数和复矩阵的生成 在MATLAB中,复数单位为)1 j i,其值在工作空间中都显示为 =sq rt = (- 0+。 .1 i 0000 1.1 复数的生成 复数可由i z+ =。 a =语句生成,也可简写成bi a z* + b 另一种生成复数的语句是) exp(i theta r =,也可简写成) =, z* exp(theta * i r z* 其中theta为复数辐角的弧度值,r为复数的模。 1.2 创建复矩阵 创建复矩阵的方法有两种。 (1)如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如:)] i A* * i i = + 3[i * - + * , ), 23 5 33 6 exp( 2 3 , exp( 9 (2)可将实、虚矩阵分开创建,再写成和的形式 例如: )2,3( re=; rand im=; )2,3( rand

im i re com *+= ] 5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i i i com ++++++= 注意 实、虚矩阵应大小相同。 2 复数的运算 1.复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real 返回复数x 的实部 )(x imag 返回复数x 的虚部 2.共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式 )(x conj 返回复数x 的共轭复数 3.复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模 )(x angle 复数x 的辐角 例:求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 (1) i 231 + (2)i i i --131 (3)i i i 2)52)(43(-+ (4)i i i +-2184 由MATLAB 输入如下:

复变函数实验课(一)

湖北民族学院理学院 2014年春季学期 数学与应用数学专业复变函数实验课 (一)计算部分 上课教师:汪海玲

Matlab中复变函数命令集 定义符号变量Syms 虚单位z=Sqrt(-1) 复数表示z=x+y*i 指数表示z=r*exp(i*a) 求实部Real(z) 求虚部Imag(z) 求共轭Conj(z) 求模Abs(z) 求幅角Angle(z) 三角函数z=sin(z) z=cos(z) 指数函数z=exp(z) 对数函数z=log(z) 幂函数z=z^a 解方程expr=‘方程式’; Solve(expr) 泰劳展开Taylor(e,z) 求留数[r,p,k]=residue(p,q) 傅立叶变换Fourier(e,z,w) 逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z) 拉普拉斯变换Laplace(e,w,t) 逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x)

一复数的运算 1.复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real返回复数x的实部 (x ) (x imag返回复数x的虚部 ) 2.共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现。 调用形式 conj返回复数x的共轭复数 (x ) 3.复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。 调用形式 abs复数x的模 ) (x angle复数x的辐角 ) (x 上机操作:课本例题1.2、例题1.4、课后习题(一)1. 4.复数的乘除法 复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。 5.复数的平方根 复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。 调用形式 ) sprt返回复数x的平方根值 (x 6.复数的幂运算 x^,结果返回复数x的n次幂。 复数的幂运算的形式为n 上机操作:课本例题1.8 7.复数的指数和对数运算 复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。

复变函数总结

第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数(x,y )构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-, X 称为复数的实部,y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1) 模: z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数);主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3)()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

4)若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=; ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域,内点,外点,边界点,聚点,闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限,,柯西收敛定理,魏尔斯特拉斯定理,聚点定理等从实数域里的推广,可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1)复变函数的反演变换(了解) 2)复变函数性质 反函数 有界性 周期性, 3)极限与连续性 极限: 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1)复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→

Newton分形的原理及Matlab实现

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/882020313.html, Newton分形的原理及Matlab实现 作者:张健徐聪全付勇智 来源:《电脑知识与技术》2009年第24期 摘要:详细推导了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,用MATLAB编制程序实现了Newton迭代算法,得到了一些奇异、绚丽的分形图形。对《数学实验》课程有一定的参考价值。 关键词:Newton迭代法;分形;Matlab;数学实验 中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)24-6997-03 The Principles of Newton Fractal and it's Realization Using MATLAB ZHANG Jian, XU Cong-quan, FU Yong-zhi (Department of Basic Courses, Southwest Forestry College, Kunming 650224, China) Abstract: The Principles and formulas of Newton fractal was explained,fractal graphics of Newton iteration was created using Matlab. Key words: newton iteration; fractal; Matlab; mathematical experimental 分形是非线性科学的一个重要分支,应用于自然科学和社会科学的众多领域。其中,分形图形以其奇异、绚丽多彩的特点,广泛应用于纺织印染、广告设计、装潢设计、计算机美术教学 等领域[1]。 很多分形图形都是用迭代的方式实现的,Newton迭代法就是其中的一种。由Newton迭代 法产生的分形图形称为Newton分形[2]。很多文献都对Newton分形进行了介绍,但都没有详细的计算公式和算法说明,读者很难编制相应程序。本文详细介绍了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,设计了相应的实现算法,并用Matlab编制程序实现了Newton分形的绘制,生成了一些奇异、瑰丽的分形图形。

MATLAB在复变函数与积分变换的应用

本科毕业论文 题目:MATLAB在复变函数与积分变换的应用学院:数学与计算机科学学院 班级:数学与应用数学2009级班 姓名: 指导教师:职称:副教授 完成日期:2013年05月10日

MATLAB在复变函数与积分变换的应用 摘要:复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助. 关键词:MATLAB; 复变函数; 积分变换

目录 1 引言 (1) 2 复常数的运算 (1) 2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1) 2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根 (2) 3 泰勒级数的展开 (3) 4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 (4) 4.1 留数计算及积分计算 (4) 4.2 有理函数的部分分式展开 (5) 5 Fourier变换及其逆变换 (6) 6 Laplace换变换及其逆变换 (8) 7 复变函数图形绘制 (9) 参考文献 (10)

1 引言 复变函数与积分变换是电力工程、控制领域和通讯等理工科必备的重要课程,同时在解决实际问题中也有十分重要的作用.但是大多数人在学习这门课程时都会感觉内容抽象,学起来感觉枯燥且难学.如何应用现代高科技信息技术,让比较难理解的理论与繁杂枯燥的内容变得生动有趣,激发学习的兴趣,以及可以提高计算能力、实践能力就相当重要. 在国际学术界,MATLAB 已经被接受为一种准确、可靠的标准计算软件.用户可以直接在Command Window 内输入执行命令,或者可以建立一个M 文件,输入较大应用程序,编译完成后一起运行.现在常用的MATLAB 语言是基于最为流行的C++语言基础之上的,因此语法与C++语言有很大的相识,而且较C++语言更加简单,更符合研究人员对数学表达式的书写格式.使之更便利与非专业人员的使用.并且这种语言可拓展性极强,具有良好的可移植性,这也是在各个领域流行MATLAB 的重要原因. 本文把复变函数与积分变换的学习过程和MATLAB 结合起来,把复杂的计算交于计算机,目的是为了提高学生学习的兴趣与爱好同时也可以减轻学习的负担,缩短学习时间,大大提高了教学效果与质量. 2 复常数的运算 2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 在MATLAB 中的求解格式为: real(x) %回车x 的实部 imag(x) %回车x 的虚部 abs(x) %回车x 的模 angle(x) %回车x 的幅角 conj(x) %回车x 的共轭复数 例1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1) i 745+ (2) 5 23i e π (3) 57 37 ++i i 解:在编辑器中建立M 文件001.m 如下: format rat X=[5/4+7i,3*exp(2i*pi/5),i^7+i^(3/7)+5]

matlab复变函数画图形

matlab复变函数画图形 第四篇计算机仿真 第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用 基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的, 本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的 验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展 开,Laplace 变换和Fourier变换, 21.1 复数运算和复变函数的图形 21.1.1 复数的基本运算 1复数的生成 复数可由语句z=a+b*i 生成,也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是 z=r*exp(i*theta),其中theta是复数辐角的弧度值, r 是复数的模( 2复矩阵的生成 创建复矩阵有两种方法( (1)一般方法 例 21.1.1创建复矩阵的一般方法( 【解】仿真程序为 A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)] %运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i 5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i ,说明: %后为注释语句,不需输入)

(2)可将实、虚矩阵分开创建,再写成和的形式 例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵 【解】仿真程序为 re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im %运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i 0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i 0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i 21.1.2 复数的运算 1 复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现(调用形式如下: real(z) 返回复数 z 的实部; imag(z) 返回复数 z 的虚部. 2 共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现(调用形式为:conj(z) 返回复数 z 的共轭复数. 3 复数的模与辐角 复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现(调用形式为: abs(z) 返回复数 z 的模; angle(z) 返回复数 z 的辐角. 例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角( 113i(34i)(25i),,,82132i,i4ii,,i1i,2i(1); (2); (3); (4)( 【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i] %a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数1.(定理柯西留数定理): 2.(定理):设a为f(z)的m阶极点, 其中在点a解析,,则 3.(推论):设a为f(z)的一阶极点, 则 4.(推论):设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数:可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数:

即,等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.(定理)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注:虽然f(z)在有限可去奇点a处,必有,但是,如果点为f(z)的可去奇点(或解析点),则可以不为零。 8.计算留数的另一公式: §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注:注意偶函数 二.型积分 1.(引理大弧引理):上 则 2.(定理)设

为互质多项式,且符合条件: (1)n-m≥2; (2)Q(z)没有实零点 于是有 注:可记为 三.型积分 3.(引理若尔当引理):设函数g(z)沿半圆周 上连续,且 在上一致成立。则 4.(定理):设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式,且符合条件:(1)Q的次数比P高; (2)Q无实数解; (3)m>0 则有 特别的,上式可拆分成:

及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.(引理小弧引理): 于上一致成立,则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为:求解析函数零点个数 1.对数留数: 2.(引理):(1)设a为f(z)的n阶零点,则a必为函数的一阶极点,并且 (2)设b为f(z)的m阶极点,则b必为函数的一阶极点,并且 3.(定理对数留数定理):设C是一条周线,f(z)满足条件: (1)f(z)在C的内部是亚纯的;

几个分形matlab实现

几个分形的matlab实现 摘要:给出几个分形的实例,并用matlab编程实现方便更好的理解分形,欣赏其带来的数学美感 关键字:Koch曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替,形成山丘形图形如下 图1 在新的图形中,又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替,再次形成新的图形如此迭代,形成Koch分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(5个点)的过程。图1中,设 1 P和 5 P分别为 原始直线段的两个端点,现需要在直线段的中间依次插入三个点 2 P, 3 P, 4 P。显然 2 P位 于线段三分之一处, 4 P位于线段三分之二处, 3 P点的位置可看成是由 4 P点以 2 P点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 ?? ? ? ? ? ? ? - = ) 3 cos( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 3 cos( π π π π A 实现。 算法根据初始数据( 1 P和 5 P点的坐标),产生图1中5个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个2 5?矩阵,矩阵的第一行为 1 P的坐标,第二行为 2 P的坐标……,第五行为 5 P的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x坐标,第二列元素分别为5个结点的y坐标。 进一步考虑Koch曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第k次迭代产生的结点数为k n,第1 + k次迭代产生的结点数为 1+ k n,则 k n和 1+ k n中间的递推关系为3 4 1 - = +k k n n。

三、实验程序及注释: p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵 for k=1:4 d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量 %则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标 p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标 p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目 end plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线 axis([0 10 0 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分的程序,可得到如下的Koch分形曲线: 图2 五、注记: 1.参照实验方法,可绘制如下生成元的Koch 分形曲线:

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