高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理
《三角函数恒等变换》知识归纳与整理
一、 基本公式
1、必须掌握的基本公式
（1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±)
( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα
±=±)
( 异名乘积的和与差
T T T T T β
αβαβα
1)
(±=±
（2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22
=
S C S C C 2
22222112ααααα
-=-=-= 差点等于1
T T T
2
212α
α
α
-=
（3） 半角的三角函数
2
12
C S
α
α
-±
=
2
12
C C α
α
+±=
C C T
α
α
α
+-±
=112
θ
θθθθs i n c o s
1c o s 1s i n 2
-=+=
T
2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差
][21)()(C C C C βαβαβα-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-=
（2） 和差化积
][22
2
C S S S βαβαβα-+=+
][22
2
C S S S βαβαβα+-=-
][22
2
C C C C βαβαβα-+=+
][22
2
S S C C βαβαβα-+-=-
（3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）
T T S 2
2212α
α
α+=
T T C 22
2
211α
α
α
+-=
T T T 2
2
212α
α
α-
=
（4） 辅助角公式 )s i n (c o s s i n 2
2
?++=
+x x b x a b a
其中：a
b
=
?tan
常见的几种特殊辅助角公式：
① )4sin(2cos sin π
+=+x x x
② )3sin(2cos 3sin π
+=+x x x
③ )6sin(2cos sin 3π
+=+x x x
④ )4s i n (2c o s s i n
π
-=-x x x ⑤ )3s i n (2c o s 3s i n
π
-=-x x x ⑥ )6
s i n (2c o s s i n
3π
-=-x x x
二、 理解证明
1、两个基本公式的证明
①S S C C C βαβαβα-=+)(的证明方法：
在单位圆内利用两点间的距离公式证明。计算繁杂。在化简中注意使用“1cos sin 2
2
=+αα”
②S S C C C βαβαβα+=-)(的证明方法：
在单位圆内利用向量的数量积证明。计算简便。运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。
或者：在单位圆内利用三角函数线证明。构图较难。利用三角函数线的加减、平移来代换。
2、由两角和向差的演变
方法：用β-代替β，代入两角和的公式即可推导出两角的差公式。 3、由余弦向正弦的演变
方法：用诱导公式把余弦转化为正弦：)sin()])2
([cos βαβαπ
+=--，展开即
可推导出正弦的两角的和公式。 4、由正弦和余弦推导正切
方法：利用：)tan()
cos()
sin(βαβαβα±=±±可以推导出正切的两角和与差有的公式。
5、由两角和推导二倍角
方法：把βα+换成αα+代入两角和的公式，即可得到二倍角的三角函数公式。
6、由余弦的二倍角推导半角
方法：由余弦的二倍角公式：S C S C C 2
2
2
2
22112ααααα-=-=-=，把α2换
成α，即α换成
2
α
，通过移项，整理，开方即得正弦、余弦的半角公式。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。 另外：关于正切的另一个半角公式：θ
θ
θθθsin cos 1cos 1sin 2
-=+=
T
可以通过：2
cos
2sin 2
tan
θ
θθ
=
来理解。特别体会其演变过程中的转化思想：分子、
分母同时乘一个式子，向二倍角靠拢！然后再利用二倍角化简。
7、由两角的和与差推导积化和差
方法：整体思考法：两角的和与差的和差必然会相互抵清一些项。相加会抵消尾项，相减会抵消首项。 这与完全平方的和与差的加减类似。)()(2
2
b a b a -++会抵消中间项，剩下首尾项的2倍；而)()(2
2
b a b a -+-会抵消首尾项，剩下中间项的2倍。 8、由两角的和与差推导和差化积
方法：对于两角和差的和与差来说，化成积并不难。利用展开相抵原则即可得到。关键是角度的转换问题。只有一个角无法展开。因此引入了一个合新
的角度变换方法：把单角：α和β转换成两角的和与差：2
2β
αβαα-++=，2
2βαβαβ--+=。于时可以利用和差展开相抵原则得到和差化积的目的。
9、万能公式的理解
方法：利用二倍角公式转换：2
cos 2sin 2sin α
αα=，然后把分母“1”巧妙利
用。1
2cos
2
sin
2sin α
α
α=
，这种思路在三角函数的转化中应用非常广泛。值
得高度关注。2
2
2
cos
2
sin
21
2cos
2sin
2sin cos
sin
22α
α
α
α
α+=
=
，然后上下再同时除以
2
cos
2
α
即得。
同样利用二倍角公式转化余弦：2
2
cos sin
cos 2
2
α
α
α-==
1
22
sin cos
2
2
α
α
-
再巧妙利用“1”的转化：
2
222
cos sin sin
cos
222
2
α
αα
α
+-，上下同时除以
2cos 2α即得。 对于正切的万能公式，直接利用二倍角公式即得。
10、 辅助角公式的理解
方法：辅助角公式实际上是两角和与差的逆运算。只是通过一些转换化成：
αββαsin cos cos sin ±的形式而已。对于x b x a cos sin +来说：要通过换元法
来转换，这种换元法叫三角换元法（以前的换元法叫代数换元法）。三角换元法是一种非常巧妙的换元方法，利用它能把两个毫不相干的变量联系起来，从而得到简化式子的作用。
分析思考过程如下：若直接换元：令cos a =?，则怎样用三角函数式表示b
呢？无法完成换元过程，因此：x b x a cos sin +化不成αββαsin cos cos sin ±的形式。
若提公因式呢！假如公因式为ab ，
则得：)cos 1sin 1(cos sin x a x b ab x b x a +=+，此时令b
1
cos =?，也无法用三角
函数表示出a
1
，因而化不成：αββαsin cos cos sin ±的形式。
所以公因式必然与a 、b 同时有联系。考虑到三角函数的产生环境，我们不妨将常数a 、b 放到直角三角形中来思考：若a 、b 分别是直角三角形的两直角边，得斜边为：b a
2
2
+。这个常数
b a
2
2
+显然与a 、b 都有关系。假
如公因式是
b a
22
+，则x b x a cos sin +化为：
)cos sin (
cos sin 2
22
22
2
x b
x a
x b x a b
a b
a b a ++
++=
+
此时令
?cos 2
2
=+b
a
a
（此时在直角三角形中，a 为邻边，
b a 2
2
+为斜边） 所以：
?sin 2
2=+b
a b
（此时在直角三角形中，b 为对边，
b a
2
2
+为斜边）
于是x b x a cos sin +化为：
)cos sin sin (cos cos sin 2
2
x x x b x a b a ??++=
+ 根据两角和的正弦公式得：
)cos sin sin (cos cos sin 2
2
x x x b x a b a
??++=
+=)sin(2
2
?++x b a
在直角三角形中：a
b
=?tan （对边：邻边） 当然：若令
?sin 2
2
=+b
a
a
，则?cos 22=+b
a b
则于是x b x a cos sin +化为：
)cos cos sin (sin cos sin 22
x x x b x a b a
??++=
+=)(cos 2
2
?-+x b a
所以：x b x a cos sin +=)(cos 2
2
?-+x b a
=
)(cos 2
2
x b a
-+?
此时：b
a
=
?tan （对边：邻边） 在此推导过程中，千万注意：两种演变中的?是不同的（实质上这两个?角互余）。不然就会产生以下错觉：)cos()sin(??-=+x x 。
如果注意到两个?角互余，那么就会得到：)]2
(cos[)sin(?π
?--=+x x
下面来分析这个结论：)]2
(cos[)sin(?π
?--=+x x
右边＝
])(2
cos[
)]}(2
[
cos{]2
)cos[()]2
(
cos[?π
?π
π
??π
+-=+--=-
+=--x x x x
由诱导公式得：=+=+-)sin(])(2
cos[
??π
x x 左边
所以结论成立。 三、 实际运用
1、给角求值：告诉已知角度，求出它的一些倍角、半角等的值。 （1）求?15sin 、?cos15的值
方法1：直接用半角公式可求得：
?15sin =2
23242
3
243
22
2312cos301-=-=-=-
=
?- =
42
62
2132
2)
13(2
-=-=
- ?cos15=
2
23242
3
24
3
22
2312
cos301+=+=+=
+=?
+ =
4
26221
322)
13(2
+=+=+ 方法2：由两角的差求得：
??-??=?-?=?30sin 45cos cos30sin45)30sin(4515sin
=
4
2
6424621222322-=-=?-? 同理可得：??+??=?-?=?30sin 45sin 30cos 45cos )30(45cos 15cos =
4
26424621222322+=+=?+? 方法3：用60°与45°的差角求得
??-??=?-?=?45sin 60cos cos45sin60)45sin(6015sin
=
4
2
6424622212223-=
-=?-? 同理可得：??+??=?-?=?45sin 60sin 54cos 06cos )45(60cos 15cos
=4
26464222232221+=+=?+? 方法4：利用直角三角形作图计算
延长CA 到D ，使AD=AB 。则易知：∠D=15°设BC=1，则AB=2，AC=3； CD=2+3 ∴
）
（32421
3
4811115sin )
32(2
2
2
+=
+=
+=
+==
?+
CD
BC BC
DB
BC
=
4
2
62
61)
13(21211)
3(2
-=
+=
+?=
?
+ 同理可求得cos15°
）
（32423
23
483213215cos )
32(2
2
2++=
++=
++=
+==
?+
CD
BC CD
DB
CD
=
4
2
64)32()26(2
632+=
+?-=
++ 方法5：利用诱导公式和倍角公式求解：
利用诱导公式我们知道：150cos °的值，然后利用倍角公式可求得75cos °的值，再利用诱导公式就可以求出sin15°的值。 ∵150cos °=2
3-
，
∴75cos °=
2
150cos 1?
+=4
2
683
242
231-=-=
- ∴4
2
615sin -=
? 同理可得：∵150sin °=2
1
，
∴75sin °=
2
150cos 1?
-=4
2
683
242
231+=+=
+ ∴4
2
615cos +=
?
（2）求?15sin +?cos15的值 方法1：分别求出?15sin 的值：
426- 和 ?cos15的值：42
6+ 二者相加得：?15sin +=
?cos15426-+426+=2
6
462= 方法2：直接利用辅助角公式计算：
?15sin +2
6
232sin602)4515sin(2cos15=?
=??=?+?=? 方法3：巧妙利用公式：1cos sin 2
2
=+αα和倍角公式
?15sin +?cos15=
=??+=?+?cos15sin1521)
cos15(sin152
?+30sin 1
=2
6
4623211=
==+
方法4：运用向量计算：将?15sin +?cos15写成：115sin ??+1cos15??
这样可以看成两个向量的数量积。如图：在单位圆内，设向量
)15sin 15(cos ??=，OA ，向量)11(，=OB 。则向量OA 和OB 之间的夹角为45°
—15°=30°2||,1||==→
→OB OA 。由向量数量积公式得：
=??=?→
→
→
→
30cos ||||OB OA OB OA 115sin ??+1cos15??
∴?15sin +?cos15=2
6
232130cos ||||=
??=??→
→OB OA （3）求
?
-?
+15tan 115tan 1的值
分析：方法1：直接求?tan15的值有些困难。（当然用半角可求）；可考虑能否巧妙转化。考虑到常数“1”的转化。∵?tan45=1，∴原式可化为： 360tan )1545tan(15tan tan45115tan 45tan =?=?+?=?
?-?
+?
方法2：代入?
?=?cos15sin15tan15得：原式=?
?-???+?=??-
??+
15cos 15sin 15cos 15cos 15sin 15cos 15cos 15sin 1cos1515sin 1=
32
123
2
12321121130sin 130sin 115sin 15cos 21sin15cos152115sin 15cos 15sin 15cos )
15sin 15(cos )15sin 15(cos 2
2
===-+
=
?
-?+=
?
?-??+=
=
?-??
+??-??+?方法3：直接代入：2
6264
2642615
cos 15
sin 15tan +-=+-==
得：
32
2622
626262
62
6262
62612
626115tan 115tan 1==++-++-++=
+--
+-+=
?
-?
+
方法4：代入2
6264
2642615
cos 15
sin 15tan +-=+-==
并化简得：3215tan -=
原式=
32)
13)(33(1
33332132115tan 115tan 1=+-=--=+--+=?-?+
（4）求?????75sin 30sin 15sin 的值
分析：方法1：sin30°是特殊角，关键是求sin15°sin75°的值。若用积化和差来计算，则有些复杂。可考虑把sin75°转化为cos15°，然后利用倍角公式求得：?????75sin 30sin 15sin =
8130sin 212115cos 15sin 21sin7515sin 21=?=??=??）（ 方法2：直接用积化和差计算：??75sin 15sin
原式=)]}1575cos()1575[cos(21
{2175sin 15sin 21?-?-?+?-=???
=81)21(41)60cos 90(cos 41=-?-=?-?-
（5）求??+?+?40cos 10sin 4010cos sin 2
2
的值
分析：方法1：利用余弦的倍角公式化简：2
cos20110sin 2
?
-=
?，2cos80140cos 2
?+=
?，则原式=+?-2cos2012
cos801?
++=??40cos 10sin ?
?+?-?+=??+?-?+40cos 10sin )20cos 80(cos 2
1140cos 10sin 220cos 280cos 1 再利用知差化积与积化和差的公式得：
4
341130sin 2150sin 2150sin 211)]1040sin()1040[sin(21
)30sin 50sin 2(21140cos 10sin )20cos 80(cos 21
1=
-=?-?+?-=?-?-?+?+??-+=??+?-?+
方法2：利用规律：4
3
2
2
cos sin 2
2
cos sin 2
2
=
-+-+απ
αβπ
α来分析。 （6）求?
-?10cos 23
10sin 21的值
分析：方法1：把常数换为特殊的三角函数，则原式
=220sin 2
1)1030sin(10cos 10sin 30cos 10sin 10cos 30sin 10cos 30cos 10sin 30sin =??-?=?
???-??=??-??
2、给值求值
（1） 在△ABC 中，已知1715cos =A ，41
9
cos =B ，求C cos 的值。
分析：在三角形ABC 中，∠C=180°)(B A ∠+∠- ∴
B A B A B A B A
C sin )sin()cos cos(])cos[(])(cos[cos -+-=--=+-=ππππ
=697
135sin sin 4191715sin sin cos cos sin sin -=?-
=-B A B A B A B A ∵17
811sin )17
15(
cos 2
2
=
-=-=A A 41
4011sin )41
9(
cos 2
2
=
-=-=B B ∴6971354140178697135sin sin cos -?=-
=B A C =697
185
（2） 已知3
2
cos sin =+θθ，求θsin2的值
分析：用完全平方公式和平方关系、及倍角公式求值：
94)cos (sin 2=+θθ ∴ 94cos sin 2cos sin 2
2=++θθθθ
即：9
5
194cos sin 2-=-=θθ
由倍角公式得：9
5
sin2-=θ
（3） 已知5
32cos =α，求ααcos sin 4
4-的值
分析：由倍角公式求值：
))((cos sin cos sin cos sin
2
22244
αααααα-+=-
=)(sin cos 2
2
αα--=
5
3 （4） 已知53)4
cos(
=
+x π
，4
71217π
π< x x x tan 122sin sin 2 -+的值 分析：对于求值的代数式，要利用化弦的思想，把正切化成正弦与余弦 的比值，再利用和角公式展开得：4sin sin cos 4cos )4cos(π ππx x x -=+ 即： 53sin cos 22=-）（x x ∴5 2 3sin cos =-x x 所以25 18) sin (cos 2 = -x x 即：25 18cos sin 2sin cos 2 2 =-+x x x x ∴25 725181cos sin 2=- =x x ∴) cos (sin cos sin 2 2 2 25 32 2571cos sin 2x x x x x x +==+=++ 而)4 sin(2sin cos π +=+x x x ∵ 471217ππ< 2 42532sin cos -=-=+x x x x x tan 122sin sin 2 -+=x x x x x x x x x x x sin cos cos )2cos sin 2(cos sin 12cos sin 2sin sin 2 2-+= - + = 75285 2 3) 524(257sin cos )cos (sin cos sin 2-=-?=-+x x x x x x 3、给值求角 （1） 已知△ABC 中，2tan =A ，3tan =B ，求角C 分析：13 213 2tan tan 1tan tan )tan(-=?-+=-+= +B A B A B A ∵∠+A ∠B )(0,π∈ ∴∠+A ∠B =π4 3 ∴∠4 π =C 4、证明 （1） 已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角。 求证：① 2cos 2sin C B A =+ ② 2 sin 2cos C B A =+ 分析：使用诱导公式证明： 证明：∵C B A -=+π ∴2 2C B A -=+π ∴2cos )22sin(2sin 2sin C C C B A =-=-=+ππ 即：2 cos 2sin C B A =+ 同理：2sin )22(cos 2cos 2cos C C C B A =-=-=+ππ 即：2 sin 2cos C B A =+ （2） 已知θ4cos 3-=+y x ，θ2sin 4=-y x 。求证：22 12 1 =+ y x 分析：先利用二元一次方程的思想分别求出x 和y 的式子，再利用倍角公式分析： 证明：22sin 44cos 3θθ+-= x ，2 2sin 44cos 3θ θ--=y 由倍角公式得：θθ221cos4sin 2 -= ∴ ) 12(sin sin sin 2 2 2 12sin 222 2sin 4)221(3+=++=+--= θθθθ θx ) 12(sin sin sin 2 2 2 12sin 222 2sin 4)221(3-=+-=---= θθθθ θy ∴θθ2sin 1) 12(sin 2 2 1 +== +x θθ2sin 1) 12(sin 2 2 1-== -y （∵sin21≤θ） 故：22sin 12sin 1212 1=-++=+θθy x 即：22 12 1=+ y x （3） 已知4 π βα= +，求证：2)tan )(1tan (1=++βα 分析：同时展开)tan( βα+和)tan 1)(tan 1(βα++然后对比思考： 证明：1tan tan 1tan tan 4 tan )tan( =-+= =+β αβ απ βα ∴βαβαtan tan 1tan tan -=+ ∴=++)tan )(1tan (1βαβαβαtan tan tan tan 1+++ =2tan tan tan tan 11=+-+βαβα ∴2)tan )(1tan (1=++βα （4） 在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠ C 的对边。求证：c b c A 22sin -= 分析：显然两边要平方c b c A 22sin 2 -=，平方后再利用倍角公式转换 2c b c A -=2sin 2 。A A cos 122sin 2 -=，而c b c b c -=-1。只需要证明： cos c b A =即可。 证明：在Rt △ABC 中，c b A = cos 由倍角公式得：221cos sin 2A A -= ∴c b A A -=-=1cos 122sin 2=c b c - 即：c b c A 22sin 2-= ∵),0(π∈A ∴c b c A 22sin -= （5） 已知∠A 、∠B 、∠C 是非直角三角形的三个内角。 求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++ 分析：用化切为弦的思想分析： 证明：C C B B A A C B A cos sin cos sin cos sin tan tan tan ++=++ =C C B A B A C C B A A B B A cos sin cos cos )sin(cos sin cos cos sin cos cos sin ++=++ 而：C C B A sin ]sin[)sin(=-=+π ∴ C B A B A C C C C B A C C B A cos cos cos ) cos cos (cos sin cos sin cos cos sin tan tan tan += += ++而：])cos[()](cos[cos B A B A C --=+-=ππ ∴B A B A B A C cos cos ])cos[(cos cos cos +--=+π =B A B A B A B A B A B A cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin )cos cos(++-=++-π =B A sin sin 即：C B A C B A C B A C B A tan tan tan cos cos cos sin sin sin tan tan tan == ++ ∴C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++ （6） 已知∠A 、∠B 、∠C 是三角形的三个内角。 求证：2 cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++ 分析：使用诱导公式、积化和差与和差化积公式证明： 证明：)sin()](sin[sin C B C B A +=+-=π )]22cos()22[cos(212cos 2cos B A B A B A -++==)2 cos 2(cos 21B A B A -++ 而：2sin 22cos ]2)(cos[2cos B A B A B A C +=+-=+-=）（ππ ∴2sin )2cos 2(cos 2142cos 2cos 2cos 4B A B A B A C B A +-++?= =B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A sin sin )sin()]}2 2sin()22[sin( 21{2)sin(2 cos 2sin 22cos 2sin 2+++=--++-++++=-++++ 而：C C B A sin )sin()sin(=-=+π ∴sin 2 cos 2cos 2cos 4sin sin C B A C B A =++ （7） 已知)2sin(sin 3βαβ+=，求证：αβα2tan )tan( =+ 分析：对欲证的式了转化为弦来分析： α α βαβαcos sin 2)cos()sin(=++ 再展开得：)cos(2sin )cos sin(βαααβα+=+ 证明： 对已知条件作如下变形： ])sin[(])[(sin 3αβααβα++=-+ 即： αβααβααβααβαsin )cos(cos )sin(sin )cos(3)cos (sin 3+++=+-+ 移项得：αβααβαsin )cos(4)cos (sin 2+=+ 即：αβααβαsin )cos(2)cos (sin +=+ 两边同时除以：αβα)cos cos(+得： α α βαβαcos sin 2)cos()sin(=++ ∴ αβα2tan )tan( =+ （8） 已知)2sin(sin βαβ+=m ，且1≠m ，2παk ≠ ，)(2 z k k ∈+≠+ππ βα，求证：αβαtan 11)tan(m m -+= + 证明：由)2sin(sin βαβ+=m 得： ])sin[(])sin[(αβααβα++=-+m 展开得： α βααβααβααβαsin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(+++=+-+m m 移项得： αβααβαsin )cos()1(cos ))sin(1(++=+-m m 即： α α βαβαcos sin 11)cos()sin(m m -+=++ ∴αβαtan 11)tan(m m -+= + 5、化简 （1） 化简： α αα ααcos sin 12sin cos sin 1+++++ 分析：巧妙利用常数“1”及倍角公式凑成完全平方式来化简： αααααcos sin 12sin cos sin 1+++++=α αα αααααcos sin 1cos sin cos sin 2cos sin 2 2 ++++++ = α αααααα αααααcos sin 1) cos sin 1)(cos (sin cos sin 1) cos sin () cos (sin 2 +++++= +++++ =)4 sin(2cos sin π ααα+ =+ （2） 化简：)10tan 31(50sin ?+? 分析：方法1：首先考虑“化弦”：即把正切化成正弦与余弦的比值，再通分，最后利用倍角公式及和差公式化简。 ? ?+??=??+?=?+?10cos ) 10sin 310(cos 50sin )cos10sin103(150sin )10tan 31(50sin =? ?+??10cos ) 10sin 23 10cos 21(50sin 2 = ? ? =???=???+???10cos 100sin 10cos 50cos 50sin 210cos )10sin 60sin 10cos 60(cos 50sin 2 = 110cos 10cos 10cos )1090sin(=? ? =??+? 此题解法巧妙：先化切为弦，然后通分。最后向倍角公式靠拢，利用和角公式转化。 方法2：把常数转化为三角函数，观察括号内的形式，利用正切的和角公式化简： )10tan 31(50sin ?+?= ) 10tan 60(tan 10tan 60tan 110tan 60tan 50sin )10tan 60tan 1(50sin ?-??? ?+? -?÷ =??+?= )10tan (tan60tan5050sin )10tan 60(tan )10tan(6050sin ?-???÷?=?-???-?÷=??? ?-????=??-????cos10cos6010sin 60cos 10cos 60sin cos50)10cos 10sin 60cos 60sin ( cos50 =110cos 10cos 10cos )1090sin(10cos 100sin cos1050sin 2cos50=? ? =??+?=??=??? ? （3） 化简： 1 tan )tan(tan )tan(--+-??θ? ?θ 分析：用正切的两角和公式化简： θ??θ? ?θ? ?θ??θ??θtan )tan(tan )tan(1tan )tan(1tan )tan(tan )tan(-=+--=--+--=--+- （4） 化简：?+???+?2836tan 45tan 54tan 62sin sin 2 2 分析：利用平方关系和倒数关系求解： =62sin 2?28cos 2 tan54°=? tan361 ∴原式=2112836tan 45tan 36tan 128sin cos 2 2=+=?+??? + ? （5） 化简： ) tan(tan tan tan )tan(βααβ αβα+--+ 分析：方法1：将β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( -+=+变形为： )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+代入原式得： )t a n ( t a n )t a n t a n 1)((tan )tan(βααβαβαβα+-+-+，同时约去)tan( βα+得： βα β ααβαtan tan tan tan tan )tan tan 1(1==-- 方法2：同时除以tan(βα+)得：α βαβ αtan ) tan(tan tan 1++- = α β αβαβαtan tan tan 1tan tan tan tan 1-++- = =--αβαtan )tan tan 1(1βαβ αtan tan tan tan = （6） 化简：θ θθ θ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ 分析：利用倍角公式化简得：1 22sin 1) 21(2sin 12cos 2sin 12cos 2sin 1cos sin 22 -++--+=++-+θθθθθθθθ = θθθθθθθθ θθθθθθ θθθtan ) sin (cos cos 2) sin (cos sin 22cos sin 22cos sin 222sin 2sin2cos sin cos sin 2 2 2 2 =++= ++= ++ （7） 化简： θ θtan 11 tan 11+-- 分析：通分后，利用倍角公式化简： θθtan 11tan 11+--=θθθtan 21)tan 1(tan 1---+=θθ θ tan21tan 2tan 2 =- 6、证明不等式 （1） 若)4 (0π θ，∈，求证： 8) sin (cos cos sin 2 >-θθθθ 目前还无思路： 7、推导新公式 （1）请推导出三倍角公式：θ3sin 和θcos3 思路：θθθθθθθsin cos2cos sin2)sin(2 3sin +=+= =θθθθsin )21(2sin sin cos 2 2 -+=θθθθsin sin 3 2 2sin )1(2sin -+- =θθθθsin sin 3 3 2sin 22sin -+- =θθsin 343sin - θθθθθθθsin 2sin cos 2cos )cos(23cos -=+= =θθθθθsin cos sin 2cos )1(2cos 2--=θθθθcos 2cos 2sin cos 2 3-- =θθθθcos 2(1cos 2cos cos 2 3） --- =θθθθcos cos 2 32cos 2cos 2+-- =θθcos 34cos 3 - 8、与方程的综合 （1） 设αtan 和βtan 是方程0762 =++x x 的两个根。 ① 求)tan( βα+的值 ② 求证：)cos()sin(βαβα+=+ 分析：由韦达定理可得：6tan tan -=+βα，7tan tan =βα 代入正切的两角和公式得：17 16 tan tan 1tan tan )tan( =--=-+=+βαβαβα ∵1)tan( =+βα ∴1) cos() (sin =++βαβα 即：)cos()sin(βαβα+=+ 9、与函数的综合 （1） 求函数x x y 3cos 3sin =的值域 分析：利用倍角公式得：x x x y sin62 1 3cos 3sin = = ∵x 6sin 的值域为]1,1[- ∴函数x x y 3cos 3sin =的值域为]2 1 ,21[- （2） 已知函数x x x x x f cos sin 2 23cos sin 2)(++=，R x ∈。问： ① 函数)(x f 的最小正周期是什么？ ② 函数在什么区间上是增函数？ ③ 函数的图象可以由函数x x g 2sin 2)(=，R x ∈的图象经过怎样的变换得到？ 分析：x x x x x f cos sin 2 2 3cos sin 2)(++=可化为： x x x x x x x x f 2sin 12cos 1cos sin 22)(cos cos sin 2 22+++=+++= =2)4 2sin(22cos22sin ++=++π x x x ∴2)4 2sin(2)(++ =π x x f 它的最小正周期：ππ == 2 2T 函数的单调递增区间为：)(2 24 22 2Z k k x k ∈+ ≤+ ≤-π ππ π π 即：当]8 ,83[π πππ+- ∈k k x ，函数是增函数； 函数)(x f 可以看作是函数x x g 2sin 2)(=向左平移4 π 个单位，再向上平移2个单位得到的图象。 10、 与几何图形的综合 （1） 如图，三个相同的正方形相接拼成一个长方形。求证：4 π βα=+。 分析：实质就是求证：tan 1)(=+βα 证明：观图可得：31tan =α 2 1 t a n =β ∴ tan 16 652312131)(==? -+ =+βα 又∵），（πβα0∈+ ∴4 π βα=+ 说明：如果用初中的知识来分析：则可通过相似三角形来证明。 [即△ABD ∽△CAD ，（三边对应成比例）] （2）如图：在三角形ABC 中，AD ⊥BC 6。求∠BAC 的度数 高一必修4三角函数练习题 一、选择题（每题4分，计48分） 1.sin(1560)-的值为（ ） A 12 - B 1 2 C -D 2.如果1 cos()2 A π+=-，那么sin( )2 A π +=（ ） A 12 - B 1 2 C D 3.函数2 cos( )35 y x π =-的最小正周期是 （ ） A 5π B 5 2 π C 2π D 5π 4.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是 （ ） A 3π B 23π C π D 43 π 5.已知tan100k =，则sin80的值等于 （ ） A B C D 6.若sin cos αα+= tan cot αα+的值为 （ ） A 1- B 2 C 1 D 2- 7.下列四个函数中，既是(0,)2 π 上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ） A sin y x = B |sin |y x = C cos y x = D |cos |y x = 8.已知tan1a =，tan 2b =，tan3c =，则 （ ） A a b c << B c b a << C b c a << D b a c << 9.已知1sin( )63 π α+=，则cos()3π α-的值为（ ） A 12 B 12 - C 13 D 13- 10.θ是第二象限角，且满足cos sin 2 2 θ θ -=2 θ 是 （ ）象限角 A 第一 B 第二 C 第三 D 可能是第一，也可能是第三 11.已知()f x 是以π为周期的偶函数，且[0,]2x π∈时，()1sin f x x =-，则当5 [,3]2 x ππ∈时， ()f x 等于 （ ） A 1sin x + B 1sin x - C 1sin x -- D 1sin x -+ 12.函数)0)(sin()(>+=ω?ωx M x f 在区间],[b a 上是增函数，且M b f M a f =-=)(,)(， 则)cos()(?ω+=x M x g 在],[b a 上 （ ） A 是增函数 B 是减函数 C 可以取得最大值M D 可以取得最小值M - 二、填空题（每题4分，计16分） 13.函数tan()3y x π =+的定义域为___________。 14.函数12 cos()([0,2])23 y x x ππ=+∈的递增区间__________ 15.关于3sin(2)4 y x π =+ 有如下命题，1）若12()()0f x f x ==，则12x x -是π的整数倍， ②函数解析式可改为cos3(2)4 y x π =-，③函数图象关于8 x π =- 对称，④函数图象关于 点( ,0)8 π 对称。其中正确的命题是___________ 16.若函数()f x 具有性质：①()f x 为偶函数，②对任意x R ∈都有( )()44 f x f x π π -=+ 则函数()f x 的解析式可以是：___________（只需写出满足条件的一个解析式即可） 三、解答题 17（6分）将函数1 cos( )32 y x π =+的图象作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图象 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 三角函数恒等变换 ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= -m m 说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。 题型一，和差角公式的直接应用 分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1计算： （1）??+??20sin 80sin 20cos 80cos = ； （2）??+??55cos 10cos 35cos 80cos = ； （3）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π＝ ； （4）－sin 3πcos 6π+sin 6πcos 3π =__________； （5） sin 2πcos 6π－cos 2πsin 6π = _________ ； （6）cos 3πcos 6π+sin 6πsin 3π =____________； （7）cos 4πcos 2π－sin 2πsin 4 π =_____________； 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 高考级 1、关于函数f(x) 4sin (2x —)(x R)有下列命题：①由f (xj f (x2) 0可得X! x2是n的整数倍；② y f (x )的表达式可改写为 3 y 4cos(2x -):③y f (x)的图象关于点(——,0)对称；④y=f(x)的图象关于直线x —对称。其中正确命题的序号是 6 6 6 答案：②③ 2. 已知函数g(x) 1 cos n 2 0 n的图象过点2，若有4个不同的正数凶 满足g(x) M (0 M 1),且X j 4(i 1, 2, 3, 4)，则人冷冷X4等于 ________ 答案12或20 1 3函数y -------- 的图像与函数y 2sin x( 2 x 4)的图像所有交点的横坐标之和等于 1 x (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D)8 1 解析：图像法求解。y ——的对称中心是(1,0)也是y 2sin x( 2 x 4)的中心，2 x 4他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x 1 x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为x-!,x2,x3, x4,x5,x6, x7,x8，则x-i x8 x2 x7 x3 x6 x4 x5 2，所以选D 5 .如果圆x2+y2=n2至少覆盖函数f(x) 3sin」的一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是(B ) n (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 提示：因为f (x) > 3 sin -x为奇函数，图象关于原点对称，所以圆x y2n2只要覆盖f (x)的一个最值点即可，令兰，解得f (x)距n n 2 原点最近的一个最大点P(n,-、3)，由题意n2(n)2C.3)2得正整数n的最小值为2选B 2 2 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72 高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316 ５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β ，(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .(T (α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . 3．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋ b 2，cos φ＝ a a 2＋ b 2. 练习题： 1．sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22 2.(2016·全国丙卷)若tan α＝34 ，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010 ，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 4．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12 (x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 高中数高中数学三角函数经典练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每题3分，共60分） 1．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（） A．2，-B．2，-C．4，-D．4， 2．下列说法正确的个数是（） ①小于90°的角是锐角； ②钝角一定大于第一象限角； ③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为0°． A．0B．1C．2D．3 3．若0＜y＜x＜，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（）A．B．C．D． 4．已知函数y=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数y=ωcosx的值域是（）A．[-2，2]B．[-1，1]C．[-，]D．[-，] 5．在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（） A．正三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形 6．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（） A．f（x）既是偶函数又是周期函数 B．f（x）最大值是1 C．f（x）的图象关于点（，0）对称 D．f（x）的图象关于直线x=π对称 7．sin55°sin65°-cos55°cos65°值为（） A．B．C．-D．- 8．若角α终边上一点的坐标为（1，-1），则角α为（） A．2kπ+B．2kπ-C．kπ+D．kπ-，其中k∈Z 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 高一数学三角函数公式大全 sinα=∠α的对边/斜边 cosα=∠α的邻边/斜边 tanα=∠α的对边/∠α的邻边 cotα=∠α的邻边/∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA2) (注：SinA2是sinA的平方sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina 三角函数辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2) cost=A/(A2+B2)’(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 三角函数推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1- 2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2- sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°- a)/2]cos[(60°-a)/2]=4s inasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a- (√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{- 2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=- 4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 高考级 1、关于函数))(3 2sin(4)(R x x x f ∈+ =π 有下列命题:①由0)()(21==x f x f 可得21x x -是π 的整数倍；② )(x f y =的表达式可改写为)6 2cos(4π - =x y ；③)(x f y =的图象关于点（－ )0,6 π 对称；④)x (f y =的图象关于直线6 π - =x 对称。其中正确命题的序号是__ _ 答案：②③ 2. 已知函数()( )π()1cos π202 g x x =-+<cos x 给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z)时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于x ＝ 5π4＋2k π(k ∈Z)对称；④当且仅当2k π 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如： sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”. 高一数学复习——三角函数 【复习要点】 1． 了解任意角的概念和弧度制；借助单位圆理解掌握三角函数的定义；理解同角三角函数的基本关系；熟练运用诱导公式。 2． 结合三角函数图象理解三角函数的性质（周期性，单调性，最大和最小值等）。 3． 结合sin()y A x ω?=+的图象观察参数的变化对函数图象的影响；能应用三角函数解决一些简单的实际问题。 【例题分析】 1．已知2弧度的圆心角所对的弧长为 7 2 ，则此圆心角所对的扇形面积是____________. 2．方程sin lg x x =的实根个数为 . 3．函数tan()6 y x π =- 的定义域是 . 4．要得到sin(3)y x =-的图象只要 把c o s 3s i n 3)y x x =-的图象 （ ） A. 右移 π4 B. 左移 π4 C. 右移 π12 D. 左移 π 12 5．已知α αα ααcos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是 . 6．已知5 1 cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322 ++-的值. 7．化简),,)(23 sin(32)2316cos()2316cos( )(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=π ππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期. 8．函数x x y 2 4 cos sin +=的最小正周期是___________． 9．设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8 π =x 。 （Ⅰ）求?； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；高一数学必修4三角函数练习试题和答案
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