2016-2017学年北师大版选修2-2 第一章 推理与证明 单元测试

章末综合测评(一) 推理与证明

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下面四个推理不是合情推理的是()

A.由圆的性质类比推出球的有关性质

B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°

C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分

D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的

【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.

【答案】 C

2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：

①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；

②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；

③假设直线AC，BD是共面直线.

则正确的序号顺序为()

A.①②③

B.③①②

C.①③②

D.②③①

【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.

【答案】 B

3.下列推理是归纳推理的是()

A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆

B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式

C.由圆x 2

＋y 2

＝r 2

的面积πr 2

，猜出椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的面积S ＝πab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【解析】 由归纳推理的特点知，选B. 【答案】 B

4.用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是( )

【导学号：94210028】

A.假设a ，b ，c 都小于0

B.假设a ，b ，c 都大于0

C.假设a ，b ，c 中都不大于0

D.假设a ，b ，c 中至多有一个大于0

【解析】 用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a ，b ，c 中都不大于0”，故选C.

【答案】 C

5.用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )

A.(5k －2k )＋4·5k －2k

B.5(5k －2k )＋3·2k

C.(5－2)(5k －2k )

D.2(5k －2k )－3·5k

【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k .

【答案】 B

6.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2? ????1

n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立.( )

A.k ＋1

B.k ＋2

C.2k＋2

D.2(k＋2)

【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.

【答案】 B

7.(2016·昌平模拟)已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()

A.a1a2a3…a9＝29

B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29

C.a1a2a3…a9＝2×9

D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9

【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.

【答案】 D

8.(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：

①红＋红，则乙盒中红球数加1；

②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；

③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；

④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.

③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.

①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.

综上，选B. 【答案】 B

9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19

－n

(n <19且n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( ) A.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－n B.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－n C.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－n D.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】 令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B

10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.

根据图形的构成，此数列的第2 011项，即a 2 011＝( )

图1

A.2 018×2 014

B.2 018×2 013 C .1 010×2 012

D.1 011×2 015

【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个.

∴a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，∴a 2 016－5

＝2 015×2 0222

＝2 015×1 011. 【答案】 D

11.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )

图2

A.1 006

B.1 007

C.1 008

D.1 009

【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝1

2×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.

【答案】 C

12.记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ＝

????

??a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4

104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则

第2 016个数是( )

A.710＋9102＋8103＋4

104 B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104

【解析】 因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4

104

＝1

104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，

所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)

13.已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2

.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1类似的性质为__________.

【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y

b 2＝1.

【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y

b 2＝1 14.观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， ……

照此规律，第n 个等式可为__________.

【导学号：94210029】

【解析】 依题意，注意到13

＝????

??12×1×（1＋1）2

，13＋23＝

??????12×2×（2＋1）2＝9，13＋23＋33＝??????12×3×（3＋1）2＝36，……，照此规律，

第n 个等式可为13

＋23

＋33

＋…＋n 3

＝????

??12n （n ＋1）2.

【答案】 13

＋23

＋33

＋…＋n 3

＝????

??12n （n ＋1）2

15.(2016·东莞高二检测)当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________.

【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，

当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，

当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.

【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1

16.如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)

图3

【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n （n －3）2＝n （n ＋1）

2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n （n －3）2·(n －2)＝n （n －1）（n －2）2

.

【答案】

n （n ＋1）2 12 n （n －1）（n －2）

2

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b

2

；

(2)6＋10>23＋2.

【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b

2≥ab ， ∴lg a ＋b

2≥lg ab ， ∴lg

a ＋

b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b

2

. (2)要证6＋10>23＋2，

只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立.

18.(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 2

30°＋cos 2

60°＋sin 30°cos 60°＝3

4，

sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝3

4， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝3

4.

分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：

sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2

α＋? ??

??32cos α－1

2sin α2

＋sin α? ??

??32cos α－1

2sin α

＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋1

4sin 2α＋ 32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋3

4cos 2α ＝34

. 19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .

(1)求证：CC 1⊥MN ；

(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.

【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， 所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，

有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下：

因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，

因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN · MN cos ∠MNP ，

所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·

CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，

所以S 2 ABB 1A 1＝S 2 BCC 1B 1＋S 2 ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.

20.(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：

图4

(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .

【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ?/平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .

(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝1

2BC ＝4.

又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .

因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .

21.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1

4，且a n ＋1＝

（n －1）a n n －a n (n ≥2).

(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；

(2)设b n ＝a n ·a n ＋1

a n ＋a n ＋1

， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <

n 3.

【导学号：94210030】

【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝1

10. 故可以猜想a n ＝1

3n －2，n ∈N ＋.

下面利用数学归纳法加以证明：

①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝

13k －2

. 那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知： a k ＋1＝（k －1）a k

k －a k

＝

（k －1）×

13k －2

k －

13k －2

＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1） ＝

13k ＋1＝13（k ＋1）－2

.

即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N

＋，a n＝

1

3n－2

成立.

(2)证明：b n＝

a n·a n＋1 a n＋a n＋1

＝

1

3n－2

·

1

3n＋1 1

3n－2

＋

1

3n＋1

＝

1

3n＋1＋3n－2

＝

1

3(3n＋1－3n－2)，

所以b1＋b2＋…＋b n

＝1

3[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]

＝1

3(3n＋1－1)，

所以只需要证明1

3(3n＋1－1)<

n

3?3n＋1<3n＋1?3n＋1<3n＋23n

＋1?0<23n(显然成立)，

所以对任意的n∈N

＋，都有b1＋b2＋…＋b n<

n

3.

22.(本小题满分12分)(2016·江苏高考)记U＝{1，2，…，100}，对数列{a n}(n∈N＋)和U的子集T，若T＝?，定义S T＝0；若T＝{t1，t2，…，t k}，定义S T＝at1＋at2＋…＋at k.例如：T＝{1，3，66}时，S T＝a1＋a3＋a66.现设{a n}(n∈N＋)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，S T＝30.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T?{1，2，…，k}，求证：S T

(3)设C?U，D?U，S C≥S D，求证：S C＋S C∩D≥2S D.

【解】(1)由已知得a n＝a1·3n－1，n∈N

＋

.

于是当T＝{2，4}时，S T＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.

又S T＝30，故30a1＝30，即a1＝1.

所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－1，n∈N＋.

(2)证明：因为T?{1，2，…，k}，a n＝3n－1>0，n∈N＋，

所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1

＝12(3k

－1)<3k .

因此，S T

(3)证明：下面分三种情况证明.

①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令E ＝C ∩?U D ，F ＝D ∩?U C ， 则E ≠?，F ≠?，E ∩F ＝?.

于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E

S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －1

2，

故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .

选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

高二数学选择进修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时

高中数学选修2-2推理与证明-直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法 [学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题. 知识点一综合法 1.定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2.基本模式 综合法的证明过程如下： 已知条件?…?…?结论 即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为： P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q 3.综合法的证明格式 因为…，所以…，所以…，…，所以…成立. 思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答案演绎推理. 知识点二分析法 1.分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式

用Q 表示要证明的结论，P 表示条件，则分析法可用框图表示为： Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件 3.分析法的证明格式 要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？ 答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法. 题型一 综合法的应用 例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1 ab ≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1 b ≥2 1 ab >0， ∴(a ＋b )???? 1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法. 跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.

选修1 2推理与证明

选修1 2推理与证明 选修1 2推理与证明选修1 2推理与证明 考纲导读 （一）合情推理与演绎推理 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （二）直接证明与间接证明 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 （三）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。高考导航 1.推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是( ) A.10n; B.10n-1; C.10n+1; D.11n.

2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.①; B.①②; C.①②③; D.③。 3、下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤。 4、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( ) A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式。 5、实数a、b、c不全为0的条件是( ) A.a、b、c均不为0; B.a、b、c中至少有一个为0; C.a、b、c至多有一个为0; D.a、b、c至少有一个不为0。 6、设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为( ) A.x>y; B.x=y; C.x 来源网络搜集整理，仅作为学习参考，请按实际情况需要自行编辑

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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选修2-2 第二章 推理与证明(B)

实用文档 选修2-2 第二章 推理与证明(B) 一、选择题 1、某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1) 种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( ) A ．f (n －1)＋1 B ．f (n －2)＋2 C ．f (n －2)＋1 D ．f (n －1)＋f (n －2) 2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2 ，可推知扇形面 积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr 2 D ．不可类比 3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．n π B．(n －2)π

C．π D．2π 4、“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是 ( ) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 5、设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出 f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

实用文档 6、已知p ＝a ＋1 a －2 (a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p 0，则1a ＋1b ＋1c 的值( ) A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是零 D ．正、负不能确定 8、如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( ) A.32 B ．23－2 C ．1＋ 3 D ．2－3 9、设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.1 2n ＋2

人教A版选修1-2推理与证明测试题及答案

第二章 推理与证明 单元检测题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面所有直线；已知直线b ?/平面 α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2.下面使用类比推理，得到正确结论的是（ ） A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“ n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3.在十进制中0 1 2 3 2004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 4. 设 0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2010 ()f x ＝（ ） A.cos x B ．－cos x C ．sin x D －sin x 5.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 6.下面几种推理是类比推理的是（ ） A .两条直线平行，同旁角互补，如果∠A 和∠ B 是两条平行直线的同旁角，则∠A +∠B =1800 B .由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

高考数学推理与证明

第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.

五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

最新高中数学选修1-2《推理与证明》

第二章 推理与证明 1 一、合情推理 2 12→??→?、归纳推理：个别一般（结论不一定正确）、类比推理：特殊特殊 3 例1、推导等差数列通项公式。 4 解： 5 6 7 8 9 33332123________.n ++++=例、求 10 解： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、演绎推理 20 ()()()()123??→???大前提：M 是P 三段论小前提：S 是M 一般特殊结论正确结论：S 是P 21 例：“自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”。 22 233243123(1)n a a d a a d a a d a a n d =+??=+??=+↓???=+-??个别一般32332333233332221111293123=36=++ 11+2+3++(123)(1)4n n n n ?==??+==??++↓????=+++ +=+??特殊（123）一般

25 26 三、直接证明 27 1→→、综合法：条件结论 2、分析法：结论条件 28 ( )( ),,,0,+=+,12,a b c d a b c d ab cd a b c d >>>-<->例：设且证明： 若若 29 ( )221,,,a b c d a b c d ab cd ab cd ab cd ?>??>??+>+?+=+>??>??>>?证明：只要证，即，分析法因为所以只要证，只要证因为成立. 30 ( )22222,()()()4()4,a b c d a b c d a b ab c d cd a b c d ab cd ?-<--<-?+-<+-??+=+>??>?若， 即， 综合法因为所以， 由（1 31 32 四、间接证明 33 反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，34 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。 35 36 37 210.x m n x mn x m x n ++≠≠≠例、若-()，则且 38 2==0x m x n x m x n x m x n x m n x mn x m x n ≠≠--++≠∴≠≠证：假设且不成立， 则且， 所以()()=0与-()矛盾, 故假设不成立， 且成立. 39

高中数学高考总复习推理与证明

高考总复习推理与证明 一、选择题 1．设1250a a a ，，，是从101-，， 这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=， 且2221250(1)(1)(1)107a a a ++++ ++=，则1250a a a ，，，中为0的个数为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 2．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为（ ） A ． 1+n B ． n 2 C ． 12++n n 3．某人进行了如下的“三段论”推理：如果0)('0=x f ，则0x x =是函数)(x f 的极值点，因为函数3 )(x x f =在0=x 处的导数值0)0('=f ，所以0=x 是函数3 )(x x f =的极值点。你认为以上推理的 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确 4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，()′＝－，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝ ( ) A ．f(x) B ．－f(x) C ．g(x) D ．－g(x) 5．已知2() (1),(1)1()2 f x f x f f x += =+ *x N ∈（） ，猜想(f x ）的表达式为（ ） A.4()22x f x = + B.2 ()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2 ()21 f x x =+ 6．用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时 ，应先假设（ ） A. 没有一个内角是钝角 B. 有两个内角是钝角 C. 有三个内角是钝角 D. 至少有两个内角是钝角 7．设 N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+),()(,),()(),()(,sin )('1'12'010 ，则 = )(2007x f （ ） A. x sin B. x sin - C. x cos D. x cos - 8．已知整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），……，则第60个数对是（ ） A （10，2） B.（2，10） C. （5，7） D .（7，5） 9．设数列 {} n a 的前n 项和为 n S ，n S n + +称 n T 为数列 1a ，2 a ，……，

高中数学选修1-2《推理与证明》

第二章 推理与证明 一、合情推理 12→??→?、归纳推理：个别一般（结论不一定正确）、类比推理：特殊特殊 例1、推导等差数列通项公式。 解： 33332123________.n +++ +=例、求 解： 二、演绎推理 ()()()()123??→???大前提：M 是P 三段论小前提：S 是M 一般特殊结论正确结论：S 是P 例：“自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”。 233243123(1)n a a d a a d a a d a a n d =+??=+??=+↓???=+-?? 个别一般3233233323333222111 1293123=36=++ 11+2+3++(123)(1)4n n n n ?==??+==??++↓????=+++ +=+??特殊（123）一般

三、直接证明 1→→、综合法：条件结论 2、分析法：结论条件 ( )( ),,,0,+=+,12,a b c d a b c d ab cd a b c d >>>-<->例：设且证明： 若若 ( )221,,,a b c d a b c d ab cd ab cd ab cd ?>??>??+>+?+=+>??>??>>?证明：只要证，即，分析法 因为所以只要证，只要证因为成立. ( )22222,()()()4()4,a b c d a b c d a b ab c d cd a b c d ab cd ?-<--<-?+-<+-??+=+>??>?若， 即， 综合法因为所以， 由（1 四、间接证明 反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。 210.x m n x mn x m x n ++≠≠≠例、若-()，则且 2==0x m x n x m x n x m x n x m n x mn x m x n ≠≠--++≠∴≠≠证：假设且不成立， 则且， 所以()()=0与-()矛盾, 故假设不成立， 且成立.

高中数学选修2-2推理与证明 合情推理

2.1.1合情推理 [学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用. 知识点一推理的定义与结构形式 1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识. 2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论. 思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？ (2)推理一般用哪些关联词？ 答案(1)不一定完全可靠. (2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”. 知识点二归纳推理与类比推理

思考 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 知识点三 合情推理 1.合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 2.合情推理的过程 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 思考 由合情推理得到的结论可靠吗？ 答案 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了. 题型一 归纳推理的应用 例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n 1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项 公式. 解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ＝1,2，…)， ∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23 ，a 3＝231＋23＝ 25，a 4＝25 1＋25＝27. 由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2. ∴归纳猜想得a n ＝2 2n －1 (n ∈N *). 反思与感悟 求数列{a n }的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a 1，a 2，a 3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.

人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明

习题课二 推理与证明 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60° C ．三个内角至多有一个大于60° D ．三个内角至多有两个大于60° 解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故选B. 2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似，故选C. 3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42 ≤0 C.(a ＋b )22 －1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 解析：选D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0?(a 2－1)(b 2－1)≥0.故选D. 4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( ) A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德

2018年高考数学专题122推理与证明文!

推理与证明 【三年高考】 1. 【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A.乙可以知道两人的成绩 B.丁可能知道两人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D. 2. 【2017北京，文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6,12 【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N ，第一小问：max 846a b b >>>?=， 第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>?==?++= 3. 【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后 说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”， 丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3 【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 4.【2016高考山东文数】观察下列等式：

高中数学选修1-2第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

1.2 类比推理 一、教学目标 1.知识与技能： （1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义； （2）能利用类比进行简单的推理； （3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作 用。 2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在 探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的 关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类 比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分 析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证 成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学 生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。 二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某 种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理 方式称为归纳推理。 注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般； 2.典型例子方法归纳。 （二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物 理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发 现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知 声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推

理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。 （三）例题探析 例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？ 解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

重点高中数学推理与证明专题

重点高中数学推理与证明专题

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课题:合情推理 掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 3.数学建构 ●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点; 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 ●归纳推理的一般步骤： 4.师生活动 例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 例2 前提：三角形的内角和是1800 ，凸四边形的内角 和是3600，凸五边形的内角和是5400 ，…… 结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800 。 例3 Λ,3 33232,232232,131232++<++<++< 探究：上述结论都成立吗？ 强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！” 5.提高巩固 观猜证 (,,)a b m

{}数列的通项公式。 试归纳出这个且的第一项：已知数列 例,......),2,1(1,1411=+==+n a a a a a n n n n ?,2 1 ,32,1,2:44321=== ==n a a a a a 求拓展例 6.课堂小结 (1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的 一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 (2)归纳推理的一般步骤： 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明

高中数学选修12推理与证明.docx

第二章推理与证明 一、合情推理 1、归纳推理：个别一般 （结论不一定正确） 2、类比推理：特殊特殊 例 1、推导等差数列通项公式。 解： a2a3d a3a22d个别 a4a33d 一般 a n a1(n1)d 例 2、求 132333n3________. 解： 13112 1323932特殊3332 12 3 =36= （ 1+2+3 ） (1 2 3n) 21一般 13 +2 3+3 3++n 3n2 (1 n) 2 4

二、演绎推理 1 大前提： M 是 P 三段论 2 小前提： S 是 M一般特殊结论正确 3 结论： S 是 P 例：“自然数是整数， 4 是自然数，所以 4 是整数”。

三、直接证明 、综合法：条件结论 1 2、分析法：结论条件 例：设 a, b, c, d0, 且 a+b=c+ d,证明： 1 若 ab cd ，则 a b c d . 2 若 a b c d , 则 a b c d .证明： 1要证a b c d， 只要证 (a b) 2 (c d ) 2， 即 a 2ab b c2cd d，分析法因为 a b c d, 所以只要证ab cd ， 只要证 ab cd, 因为 ab cd 成立 ,所以 a b c d 成立 . 2 若 a b 即(a b) 2因为 a b c d ,( a b) 2(c d ) 2， 4ab(c d ) 2 4cd ，综合法c d, 所以 ab cd ， 由（ 1）可知a b c d . 四、间接证明 反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。 例 1、若 x 2 -( m n) x mn 0，则 x m 且 x n.