高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计新人教A版必修4

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2015高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

新人教A 版必修4

教学设计

[情景1]

问题 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？

结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F 的作用下产

生的位移为S ，那么力F 所做的功W 等于多少？

[设计意图]

以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。

[师生互动] 生：cos W F s θ= （其中θ是F 和S 的夹角）。

师：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量来确定？

显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。从中我们得到一个启发：能

否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”

的概念。

[情景2]

1、定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向

量还是数量？

2、如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？

[设计意图]

使学生从感性到理性去认知数量积的定义。通过对概念的认识、分析和探究，使

学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义。同时加深对投影的认识。

[师生互动]

1、仿照物理问题建构“数学模型”。引入“向量数量积”的概念：已知两个非零

向量a 与b ，把数量cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ?，即a b ?=cos a b θ（其中θ是a 与b 的夹角）

。cos (cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。

2、规定：零向量与任何向量的数量积为0。

3、（1）数量积运算结果的符号取决于a 与b 的夹角θ（[]0,θπ∈）的大小；（2）两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；（3）符号a b ?不能写成a b 或a b ?的形式；（4）找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上。

4、探究其性质：

（1）0a b a b ⊥??=（a 与b 都是非零向量）；

设置情景：若0a b ?=，则向量a 与b 至少有一个是零向量？类比,a b R ∈时，若0ab =0a ?=或0b =。而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用。

（2）当向量a 与b 共线同向时，a b a b ?=；当向量a 与b 共线反向时，a b a b ?=-。特别地22a a a a ?==或2a a a a =?=（与二次根式性质：

a =进行类比）。这是求向量长度的又一重要方法。

[情景3]

由学生自主学习来完成书本例题1。 [设计意图] 通过计算巩固对数量积定义的理解。进一步引导学生对a b ?和a b 的大小关系进行一般的研究比较。 [师生互动]

从例1容易得出性质a b a b ?≤和数量积的几何意义。

[情景4]

给学生2~3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结。

[设计意图]

培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯。把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索。

[师生互动]

学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性进行学习方法点拨并指出对学习过程进行及时反思的重要性。

[情景5]

运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运

算律。

[设计意图]

通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问

题的能力。

[师生互动]

1、回顾实数运算中有关乘法的运算律。类比数量积的运算律，体会不同运算的运

算律不尽相同，需要研究。

已知向量a 、b 、c 和实数λ，则

(1)(2)()()()(3)()a b b a

a b a b a b a b c a c b c

λλλ?=??=?=?+?=?+?

2、对向量数量积的运算律进一步研究，（1）()()a b c a b c ?=?成立吗？显然，等式左边与向量a 共线，右边与向量c 共线，而向量a 与c 不一定共线，因此结论不一定成立；

（2）由a b b c ?=?能否推出a c =？（反例：当0,a b c =⊥时，有

0a b b c ?=?=。

但不能得到0c =）。结合实数,,(0)a b c b ≠，有a b b c a c =?=进行类比，辩析。

3、老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系。同时注意利用学生错误这一重要的资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识。

[情景6]

例2、例3、例4的教学。

[设计意图]

1、要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工；

2、学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性。

3、上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化。

[师生互动]

1、老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比；

2、让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用。

[情景7]

课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法。

[设计意图]

让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力。