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天津市和平区2014-2015学年八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

天津市和平区2014-2015学年八年级上学期期末数学试卷

一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)

1.下列图形中,是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

考点:轴对称图形.

分析:根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称,进而得出答案.

解答:解:A、不是轴对称图形,故A错误;

B、是轴对称图形,故B正确;

C、不是轴对称图形,故C错误;

D、不是轴对称图形,故D错误.

故选:B.

点评:本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.

2.将0.00002用科学记数法表示应为()

A.2×10﹣4B.2×10﹣5C.2×10﹣6D.0.2×10﹣4

考点:科学记数法—表示较小的数.

分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

解答:解:0.00002=2×10﹣5,

故选:B.

点评:本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.下列分式中是最简分式的是()

A.B.

C.D.

考点:最简分式.

分析:根据最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分,即可得出答案.

解答:解:A、=;

B、=x﹣2;

C、的分子、分母都不能再分解,且不能约分,是最简分式;

D、=;

故选C.

点评:此题考查了最简分式,分式的化简过程,首先要把分子分母分解因式,互为相反数的因式是比较易忽视的问题.

4.下列计算正确的是()

A.(x﹣8y)(x﹣y)=x2﹣9xy+8y2B.(a﹣1)2=a2﹣1

C.﹣x(x2+x﹣1)=﹣x3+x2﹣x D.(x+y)(x2+xy+y2)=x3+y3

考点:多项式乘多项式;单项式乘多项式;完全平方公式.

专题:计算题.

分析:原式各项计算得到结果,即可做出判断.

解答:解:A、原式=x2﹣9xy+8y2,正确;

B、原式=a2﹣2a+1,错误;

C、原式=﹣x3﹣x2+x,错误;

D、原式=x3+2x2y+2xy2+y3,错误,

故选A

点评:此题考查了多项式乘以多项式,单项式乘以多项式,以及完全平方公式,熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

5.下列计算正确的是()

A.a2?a2=2a2B.a4+a2=2 C.(﹣ab)2=a2b2D.(2a2)3=6a6

考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.

分析:结合选项分别进行合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方,然后选择正确选项求解.

解答:解:A、a2?a2=a4,原式计算错误,故本选项错误;

B、a4和a2不是同类项,不能合并,故本选项错误;

C、(﹣ab)2=a2b2,计算正确,故本选项正确;

D、(2a2)3=8a6,原式计算错误,故本选项错误.

故选C.

点评:本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识,掌握运算法则是解答本题的关键.

6.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,则它的周长等于()

A.17 B.22 C.17或22 D.13

考点:等腰三角形的性质.

分析:题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

解答:解:∵4+4=8<9,0<4<9+9=18,

∴腰的不应为4,而应为9,

∴等腰三角形的周长=4+9+9=22,

故选B.

点评:本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.

7.如图,在△ABC中,点F在边AB上,EC=AC,CF,EA的延长线交于点D,且∠BCD=∠ACE=∠DAB,则DE等于()

A.D C B.B C C.A B D.AE+AC

考点:全等三角形的判定与性质.

分析:根据已知条件推出三角形全等的条件,证明△CDE≌△CBA,得到对应边相等.

解答:解:∵∠DAB=∠BCD,∠AFC=∠DFB,

∴∠D=∠B,

∵∠DCB=∠ACE,

∴∠DCB+∠ACD=∠ACE+∠ACD,

即∠BCA=∠DCE,

在△CDE与△CBA中,

∴△CDE≌△CBA(AAS),

∴DE=AB,

故选C.

点评:本题考查了等式的性质,全等三角形的判定和性质,证明三角形全等是解题的关键.

8.如图,△AOB≌△ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠A BO=β,当BC∥OA 时,α与β之间的数量关系为()

A.α=βB.α=2βC.α+β=90°D.α+2β=180°

考点:全等三角形的性质.

分析:根据全等三角形对应边相等可得AB=AC,全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD,然后求出∠BAC=α,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,然后根据两直线平行,同旁内角互补表示出∠OBC,整理即可.

解答:解:∵△AOB≌△ADC,

∴AB=AC,∠BAO=∠CAD,

∴∠BAC=∠OAD=α,

在△ABC中,∠ABC=(180°﹣α),

∵BC∥OA,

∴∠OBC=180°﹣∠O=180°﹣90°=90°,

∴β+(180°﹣α)=90°,

整理得,α=2β.

故选B.

点评:本题考查了全等三角形的性质,等腰三角形两底角相等的性质,平行线的性质,熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

9.已知x﹣=3,则4﹣x2+x的值为()

A.1B.C.D.

考点:代数式求值;分式的混合运算.

专题:计算题.

分析:所求式子后两项提取公因式变形后,将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值.

解答:解:∵x﹣=3,

∴x2﹣1=3x

∴x2﹣3x=1,

∴原式=4﹣(x2﹣3x)=4﹣=.

故选:D.

点评:此题考查了代数式求值,将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键.

10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°.∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合,则∠CEF的度数是()

A.45°B.50°C.55°D.60°

考点:翻折变换(折叠问题);线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.

分析:作辅助线,由∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O,可求出∠OBM,∠OCM的值,再求出BOM和∠COM的值,由折叠性求出∠OEM,即可求出∠CEF.

解答:解:如图,延长AO交BC于点M,连接BO,

∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,

∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣50°)÷2=65°,

∵AO是∠BAC的平分线,

∴∠BAO=25°,

又∵OD是AB的中垂线,

∴∠OBA=∠OAB=25°,

∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°,

∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°,

由折叠性可知,∠OCM=∠COE,

∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°,

∴∠OEM=90°﹣10°=80°,

∵由折叠性可知,∠OEF=∠CEF,

∴∠CEF=(180°﹣80°)÷2=50°.

故选:B.

点评:本题主要考查了折叠问题,中垂线及等腰三角形的性质,解题的关键是能正确作出辅助线..

11.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放,则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是(用含a、b的式子表示)()

A.(a+b)2B.(a﹣b)2C.2ab D.ab

考点:整式的混合运算.

分析:用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可.

解答:解:()2﹣4×()2=﹣

=

=ab,

故选D.

点评:本题考查了整式的混合运算,求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键.

12.甲、乙两人都去同一家超市购买大米各两次,甲每次购买50千克的大米,乙每次够买50元的大米,这两人第一次够买大米时售价为每千克m元,第二次够买大米时售价为每千克n元(m≠n),若规定谁两次够买大米的平均单价低,谁的够买方式就合算,则()

A.甲的够买方式合算B.乙的够买方式合算

C.甲、乙的够买方式同样合算D.不能判断谁的够买方式合算

考点:分式的加减法.

专题:应用题.

分析:根据平均单价=分别求出甲、乙的平均单价,再相减即可得出结论.

解答:解:∵两人第一次够买大米时售价为每千克m元,第二次够买大米时售价为每千克n元(m≠n),∴甲共花(50m+50n)元,平均单价为=元;

乙共花50+50=100元,平均单价为=元;

∴﹣=>0,

∴乙的够买方式合算,

故选B.

点评:本题考查了分式的加减法则的应用,能分别求出甲、乙的平均单价是解此题的关键,难度适中.二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)

13.(1)当x≠1时,分式有意义;

(2)当x=2时,分式的值为0;

(3)当x(x≠0)>3时,分式的值为正.

考点:分式的值;分式有意义的条件;分式的值为零的条件.

分析:(1)根据分式有意义的条件解答即可;

(2)根据分式值为0的条件解答即可;

(3)分式的值为正即分之分母同号,由x≠0,得x2>0,从而得出6x﹣18>0,解答即可.

解答:解:(1)由x﹣1≠0,得x≠1;

(2)由3x﹣6=0,得x=2;

(3)由分式的值为正,得6x﹣18与x2同号,

∵x≠0,6x﹣18>0,

解得x>3,

故答案为≠1;=2;>3.

点评:本题考查了分式的值、分式有意义的条件以及分式值为0的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念:

(1)分式无意义?分母为零;

(2)分式有意义?分母不为零;

(3)分式值为零?分子为零且分母不为零.

14.分解因式

(1)x2﹣7x+12=(x﹣3)(x﹣4);

(2)2x2+7x+3=(2x+1)(x+3);

(3)(m+n)2﹣12(m+n)+36=(m+n﹣6)2.

考点:因式分解-十字相乘法等;因式分解-运用公式法.

专题:计算题.

分析:(1)原式利用十字相乘法求出解即可;

(2)原式利用十字相乘法求出解即可;

(3)原式利用完全平方公式分解即可.

解答:解:(1)原式=(x﹣3)(x﹣4);

(2)原式=(2x+1)(x+3);

(3)原式=(m+n﹣6)2.

故答案为:(1)(x﹣3)(x﹣4);(2)(2x+1)(x+3);(3)(m+n﹣6)2

点评:此题考查了因式分解﹣十字相乘法,以及运用公式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

15.(1)如图①,D是△ABC的BC边的延长线上一点,∠A=80°,∠B=60°,则∠ACD的大小等于140(度);

(2)如图②,△ABC中,∠C=90°,点D、E分别在边AB、AC上,∠AED=∠B,则∠ADE的大小等于90(度);

(3)如图③,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,则它们的和等于360度.

考点:三角形的外角性质.

分析:(1)直接利用三角形外角的性质解答即可;

(2)利用三角形内角和定理即可解答;

(3)利用三角形外角的性质及三角形内角和定理解答即可.

解答:解:(1)∵∠ACD是△ABC的外角,∠A=80°,∠B=60°,

∴∠ACD=∠A+∠B=140°,[来源:学科网]

故答案为:140;

(2)∵在△ABC中,∠C=90°,

∴∠A+∠B=90°,

∵∠AED=∠B,

∴∠A+∠AED=90°,

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°,

∴∠ADE=90°.

故答案为:90;

(3)∵∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,

∴∠BAE=∠ABC+∠ACB,∠CBF=∠ACB+∠BAC,∠ACD=∠BAC+∠ABC,

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠ABC+∠BAC+∠ACB)=2×180°=360°.

故答案为:360.

点评:此题考查了三角形外角的性质及内角和定理,解题的关键是:熟记外角的性质即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和.

16.如图,AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,还需添加一个条件,这个条件可以是AE=AC.

考点:全等三角形的判定.

专题:开放型.

分析:求出∠BAC=∠DAE,根据全等三角形的判定定理SAS推出即可.

解答:解:AE=AC.

理由是:∵∠BAE=∠DAC,

∴∠BAE+∠EAC=DAC+∠EAC,

∴∠BAC=∠DAE,

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE,

故答案为:AE=AC.

点评:本题考查了全等三角形的判定定理的应用,注意:此题是一道开放型的题目,答案不唯一.

17.如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M,若∠C=150°,则∠CMA的大小等于15(度).

考点:平行线的性质;作图—基本作图.

分析:根据两直线平行,同旁内角互补求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠BAM,然后根据两直线平行,内错角相等解答.

解答:解:∵AB∥CD,

∴∠BAC=180°﹣∠C=180°﹣150°=30°,

由题意得,AP是∠BAC的平分线,

∴∠BAM=∠B AC=×30°=15°,

∵AB∥CD,

∴∠CMA=∠BAM=15°.

故答案为:15.

点评:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记性质是解题的关键,难点在于判断出AP是角平分线.

18.如图,△ABC中,∠BAC=68°,∠ACB=72°,∠ACB的平分线与∠BAC的外角平分线交于点D,连接BD,则∠BDC的大小等于34°(度).

考点:角平分线的性质.

分析:如图,分别过点D作CA、AB、CB所在直线的垂线,由角平分线的性质,可先证得BD平分∠ABE,可求得∠DBA,则可得出∠DBC,结合角平分线的定义可求得∠DCB,在△BCD中由三角形内角和定理可求得∠BDC.

解答:解:如图,分别分别过点D作CA、AB、CB所在直线的垂线,垂足分别为E、F、G,

∵D在∠ACB的平分线与∠BAC的外角平分线上,

∴DE=DF=DG,

∴D在∠ABC的外角的平分线上,

∴∠ABD=∠ABG,

∵∠BAC=68°,∠ACB=72°,

∴∠ABC=40°,

∴∠ABG=140°,

∴∠ABD=70°,

∴∠DBC=∠ABD+∠ACB=70°+40°=110°,

又∵∠BCD=∠ACB=36°,

∴∠BDC=180°﹣110°﹣36°=34°,

故答案为:34°.

点评:本题主要考查角平分线的性质和判定,掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键,注意三角形内角和定理的应用.

三、解答题(共6小题,满分46分)

19.如图:点B,E,C,F在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥DF.求证:AB=DE,AC=DF.

考点:全等三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:结合已知条件可由ASA得出△ABC≌△DEF,进而可得出结论.

解答:证明:∵FB=EC,

∴BC=EF,

又∵AB∥ED,AC∥DF,

∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,

在△ABC与△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(ASA),

∴AB=DE,AC=DF.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题,应熟练掌握.

20.如图,点B,C在△ADE的DE边上,且点B在AD的垂直平分线上,CE=CA,∠ABC=50°,∠ACB=80°,求∠D、∠E、∠DAE的度数.

考点:线段垂直平分线的性质.

分析:先根据点B在AD的垂直平分线上得出AB=BD,故∠D=∠DAE,由三角形外角的性质可得出∠D的度数,根据CE=CA可知∠E=∠CAE,由∠ACB=80°可得出∠E的度数,根据三角形内角和定理即可得出∠DAE的度数.

解答:解:∵点B在AD的垂直平分线上,

∴AB=BD,

∴∠D=∠DAE,

∵∠ABC=50°,

∴∠D==25°.

∵CE=CA,

∴∠E=∠CAE,

∵∠ACB=80°,

∴∠E==40°,

∴∠DAE=180°﹣25°﹣40°=115°.

点评:本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.

21.(16分)计算:

(1)(a+b)2+(a﹣b)(a+b)﹣2ab;

(2)7m(4m2p)2+7m2;

(3)()?÷();

(4)a﹣2b2?(a2b﹣2)﹣3.

考点:分式的混合运算;整式的混合运算;负整数指数幂.

专题:计算题.

分析:(1)原式利用完全平方公式,平方差公式化简,去括号合并即可得到结果;

(2)原式计算乘方运算即可;

(3)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果;

(4)原式计算负指数幂运算,即可得到结果.

解答:解:(1)原式=a2+b2+2ab+a2﹣b2﹣2ab=2a2;

(2)原式=112m5p2+7m2;

(3)原式=??=;

(4)原式=?=.

点评:此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22.甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发,甲、乙的速度之比为3:4,结果甲比乙提前25分钟到达目的地,求甲、乙两人的速度.

考点:分式方程的应用.

分析:设甲的速度为3x千米/小时,乙的速度为4x千米/小时,根据题意可得:甲走6千米比乙走8千米少用25分钟,列方程求解.

解答:解:设甲的速度为3x千米/小时,乙的速度为4x千米/小时,

依题意得:+=,

解得:x=1.2,

经检验:x=1.2是分式方程的解,

则3x=3.6,4x=4.8.

答:甲的速度为3.6千米/小时,乙的速度为4.8千米/小时.

点评:本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解,注意检验.

23.分解因式:

(1)16x5﹣x;

(2)(x﹣1)(x﹣3)+1.

考点:提公因式法与公式法的综合运用.

分析:(1)先提取公因式x,再根据平方差公式进行二次分解;

(2)先利用多项式的乘法展开,然后整理再利用完全平方公式继续分解.

解答:解:(1)16x5﹣x

=x(16x4﹣1)

=x(4x2+1)(4x2﹣1)

=x(4x2+1)(2x+1)(2x﹣1);

(2)(x﹣1)(x﹣3)+1

=x2﹣4x+3+1

=x2﹣4x+4

=(x﹣2)2.

点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

24.如图,△ABC中,∠CAB+∠CBA=120°,点D,E分别在边AC,BC上,且AD=BE,以DE为边作等边△DEF,连接AF,BF.

求证:△FAB是等边三角形.

考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.

专题:证明题.

分析:设AC、BF相交于点O,根据三角形的内角和定理求出∠C=60°,根据等边三角形的性质可得DF=EF,∠DFE=60°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADF=∠BEF,然后利用“边角边”证明△ADF和△BEF全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=BF,全等三角形对应角相等可得∠AFD=∠BFE,再求出∠AFB=∠DFE=60°,然后根据等边三角形的判定方法证明即可.

解答:证明:如图,设AC、BF相交于点O,

∵∠CAB+∠CBA=120°,

∴∠C=60°,

∵△DEF是等边三角形,

∴DF=EF,∠DFE=60°,

由三角形的外角性质得,∠ADF=∠DFE+∠DOF,

∠BEF=∠C+∠COE,

∵∠DFE=∠C=60°,∠DOF=∠COE(对顶角相等),

∴∠ADF=∠BEF,

在△ADF和△BEF中,

∴△ADF≌△BEF(SAS),

∴AF=BF,∠AFD=∠BFE,

∴∠AFB=∠DFE=60°,

∴△FAB是等边三角形.

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键,难点在于求出

∠ADF=∠BEF.

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