10 11 12讲教案

2.3其它不等式的解法

【教学目标】:

1、掌握简单的分式不等式、绝对值不等式的解法;

2、能对简单的绝对值不等式给出几何解释;

3、体会化归、等价转换的数学思想方法.

【学习重点】:简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 【学习难点】:不等式的同解变形. 【教学过程】:

一、分式不等式的解法 1、引入

某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍.

设楼梯的长度为s ,甲的速度为v ,自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为

s

v

,乙上楼所需时间为02

s v +

.

由题意,得

2

s s

v v v <

+. 整理的0122v v v <+. 由于此处速度为正值,因此上式可化为022v v v +<,即02v v >.所以,甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式:

1

232

x x +>-.

解:(化分式不等式为一元一次不等式组)

注意到1

032x x -<-?10320x x -?或10320x x ->??-

?()()3210x x --<,可以简化上述

解法.

另解:(利用两数的商与积同号(00a ab b >?>,00a

ab b

由例1我们可以得到分式不等式的求解通法:

(1)不要轻易去分母,可以移项通分,使得不等号的右边为零. (2)利用两数的商与积同号,化为一元二次不等式求解. 一般地,分式不等式分为两类: (1)

()

()

0f x g x >(0<)?()()0f x g x >(0<)

; (2)()()0f x g x ≥(

0≤)?()()()()

000f x g x g x ≥≤???≠??. [说明]

解不等式中的每一步往往要求“等价”,即同解变形,否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集,所以很难像解无理方程那样,对解进行检验,因此同解变形就显得尤为重要. 例2 解下列不等式 (1)105x x -+>-. (2)2335x ≥-. (3)2

8

223

x x x +<++.

例3 当m 为何值时,关于x 的不等式()()132m x x -=+的解是 (1)正数? (2)是负数?

二、含绝对值的不等式的解法

(1)实数绝对值定义、几何意义、性质.

① 任意x R ∈,定义x 的绝对值为,0

,0x x x x x ≥?=?-

.

② 绝对值的几何意义:任意x R ∈,设数轴上表示数值x 的点为P ,O 为坐标原点,则

x PO =,即x 表示P 点到原点的距离.类似地,12x x -的几何意义是:数轴上表示数

值1x 的点A 到数轴上表示数值2x 的点为B 的距离,即12x x AB -=. ③ 任意x R ∈,0x ≥,等号成立?0x =.

④ 任意x R ∈x =?2

2

x x =.

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⑤ 任意x 、y R ∈,x x x x x ±≤?-≤±≤.xy x y =?,x x

y y

=(0y ≠).

(2)含绝对值的不等式的解法

例4 设a 、b R +

∈,且a b <,求下列不等式的解集. (1)x a >. (2)x b <. (3)a x b <<. 解:(1)

另解: (2

另解:

(3)

由例4我们可以获得含绝对值的不等式的如下重要结论: 设0a b <<,则

(1)x a >?x a x a <->或. (2)x b

(3)a x b <

223

x <-. (3)2325x <-<.

例6 解下列不等式 (1)11x x x x >++. (2)2

34x x ->. (3)2560x x -+>. (4)2312

x x ->+.

例7 解不等式:125x x ++->.

【课后作业】 1. 解关于x 的不等式202

a x

x x -≥--.

2. 解关于x 的不等式11

ax

x <-.

3. 已知不等式1ax b +≤的解集为[-1,3],求a,b 的值.

4. 已知不等式1

01

mx mx +>-的解集为(,1)(1,)-∞-?+∞,求实数m 的值.

5.当p为何值时,对任意实数x,不等式

2

2

36

96

1

x px

x x

++

-<≤

-+

恒成立.

6.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立,求k的取值范围.

7.已知不等式()()

x a x b

x c

--

-

的解集为[1,2](3,)

-?+∞,求不等式0

()()

x c

x a x b

-

--

的解集.

8.关于实数x的不等式

()()

22

11

22

a a

x

+-

-≤和23(1)2(31)0

x a x a

--++≤()

a R

∈的

解集依次是A,B,求使A B

?的实数a的取值范围.

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“弦图”的现代数学图示

2.4基本不等式及其应用

【教学目标】:

1、掌握两个基本不等式:ab b a 222≥+(a 、R b ∈)、ab b

a ≥+2

(a 、b 为任意正数),并能用于解决一些简单问题.

2、理解两个基本不等式相应的几何解释,初步理解代换的数学方法.

3、在公式的探求过程中,领悟数形结合的数学思想,进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.

【教学重点】:两个基本不等式的知识发生过程和证明;基本不等式的应用. 【教学难点】:基本不等式的应用. 【教学过程】: 1、基本不等式1

基本不等式1 对于任意实数a 和b ,有ab b a 22

2≥+,当且仅当a b =时等号成立.

(1)基本不等式1的证明

证明:因为()2

22

20a b ab a b +-=-≥,所以ab b a 222≥+.

当a b =时,()20a b -=.当a b ≠时,()2

0a b ->.所以,当且仅当a b =时,

ab b a 222≥+的等号成立.

(2)基本不等式1的几何解释 ① 解释1

边长为a 的正方形面积与边长为b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的2倍(当且仅当a b =时等号成立).

已知正方形ABCD ,分别在边AD 、边DC 上取点E 、F ,使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥,垂足为G 、H .EG 和HF 交于点M .

由几何画板进行动态计算演示,得到阴影部分的面积 ≥ 剩余部分的面积,当且仅当点E 移至AD 中点时等号成立. ② 解释2某届数学大会的会徽怎样的?

三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为:

如图所示,以a 、b 、c 分别表示勾、股、弦,那么,a b ?表示“弦图”中两块“朱实”的面积,()2

b a -表示“中黄实”的面积. 于是,从图中可明显看出,四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”

的面积就等于以c 为边长的正方形“弦实”的面积,即

()2

2

2

2

2

2

222c b a ab b ab a ab a b =-+=-++=+

这就是勾股定理的一般表达式.

由图可知:以c 为边长的正方形“弦实”的面积 ≥ 四块“朱实”的面积即,

222a b ab +≥(当且仅当a b =时等号成立).

2、基本不等式2 观察下面这个几何图形.

已知半圆O ,D 是半圆上任一点,AB 是直径. 过D 作DC AB ⊥,垂足为C .

显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.

设AC a =,CB b =,请用a 、b 来表示上述这个不等关系.( 即

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a

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H F

D B C

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ab b

a ≥+2

,当且仅当a b =时等号成立.) 基本不等式2 对于任意正数a 、b ,有ab b

a ≥+2

,当且仅当a b =时等号成立. 我们把2

b a +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2

也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (1)基本不等式2的证明

证明:因为2

0a b +-=≥,所以

ab b

a ≥+2

.

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当a b =时,

2

0=.当a b ≠时,

2

0>.

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所以,当且仅当a b =时,

ab b

a ≥+2

的等号成立.

另证:因为a 、b 均存在.

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由基本不等式1,得2

2

+≥=.

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ab b

a ≥+2

,当且仅当a b =时等号成立. (2)基本不等式2的扩充

对于任意非负数a 、b ,有ab b

a ≥+2,当且仅当a

b =时等号成立. 例1 已知0>ab ,求证:2≥+b

a

a b ,并指出等号成立的条件.

思考:若0

b

a

a b +的取值范围是什么?

3、两个基本不等式的简单应用

(1)几何问题

例2 在周长保持不变的条件下,何时矩形的面积最大?

[说明] 当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值. 例如,若01x <<时,有()114x x -≤

,当且仅当1

2

x =时等号成立.(事实上,由()2

211124y x x x x x ?

?=-=-+=--+ ??

?(01x <<)

,得104y <≤,当且仅当12x =时等号成立.)

例3 在面积保持不变的条件下,何时矩形的周长最小? [说明] 当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值. 例如,若0x ≠时,1

2x x

+≥.为什么?

两个正数的和为定值,则它们的积有最大值;两个正数的积为定值,则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时,要注意“一正、二定、三等号”. (2)代数证明

例4 求证:对于任意实数a 、b 、c ,有222

a b c a

b b

c c a ++≥++,当且仅当a b c

==时等号成立.

例5 均值不等式链

设a 、b R +

∈,

则2

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112a b a b

+≤≤≤+≤几何均值≤算术均值≤平方均值),当且仅当a b =时等号成立.

[说明]事实上当a 、b R ∈时,有:

① 2

2a b ab +??

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≤ ???

,当且仅当a b =时等号成立. ②

22a b a b ++≥. 证明:

例6 甲、乙两人同时从A 地出发,沿同一条路线行到B 地。甲在前一半时间的行走速度为a ,后一半时间的行走速度为b ;乙用速度a 走完前半段路程,用速度b 走完后半段路程;问:谁先到达B 地?

【课后作业】

1.“a >0且b >0”是“

a +b

2

≥ab ”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件 2.设a 、b ∈R +,且a +b =4,则有( ) A.

1

ab ≥12 B.1a +1

b ≥1 C.ab ≥2 D.

1a 2

+b 2≥1

4

3.设0

1-x

的最小值为( )

A .(a -b )2

B .(a +b )2

C .a 2b 2

D .a 2

4.设a >b >c >0,则2a 2

+1ab

1a (a -b )

-10ac +25c 2

的最小值是( )

A .2

B .4

C .2 5

D .5

5.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是( ) A .3 B .4 C.92 D.11

2

6.在“4 +9

=1”中的“__”处分别填上一个自然数,使它们的和最小,并求出其和

的最小值.________

7.若a ,b 是正常数,a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞),则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =b

y

取等号.利用以上结论,可以得到函数f (x )=2x +91-2x (x ∈? ??

??0,12)的最小值为________

8.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1

t

的最小值为________.

9.若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________.

10.某厂为适应市场需求,投入98万元引进世界先进设备,并马上投入生产,第一年需各种费用12万元,从第二年开始,每年所需费用会比上一年增加4万元.而每年因引入该设备可获得年利润为50万元.请你根据以上数据,解决以下问题:

(1)引进该设备多少年后,开始盈利?

(2)引进该设备若干年后,有两种处理方案:

第一种:年平均利润达到最大值时,以26万元的价格卖出.

第二种:盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算?

2.5 不等式的证明

【教学目标】:

1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路.

2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.

3、在证明的过程中,加强不等式性质及基本不等式的应用.

4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。

【教学重点】: 利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明. 【教学难点】: 分析法的基本思路及其表达. 【教学过程】: 一、比较法

比较法有两种:(1)比差法:求差与0比.

(2)比商法:求商与1比,要注意讨论分母的符号.

例1 求证:(1)()()2

21x x x +<+. (2)222x x >-.

例2 设0a >,0b >,求证:.2211

a b b a a b

+≥+(补充)

[说明] 此例采用了比差和比商两种方法给出证明,由证明过程体会两种方法各自的“优点”. 二、综合法

从已知条件出发,利用各种已知的定理和运算性质作为依据,推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.

例3 已知a 、b 、c 均为正数,求证:()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥.

例4 已知a 、b R ∈,求证:(

)()

2

22

2a b

a b +≥+.

例5 求证2

2≥

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例6 求证:()2

2112

a b a b +≤≤

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++.

三、分析法

从要证的结论出发,经过适当的变形,分析出使这个结论成立的条件,把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题,如果能够判定这些条件都成立,那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法. 分析法也可以如下叙述为: 欲证结论Q ,需先证得1P , 欲要证得1P ,需先证得2P ,

欲要证得2P ,需先证得3P ,……………………………, 欲要证得1n P -,需先证得n P .

当n P 成立时,

若以上步步可逆,则结论Q 成立.用数学语言表述,必须保证下述过程成立: Q ?1P ?2P ?3P ?…?1n P -?n P ,因为n P 成立,所以结论Q 成立.

[说明]

分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立,所以需慎重使用.

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例7 求证:1>

例8 已知:ad bc ≠,求证:22222()()()a b c d ac bd ++>+.

例9 设a 、b R ∈,求证:a b a b a b -≤+≤+,并指出等号成立的条件.

以上证得的两个不等式,是绝对值不等式的重要性质,称之为三角不等式 对于任意a 、

b R ∈,

(1)a b a b a b -≤+≤+,左端等号成立?0ab ≤,右端等号成立?0ab ≥. (2)a b a b a b -≤-≤+,左端等号成立?0ab ≥,右端等号成立?0ab ≤.

例10 已知2

x a ε

-<,2

y a ε

-<

,求证:x y ε-<.

【课后作业】

1. 设a 、b 、c 为正数,求证bc a +

ca b +ab

c

≥a +b +c.

2.对于任意实数a 、b ,求证

444

()22

a b a b ++≥(当且仅当a b =时取等号).

3.已知a 、b 、c R +

∈,1a b c ++=,求证111

9.a b c

++≥

4.已知c b a >>,求证:a

c c b b a -+-+-1

11>0.

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5. 若0,0a b >>,且2c a b >+,求证:c a c <<

6.若233=+b a ,求证2≤+b a .

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