2019高三数学(理)二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质

2019高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质

高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真题感悟

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a －b|＝( )

A. B. C. D.1

解析由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.

答案B

2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )

A.f(x)的一个周期为－2π

B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C.f(x＋π)的一个零点为x＝

D.f(x)在单调递减

解析A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确.

B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确.

C项，f(x＋π)＝cos，将x＝代入得到f＝cos＝0，所以x＝是f(x ＋π)的一个零点，C项正确.

D项，因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误.

答案D

3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )

A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

解析易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x ＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，

f(x)取得最大值，最大值为4.

答案B

4.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )

A. B. C. D.π

解析f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0

答案A

考点整合

1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)

2.三角函数的常用结论

(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得.

(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.

(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

热点一三角函数的定义

【例1】(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则cos(α－β)＝________.

(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.

解析(1)法一由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z).

∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝(k∈Z).

当cos α＝＝时，cos β＝－，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.

当cos α＝－＝－时，cos β＝，

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.

综上可知，cos(α－β)＝－.

法二由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)，

∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α，

cos β＝cos[(2k＋1)π－α]＝－cos α，k∈Z.

当sin α＝时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.

(2)由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝，

∴原式＝＝＝2cos2α＝2×＝.

答案(1)－(2)18

25

探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误.

2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.

【训练1】(1)(2018·潍坊三模)在直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π－α)＝( )

A. B. C.－ D.－3

2

(2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α

︵

A. B. C. D.GH

解析(1)∵角α的终边过点P，且|OP|＝1.∴由三角函数定义，知sin α＝cos＝－.因此sin(π－α)＝sin α＝－.

(2)设点P的坐标为(x，y)，由三角函数的定义得

答案(1)C (2)C

热点二三角函数的图象

考法1 三角函数的图象变换

【例2－1】 (1)要想得到函数y＝sin 2x＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )

A.向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

C.向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

(2)(2018·湖南六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象( ) A.关于点对称 B.关于点对称

C.关于直线x＝对称

D.关于直线x＝－对称

解析(1)因为y＝sin 2x＋1＝cos＋1＝cos＋1，

故只需将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝sin 2x＋1的图象.

(2)由题意，T＝π，ω＝2.

又y＝f ＝sin的图象关于y轴对称.∴φ＋＝kπ＋，k∈Z.

由|φ|<，取φ＝－，因此f(x)＝sin，

代入检验f ＝0，A 正确.

答案 (1)B (2)A

探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，，π，，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.

2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换

只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这

个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

考法2 由函数的图象特征求解析式

【例2－2】 (1)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则

函数f(x)的解析式为( )

A.f(x)＝2sin B .f(x)＝2sin ? ??

??2x －π3 C.f(x)＝2sin D .f(x)＝2sin ? ????2x －π6 (2)(2018·济南调研)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所

示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )

A.1

B.

C.

D.3

2 解析 (1)由题意知A ＝2，T ＝4＝π，ω＝2，

因为当x ＝时取得最大值2，

所以2＝2sin ，

所以2×＋φ＝2k π＋，k∈Z，

解得φ＝2k π－，k∈Z，

因为|φ|<，得φ＝－.

因此函数f(x)＝2sin.

(2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2.

又点是“五点法”中的始点，

∴2×＋φ＝0，φ＝.

则f(x)＝sin.

函数图象的对称轴为x＝＝.

又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，

所以＝，则x1＋x2＝，

因此f(x1＋x2)＝sin＝.

答案(1)B (2)D

探究提高已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

【训练2】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值.

解(1)设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知

A＝1，＝－＝，

即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，

所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又过点，

由0＝sin可得＋φ＝2kπ，k∈Z，

则φ＝2kπ－，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝－，

故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.

(2)根据条件得g(x)＝sin，

当x∈时，4x＋∈，

所以当x＝时，g(x)取得最小值，且g(x) min＝.

热点三三角函数的性质

考法1 三角函数性质

【例3－1】(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性.

解(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，

∴ω＝2，于是f(x)＝sin.

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).

即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

注意到x∈，所以令k＝0，

得函数f(x)在上的单调递增区间为；

同理，其单调递减区间为.

探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.

2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.

考法2 三角函数性质与图象的综合应用

【例3－2】已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间.

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.

解(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)

＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.

由最小正周期为π，得ω＝1，

所以f(x)＝2sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；

所以g(x)＝2sin 2x＋1.

令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，

所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.

所以b的最小值为4π＋＝.

探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝.

【训练3】(2018·湖南师大附中质检)已知向量m＝(2cos ωx，－1)，n＝(sin ωx－cos ωx，2)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)的图象，当x∈时，求函数g(x)的值域.

解(1)f(x)＝m·n＋3＝2cos ωx(sin ωx－cos ωx)－2＋3

＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.

依题意知，最小正周期T＝π.

∴ω＝1，因此f(x)＝sin.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

求得f(x)的增区间为，k∈Z.

(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位，

得y＝sin＝sin的图象.

然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g(x)＝sin的图象.

故g(x)＝sin，

由≤x≤，知≤4x＋≤.

∴－1≤sin≤.

故函数g(x)的值域是[－，1].

1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式

(1)A＝，B＝.

(2)由函数的周期T求ω，ω＝.

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.

2.运用整体换元法求解单调区间与对称性

类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解.

(1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；

(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；

(3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注

意ω的符号.

3.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路

第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；

第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

一、选择题

1.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为( )

A. B. C.π D.2π

解析f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T ＝＝π.

答案C

2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )

A. B.1 C. D.1

5

解析cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.答案A

3.(2018·湖南六校联考)定义一种运算＝ad－bc，将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( )

A. B. C. D.5π

6

解析f(x)＝2cos x－2sin x＝4cos，

依题意g(x)＝f(x＋φ)＝4cos是偶函数(其中φ>0).

∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φmin＝π.

答案C

4.偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E，F是函数与x 轴的交点，点G在图象上)，则f(1)的值为( )

A. B. C. D.22

解析依题设，＝|EF|＝4，T＝8，ω＝.

∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，且0<φ<π.

∴φ＝，在等腰直角△EGF中，易求A＝2.

所以f(x)＝2sin＝2cosx，则f(1)＝.

答案C

5.(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )

A.在区间上单调递增

B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增

D.在区间上单调递减

解析把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin ＝sin 2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin 2x的一个单调递增区间为.

答案A

二、填空题

6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝对

称，则φ的值是________.

解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝对称，得sin ＝±1.因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.

答案 －π6

7.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，其中|PQ|＝

2.则f(x)的解析式为________.

解析 由题图可知A ＝2，P(x1，－2)，Q(x2，2)，所以|PQ|＝＝＝

2.整理得|x1－x2|＝2，所以函数f(x)的最小正周期T ＝2|x1－x2|

＝4，即＝4，解得ω＝.又函数图象过点(0，

－)，所以2sin φ＝－，即sin φ＝－.又|φ|<，所以φ＝－，所

以f(x)＝2sin.

答案 f(x)＝2sin ? ????π2x －π3 8.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f 对任意的实

数x 都成立，则ω的最小值为________.

解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f 成立，故当x ＝时，函数f(x)

有最大值，故f ＝1，－＝2k π(k∈Z)，∴ω＝8k ＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin ＝.

答案 23

三、解答题

9.已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性.

解(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，

f(x)＝4tan xcos xcos－3

＝4sin xcos－3

＝4sin x－3

＝2sin xcos x＋2sin2x－3

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

设A＝，B＝，易知A∩B＝.

所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.

10.(2018·西安模拟)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.解(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ，k∈Z，

∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝π.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

∴x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，

∴cos(x1－x2)＝cos ＝sin ，

又f(x2)＝sin ＝，

故cos(x1－x2)＝.

11.设函数f(x)＝sin ＋sin ，其中0＜ω＜3，已知f ＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标

不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求g (x)在上的最小值.

解 (1)因为f(x)＝sin ＋sin ，

所以f(x)＝sin ωx －cos ωx －cos ωx

＝sin ωx －cos ωx ＝3? ??

??12sin ωx －32cos ωx ＝sin.

由题设知f ＝0，

所以－＝k π，k∈Z，故ω＝6k ＋2，k∈Z.

又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin ，

所以g(x)＝sin ＝sin.

因为x∈，所以x －∈，

当x －＝－，即x ＝－时，g(x)取得最小值－.