6高考数学分类讨论思想在解题中的应用
第6讲 分类讨论思想在解题中的应用
一、知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析
例1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y +-=70 B. 250x y -=
C. x y x y +-=-=70250或
D. x y y x ++=-=70250或
分析：设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y x x y =-=2
5
250，即； 当a ≠0时，设直线方程为
x a y
a
a +==17，则求得，方程为x y +-=70。 例2．?ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos =
=125
13
分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--?cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B 因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A 进行分类。
解：
05132
2
<= 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos = ==12303 2 若为钝角，由，得，此时A A A A B sin = =+>1 2 150180 这与三角形的内角和为180°相矛盾。可见A ≠150 []∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π []=-?-?cos cos sin sin A B A B =-?-?????? ?=-325131212131253 26 例3.已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。 分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k ，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P 的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P 的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在… 解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2 例4.解关于的不等式：x log ()a x 11 1-> 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a 的取值不同而不同，故需对a 进行分类讨论。 解：若，则原不等式等价于a >1111 10- >?-< x 若，则原不等式等价于01110 11111<<->- ?? ? ???<<-a x x a x a 综上所述，当时，原不等式的解集为；a x a x >-< ??1110 当时，原不等式的解集为01111<<<<-? ????? a x x a 例5.解不等式542--≥x x x 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x 分类。 解：原不等式等价于或x x x x x x x x x ≥--≥--≥???? ?<--≥???0 5405405402 222 ?≥-≤≤--≤≤-+? ???? ?? ??<-≤≤?? ?x x x x x 05111421142051或 ?≤≤-+ -≤<0114250x x 或 ?-≤≤-+ 5114 2 x ∴-≤≤-+???????? ? ?原不等式的解集为x x 51142 例6.解关于的不等式：x ax a x 2110-++<() 分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两 根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1 a 谁大谁小的问题，因 而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为2011 0a a x x a ≠--<()() ①若，则原不等式化为a x x a <-->011 0()() 1011a a <∴ < ∴<>不等式解为或x a x 1 1 ②若，则原不等式化为a x x a >--<011 0()() （）当时，，不等式解为i a a a x ><<<1111 1 ()ii a a x 当时， ，不等式解为==∈?11 1 ()iii a a x a 当时， ，不等式解为011111<<><< 综上所述，得原不等式的解集为 当时，解集为或a x x a x <<>???? ?? 011；{}当时，解集为a x x =>01|； 当时，解集为0111<<<< ? ??? ?? a x x a ；当时，解集为a =?1； 当时，解集为a x a x >< ?? 111。 例7.已知等比数列的前n 项之和为n S ，前n+1项之和为1n S +，公比q>0，令 T S S n T n n n n = →∞+1 ，求lim 。 分析：对于等比数列的前n 项和S n 的计算，需根据q 是否为1分为两种情形： 当时，；当时，q =1S na q S a q q n n n =≠=--11111() 另外，由于当时，，而已知条件中||lim q n q q n <→∞=>100 故还需对q 再次分类讨论。 解：当时，，q S na S n a n n ===++11111() ∴→∞=→∞+=lim lim n T n n n n 1 1 当时，，q S a q q S a q q n n n n ≠=--=--++111111111()() ∴==--++T S S q q n n n n n 11 11 01lim 1n q T n <<=→∞ 当时，； 1111lim lim 1 n n n q q T n n q q q ->==→∞→∞-当时， 综上所述，知，，lim ()()n T q q q n →∞=<≤>??? ? ?10111 例8.设，问方程表示什么曲线？k R k x k y k k ∈-+-=--()()()()848422 分析：容易想到把方程变形为 ，但这种变形需要，且x k y k k 22 4814-+-=≠ k k k k ≠--∈-∞+∞848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，()要进行分类：，，，，，，，，又注意到k k k k k ∈-∞=∈=∈+∞()()()444888k k k k k k -=->-≠-->->480484080与且表示的曲线是不一样的，因此()还应有一个“分界点”，即，故恰当的分类为，，，，，，k =-∞644466()()（，），，（，）6888+∞ 解：（1）当k=4时，方程变为4x 2=0，即x=0，表示直线； （2）当k=8时，方程变为4y 2=0，即y=0，表示直线； （）当且时，原方程变为 34848122 k k x k y k ≠≠-+-= （i ）当k<4时，方程表示双曲线；（ii ）当4 例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？ 分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C 63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类： （1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。 解：C C C C C C C C C C C C C C C C P 4333433132423133323143324133324232?+??+??+??+??+?? +++??+??=C C C C C C C 3343324132323142309 或：C C C C C C C C C C 33733132633231533343 309?+??+??+?= 三、总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例： （1）“方程20ax bx c ++=有实数解”转化为240b ac ?=-≥“”时忽略了了个别情 形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0； （2）等比数列{}1 1n a q -的前n 项和公式1(1)1n n a q S q -=-中有个别情形：1q =时，公 式不再成立，而是S n =na 1。 (3) 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别情形：当直线与x 轴垂直 时，直线无斜率，应另行考虑。 (4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1x y a a +=，，但有个别情形：a=0 时，再不能如此设，应另行考虑。 四、强化练习：见优化设计。 【模拟试题】 一. 选择题： 1. 若a a p a a q a a p q a a >≠=++=++011132，且，，，则、log ()log ()的大小关系为（ ） A. p q = B. p q < C. p q > D. a p q >>1时，；01<< 2. 若{} A x x p x x R =+++=∈|()2210，，且A R +=?，则实数中的取值范围是 （ ） A. p ≥-2 B. p ≤-2 C. p >2 D. p >-4 3. 设A={}{}x x a B x ax A B B a ||-==-==010，，且，则实数的值为 （ ） A. 1 B. -1 C. 11或- D. 110，或- 4. 设ωωωωω是的次方根，则…171+++++236的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 7 D. 0或7 5. 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y +-=70 B. 250x y -= C. x y x y +-=-=70250或 D. x y y x ++=-=70250或 6. 若sin cos sin cos ()x x x x n N n n +=+∈1，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 11或- D. 不能确定 7. 已知圆锥的母线为l ，轴截面顶角为θ，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值 为（ ） A. 1 2 2l ?sin θ B. 12 2l C. l 2sin θ D. 以上均不对 8. 函数f x mx m x ()()=+-+231的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为（ ） A. [)0，+∞ B. (]-∞，1 C. (]01， D. （，）01 二. 填空题 9. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。 10. 若log a 2 3 1<，则a 的取值范围为________________。 11. 与圆x y 2221+-=()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。 12. 在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________种（用数字作答） 13. 不等式322101log log ()a a x x a a -<->≠且的解集为_____________。 三. 解答题： 14. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为23，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。 15. 设a>0且a ≠1，试求使方程log ()log ()a a x ak x a -=-222有解的k 的取值范围。 【试题答案】 一. 选择题 1. C 2. D 3. D 4. D 5. C 6. A 7. D 8. B 提示：1. 欲比较p 、q 的大小，只需先比较a a a a 3211++++与的大小，再利用对数函数的单调性。而决定a a a a 3211++++与的大小的a 值的分界点为使 ()a a 31++- ()()a a a a 22110++=-=的a 值：a=1， 当a>1时，a a a a 3211++>++，此时log ()log ()a a a a a a 3211++>++， 即p q >. 当0111113232<<++<++++>++a a a a a a a a a a a 时，，此时log ()log () 即 p q >。 可见，不论a>1还是0 2. 若A =?，即?=+-<-<<=?+()p p A R 240402，时，； 若A p p A R ≠?≥-+ ? ??≥=?+，则时，?02200 可见当-<<≥400p p 或时，都有A R +=?，故选（D ） 3. 若B A B B a =?==，则，此时 0 若B ≠?，则a ≠0，∴=???? ?? =?B a A B B B A 1，由知 ∴ ∈∴-==-=-11 011011a A a a a a ，，解得或，故，或 4. 由ω是1的7次方根，可得ω71=；显然，1是1的7次方根，故可能ω=1； 若ωωωωωω ω≠++++= --==1111012 6 7 ，则…，若，则 11111726++++=++++=ωωω…… 故选（D ） 5. 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a, 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y x x y =-=2 5 250，即； 当a ≠0时，设直线方程为 x a y a a +==17，则求得，方程为x y +-=70 6. 由sin cos (sin cos )sin cos x x x x x x +=+=?=1102，得，即 当时，；当时，，sin cos cos sin x x x x ====0101 于是总有sin cos n n x x +=1，故选（A ） 7. 当θ≤90 时，最大截面就是轴截面，其面积为1 22l sin θ； 当θ>90 时，最大截面是两母线夹角为90 的截面，其面积为1 22l 可见，最大截面积为121 2 22l l 或sin θ，故选（D ） 8. 当m =0时，f x x x ()=-+311 3 0，其图象与轴交点为（，）满足题意 当时，再分，两种情形，由题意得m m m ≠><000 m m m m x x m m m >≥-->? ??????<= ? ?<≤<0032001 001012?或解得或 综上可知，m m m =<<≤0001或或，m ≤1 故选（B ） 二. 填空题 9. 8 4 π π 或 （提示：若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，，则V 柱=(?=πππ228 2)；若 长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V 柱=(?=πππ 144 2)） 10. 02 3 1<< >a a 或 （提示：对a 分：011<<>a a 与两种情况讨论） 11. y x y x x y x y ==-+-+=+--=33220220或或或()() （提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形） 12. 4186种 （提示：对抽取5件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的5件产品中恰好有3件 次品；（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下：C C C C 434624446 1?+?=4140+46 =4186） 13. 若a >1，则解集为x a x a x a 233 4 ≤<>??????????或 若01< 0<≤< ?或 （提示：设log a x t t t =-<-，则原不等式可简化为3221 解之得 23341233 4 1≤<>≤<>t t x x a a 或，即或log log 对a 分类：a >1时，a x a x a 2 3 34 ≤<>或； 0102 3 34
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