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Supersymmetry Breakings and Fermat's Last Theorem

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February 1994UMDEPP 94–96Supersymmetry Breakings and Fermat’s Last Theorem 1Hitoshi NISHINO 2Department of Physics University of Maryland at College Park College Park,MD 20742-4111,USA and Department of Physics and Astronomy Howard University Washington,D.C.20059,USA Abstract.A mechanism of supersymmetry breaking in two or four-dimensions is given,in which the breaking is related to the Fermat’s last theorem.It is shown that supersymmetry is exact at some irrational number points in parameter space,while it is broken at all rational number points except for the origin.Accordingly,supersymmetry is exact almost everywhere ,as well as broken almost everywhere on the real axis in the parameter space at the same time.This is the ?rst explicit

mechanism of supersymmetry breaking with an arbitrarily small change of parameters around any exact supersymmetric model,which is possibly useful for realistically small non-perturbative supersymmetry breakings in superstring model building.As a byproduct,we also give a convenient superpotential for supersymmetry breaking only for irrational number parameters.Our superpotential can be added as a “hidden”sector to other useful supersymmetric models.

MSC Numbers:11D41,81Q60,81T30,81T60

1.Introduction

Supersymmetric theory in two-dimensions(D=2)has interesting features related to superconformal?eld theory and superstring theory,because their phase structures can be described well by Landau-Ginzburg and Calabi-Yau hypersurface models[1],which are easy to analyze.It is known that the change of physical aspects of the theory including the topological changes of the target space-time occurs,when the parameters in these models are varied.If we also need to understand the target space-time supersymmetry breaking in superstring theory for realistic phenomenology,it is imperative to comprehend the associated N=2supersymmetry breaking on the world-sheet[2].In this connection,the study of N=2world-sheet supersymmetry breaking in these models must be the?rst step for our ultimate goal of realistic model building.

Entirely independent of this development related to superstring theory in physics,there has been recently some excitement in mathematics about the possible complete proof[3]for what is called“Fermat’s last theorem”(FLT)[4].This theorem dictates that there exist no integral solutions l,m,n∈Z Z?{0}for the algebraic equation

l p+m p=n p,p∈{3,4,5,···}.(1.1)

Even though there seem to be small gaps in the recent proof[3],its validity has been widely accepted nowadays.(We do not address ourselves to the question of the FLT itself,but we take its validity for granted.This principle about mathematical strictness is common to other formulations in physics such as path-integrals,or renormalizations,etc.)

In this paper,we give the?rst application of this FLT[4]to physical models,in particular to an N=(2,2)supersymmetric models in D=2or N=1supersymmetric ones in D=4.We use the model in ref.[1]for D=2,N=(2,2)supersymmetric chiral supermultiplets,and show that the supersymmetry is broken spontaneously for some values of the parameters involved in the model.In particular,we con?rm the interesting and peculiar fact that the breaking occurs at points found in any arbitrarily small neighbourhood of each exactly supersymmetric point in the parameter space.We also give as a by-product a superpotential that gives supersymmetry breakings for all irrational values of parameters, while it is exact for all rational values of parameters.

2.Example of Supersymmetry Breaking by FLT

Our mechanism will be useful not only for models in D=2,but also for realistic superuni?cations in D=4.However,for a later purpose of generalizing the superpotential into a non-polynomial one,we temporarily stick to D=2,following the notation in ref.[1]. We also note that because of the parallel structure between the D=2,N=(2,2)and D=4,N=1supersymmetries,it will be straightforward to switch to the latter notation.

Consider a D=2,N=(2,2)supersymmetric system[1]with seven chiral super?elds Φi(i=1,2,···,7),and specify the total action as

I≡I K+I W,(2.1)

I K≡ i d2xd4θ

A i)(?μA i)+iχ

+i ??

+|F i|2 ,(2.2)

I W≡? d2xdθ+dθ?W(Φi) θ?=0?h.c. =? d2x i F i?W?ΦiΦjχ?iχ+j θ±=

πΦ1+Φ6

sin(πΦ2)

πΦ3

,(2.4)

where M=0is a real number supplying a mass dimension,and

t∈I R?{0}(2.5)

is a parameter.(There are many other ways of putting such parameters.For example,we can have r,s such that the?rst term in(2.4)isΦ4[(rΦ1)p+(sΦ2)p?(tΦ3)p].)Note that our superpotential W(Φi)is regular even atΦi=0,due to the property of the function (sin x)/x.The corresponding bosonic potential V in component is obtained as usual by eliminating the F-auxiliary?eld:

M ?2V = i ?W θ±

=0=+ A p 1+A p 2?(tA 3)p 2+ sin(πA 1)πA 2

2+ sin(πA 3)A 1

?A 5sin(πA 1)A 2?A 6sin(πA 2)

A 3?A 7

sin(πA 3)n (l p +m p )1/p =l

p 1/p ≡t (l,m,n ).(2.11)

As long as the real number t is chosen such that (2.11)is satis?ed,the model has a supersymmetric vacuum.However,a simple consideration of the FLT with (2.10)reveals that there is some more meaning in this equation,which turns out to be exciting.

To analyze the algebraic meaning of (2.10),we develop a useful corollary of the FLT.We can easily prove that the FLT also implies that the algebraic equation

x p +y p =(tz )p ,p ∈{3,4,5,···},t ∈

has no integral number solutions x,y,z∈Z Z?{0}.This can be easily proved by inserting hypothetical rational number t=a/b(a,b∈Z Z?{0})into(2.12),and multiply both sides by b p.The result is obviously incompatible with the FLT.

By the use of this corollary,it is now obvious that if t∈

Q?{0}.

On the other hand,we know that supersymmetric vacuum is realized for t=t(l,m,n)in (2.11).(From now on,t(l,m,n)always denotes(2.11),avoiding the messy expression.) Notice the important point here that since l,m,n are all arbitrary non-zero integers, t=t(l,m,n)can be made arbitrarily near to any rational number.As a matter of fact, we can prove this rather easily,as follows.Let u≡L/N>0,(L,N∈Z Z?{0})be a positive arbitrary rational number.(The case of u<0can be also proven in a similar way.)Then for any arbitrarily small positive real number?>0,we can show the existence of t(l,m,n)such that

l p 1/p

for an appropriate choice of(l,m,n)∈(Z Z?{0})3.We can?rst choose l=KL,n=KN for some large positive integer K.We next choose m and the appropriately large enough integer K satisfying

0< m pN0.Because this implies that

1<1+ m u?< 1+?u p(u+?)p,(2.15) yielding(2.13).

Let us now introduce two sets for the parameter t,depending on the supersymmetry of the vacuum:The set of“supersymmetric parameters”

S≡ t t=n?1(l p+m p)1/p∈I R?{0},?(l,m,n)∈(Z Z?{0})3 ,(2.16) and the set of“non-supersymmetric parameters”B≡I R?{0}?S.Obviously S∩B=?, and S∪B=I R?{0}.Additionally,B?

t′∈B found in any small neighbourhood of any exactly supersymmetry parameter point t∈S.

The peculiar feature of the dependence of the“rationality”of the parameter t is rather unexpected by the general wisdom of supersymmetry breaking based on the Witten’s index Tr(?1)F[5].Because usually any small“continuous”change of parameters in the system, such as from irrational numbers to rational numbers,does not trigger any supersymmetry breaking[5].This has been also the general principle for the renormalization e?ects,where the quantum corrections will preserve the classical supersymmetry.For our peculiar models, supersymmetry is broken rather“frequently”in the parameter space,each time the param-eters deviate from a point in S to a point in B.This apparent discrepancy from the usual wisdom seems to be attributed to the following aspects in our models.First of all,the Wit-ten’s index is ill-de?ned for our models due to the presence of a massless super?eld,as well as the in?nite degeneracy[5],as will be seen in the next section.Second,we expect that the index might have some implicit dependence on the“rationality”of the parameters.These aspects enabled the models to escape from the topological constraints of supersymmetry breaking,which usually forbids such a peculiar fashion as the dependence on“rationality”of parameters.Additionally,the degeneracy of the vacua prevents us from performing analysis for renormalization group?ows similar to that in ref.[6].

3.Mass Spectrum around Supersymmetric Vacuum

To understand our model better,we next study the mass spectrum of the system,when there exist supersymmetric vacuum solutions.To this end,we require t∈S in this section, satisfying(2.11)or equivalently

l p+m p=(tn)p,p∈{3,4,5,···}.(3.1)

As is easily seen,there can be in?nitely many other solutions for the v.e.v.s of A1,A2,A3, once there exists one set of solutions(l,m,n),because if we re-scale it as l′=ql,m′= qm,n′=qn,?q∈Z Z?{0},the new set(l′,m′,n′)also satis?es(2.10).To put it di?erently, we can?rst choose one arbitrary set l,m,n∈Z Z?{0},while keeping the parameters of the model to be the same value as the original value:t=t(l,m,n)=t(l′,m′,n′).Thus this model has in?nitely many supersymmetric vacua at A1=ql,A2=qm,A3=qn,?q∈Z Z?{0}.(There may be even other solutions than these,which we do not care about so much here.)

The mass spectrum of the superpotential(2.4)around the supersymmetric v.e.v.sΦ1= l,Φ2=m,Φ3=n under the condition(3.1)can be easily analyzed by appropriate?eld

rede?nitions.We?rst expand each super?eld around their v.e.v.s,as

Φ1=l+?1,Φ2=m+?2,Φ3=n+?3,

Φ4=?4,Φ5=?5,Φ6=?6,Φ7=?7.

(3.2)

We can directly use the super?elds,because we are considering here a supersymmetric case with no v.e.v.s for any F-components of them.The super?elds?i denote the?uctuations around their v.e.v.s.Here we rely on(2.8)with no v.e.v.s for A4,···,A7,and the stability of these solutions will be con?rmed later as the absence of https://www.sodocs.net/doc/5014266102.html,ing also the expansion of the function(sin x)/x,we easily get the quadratic part of W:

W(2)=2?1(a?4+d?5)+2?2(b?4+e?6)+2?1(c?4+f?7),(3.3)

where

a≡1

pm p?1,c≡1

2l ,e≡

(?1)m

(3.4)

All the tadpole terms linear in?i have disappeared in W because of(3.1).After the super?eld rede?nitions

?1≡1

d?1( ?1? ?5?2a?4),

?2≡1

e?1( ?2? ?6?2b?4),

?3≡1

2f?1( ?3? ?7?2c?4),

(3.5)

we get

W(2)=1

are satis?ed,the A4-?eld can be arbitrarily large,keeping the potential(2.6)to be zero.In other words,there exists such a valley in the potential,and the v.e.v.s for the A4-?eld is inde?nite at the classical level.

Notice that nothing is too particular about(canonical or path-integral)quantization around the supersymmetric vacuum.This is because our action(2.1)has ordinary kinetic and mass terms,but all the peculiar e?ect came from higher order terms in the function (sin x)/x rather“non-perturbatively”.

It is usually believed that the essential features of D=2supersymmetric systems,such as for relevant or marginal operators[6],are determined by the lowest-order terms like the mass terms or the cubic interactions,but our superpotential W does not obey this tendency. In this sense,we regard the e?ects by the higher-order terms as“non-perturbative”ones, because those in?nitely higher-order terms can not be reached by summing up any?nite number of terms.

4.Other Examples of Superpotentials

The mechanism proposed in this paper provides us with other interesting by-products than the FLT itself,such as superpotentials that have supersymmetric vacua only for rational v.e.v.s.of some bosonic?eld.

de?ned by

Take for example,a superpotential W

(Φ, Φ1, Φ2, Φ3)≡ Φ2sin(πΦ Φ1)π Φ1.(4.1) W

The corresponding bosonic potential is

=+ sin(πA A1)π A1 2+ A2sin(πA A1)?πA A1cos(πA A1)

πA A21+ A3sin(π A1)?π A1cos(π A1)

This implies that

A=l

Q?{0},A1∈Z Z?{0},(4.5)

in particular,the v.e.v.s of A must always be a non-zero rational numbers.

We have thus seen that the superpotential W

is generating rational number v.e.v.s for

the A-component of the chiral super?eldΦ.The other three tilded super?elds are playing

the role of auxiliary super?elds,and V

can be minimized at A1= A2= A3=0.

As for the Witten’s index of this model,it is ill-de?ned due to the“valley”structure of

the potential V

along the direction of an arbitrary large value of A3as seen from the last term in(4.2).Thus we can not see the conservation of topology depending on the value of the v.e.v.s.

An interesting application of W

is the following superpotential:

W1=Φ3(Φ1?r)+Φ4(Φ2?s)+W

(Φ1, Φ5, Φ6, Φ7)+W Q(Φ2, Φ8, Φ9, Φ10),(4.6) yielding the bosonic potential

V1≡+|A1?r|2+|A2?s|2+ f(π A5) 2+ f(π A8) 2

+ A6g(πA1 A5)+ A7g(π A5) 2+ A9g(πA2 A8)+ A7g(π A8) 2 + A6g(πA1 A5)+A3 2+ A9g(πA2 A9)+A4 2,(4.7)

where

f(x)≡sin x

.(4.8)

As before,the2nd.and3rd.lines in(4.7)vanish at the v.e.v.s

A3=A4= A6= A7= A9= A10=0,(4.9) while the3rd.and4th.term vanish,when

A1 A5≡m,A2 A8≡n, A5≡k, A8≡l,(k,l,m,n∈Z Z?{0}),(4.10)

or equivalently,

A1,A2∈

Q?{0})2≡S=?V min=0:supersymmetric vacuum

(ii)?(r,s)∈I R2?S≡B=?V min>0:non-supersymmetric vacuum

The interesting feature here is that depending on the“rationality”of the parameters(r,s), the system has either supersymmetric or non-supersymmetric vacua.Needless to say,we could have chosen only r as a one-dimensional parameter,or as many as we wish like

(r1,r2,···,r n)by adding n copies of W

5.Concluding Remarks

In this paper we have presented an explicit mechanism characterized by the superpotential (2.4),in which supersymmetry breakings occur with arbitrarily small changes of parameters around isolated exact supersymmetric models,depending on the“rationality”of the param-eter t.On the real axis in the parameter space of t,supersymmetry is found to be exact almost everywhere,as well as is spontaneously broken almost everywhere,at the same time. We believe the validity of our result,as long as the FLT[3,4]is acceptable.

At?rst sight,there appeared to be an incompatibility of this result with the general wisdom about the non-zero Witten’s index[5]of a supersymmetric model.We understand that this is attributed to the ill-de?ned Witten’s index of our model due to the massless super?eld,and also to its possible dependence on the“rationality”of the parameter t in some implicit way.

One of the interesting aspects of our model is the possibility of arbitrarily small super-symmetry breaking.This is because the breaking scale can be made as small as we wish, due to the“arbitrarily”small breaking e?ect on the bosonic potential by shifting the pa-rameters from the exact supersymmetric values t=t(l,m,n),?(l,m,n)∈(Z Z?{0})3to an arbitrarily close rational numbers t′∈

Q?{0}.It is also amusing that the supersymmetry is protecting a super-symmetric model against any quantum perturbations,that might shift the parameters away from the original set S to“next”in?nitesimally close irrational numbers in B,with such “in?nite”accuracy.Furthermore,it is especially in supersymmetric models in which the pos-itivity of the potential plays an important role,because of supersymmetry breakings related

to the non-zero vacuum energy.In ordinary models in physics,the“rationality”of constants and/or?elds does not matter unlike our model,in which supersymmetry distinguishes them. From these viewpoints,together with the renormalizability for the D=2case,we believe that our models are not just of“accidental”interest,but they signal more fundamentally signi?cant connection between supersymmetric?eld theories in D=2and the FLT in number theory.

We also mention the most important practical application of our model.Our superpoten-tial(2.4)can be treated as a“hidden”sector added to other useful D=2,N=(2,2)super-symmetric models,in order to break supersymmetry with small magnitude.This is because the presence of our super?elds will not interfere with the fundamental structure of other sectors,such as the mass spectrum or manifold structures,except for the supersymmetry breaking at a global minimum.We are sure that there can be more to be done for interesting applications of our models combined with other useful models.Another interesting applica-tion is the D=4locally supersymmetric uni?cations[7],in which the renormalizability of the superpotential is no longer crucial,once supergravity is included.The usage of our superpotential as a“hidden”sector may well have some advantage over the conventional Polony-type superpotential[7],due to the possibility of small supersymmetry breaking of O(10?15)needed for realistic model building which keeps the zero-ness of the cosmological constant.

To our knowledge,our models have provided the mechanism which presents a peculiar link between the FLT in number theory[3,4]and the vacuum structure of supersymme-try in such an explicit way for the?rst time.The only well-known connection between number theory and supersymmetry has been via topological e?ects,such as instantons and monopoles in supersymmetric models.(However,see ref.[8]in which string coupling con-stant is parametrized by rational numbers.)Traditionally,supersymmetry has been always supposed to act on general real(or complex)?elds rather continuously without distinguishing rational number parameters from irrational ones.We believe that our models have opened a new direction to the studies of such an important issue as supersymmetry breaking for the purpose of realistic model building as well as for purely mathematical or theoretical interest.

We are indebted to W.W.Adams,S.J.Gates,Jr.,T.H¨u bsch,and J.Swank for valuable discussions.

References

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3.Andrew Wiles,to be published.

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H.Nishino and S.J.Gates,Int.Jour.Mod.Phys.8(1993)3371.

世界数学难题——费马大定理

世界数学难题——费马大定理费马大定理简介：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. （(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁?怀尔斯和他的学生理查?泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。 [编辑本段] 理论发展 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。 1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 2：费马自己证明了n=4的情形。 3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧

费马定理介绍

()?? ????-+++=222221x a H x H n OB n AO n L += 费马定理费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：?∑∑ =?=?===ndl c t l n c v l t P Q i i i i i i 1111 费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间取极值。?==01ndl c t P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。?==0ndl L P Q δδ ① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。 ② 内椭球面的反射：椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点的面法线，且两线段长度之和相等。用费马原理导出反射定律如下图，PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。假设光线所处的介质为均匀介质。光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。那么点A 到点B 的光程为：

“费马点”与中考数学试题

“费马点”与中考数学试题费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费尔马问题．图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小．这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26

费马点问题(含答案)

费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。例1：已知：△ABH是等边三角形。求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵AH=BH=AB=12. ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴A、G、P三点一线。再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴∠PHD=30°,.

在△HGB和△HPD中 ∵HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. ∴G、P、D三点一线。 ∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。求证：GA+GB+GC最小

费马最后定理的故事

●今年6月间，德国哥庭根大学的大会堂里，500名数学家齐聚，观看普林斯顿大学数学家魏尔斯(Andrew Wiles)领取沃夫斯柯奖。沃夫斯柯是一位德国工业家的名字，他在20世纪初遗赠10万马克设立此一奖项，给予世界上头一个能解决费马最后定理之人。当时10万马克是不小的一笔数目，约等于200万美金，而几个月前由魏尔斯领到时，不过相当5万美金左右，但是这确是近世数学界的盛事，魏尔斯不只是证明了费马最后定理，也替未来的数学带来革命性新发展。费马最后定理的发明者自然是一个叫费马的人。费马(Pierre deFermat)1601年出生在法国西南方小镇。费马并不是一个数学家，他的职业是一名法官。当时为了保持法官立场的公正，通常不鼓励他们出外社交，因此每天晚上费马便钻研在他嗜好的数学之中，悠然自得。在1637年的某一天，费马正在阅读古希腊大数学家戴奥芬多斯的数学译本，忽然灵光乍现，就在书页空白处，写下有名的费马定理。费马定理的内容其实很简单，它只是基于一个方程式（X+Y=Z)。这个方程式当n等于2时，就是人们熟知的毕氏定理，中国数学上所称的勾股弦定理，其内容即直角三角形两边平方和等于其斜边的平方。如32.+42.=52.(9+16=25)。费马当时提出的难题是，当这个方程式(X+Y=Z)的n大于2时，就找不到任何整数来符合这个方程式。例如33.+43.(27+64)=91，但是91却不是任何整体的3次方。费马不仅写下了这个问题，他同时也写道，自己已经发现了证明这个问题的妙法，只是书页的空白处不够大，无法写下证明。结果他至死都没有提出他的证明，却弄得300多年来数学界群贤束手，也使他的难题得到一个费马最后定理的称号。19世纪时，法国的法兰西科学院，曾经分别两度提供金质奖章和300法郎之赏，给予任何可以解决此一难题之人，不过并没有多大进展。20世纪初捐出10万马克奖金的沃夫斯柯，事实上也是一个对费马最后定理着迷的“数痴”，据一些历史学家研究，沃夫斯柯原本一度已打算自杀，但由于对解决费马定理着迷，而放弃求死之心，因此他后来便在遗嘱中捐出巨款，原因是他认为正是费马定理救了他一命。重赏之下必有勇夫，但是解决数学难题却非人人可为。20世纪公认的德国天才数学家希伯特（D. Hilbert）就不愿去碰费马定理，他的理由是自己没那么多时间，而且到头来还可能落得失败的下场。虽然费马定理还是让许多数学家萦怀于心，但是他们看这个难题就有如化学家看炼金术一样，只是一个古老的浪漫梦。秘密钻研7年突破难题最后解决这个世纪难题的魏尔斯，早在1936年他10岁之时，便有着挑战费马定理的浪漫梦想，他在英国桥剑地方的图书馆中读到这个问题，便决心一定要找出证明方法。他学校的老师并不鼓励他浪费时间于这个不可能之事，大学老师也试图劝阻他，最后他进了英国剑桥大学数学研究所，他的指导教授指引他转入数学中比较主流的领域做椭圆曲线。魏尔斯自己也没有料到，这个由古希腊起始的数学研究训练，最后会导致他再回到费马定理之上。1927年，日本数学家谷山丰提出一个讨论椭圆曲线的数学结构，后来在美国普林斯顿大学的日本数学家志村五郎，再将这个结构发展得更为完备。这个被称为“志村—谷山猜想”的数学结构，居然成为化繁为简，通向解决费马定理的绝妙佳径。1984年德国萨兰大学的数学家佛列发展出一种很奇特也很简单的关联，将“志村—谷山猜想”和费马定理扯在一块，佛列提出的关联经过好几位数学家的努力，最后终于证明了如果要证明费马最后定理，可以经由证明“志村—谷山猜想”来完成。魏尔斯是1993年在英国剑桥大学，正式宣布他已解决费马最后定理，在此之前他已秘密的工作达7年之久，原因不只是怕受到公众压力，也害怕其他数学家抄袭他的想法，在这段期间，魏尔斯连和太太去度蜜月中都未能从“附魔”脱身。最后的结果是魏尔斯并不需要证明整个的“志村—谷山猜想”，他只要证明一些特定的椭圆形曲线是具备某种特性。但是这些特定的椭圆曲线还是有无穷多个，因此证明技巧上依然十分困难。魏尔斯基本上利用了数学上常用的归纳法，他的办法有点像推倒骨牌的游戏，如果要推倒无限多张的骨牌，你必须确知的乃是一张骨牌倒下时，一定会碰到的下张骨牌。魏尔斯在1993年6月23日觉得他的证明已十分完整，于是便在剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会上正式宣布。300年悬案终有解300多年数学悬案终于解决，不只数学界哗然震惊，数学门墙之外的社会大众亦感

6.第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证

第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证 2.1 反射定律和折射定律在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。 2.2费马原理费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为： Q P nds =?极值（极小值、极大值或恒值）（2-1）费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。 2.3 折射定律的推导设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界

费马大定理公式

储备公式 1.费马大定理（Fermat Last Theore m ）：当2n >时，n n n x y z +=无0xyz ≠的整数解；当3n =时，3 3 3 x y z +=无0xyz ≠的整数解；当4n =时，4 4 4 x y z +=无0xyz ≠的整数解；当5n =时，5 5 5 x y z +=无0xyz ≠的整数解；当7n =时，7 7 7 x y z +=无0xyz ≠的整数解； (2)n n n x y z n +=> 2.商高方程2 2 2 x y z +=满足(,)(,)(,)1x y y z z x ===，,x y 奇偶性不同的全体本原解为： 22222;;x pq y p q z p q ==-=+其中,p q 满足下面的条件： 0;(,)1;,p q p q p q >>=奇偶性不同 3.Fermat 无穷递降法 4.4n =时，Fermat 大定理证明过程当4n =时，444 x y z +=无0xyz ≠的整数解；原理：无穷递降法和毕达哥拉斯三元数组证明：用反证法。若有正整数解，那么在所有正整数解中，必有一组解假如存在,,x y z 满足444 x y z +=，且满足(,)(,)(,)1x y y z z x === 初等数论（P99）定理4：不定方程：442 x y z +=无0xyz ≠的解。证：用反证法。假若方程有正整数解，那么在全体正整数解中，必有一组解000,,x y z ，使得0z 取得最小值。我们要找出一组正整数解111,,x y z ，满足10z z <，得出矛盾。（1）必有00(,)1x y =。若不然，就有素数00|,|p x p y 。由此及式442 x y z +=推出 42200|,|p z p z 。因此，2 000000,,x p y p z p 也是方程的正整数解，这和0z 的最小性矛盾。因此，22 000,,x y z 是方程的本原解，00,x y 必为一奇一偶，不妨设02|y ，以及00(,)1z y =

最值问题(费马点)

最值问题2（费马点） 1、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值． 2、已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值．

图2 图1 A' P P A A B C B C 3、（延庆）（本题满分4分）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ' ,当点A 落在C A ' 上时,此题可解（如图2）．请你回答：AP 的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）图3 C A B P

4、(朝阳二模)阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30o，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60o，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．（1）请你写出图2中，P A +PB +PC 的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60o，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3 中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长． D E A C B P 图 2 D A C B 图 3 A C B P 图1

费尔马大定理及其证明

费尔马大定理及其证明近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。费尔马大定理的由来故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。

费马原理

费马原理的运用王瑞林（03010425）（东南大学能源与环境学院，南京 210010）摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理 The use of Fermat’s principle Wangruilin (The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 ) Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle. key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action 我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。费马原理简介一、费马定理的表述关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t

中考数学压轴题专题费马点

专题9 费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

费马大定理的美妙证明

费马大定理的美妙证明成飞中国石油大学物理系摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 0、费马大定理：当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。 1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；a,b.c 由空间平面的线段表示，有 a b c 可见，线段a和线段b之和，就是线段c。 2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形， B c A 根据三角形余弦定理，有 c2=a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)

此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2 ，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时c2=a2+b2，既然X=a,Y=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。 3、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。a,b,c就是三次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c也必构成三角形， B A 根据三角形余弦定理，有 c2 = a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π) 因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60o，180o），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，?）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b， 1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内正分数；等式两边同乘以c，有 c3 = a2c + b2c + mabc 因为c>a，b，那么 c3 > a3+ b3 2、当cosɑ=?，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2-ab 等式两边同乘以a+b，有 (a+b)c2 = a3+ b3 又因为a+b>c，所以，c3 < a3+ b3 （根据三角形大角对大边，c>a，b，即ɑ不可能等于600）那么，cosɑ=［0，?）时，更加满足c3 < a3+ b3 既然，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的解，又a3+ b3≠ c3，那么，X3+Y3≠Z3，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。即，n=3时，X3+Y3=Z3 ，三次不定方程没有正整数解。 4、n>3, X n +Y n=Z n，假设有正整数解。a,b,c就是n次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，

费马点与中考试题

识别“费马点”思路快突破例1 探究问题：（1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理 . （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. A BC ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C） A BC ＝P′A＋；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离 . （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB ·AC ＋PC ·AB ＝PA ·BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴ AB ＝AC ＝BC ∴PB ＋PC ＝PA ②P ′D AD （3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离. ∵△BCD 为等边三角形，BC ＝4， ∴∠CBD ＝60°，BD ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠ABD =90°. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝3，BD ＝4 ∴AD ＝5（km ） ∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km. 点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视. 如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点，我们补充几点：（1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB ，BC ，CA ，为边，向三角形外侧做正三角形ABC 1，ACB 1，BCA 1，然后连接AA 1，BB 1，CC 1，则三线交于一点P ，则点P 就是所求的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC 为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是 2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：

费马大定理的证明

学院学术论文论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers 姓名所在学院专业班级学号指导教师日期【摘要】：本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大

定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p 时方程n n n x y z +=无解。【关键字】：费马大定理（FLT ）证明 Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by the situation to prove N = 4, N = p equation no solution. Keywords: Proof of FLT (FLT) 引言： 1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 n n n x y z +=无正整数解。当正整数指数n ＞2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT ），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。[1] 1992年，蒋春暄用p 阶和4n 阶复双曲函数证明FLT 。 1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT ，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。据前人研究，任何一个大于2的正整数n ，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT ，只需证明两个指数n=4及n=p 时方程没有正整数解即可。方程 444x y z +=无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程 n n n x y z +=无正整数解，n=3被欧拉、高斯所证明；n=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的n 相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程n n n x y z +=没有正整数解，即证明FLT 。[2] 本文通过运用勾股定理，对奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析证明4n =，n p =时n n n x y z +=无正整数解。

费马大定理的简单证明

费马大定理的简单证明李联忠（营山中学四川营山 637700）费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。证明：当n=2时，有 222y x z += ∴ ))((222y z y z y z x +-=-= （1）令 22)(m y z =- 则 22m y z += 代入（1）得 222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-= ∴ ml x 2= 22m l y -= 22m l z += 当n=3时，有 333y x z += ∴ ))((22333y zy z y z y z x ++-=-= （2）令 323)(m y z =- 则 323m y z +=代入（2）得］［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +?+=)33(36332233m y m y m ++= 若方程333y x z +=有正整数解，则)33(63322m y m y ++为某正整数的三次幂，即 363322)33(l m y m y =++ ∴ )33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+ 则必有 )33(3)3(4222322m l m l m y m l y ++=+-=和，而y,m,l 都取正整数时，这两等式是不可能同时成立的。所以363322)33(l m y m y =++不成立。即x 不可能取得正整数。所以，当n=3时，方程333y x z +=无正整数解。当n>3时，同理可证方程n n n y x z +=无正整数解。定理得证。

中考数学押轴题型-费马点相关问题

费马点及其在中考中的应用一、费马点的由来费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承1 7世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．二、探索费马点 1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．

下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得A C′=AC，作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′= AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′， ∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤6 0°．∴在等腰三角形PAP′中，AP≥P P′， ∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′= AB+AC．所以A是费马点． 2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120°的点．

如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′B P′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三角形．因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC =P′A′+P′P+PC为最小．当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠ BPP′=60°，∴∠BPC=120°．所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．费马点相关问题等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6 +√2，求直角边的长度？解答：如图将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度，三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+P B最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。下证这时的点P就在角ACB的平分线上。在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。所以点P是这样一个点：它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，设PF=x，则PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x，有2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。

费马大定理的启示

“费马大定理”的启示 “设想你进入大厦的第一间房子，里面很黑，一片漆黑，你在家具之间跌跌撞撞，但是你搞清楚了每一件家具所在的位置，最后你经过6个月或者再长些的时间，你找到了开关，拉开了灯，突然整个房间充满光明，你能确切地明白你身在何处。然后，你又进入下一个房间，又在黑暗中摸索了6个月。因此每一次这样的突破，尽管有的时候只是一瞬间的事，有时候是一两天的时间，但它们实际上是之前许多个月在黑暗中跌跌撞撞的最终结果，没有前面的这一切它们是不可能出现的”——1996年3月，维尔斯因证明费马大定理获得沃尔夫奖作为一个数学老师，数学是大多数学生讨厌的学科，而我们教师更多的只是告诉、教会学生就这么用，就这么做。怎么才能让学生不那么讨厌数学呢？我想应该从尊重数学开始。当我第二次翻看《明朝那些事》时，我不禁又一次感慨：历史原来可以这样写？历史就应该这样写。本着这样的思维，在严谨的数学叙事中加上事件节点人物的历史，可能更有意思一些，最起码，让学生喜欢读，读的有趣味。从而使学生明白伟大的数学家是怎么影响整个世界的。尊重应该从这里开始。这个念头一直萦绕脑海，直到我无意中打开选修3-1，才鼓舞起余勇，翻找资料，以费马大定理为主线说说几千年来数学家们前仆后继的历史。首先，我们来看一个公式： 2 2 2z y x= +。有人说：“这不就是勾股定理吗？直角三角形的两条直角边的平方等于斜边的平方。谁不知道？” 没错我们中国人知道勾股定理十分久远，公元前1100年，西周开国时期，周公与商高讨论测量时，商高就提到过“勾广三，股修四。径隅五”。这段话被记载于《周脾算经》中。而西方记载勾股定理的是哥伦比亚大学图书馆的泥版“普林顿322”大约公元前1900~公元前1600年的事。但是中国人说的数学严格的说，应该叫算学。我国古代就有丰富的数学典籍[]1注，但是你看这些书籍的章节结构，就不难看出它鲜明的特点——实用。比如：《九章》中的方田、粟米、差分、少广、商功、均输等，就字面意思也能看出它就是为了解决实际问题。我们中国就是一个实用的民族，就比如勾股定理，你拿去用就可以，不用计较为什么这样，这也就是为什么我们的典籍中很少有公理和定律的原因了。所以在世界主流数学史中，我国数学家是没有太多地位的，说起这个就不得不说有一个让国人气愤的事情，1972年，美国数学史家莫里斯·克莱因的《古今数学思想》[]2注序言里有这么一段话：“为了不让本书内容漫无目的的铺张，所以有些民族的数学我们就自动忽略了，如：日本、玛雅、中国。”他还说：“他们的数学对世界人类的主流思想是没有什么贡献的。”很让人不服气的说法，但是你回到数学历史的主流，不难发现我国的算学，跟世界主流数学的目的就不一样。言归正传，我们回到古希腊。说道古希腊，就不得不提一个人——毕达哥拉斯。我们引以为豪的勾股定理，在初中的课本中也是用的毕达哥拉斯定理来引入的。毕达哥拉斯定理和勾股定理的区别就在于他们要证明这个结论。从这里你就可以发现东西方数学的区别，西方数学史这种死心眼般的研究精神，完全就是一种剔除了理性的宗教迷狂，是一种不出于实用的目的完全的智力上的比拼竞赛。就是佛教里的“贪嗔痴”！比如那些著名的数学问题：“四色问题”，不就是四种颜色就可以区分出复杂地图的行政区域么，放在我国，知道了就可以，但是在西方就一定要搞清楚为什么？还有“哥德堡七桥问题”，就是不重复的走过七座桥，对中国人来说