导数中的不等式问题的解题策略

导数中的不等式问题的解题策略

导数的综合问题是高考数学的压轴题之一，其包含信息量大，计算繁琐，对学生的思维能力要求较高，令很多同学望而生畏，造成严重失分。而利用导数解决不等式问题更是压轴题中的压轴题，很多同学直接选择放弃，其实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那样，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀，下面我们通过具体的实例来分析导数中的不等式问题，解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。

1.承上启下型

在解决导数问题中的不等式时，经常会出现这样一类问题，其证明需要应用到前一问的结论。

由前一问的结论得到一个不等式，再根据其与要证明的不等式的关系进行证明，这类题

在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论，如：ln(1),1x x x e x +≤≥+等。 例 1.已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率

()k f x =.

(I)若函数()f x 在区间1,3m m ?

?+ ???

()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1

t

f x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围; (III)求证()()()2

2

*

1!1n n n e

n N -+>+∈????.

分析：本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明。(I)由极值的定义其极值点，极值点在1,3m m ??

+

??

?

内，从而确定m 的范围。(II)分离参数t ，利用导数求最值。(III)利用第(II)问的结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。

解:(Ⅰ)由题意()1ln x k f x x +==,0x > 所以()2

1ln ln x x f x x x '+?

?'==- ???

当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间

1,3m m ?

?+ ?

??(其中0m >)上存在极值, 所以01

113m m <??

得213m <<. 即实数m 的取值范围是213??

???

，

(Ⅱ)由()1

t

f x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤ 令()

()()11ln x x g x x ++= 则()2

ln x x g x x -'=

令()ln h x x x =- 则()111=x

h x x x

-'=- 因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，

上单调递增 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '> ()g x 在[)1+∞，

上单调递增, ()()12g x g ≥= 所以实数t 的取值范围是(],2-∞

(Ⅲ)由(Ⅱ) 知()2

1

f x x ≥

+恒成立, 即 1ln 2122ln 11111x x x x x x x x

+-≥?≥=->-+++

令()1,x n n =+则()()2ln 111n n n n +>-

+ 所以()2

ln 12112

?>-?,

()2

ln 23123

?>-

?, , ()()2ln 111n n n n +>-+.

所以()()222

111ln 123121223

1n n n n n ??

??????????+>-++???+?

?????+??

12121n n n ??=-->- ?+??

所以()22221231n n n e -????????+>

所以()()()2

2

1!1n n n e

n -*

+>+?∈????N

点评：本题题目较为综合，即考查了函数的极值最值又考查到了不等式的证明及数列的相关

知识。本题中不等式的证明利用到了第(Ⅱ)的结论即()2

1

f x x ≥

+恒成立。对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x 赋值，令x 分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。 2. x 1 /x 2型

在证明有关导数的不等式时，若所证明的不等式含有两个未知数，可考虑构造x 1 /x 2这种类型解决，其作用是把两个未知数转化为一个未知数从而达到解决问题的目的。

例 2.已知函数2

()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++.

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）若方程()0f x m +=在1,e e ??

????

内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为

自然对数的底数）；

（Ⅲ）令()()g x f x kx =-，若()g x 的图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x （其中12x x <）

，AB 的中点为0(,0)C x ，求证：()g x 在0x 处的导数0()0.g x '≠ 分析：本题考查了导数的几何意义，函数的零点问题及导数证明不等式问题。（Ⅰ）直接利用导数的几何意义求解，第（Ⅱ）问可通过分析函数的单调性利用数形结合思想求解，第（Ⅲ）问的本质0()g x '与0的大小比较。

解：（Ⅰ）()2,(2)4,(2)ln 24.2

a a

f x bx f b f a b x ''=

-=-=- 43,2

a

b ∴-=-且ln 2462ln 22,a b -=-++ 解得2, 1.a b ==

（Ⅱ）2()2ln f x x x =-，令2()()2ln ,h x f x m x x m =+=-+则

222(1)

()2,

x h x x x x -'=-=

令()0h x '=，得1(1x x ==-舍去).当

1

[,1)

x e ∈时，()0,h x '>

()h x ∴是增函数；当[1,e]x ∈时，()0,h x '>()h x ∴是减函数；

于是方程()0h x =在1

[,]e e 内有两个不等实根的充要条件是：1

()0(1)0()0

h e h h e ?≤??>??≤??

.

即2

112.m e <≤+

（Ⅲ）由题意2

2

()2ln ,()2.g x x x kx g x x k x

'=--=-- 假设结论成立，则有：

21112

2221200

02ln 02ln 02220x x kx x x kx x x x x k x ?--=?--=??

?+=?

?--=??

① ② ③ ④

①-②，得22

1121222ln ()()0.x x x k x x x ----=12012

ln

22.x x k x x x ∴=--

由④得00

2

2,k x x =-1

2120ln

1x x x x x ∴

=- 即1

21212ln

2x x x x x x =-+，即1121

22

22ln .1x x x x x x -=+⑤令1222

,()ln (01),1x t t u t t t x t -==-<<+ 则2

2

(1)()0.(1)t u t t t -'=>+()u t ∴在（0，1）增函数，()(1)0,u t u ∴<=∴⑤式不成立，与假设

矛盾.0()0.g x '∴≠

点评:本题中第（Ⅲ）出现了两个未知数12,x x ,此时处理的方式是通过1

122

ln ln ln

x x x x -=,把

1

2

x x 看作一个未知数,从而把两个自变量转化为一个未知量. 3.两边求导型

证明不等式时，如果构造出的函数不易求解时，可考虑利用两边的最值的大小进行比较，如证明()(),f x g x >只需证明min max ()()f x g x >，因此，可转化为利用导数求最值的问题。 例3.已知函数(),ln x ax x f +=其中a 为常数,设e 为自然对数的底数. (1)当1-=a 时,求)(x f 的最大值;

(2)若)(x f 在区间(]e ,0上的最大值为-3,求a 的值; (3)当1-=a 时,证明()ln 1

2

x f x x >

+ 分析：本题考查了函数的最值及不等式的证明问题。(1)根据单调性求解（2）对

a 进行分类讨论，分别求解。（3）分别对不等式的左右两边求解，只要左边的最小值大于右边的最大值即可。

解:(1)当1-=a 时,()x x x f ln +-=, ()x

x x x f -=+-='111. 当10<'x f ;当1>x 时,()0<'x f .

()x f ∴在()1,0上是增函数,在()+∞,1上是减函数.()()11max -==∴f x f .

(2)

()(],,11,,0,1??

?

???+∞∈∈+='e x e x x a x f

①若e

a 1

-

≥,则()0≥'x f ,从而()x 在(]e .0上是增函数, ()()01max ≥+==∴ae e f x f .不合题意.

②若e a 1-<,则由(),0>'x f 得;.01>+x a 即a

x 10-<<, 由()0

≤<-1

.

从而()x f 在??? ??

-

a 1,0上是增函数,在??

?

??-e a ,1上是减函数. ()??? ??-+-=??? ??-=∴a a f x f 1ln 11max ,令31ln 1-=??? ??-+-a ,则21ln -=???

??-a ,

21

e a

=-

∴,即2e a -=. 22,1

e a e e -=∴-<- 为所求.

（3）由①知当1-=a 时,()()11max -==f x f ,()1≥∴x f . 又令()()2ln 1,21ln x

x

x g x x x g -='+=

,令()0='x g ,得e x =. 当e x <<0时,()0>'x g ,()x g 在()e ,0上单调递增; 当e x >时,()0<'x g , ()x g 在()+∞,e 上单调递减.

()()().112

1

1max <∴<+=

=∴x g e e g x g ()()x g x f >∴,即()2

1

ln +>x x x f , 点评:本题中第(3)问证明不等式过程中,很容易考虑构造不等式求解,但本题构造不等式后不容易求解,故考虑两边分别求最值,利用()max min ()f x g x ≥从而求解.

4.二次求导型

在证明不等式经常出现构造函数，求其最值与0进行比较，此类不等式其本质是求函数的最值问题，再求其最值过程中，若一次求导后不能确定其增减性，可利用二次求导进行解决。 例4.

分析：本题可构造函数()1ln(f x x x =+0的关系。

的单调性，从而确定导数的正负，得出原函数的单调性，从而得出其最值

高考数学导数的解题技巧

2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明：2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。 证明：1ln )(+='x x g ，设)2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ， 即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ， 即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)(' ∴0)()(=

导数证明不等式

利用导数证明不等式的两种通法 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0,)2x π ∈，求证：sin tan x x x << 证明这个变式题可采用两种方法： 第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式 sin x x <以后，根据sin 1sin x x x -<<来证明不等式sin 1x x -<； 第二种证法：直接构造辅助函数()sin 1f x x x =--和()tan 1g x x x =--，其中(0, )2x π∈ 然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：()sin 1(0)10f x x x f =--<=-<） 例2 求证：ln(1)x x +< 技巧 一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点。 二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时， 恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 11

高考数学解题技巧大揭秘专题函数导数不等式的综合问题

专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立．

导数不等式证明

1.函数2ln 2)(x x x f -=，求函数)(x f y =在]2,2 [上的最大值 2.. 已知f(x)=e x -ax- （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 3. 已知函数f(x)=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 4.已知x ＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x 的一个极值点． (1)求a 的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y ＝b 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围． 5. (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求 f(x)的单调区间； (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 不等式的证明： 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 ()()f x g x >（()()f x g x <） 的问题转化为证明 ()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小 值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数 x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 【绿色通道】1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m a x ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左令11 1 )1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数 .ln 2 1)(2 x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方； 【绿色通道】设)()() (x f x g x F -=，即x x x x F ln 2 132)(2 3--= ，

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?

17.导数中的不等式放缩

第121课 导数中不等式放缩 基础知识： （1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时， ()e 2e 1ln 1x x x x +--?. 二、课堂练习 1. 已知()e ln x f x x =-. （1）求()y f x =的导函数()y f x ￠=的零点个数； （2）求证：()2f x >. 2. 已知函数()() 23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+. （1）当1m 3时，求函数()g x 的极值； （2）若72a ? ，证明：当()0,1x ?时，()1f x x >+. 三、课后作业 1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x . 2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时，()ln f x x >.

【高考数学】构造函数法证明导数不等式的八种方法

第 1 页 共 6 页 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方；

高考导数题的解题技巧绝版

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导数题的解题技巧 导数命题趋势： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是31 ()213 f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+= 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 综上可得M P 时, 1.a ∴> 考点2 曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3.（2007年湖南文）已知函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各 有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值； （II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点 A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一 个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是 2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-， 23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．

导数与不等式常考题型

导数与不等式题型 1．已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； (2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立． 本题是一道函数、导数与不等式证明的综合题，主要考查导数的几何意义、导数的求法以及导数在研究函数的性质和证明不等式等方面的应用，考查等价转化、分类讨论等数学思想方法以及分析问题与解决问题的能力． 对于第（1）问，只要运用导数的方法法研究出函数()f x 的单调性即可，最值就容易确定了；对于第（2）问，是一个不等式恒成立的问题，可通过分离常数，将其转化为求函数的最值问题来处理；对于第（3）问，可以通过构造函数，利用导数研究其函数值的正负来实现不等式的证明． 解析： (1) '()ln 1f x x =+， 当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减， 当1(,)x e ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． ① 102t t e <<+< ，t 无解； ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min 110()1ln t e e f x t t t e ?-<，则2 (3)(1)'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==． 因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=． （3） 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e > -∈+∞， 由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到．

用导数证明不等式

用导数证明不等式 最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了! 1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1) 设函数f(x)=x-ln(x+1) 求导，f(x)\'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0 所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数 f(x)>f(1)=1-ln2>o 所以x>ln(x+1 2..证明：a-a^2>0 其中0 F(a)=a-a^2 F\'(a)=1-2a 当00;当1/2 因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0 即有当00 3.x>0,证明：不等式x-x^3/6 先证明sinx 因为当x=0时，sinx-x=0 如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0， 求导数有sinx-x的导数是cosx-1 因为cosx-1≤0 所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0， 知sinx 再证x-x3/6

对于函数x-x3/6-sinx 当x=0时，它的值为0 对它求导数得 1-x2/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。 要证x2/2+cosx-1>0 x>0 再次用到函数关系，令x=0时，x2/2+cosx-1值为0 再次对它求导数得x-sinx 根据刚才证明的当x>0 sinx x2/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0 x2/2-cosx-1<0 x>0 所以x-x3/6-sinx是减函数，在0点有最大值0 得x-x3/6 利用函数导数单调性证明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立 令f(x)=x-x2 x∈[0,1] 则f\'(x)=1-2x 当x∈[0,1/2]时,f\'(x)>0,f(x)单调递增 当x∈[1/2,1]时,f\'(x)<0,f(x)单调递减 故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得 f(0)=0,f(1)=0 故f(x)的最小值为零 故当x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。 i、m、n为正整数，且1 求证(1+m)^n > (1+n)^m 方法一：利用均值不等式 对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即

(word完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩

导数中的不等式运用

专题09 导数与不等式的解题技巧 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④? ???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． （一）构造函数证明不等式 例1．【山东省烟台市2019届高三数学试卷】已知定义在（﹣∞，0）上的函数f （x ），其导函数记为f'（x ），若 成立，则下列正确的是（ ） A ．f （﹣e ）﹣e 2f （﹣1）＞0 B ． C ．e 2f （﹣e ）﹣f （﹣1）＞0 D ． 【答案】A 【分析】由题干知： ，x ＜﹣1时，2f （x ）﹣xf′（x ）＜0．﹣1＜x ＜0时，2f （x ）﹣xf′（x ） ＞0．构造函数g （x ）=，对函数求导可得到x ＜﹣1时，g′（x ）＜0；﹣1＜x ＜0，g′（x ）＞0，利用函 数的单调性得到结果.

练习1．设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式 恒成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D． 【答案】D 【分析】 构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小. 【解析】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，，当时，.所以 ，，，根据单 调性有.故，即，故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

【高中数学】利用导数证明不等式

第四节利用导数证明不等式 考点1作差法构造函数证明不等式 (1)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x＞a)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x＞a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)＞0(x＞a)．若h(a)＝0，h(x)＞h(a)(x＞a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x∈I)． 设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)＞0(x∈I)，也即证h(x)min＞0(x∈I)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决． 已知函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x＞1时，求证：f(x)＞3(x－1)． [解](1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ax＋x ln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值， 所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0， 所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)＞0时，x＞e－2；当f′(x)＜0时，0＜x＜e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋x ln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)， 即g(x)＝x ln x－2x＋3(x＞0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)＞0，得x＞e；由g′(x)＜0，得0＜x＜e. 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，

利用导数证明不等式的常见题型

利用导数证明不等式的常见题型 1. (2017·课标全国III 卷理）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．1 -２ B ．13 C ． 12 D ．1 2.（2016?天津卷文） 已知函数2(43)3,0 ()(01)log (1)1,0 a x a x a x f x a a x x ?+-+≠?++≥??且在R 上单调递 减，且关于x 的方程|()|23 x f x =- 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 3.（2015·北京理）(本题满分13分) 已知函数x x x f -+=11ln )(． (I)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (II)求证：当)1,0(∈x 时，3 23 （）（）x f x x >+； (III)设实数k 使得)3 ()(3 x x k x f +>对)1,0(∈x 恒成立，求k 的最大值． 4. (2017·课标全国II 卷文)(本题满分12分）设函数f(x)=(1－x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. 5. （2015·课标全国II 卷理）(本题满分12分) 设函数mx x e x f mx -+=2 )(. (I)证明：)(x f 在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增； (II)若对于任意1x ，]1,1[2-∈x ，都有1|)()(|21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围.

6.（2015?山东卷文）(本题满分13分)设函数x a x x f ln )()(+=，x e x x g 2 )(=，已知曲线 )(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=-y x 平行. (I)求a 的值； (II)是否存在自然数k ，使方程)()(x g x f =在)1,(+k k 内存在唯一的根？如果存在，求出 k ；如果不存在，请说明理由； (III)设函数),)}(min((),(min{)(q p x g x f x m =表示p ，q 中的较小值)，求)(x m 的最大值. 7.（2015·课标全国Ⅰ卷理）(本题满分12分) 已知函数4 1 )(3++=ax x x f ，x x g ln )(-=. (I)当a 为何值时，x 轴为曲线)(x f y =的切线； (II)用},min{n m 表示m ，n 中的最小值，设函数)0)}((),(min{)(>=x x g x f x h ，讨论) (x h 零点的个数. 8.（2016·天津理）（本题满分14分） 设函数b ax x x f ---=3 )1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．4 1 . 9.（2017·课标全国III 卷理）（本题满分12分）

导数与不等式证明

导数与不等式证明 作差证明不等式 1. （优质试题湖南，最值、作差构造函数） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，求证：≤≤x ． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，+∞),， 由 得：，∴x ＞0,∴f (x )的单调递减区间 为(0，+∞). (2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，， 当x ∈(0，+∞)时，，且 ∴x ＞－1时，f (x )≤f (0)，∴≤0，≤x 令 ，则 ， ∴－1＜x ＜0时，，x ＞0时，，且 ∴x ＞－1时，g (x )≥g (0)，即≥0 ∴≥ ，∴x ＞－1时， ≤≤x ． 2. （优质试题湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数 ，x x x f -+=)1ln()()(x f 1->x 11 1+-x )1ln(+x 1 111)(+-=-+= 'x x x x f 0)(<'x f ????? -><+- 1 01x x x 0)(>'x f 0)(<'x f (0)0f '=x x -+)1ln()1ln(+x 111 )1ln()(-++ +=x x x g 2 2)1()1(111)(+=+-+= 'x x x x x g 0)(<'x g 0)(>'x g 0)0(='g 11 1 )1ln(-+++x x ) 1ln(+x 1 11+- x 1 11+- x )1ln(+x 2 1()22 f x x ax = +

，其中．设两曲线，有公 共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，． 解：⑴设与在公共点处的切线相 同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍 去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即 时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． ⑵设， 则． 2()3ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =a b b 0x >()()f x g x ≥()y f x =()(0)y g x x =>0 ()x y ，()2f x x a '=+∵23()a g x x '=0 ()()f x g x =0 ()()f x g x ''=2 2000200123ln 2 32x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ，， 20032a x a x +=0 x a =03x a =-2222215 23ln 3ln 22 b a a a a a a a = +-=-2 25()3ln (0)2 h t t t t t =->()2(13ln )h t t t '=-(13ln )0t t ->13 0t e <<()0h t '>(13ln )0t t -<1 3 t e >()0h t '<()h t 1 3(0)e ，1 3()e ∞,+()h t (0)+， ∞123 33()2 h e e =2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <