考研数学二2000-2006年真题完美打印版

2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题

1．

2．

3.

4.

5.

二、选择题

6.

7.

8.

9.

10.

三、解答题

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、2

13lim

21

-++--→x x x

x x =（ ）．

2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y

x 在点（0，1）处 的切线方程为 ：

（ ）． 3、

xdx x x 2

23cos )sin (2

2

?

-+π

π

=（ ）．

4、微分方程11arcsin 2

=-+

'x y x y 满足)

(21y =0的特解为：（ ）． 5、方程组???

?

? ??-=????? ??????? ??211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．

二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1

1

1)(>≤??

?=x x x f 则)]}([{x f f f = （ A ） 0；（B ）1；（C ）110

1

>≤??

?x x ； （D ）1

1

1

>≤???x x ． 2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n

x x sin 高阶的无穷小，而n

x x sin 是比

12

-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于

（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．

4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则

（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；

（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 (

)

三、（本题满分6分）求

?++2

2

1)12(x

x

dx

．

四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim(

)sin x

t x t x t x

-

→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．

五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =

上任意一点M （y x ,）

（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算2

2

2)(3ds d ds

d ρρρ-的值（曲率K ＝

2

3

)

1(2

y y '+''）．

六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若

x x f e x dt t g 2)(0

)(=?

，求)(x f ．

七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2x

e －)(x

f 且)0(f =0，(0)

g =2，求

dx x x f x x g ?

+-+π

2

])

1()

(1)([

八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．

1、 求L 的方程

2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的

面积最小．

九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比

比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆

在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =0

1、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使?

-=''a a

dx x f f a )(3

)(3

η

十一、（本题满分6分）已知???

?

?

??=????? ??=011101110,111011001B A 且满足

AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．

十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，

144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数

试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(二)试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1．设函数

)(2arcsin 12tan ≤

x f x

e x

x

在0=x 处连续，则=a （ ）． 2．位于曲线x

xe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．

3．

2='+''y y y 满足初始条件

2

1

)0(,1)0(=

'=y y 的特解是

（ ）． 4

．

12lim [1cos 1cos 1cos ]n n n n n n

πππ

→∞++++++ =

（ ）．

5．矩阵???

?

? ??-----222222220的非零特征值是（ ）．

二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)

１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=?x 时，相应的函数增量y ?的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；

（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．

２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)

?

x dt t f 0

2

)(； (B)

?

x dt t f 0

2)(；

(C)

?

--x

dt t f t f t 0

)]()([； (D)

?-+x dt t f t f t 0

)]()([．

３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程x e qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的

特解，则极限)

()1ln(lim 20x y x x +→

(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+

R 上有界且可导，则

(A)当0)(lim =+∞

→x f x 时，必有0)(lim ='+∞

→x f x ；

（Ｂ）当)(lim x f x '+∞

→存在时，必有0)(lim ='+∞

→x f x ；

(C) 当0)(lim 0=+

→x f x 时，必有0)(lim 0='+

→x f x ；

(D) 当)(lim 0x f x '+

→存在时，必有0)(lim 0='+

→x f x ．

5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由

321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有

（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关；

（Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D)

21321,,,ββαααk +线性相关．

三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．

四、（本题满分７分）设函数100

12)(2

)1(2

23≤≤<≤-?????+==+x x x

x x f y x x

e xe ，

求函数?

-=

x dt t f x F 1

)()(的表达式．

五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+

R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞

→x f x ，且满足

x h

e x

f hx x f h 11

))

()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线

)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最

小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）

设30<

+（n ＝１，２，３，…）

． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式

ab

a b a b b a a 1

ln ln 222<--<+．

十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且

0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，

)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．

十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421

-=-．

⑴证明：矩阵E A 2-可逆；

⑵若???

?

? ??-=200021

021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ，

4321,,,αααα均为四维列向

量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组

β=Ax 的通解．

2003年考研数学（二）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） 若0→x 时，1)1(4

12

--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程4

ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .

（3） x

y 2=的麦克劳林公式中n

x 项的系数是__________.

（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θ

ρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.

（5） 设α为3维列向量，T

α是α的转置. 若????

??????----=111111111T αα，则

ααT = .

（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2

，其中E 为三阶单位矩阵，若

????

?

?????-=102020101A ，则

B =________.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞

→n n a ,1lim =∞

→n n b ,∞=∞

→n n c lim ,则必有

(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.

(C) 极限n n n c a ∞

→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞

→lim 不存在. [ ]

（2）设dx x x

a n n n

n n +=?+-12310

1

, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(2

3++e . (B) 1)1(2

31-+-e .

(C) 1)1(2

3

1++-e . (D) 1)1(2

3-+e . [ ]

（3）已知x x y ln =

是微分方程)(y

x x y y ?+='的解，则)(y x

?的表达式为 （A ） .22

x

y - (B) .22x y

(C) .22

y

x - (D) .22y x [ ]

（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.

(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]

y

O x

（5）设?

=

40

1tan π

dx x

x I ,dx x x

I ?=402tan π

, 则

(A) .121>>I I (B) .121I I >>

(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]

三 、（本题满分10分）设函数 ,

0,0,0,4sin

1,6,arcsin )

1ln()(2

3>=

??

???

--+-+=x x x x

x ax x e x

x ax x f ax 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

四 、（本题满分9分）

设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>??

??

?=+=?+t du u e y t x t u

所确定，求.9

22

=x dx y d

五 、（本题满分9分）计算不定积分

.)

1(2

32

arctan dx x xe x ?

+

六 、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.

(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (32

2=++dy dx x y dy

x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件2

3

)0(,0)0(='=y y 的解.

七 、（本题满分12分）

讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4

ln 4+=的交点个数.

八 、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)2

1

,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.

(1) 求曲线 y=f(x)的方程；

(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.

九 、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ?绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33

m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2

m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ?之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ?=的方程.

(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)

十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且

.0)(>'x f 若极限a

x a x f a

x --+

→)

2(lim 存在，证明：

(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使

)

(2)(2

2ξξ

f dx

x f a b b

a

=

-?

； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使?-=

-'b

a

dx x f a a b f .)(2))((2

2ξξη

十 一、（本题满分10分）

若矩阵?????

?????=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P

十二 、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l

032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l

032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a

2004年考硕数学（二）真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设2(1)()lim

1

n n x

f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .

（2）设函数()y x 由参数方程 33

31

31

x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值

范围为____..

（3）

1

2

1

dx x x +∞

=-?_____..

（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z

x y

??+=??______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足1

6

5

x y

==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ?? ?

= ? ???

, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩

阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +

→时的无穷小量2

cos x

t dt α=

?, 20

tan x t dt β=?

, 30

sin x t dt γ=?

排

列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ

（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []

（8）设()(1)f x x x =-, 则

（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.

（C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.

[]

（9）2

2

2

12lim ln (1)(1)(1)n n n n

n

n

→∞

+++ 等于

（A ）2

21ln xdx ?. （B ）2

1

2ln xdx ?.

（C ）2

1

2

ln(1)x dx +?. （D ）2

21

ln (1)x dx +? [

]

（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得

（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.

（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []

（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为

（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.

（D ）2cos y ax bx c A x *=+++ []

（12）设函数()f u 连续, 区域{

}

22

(,)2D x y x y y =+≤, 则

()D

f xy dxdy ??等于

（A ）

2

2

1

111()x x dx f xy dy ----??. （B ）2

2

200

2()y y dy f xy dx -??.

（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr π

θθθθ??

.

（D ）

2sin 200

(sin cos )d f r rdr π

θ

θθθ??

[]

（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3

列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为

（A ）010100101?? ? ? ???. （B ）010101001?? ? ? ???

.

（C ）010100011?? ? ? ???. （D ）011100001?? ?

? ???

.

[]

（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有

（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.

（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.

[]

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

求极限3

01

2cos lim 13x x x x

→??+??-?? ???????

.

（16）（本题满分10分）

设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.

(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.

（17）（本题满分11分） 设2

()sin x x

f x t dt π

+

=?,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.

（18）（本题满分12分）

曲线2

x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x

轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .

(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()

lim ()

t S t F t →+∞.

（19）（本题满分12分）设2

e a b e <<<, 证明222

4

ln ln ()b a b a e ->

-.

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增

大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为

700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =?).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.

（21）（本题满分10分）设22(,)xy z f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求

2,,

z z z

x y x y

???????.

（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

12341234

12341234(1)0,

2(2)220,33(3)30,444(4)0,

a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=??++++=??

++++=??++++=? 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.