第六章固体物理
第六章 能带理论
上一章建立在量子理论基础上的金属自由电子理论，虽然取得了较大成功，能够解释金属电子比热、热电子发射等物理问题，但仍有不少物理性质，如有些金属正的霍耳系数，固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质，以及部份金属电导率有各向异性等，是这个理论无法解释的。究其原因，是金属自由电子理论的假设过于简化，它假定晶体中的势能为零，因而在其中运动的电子不受束缚而是自由的。实际上，晶体中的电子并不自由，它的运动要受到组成晶体的离子和电子产生的晶体势场的影响。因此，严格说来，要求解晶体中的电子状态，必须写出晶体中存在着相互作用的所有离子和电子的薛定谔方程，再进行求解。由于1cm 3的晶体包含1023-1025量级的原子和电子，这样复杂的多体问题是无法严格求解的。为此，人们采用了三个近似，将问题进行简化。
第一个近似是绝热近似，也叫玻恩—奥本海默（Born-Oppenheimer ）近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。这样，在研究电子运动时，可不考虑离子运动的影响，这就可把电子运动和离子运动分开来处理，即把多体问题化为了多电子问题。
第二个近似是平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。平均场的选取视近似程度而定，如只考虑电子间的库仑相互作用，则为哈特里（Hartree ）平均场。如计及自旋，考虑电子间的库仑及交换相互作用，则为哈特里—福克（Hartree-Fock ）平均场。这些平均场的计算均要用自洽场方法，所以也叫自洽场近似。这样，就把一个多电子问题化为单电子问题。
第三个近似是周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。
通过这三个近似，晶体中的电子运动就简化为周期场中的单电子问题，这个单电子的薛定谔方程为
)()()](2[)(22r r ψψψE V m
H =+??=r r h （6.1）
其中 )()(n V V R r r += （6.2）
§6.1 布洛赫定理
在周期场中运动的单电子有什么特点呢？布洛赫（Bloch ）发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期场中运动的单电子的波函数)(r ψ不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再是常数，而是如图6.1所示按晶体的周期而周期变化，即
)()(r r k k.r u e i =k ψ
（6.3）
其中振幅 )()(n k k R r r +=u u （6.4）
图6.1 晶体电子波函数的示意图
（a ）沿某一列原子方向电子的势能； （b ）某一本征态波函数的实数部分；
（c ）布洛赫函数中周期函数因子；（d ）平面波的实数部分。
上述形式的波函数叫布洛赫函数或布洛赫波。用这种波函数描述的电子叫布洛赫电子。上述结论叫布洛赫定理。
用代替（6.3）式中的r ，可以得到：
n R r +)()(r R r k R k n k n ψψ?=+i e （6.5）
式（6.5）是布洛赫定理的又一形式。它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子，位相因子不影响波函数模的大小，所以不同原胞对应点上，电子出现的n R k ?i e
几率是相同的，这是晶体周期性的反映。显然，布洛赫定理的两种形式是等价的。下面我们就来证明布洛赫定理。
6.1.1布洛赫定理的证明
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格在平移对称操作下是不变的。如果用表示使位矢r 变到的平移操作相当的算符，则其意义是作用在任意函数f (r )上便产生函数)(n R T n R r +)(i R T )(n R r +f ，即
)()()(i R r r R +=f f T n
（6.6）
平移算符与晶体中电子的哈密顿量是对易的。因为对于任意函数)(r ?有 )
()()()
()()()()(r R r R r R r r R ???n n n T H H H T n =++=r （6.7）
即 0]),([=H T n R （6.8）
量子力学已证明，可对易的算符具有共同的本征函数集。这样，可将对H (r )本征函数的讨论，代之以对T (R n )本征函数的讨论。令)(r ψ为H (r )和T (R n )共同的本征函数，则 )()()()(r R r r R ψλψψn T =+=n n （6.9） 由于晶格具有平移对称性，因而要求在平移操作下，波函数模的平方是不变的，即
222|)(||)(||)(|r r R r ψψλψ==+n n
上式表明i λ必为下列形式的复数
)exp(n n i θλ=
（6.10）
其中n θ为实数，故n θ总可写成下列形式 n n R k ?+=0θθ
当=0时，晶格没有平移，故要求n R 10=λ，这样必有00=θ，于是
n n R k ?=θ
（6.11）
其中k 为任意矢量。但它对每一个平移算符都是相同的。
这样，晶体中单电子的波函数将同时要由空间位置变量r 和出现在平移算符本征值中的位矢k 来表征，故可记为)(r k ψ。由上面的讨论，可得到
)()()(r r R k R ik k n n ψψ?=e T
或 )()(r R r k R ik n k n ψψ?=+e （6.12） 这就是布洛赫定理的第二种形式，我们因此证明了布洛赫定理。
显然，布洛赫函数是由晶体平移对称性直接得出的，因而是所有电子波函数所具有的共同形式。其中为其平面波因子，描述电子在各原胞之间的公有化运动；是周期函数因子，描述电子在原胞中的运动。从物理上讲，电子波受到晶体势场的调制，不同材料的晶体势场只能引起调幅部分的不同，而不会改变布洛赫波的共同形式。
r ik ?e )(r k u )(r k u 6.1.2 波矢k 的取值与物理意义
布洛赫函数中的k 是波矢量，可用它来标记电子的状态。由于
)()()()(r R r r R k R ik n k n ψψψ?=+=e T n k
（6.14） )()()()(r R r r R G k R ik n G k G k n n +?++=+=ψψψe T （6.15）
可见算符对这两个波矢相差一个倒格矢的波函数有相同的本征值。为使k 的取值范围同算符的本征值一一对应，可把k 值限制在一定区域内，这样k 和k + G 表示两个等价的电子状态，它们有相同的电荷分布，故)(n R T )(n R T )(r k ψ可看成倒格空间或波矢空间的周期函数。为描述电子的独立状态，就需要把倒格空间划分成一些周期性重复单元，并进一步把波矢k 限制在一个单元中，这个单元就是第一或简约布里渊区。 对自由电子波函数，即平面波r k k ?=i e V
1)(r ψ， 是动量算符k h ?i h 的本征值， 是处在状态k p h =)(r k ψ的电子动量。但对于布洛赫函数，由于
)()]([)(r k r r k r k k k r k k u i e u e i i i i ?+=?=???h h h h ψψ （6.16）
右边第二项通常不为零，所以布洛赫函数)(r k ψ不是动量算符的本征态，加之和 k h
)(G k +h 在物理意义上等价，所以，虽然具有动量量纲，但并不是布洛赫电子的真实动量。
k h 人们发现在研究晶体中电子在外场作用下的运动以及电子与电子、声子和光子相互作用时，具有与电子动量类似的性质，故人们把称为布洛赫电子的准动量或电子的晶体动量。
k h k h 研究周期场中电子的运动，除需要解波动方程外，还须考虑边界条件，与研究晶格振动时的情况类似，我们选取周期边界条件，于是有
)()(r a k i i k ψψ=+N r ， =i 1，2，3 (6.17)
其中是原胞的基矢，是沿a i a i N i 方向的原胞数，故晶体中原胞总数
321N N N N =由（6.5）式可得
)()(r a r k k k i ψψi a ?=+N i i i e N
（6.18）
则由周期边界条件可得 1=?i Na ik e
（6.19）
波矢k 可表为倒格矢的线性组合： 332211b b b k βββ++=
（6.20）
代入（6.19）式并利用ij j i δ2π=?b a ，可得 i i i N l =
β， 为整数 （6.21）
i l 于是 333222111b b b k N l N l N l ++= （6.22）
这样，加上周期边界条件后，波矢k 只能取分立值。
由（6.22）式所决定的波矢k 在倒格空间的代表点都处在一些以11N b ，22N b 和33N b 为边的平行六面体顶点上，故每个波矢k 的代表点所占体积为
V
N N N N N 3
3321332211)2()2()(1)(ππ=Ω=×?=×?b b b b b b （6.23）
此处用了每个倒原胞的体积Ω
=×?3
321)2()(πb b b ，Ω是正格空间原胞体积。显然，k 的代表点在倒格空间的分布密度3)2)(πV g =k ，则在每个倒原胞，即每个布里渊区中k 点的取值数为： N ?V V ==÷×?3321)2()(πb b b （6.24）
所以，类同于晶格振动的情况，加上周期边界条件后，布洛赫波的波矢k 取分立值，在有限k 空间，k 的取值有限。在简约布里渊区内，k 的取值数为晶体原胞数N 。
§6.2 近自由电子近似
上一节的布洛赫定理，是从周期场所具有的平移对称性出发，得出了在周期势场中运动的电子波函数的普遍形式，但不能给出某一晶体中电子波函数的具体形式，也不能获得电子能谱——能带结构的表达形式。要获得这些知识，心须求解式（6.1）。这是一个比较困难的问题，为此，我们先讨论能带理论中的一个简单模型——近自由电子近似。这个模型适用于周期场较弱的情况，故也叫弱周期场近似。由于周期场的周期性起伏很弱，它可以看成自由电子情况稳定势场的微扰，此时晶体中的价电子行为就很接近自由电子，故叫近自由电子近似。这个模型虽然简单，却能给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。
6.2.1 一维非简并情况
为方便起见，我们先处理一维的情况。一维晶体周期势场V （x ）可用傅里叶展开：
nx a i n n e V V x V π20)(′+=∑ （6.25）
式中为势能的平均值0V V ，求和号带撇表示累加时不包括n = 0的项。为讨论方便起见，我们选取为能量的零点，即0V 00==V V ，这样
nx a i n n e V x V π2)(′=∑ （6.26）
由于准自由电子近似是假设势场的周期性起伏比较小，故V (x )可视为微扰项'H ，即
'0H H H +=
（6.27）
这里 22
202dx
d m H h ?= ， )('x V H = 零级近似波函数0k ψ和零级近似能量如下：
0k E m k E k 22
20
h = （6.28）
ikx k e L 10=ψ （6.29）
由于晶体不是无限长而是有限长L = Na ，因此波矢k 不能任意取值。当引入周期边界条件， k 只能取下列值
l Na
k π2=， l 为整数 （6.30） 下面我们用微扰方法来计算能量和波函数的修正值。首先计算能量的一级修正 ∫==L 0 0'*0'
)1()()(dx x H x H
E k k k k ψψ0==∫∑L
0 nx a 2πi n 'dx e L V n （6.31）
即能量的一级修正值为0，故必须进一步计算能量的二级修正：
002'')
2(||k k k k k k E E H E ′
′?′=∑ 其中求和号不包括k k ='的项，而式中微扰矩阵元可按下式计算
k k H ′' ∫′=L
k
k kk dx H H 0 00''?*'ψψ∫∑+?′=L x n a k k i n n
dx e V L I 0 )2'(π （6.32）
可以证明 0 =′′k k n H V （6.33） 当 n a k k π2'?=
n a
k k π2?≠′ 因此，在周期势场的情况下，当计入能量的二级修正后晶体中电子的能量本征值为
222222
2)
2()1(0
)2(22||2n a
k m m k V m k E E E E n n k k k k π??′+=++=∑h h h （6.34） 据微扰理论，本征值取二级修正，本征函数应取一级修正，于是电子波函数为
)()()()1(0x x x k k k ψψψ+=
)(1)2(2211)()(22222*'0'0'
0''''0
x u e L
n a k m m k e V e L x E E H x ikx x a n i n n ikx k k k k k k k
=????
?????????+=?+=?∑∑πψψπh h （6.35） 据布洛赫定理，在周期势场中运动的单电子波函数应是调幅平面波，其振幅部分u (x )是晶格的周期函数。在（6.35）式中，由于
)()2(221)(2)(2*'
x u n a k m m k e V ma x u ma x a
n i n n =??+=++?∑ππ （6.36） u (x )确是晶格的周期函数，满足布洛赫定理，故由微扰法得到的近似波函数确为此周期场中的单子波函数。这种波函数由两部分叠加而成，第一部分是波矢为k 的前进平面波ikx e L
1，第二部分是该平面波受到周期场作用而产生的散射波，各散射波的振幅为 2
222*0'0*)2(22 n a k m m k V E E V n k k n π??=?h h （6.37）
微扰理论要求修正项应远小于零级项，故（6.37）式应很小，这要求：（i ）很小，
故只适用于弱周期场的情况；(ii)能量差应较大。此时，各原子所产生的散射波
的位相之间没有什么关系，彼此相互削弱，故散射波中各成分的振幅较小，周期场对前进的平面波影响不大。这时晶体中电子的状态与自由电子很相似。
*n V 0'0k k E E ?6.2.2 一维简并微扰的情况
上述微扰理论的要求并不总能满足，既使很小，但如果很小，特别当
*n V 0'0k k E E ?a n k π=以及a n k π?='时，由于=，会导致0k E 0k E ′k ψ及发散的结果，上述微扰计算就不再适用。从量子力学可知，此时一个能量对应两个状态，是简并态的情况，必须用简并微扰来处理。如果认为k E 0k ψ=ikx e L 1
是前进的平面波，则0k ′ψ=x k i e L
′1即为布拉格反射波。这时，零级近似波函数将不是0k ψ或0k ′ψ，而是两者的线性组合。实际上，
在波矢k 接近布拉格反射条件时，散射波已相当强了，非简并微扰已不适用。所以，对于接近a n π即布里渊区边界的k 态，如
)1(Δ+=a
n k π， △<<1 在周期势场的微扰作用下，最主要的影响将是掺入了和它能量接近的状态 )1(2'Δ??=?
=a n n a k k ππ 而应将零级波函数写成
x ik ikx k k e L B e L A B A '0'0011+=+=ψψψ （6.38） 对比非简并微扰法，此时影响最大的k ′状态，已不再是微扰项，而被包括在零级波函数中，而其它态的次要影响则忽略。
将（6.38）式代入薛定谔方程
0022
2 )(2ψψE x V dx d m =??????+?h （6.39）
以*0k ψ和分别乘方程两边，并在整个晶体内积分。经计算得到下列线性代数方程组
*0k ′ψ0
)(0
)(0*0=?+?=??′B E E A V B V A E E k n n k （6.40）
显然，A ，B 有非零解的条件是 *0
n k V E E ?? '0K n E E V ??=0 （6.41）
由此求得
{}
220000||4)()( 21n k k k k V E E E E E +?±+=′′± 22224||)1(Δ+±Δ+=n n n T V T （6.42） 式中222??????=a n m T n πh 代表自由电子在a
n k π=状态的动能。 由于△是小量，应用近似公式（x <<1）可得
nx x n +≈+1)1( 2||21||)(Δ???
?????
+++=+n n n n n V T T V T k E 21||2||)(Δ?????
??????=?n n n n n V T T V T k E （6.43） 从上面分析可以看出，当k 的值与a n π
或布里渊区边界值相距较远时，非简并微扰理论
可以适用，弱周期场中的电子能量可以用式（6.34）表示。由于二级修正项很小，此时电子能量与自由电子能量相差无几。但当k 处于布里渊区边界附近，非简并微扰已不适用，要用简并微扰获得的能量公式（6.43）来描述电子的能量。这样，如图6.2所示。在布里渊区边界附近，能量高的部分要按（6.43）式上升，能量低的部分按（6.43）式下降。于是在布里渊区边界（△=0），出现+E ?E ||2n V E E E =?=Δ?+的能量间隔或能隙。在此能隙内的能量不为电子所占有，故将它称作禁带。显然，禁带的出现是电子在周期场中运动的结果。
禁带形成的物理机制可这样理解：当电子的波矢离布里渊区边界较远时，波函数可用式（6.35）表示。正如前面已经讲过，这个函数的第一项为入射波，第二项为散射波的组合。此时散射波的幅度都很小，对入射波的干扰甚小，于是电子态和自由电子很接近。但如果入射的自由电子的波矢接近布里渊区边界a n π，与此波矢相差为倒格矢a n π2的散射波振幅就很大，它们与入射波干涉会形成驻波，这正如（6.38）式所示。其中0k ′ψ就代表这一大振幅的散射波，这就使具有这样的能量的电子波不能进入晶体，不会在晶体中存在，因此在自由电子准连续的电子能谱中形成禁带。事实上，由a n k π=和λπ
2=k （此处λ为电子波长），可以得到λn a =2。这正是一维布拉格全反射条件：相邻原子的背向散射波干涉相长，使入射波遭到全反射而不能进入晶体内部。
图6.2 在布里渊区边界附近的能量
6.2.3 能带结构及图示
在第五章的自由电子近似中，电子能量E ( k )与k 的关系曲线为抛物线，由于周期边界条件，k 取分立值，因而E ( k )是个准连续的抛物线。在近自由电子近似中，由于周期势场的微扰作用，E ( k )曲线要作一些微小的修正（但仍是准连续变化），而在
a
n k π=
（n =±1，±2，±3……），即布里渊区边界，E ( k )曲线断开，出现的能量突变，如图6.3所示。在各能量断开的间隔不存在允许的电子能级。或者说，晶体中的电子不能具有这个能量间隔中的能量。这个能量间隔就叫做禁带。这样，由于周期势场的作用，原来准连续的电子能谱就变成一系列被禁带隔开的能带，这就是晶体中的电子能谱被叫做能带论的原因。电了能谱的能带结构是周期场中运动电子的最基本特性。 ||2n
V
图6.3 E （k ）图和能带
从上面讨论可知，禁带出现在波矢空间（或倒格空间）位矢的中点（即布里渊区边界）上，允带（晶体中的电子可以具有此中能量）中电子能量的修正及禁带的宽度都取决于周期势场的相关傅里叶分量。所以，晶体的能带结构由该晶体的结构和势能函数形式决定。
晶体中电子的能谱由于受晶体周期性电场（或势场）的影响而形成允带，禁带交替排列的能带结构，能量落在禁带中的电子是不能在晶体中存在的。禁带的宽度取决于周
期场起伏的大小。光子也有类似的情况，由于介质中光子的速度与εμ有关，对于非磁介质，磁导率μ =1，所以光子的速度主要由介电常数ε决定，如果把两种不同介电常数的介质材料在空间按一定周期排列，则在其中传播的光子的能量和频率也会呈现带结构，能量处于“光子禁带”中的光波是严格禁止在介质中传播的。光子禁带的宽度也取决于周期排列介质起伏的大小，因此，两种介质的介电常数差别越大，光子禁带也越宽。据此类比，Yablonovitch 和John 在1987年分别独立提出了“光子晶体”这一新概念，使人们可以象用晶体控制电子运动一样，用光子晶体控制光子运动，这在光通讯等领域有重要应用。同样的道理，由于声波速度受介质弹性常数影响，因此将介质的弹性常数也作周期性排列，则在其中运动的声子的能量和频率也会出现声的带结构。只有能量位于允带中的声子才能在材料中传播，形成“声子晶体”。声子晶体在超声换能器，振荡器方面可望有重要应用。我国南京大学的学者提出并制成了离子型声子晶体。综上所述，各种波在相应的周期性结构中传播具有共性，即能谱会呈现带结构。
在前面的讨论已经知道，波矢k 和n a
k π2+
这两个状态是等价的。这样，任何依赖于波矢k 的可观察的物理量在状态k 和n a k π2+都应具有相同的值，即这些物理量在波矢空间应是周期函数，其周期为一个倒格矢。对于能量，我们就有：
)2()(n a k E k E π+= （6.44） 由于电子的能带结构是周期函数，故能带结构有三种不同的表示方式。它们都被示在图6.4。
1、简约布里渊区图式
由于E ( k )是以a π2（即布里渊区大小）为周期的周期函数。我们可把能带约化到简约布里渊区，即,[a
a ππ?的波矢范围内来表达。这样k 为简约波矢，即被限制在第一布里渊区内，如图6.4（a ）所示。此时E (k )是k 的多值函数，为了使k 和E (k ) 一一对应，也为了区别不同的能带，我们引入能带的的编号n ，将不同的能带写成。这种表示的特点是在简约布里渊区表示出所有能带，因而可以看出能带结构的全貌，而且图形紧凑，是表示能带结构最常用的图示方法。
)(k E n 2、周期图示
以简约布里渊区图示的每个能带为重复单位，在k 空间重现全能带图样，如图6.4（b ）所示，其特点是在每个布里渊区内表示出所有能带，构成k 空间内的完整图象。
)(k E n 3、扩展布里渊区图示
即将E ( k )用单值函数表示出来，按照能量从低到高，将，，……各能带k 的取值分别限制在第一，第二……等各布里渊区内，如图6.4（c ）所示。
)(1k E )(2k
E
图6.4 一维能带结构的三种不同表示
（a ）简约布里渊区图示（b ）周期图示（c ）扩展布里渊区图示
6.2.3 三维晶格的能带
对三维晶格，可采用和一维晶格类似的方法来进行研究。此时，波动方程为
)()()](2[)(22r r r r ψψψE V m
H =+??=h （6.45） 其中： )()(n R r r +=V V （6.46）
令： 2202??=m
H h （6.47） ∑?′==n n G r iG r e V V H n )(' （6.48）
式中332211n b b b G h h h ++=是任意倒格矢，求和中的撇号表示不包括= 0的项，同
一维时一样，这意味着将常数取为能量零点。此时，零级近似波函数n G 0V 0k
ψ和零级近似能量如下：
0k E
r k ?=i k e V
10ψ （6.49） 2m k E 2
20
k h =
（6.50） 在周期边界条件下，k 取如（6.22）式所示的分立值。
与一维情形一样，一级能量修正，故必须考虑二级能量修正：
0)()1(=k E ∑?=′′k )'()(|
|)(002)2(k k k E E H E 'k k
（6.51） 一级波函数修正为：
∑?=′′k
)'()(00)
1(k k E E H '
k
k k ψ
（6.52） （6.51）和（6.52）式中的求和号加撇表示不包括k k ='的项。由于矩阵元
∫∑∫?==τψψτψψd e V d H H i n 0
'*0'0'*0''k r
G k G k k kk'n h
= , 0,
n V n
G k k G k k +≠+=''n
（6.53） 于是，非简并微扰适用的三维近自由电子的能量和波函数就为：
)
()(||'2)()()(002
2
2)2(0n G k k k k k +?+=+=∑E E V m k E E E n n h
（
6.54） ??
?
?
????+?+=+=?∑)()('
1)(000)
1
(0
n i n E E e V G k r k r
G
n k k k k n ψψψψ (6.55)
这些能量和波函数适宜描述波矢k 离布里渊区边界较远的电子。
和一维晶格类似，当，即
)()(00n G k k +=E E （6.56） 22|||n G k k |+=时，非简并微扰将导致式（6.54）和（6.55）发散，此时必须用简并微扰。注意到由式（6.56）可得
02=+?)(n n G k G （6.57）
k 与的矢量关系如图6.5所示。从图6.5可知，此时k 点正
位于的垂直平分面上。由于倒格空间的垂直平分面就是布里渊
区的边界，所以，当波矢k 处于布里渊区边界时，必须用简并微
扰处理，此时零级波函数为
n G n G 0'00k k ψψψB A += (6.58)
（6.58） 图6.5 发散条件
采用和一维类似的微扰计算，可以得
（6.59）
||0n V E E ±=±k 这表明，和一维一样，电子的能谱在布里渊区边界会发生能量的断开，即出现禁带。禁带宽度为||2n V E E E =?=Δ?+。
在第一章讲X 光衍射时我们指出，衍射波矢k 和入射波矢相差一个倒格矢为衍射加强的条件。此时
0k n G k k =?0
（6.60） 由于入射波和衍射波的波长相同，，于是有
202||||k k = （6.61）
2022k G G k k =+?+2n n 即
0)2(=+?n n G k G （6.62） 此即式（6.57）。由于衍射加强条件和布拉格全反射公式是等价的，所以，和X 射线一样，当波矢处于布里渊区边界的电子入射晶体时，散射波将干涉加强，使电子被全反射而不能射入晶体，相应的能量也不会为晶体中的电子所具有。这就使准连续的电子能谱在布里渊区边界处断开，出现允带，禁带交替排列的能带结构。
和一维情况一样，三维晶体的能带也具有周期性，即：
)()(n G k k +=n n E E
（6.63）
周期为倒格矢，这是由晶格的平移对称性决定的。
晶体的能带结构还有反演对称性，即：
)()(k k ?=n n E E （6.64） 反演对称性与时间反演有关。因此，不管晶体的几何结构中有无反演对称中心，晶体的能带结构都具有反演对称性，即是个偶函数。
)(k n E 能带结构还具有晶体的宏观对称性，若)(k n E α为晶体的一个点群对称操作，可以用群论证明：
)()(k k αn n E E = （6.65） 上面讲的是三维和一维晶体的类似之处；但三维和一维情况还是有一个重要区别：三维布里渊区有除正、反向外的不同方向，而不同方向的E ( k )函数常常是不一样的。这样，在布里渊区边界，各波矢空间方向的能量在何处断开，以及断开的能量间隔大小也常常不一样。这就可能发生能带之间的交叠，使从某一倒格空间方向看断开的能量间隔会变小甚至消失。因此，和一维的情况不同，对三维晶体，在布里渊区边界不一定非要出现能量的禁带。图6.6就表示了由于能带的交叠，在布里渊区边界，禁带消失的情况。
在图6.6（a ），B 表示第二布里渊区沿k 方向能量最低的点。A 是与B 相邻而处在第一布里渊区中的点。电子能量在B 点是断开的，C 点则为在布里渊区另一个方向能带最高的点。图6.6（b ）和 (c) 表示沿倒格空间k 和 方向的能带结构。显然，由于两个带能量发生交叠，此时如图 6.6（d ）所示，禁带消失。当然，也有这种情况，就是
，此时两个能带并不交叠，但禁带宽度'k 'k C A B E E E >>c B g E E E ?=，而不是，
即禁带宽度会有所变化。
A B E E
?
图6.6 能带间的交叠
§6.3紧束缚近似
上一节的近自由电子近似，是认为晶体势场在晶体中大部分空间都接近常数，只是在原子核附近有小的起伏，故电子受原子的束缚较弱，其行为就较接近不受束缚的自由电子。因此，近自由电子近似比较适用于价电子，特别是金属中的价电子。如果电子受原子核束缚较强，且原子之间的相互作用因原子间距较大等原因而较弱，比如内壳层电子及绝缘体中的价电子，此时晶体中的电子就不象弱束缚情况的近自由电子，而更接近束缚在各孤立原子附近的电子。这样，近自由电子近似就不再适用，而应采用一种新的方法——紧束缚近似。
6.3.1原子轨道线性组合
紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受该原子势场作用，其它原子势场因原子间相互作用弱而可视为微扰作用，此时，晶体中电子的波函数就不能用自由电子波函数，而应用所有原子的电子波函数（即自由原子波函数）的线性组合来表示。即
∑=?=N m m i
m a 1)()(R r ?ψr （6.66）
上式中321a a a R 321m m m ++=m 是晶体中第m 个原子的位矢，)(m i R r ??是将该原子视为孤立原子时的自由原子波函数，该波函数应满足如下薛定谔方程
)()()](2[22m i i m i m E V m h R r R r R r ?=??+???? （6.67）
其中V ()为上述第m 个原子的原子势场，为与束缚态m R r ?i E i ?相对应的原子能级。显然式（6.67）完全忽略了晶体中其它诸原子的影响。设晶体为N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则将有N 个具有相同能量的束缚态波函数i E i ?。在不考虑原子之间相互作用时，晶体中的这些电子构成一个N 度简并的系统：能量有N 个简并态i E )(m i R r ??。
实际晶体中的原子并不是真正孤立的。由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N 个不同能级构成的能带。
对这样一个由N 个原子组成的晶体，其晶体势场U （r ）是由各原子势场组成。这是一个周期势场，即
（6.68）
)()()(l m m U V U R r R
r r +=?=∑于是晶体中电子的薛定谔方程为：
ψψE U m
=+??)()](2[22r r h （6.69）
将式（6.66）代入式（6.69）并利用式（6.67），可以得到 ∑=???+?m m i m i m V U E E a
0)()]()()[(R r R r r ? （6.70）
紧束缚近似适用的条件要求原子间距较i ?态的轨道大得多，
这样，不同原子的i ?重叠很小，从而有
mn n i m i d δ?? )()(*∫=??r R r R r （6.71）
现以乘方程（6.70）并对整个晶体积分，得到
)(*n i R r ??0)d ()]()()[()(m i m n *i m
m i n =?????+?∫∑r R r R r r R r ??V U a E E a （6.72）
上式中的积分项被称为交叠积分。为便于讨论引入新的积分变量
m R r ?=ξ
由于U ( r )是周期函数，则（6.72）式中积分可表示为
)()()]()())[((m n i m n i R R R R ??=???∫J d V U *
ξξ?ξξξ? （6.73）这表明积分值仅取决于原子的相对位置或原子间距离m n R R ?，因此积分值可用符 号-J （）表示。式中引入负号的理由是晶体势场与原子势场的差值m n R R ?)()(ξξV U ?为负值，这样交叠积分J （m n R R ?）则为正值。
6.3.2 能带结构
将（6.73）式代入（6. 72）式得到方程组：
（6.74）
0)()(1=???∑m m n m n a J a E E R R
为使（6.66）式表示的晶体中电子波函数满足布洛赫定理，我们取系数：
m R k ?=
i m e N a 1 （6.75）
这样，电子波函数： )(1)()(m i m
i i m e e N R r ?=∑?????ψR r k r k k r =
r k ?i e N 1)(r k u （6.76） 显然，)()(l k k R r r +=u u 为一个和晶格周期相同的周期函数。因此，上述电子波 函数是布洛赫函数，满足晶体中电子波函数的要求。将式（6.75）代入式（6.74），可以得到：
m n R k R k ????=?∑i m n m i i e J e E E )()(R R
（6.77）
亦即
)()(m R k ?????=∑n R m n i m i e
J E E R R s s
R k R ??∑?=i S i e J E )(R
（6.78） 式中=s R m n R R ?只与原子的相对位置，即原子间距离有关。式（6.78）即是晶体中作公有化运动的电子的能量的本征值。可以看出，它是在自由（或孤立）原子能级上加一修正项。修正项 [即（6.78）式中的第二项] 的大小取决于交叠积分J ，而交叠积分大小又与原子间距有关。= 0，交叠最完全，交叠积分
i E )(S R s R s R （6.79） ξξ?ξξξ?d V U J J i i s )()]()()[()(*0∫??==R 最大，其次是为最近邻格点的格矢。人们一般只保留到最近邻项，而把其它次要项略去。这样式（6.78）变为
s R s R k ??∑??=i s i e R J J E E 最近邻= 0s )(R （6.80）
如前所述，对有限的晶体，我们有边界条件限制。应用最常用和方便的周期边界条件，对由321N N N N ??=个原子组成的晶体，我们有
)()(r r k k ψψ=+i i N a 3 ,2 ,1=i （6.81）
不难证明，k 取如式（6.22）所示的分立值。因而在有限的波矢空间，如一个布里渊区内，k 的取值是有限的，即为晶体的原胞数N ，这样式（6.80）的E ( k )就构成一个准连续的能带。
现来看一个简单的例子，简立方晶格中由原子s 态)(r s ?形成的能带。
在简立方晶格，任意原子有6个最近邻，其格点位置为（±a ，0，0），(0，±a ，0)，（0，0，±a ）。由于s 态波函数是球对称，交叠积分就与方向无关，而只取决于原子间距，这样6个最近邻格点所涉及的交叠积分就应相等。我们令，J )(s R J 1=（为最近邻矢径），将上述6个近邻格点的格矢代入式（6.80），并适当化简，可以得到
)(s R J s R s R )cos cos (cos 2)(10a k a k a k J J E E z y x s ++??=k （6.82） 这就是简立方晶格中s 态电子的能带。据此能带结构，我们可以求出简约布里渊区中一些对称点的能量。图6.7是简立方晶格的布里渊区。由式（6.82）可以得到在Γ、X 、R 点的能量为：
Γ点：106)( ),0 ,0 ,0(J J E ΓE s ??==k
X 点：102)( ), ,
0 ,0(J J E X E a s ??==πk M 点：102)( ),0 ,,(
J J E M E a a s +?==ππk R 点：106)( ),,,(J J E R E a
a a s +?==πππk （6.83）
图6.7 简单立方的布里渊区
图6.8（a ）绘出了布里渊区中这些对称点及方向的能量。
固体物理学》概念和习题 答案
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体 积，则致密度ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为, , 4 33a V r a= =晶胞内包含2个原子，所以 ρ=π π 8 3 ) ( * 2 3 3 4 3 3 4 = a a
图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ=6 2)( *4334234 ππ=a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23232c r a == 晶胞体积 V = 222 360sin ca ca =ο, 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ=ππ62) (*2223 3234 =ca a .
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
固体物理第四章总结1
第四章总结成员及分工 1：一维晶格以及三维晶格的振动 2：晶格热容的量子理论 3：简谐近似和简谐坐标 4：晶格的状态方程和热膨胀 5：离子晶体的长波近似 4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络
二、重点 1.格波的概念和“格波”解的物理意义 (1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。 (2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。 (3) q 的取值范围：－(π/a) 2.一维单原子链的色散关系 22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω= -= 把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。 3.一维单原子链的运动方程 相邻原子之间的相互作用 βδδ-≈-=d dv F a d v d ???? ??=22δβ 第n 个原子的运动方程 11() (2) n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ?? +--=+-= 4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 （1）运动方程( equation) )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++? ? )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++? ? （2）方程的解(solution) ])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ 5.声学波与光学波的概念与物理意义 （1）声学波与光学波的定义 }]sin )(41[1{2 /122 2aq M m mM mM M m +-++=+β ω }]sin ) (41[1{2/122 2aq M m mM mM M m +--+=-β ω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格 波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ） （2）两种格波的振幅比 aq m A B cos 222 ββω-- =??? ??++ aq m A B cos 222 ββω-- =??? ??-- （3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数 )()(q a q --=+ωπ ω )()(q a q ++=+ωπ ω 第一章、 晶体的结构 1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6π; （2）体心立方, ;8 3π （3）面心立方， ;62π （4）六角密积，;62 π （5）金刚石结构， ;16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体 积，则致密度ρ=V r n 3 34π （1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积， 如图1.2所示，中心在1，2，3，4 处的原子球将依次相切，因为 ,,433a V r a == 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) (3 3 23 4π π= a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如 图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a 图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为 3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ= 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23 2 32c r a == 晶胞体积 V = 2 22 360sin ca ca = , 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ= ππ6 2)(*22 2 3 3 234= ca a . 固体物理学第一章习题解答 1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。 答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。 非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配臵的几何方位（键角）。 准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构 成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。 答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。 NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。 3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。 （1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子） （2）底心立方（3）底心四方 （4）面心四方（5）侧心立方 （6）边心立方 并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？ 答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。 （1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。 （2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。 （3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。 固体物理答案第章 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=。 证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作： 注：234111ln(1)234x x x x x +=-+-+。2是考虑左右离子对称。 2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。 解：（1）晶格常数 电荷加倍前： 206()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 由平衡条件：0 ()0r r U r r =?=?，可得 110()n nB r A -= 。 电荷加倍后： 2' 0464()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 同样由平衡条件：'0 '()0r r U r r =?=?，可得 1'10()4n nB r A -= 所以 0011'04 r r r n ≈=--，即1>>n 时，晶格常数可认为不变。 （2）结合能 电荷加倍前： 20001()(1)4N e W U r r n απε=-=- 电荷加倍后： 22 ''' 1 01 '00100414()(1)4444n n n N e N e W U r W r n r ααπεπε---=-=-== 当1>>n 时，有W 'W 4=，结合能增加为原来的4倍。 2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为3NAr V =(A 为常数，N 为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W （单个离子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取02,10,3m n r ===?,4W =eV,求,αβ值。 《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90° 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。 （1） 共价键结合的特点？共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ 饱和性和方向性 饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的数目是有限制的。N<4，有n 个共价键；n>=4，有（8-n ）个共价键。其中n 为电子数目。方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。 （2） 如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？ 电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A 为第一电离能，电离能可表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子时放出的能量，其中B 为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力，而电负性是用来表示原子得失电子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲和势能来表征。 （3） 引入玻恩-卡门条件的理由是什么？ 在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间的原子的运动方程来描述。波恩—卡门条件解决上述困难。 （4） 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多？ 对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多？ 温度一定，一个声学波的声子数目多。 对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。 （5） 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？ 不能。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。 （6）晶格比热理论中德拜（Debye ）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因 是什么？爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？ 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。 爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在低温主要对热容贡献的是长声学支格波。 （7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有负、无穷大值？带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ m F m m l +=* m F m v F m v F l ?+?=??* ])()[(1])()[(1电子给予晶格德外力给予电子德晶格给予电子德外力给予电子德－＝＋p p m p p m m p ????=?*当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正； 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负； 当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。 （8）为什么温度升高，费米能级反而降低？体积膨胀时，费米能级的变化？ 在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范围的能级。故费米球体积V 增大，又电子总数N 不变，则电子浓度减小，又，则费米半径变小，费米能级也减小。当体积膨胀时，V 增大，同理费米能级减小。 （9）什么是p 型、N 型半导体？试用能带结构解释。 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 《固体物理学》第一二章参考答案 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞 的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4 π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 34.063r 3 38r 348a r 348x 3 3 3 33≈π=π?=π?= 1.2、试证：六方密排堆积结构中 633.1)3 8(a c 2 /1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 3 1230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2 a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a a ππ∴=??-++=-++r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢 相同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=。 证：考虑到由两种一价离子组成的一维晶格的内能（相互作用能）仅与库仑势有关，可写作： 2 20 000 (1)44(1)1112(1)2ln 2234n n n n q q U nr r n α πεπεα≠≠-= =--∴=-=-?-+-+-=∑∑ 注：234 111ln(1)234 x x x x x +=- +-+。2是考虑左右离子对称。 2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）。 解：（1）晶格常数 电荷加倍前： 206()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 由平衡条件：0 () 0r r U r r =?=?，可得 110()n nB r A -= 。 电荷加倍后： 2' 0464()()4n n e b A B U N N r r r r απε=-+=-+ 同样由平衡条件： ' '()0r r U r r =?=?，可得 1' 10()4n nB r A -= 所以 001 1 '04r r r n ≈=-- ，即1>>n 时，晶格常数可认为不变。 （2）结合能 电荷加倍前： 20001 ()(1)4N e W U r r n απε=-=- 电荷加倍后： 22' '' 1 1' 001 0041 4()(1)4444 n n n N e N e W U r W r n r ααπεπε---=-=-== 当1>>n 时，有W 'W 4=，结合能增加为原来的4倍。 2.3若一晶体两个离子间的相互作用能可表示为 ，晶体体积为3NAr V =(A 为常数，N 为原胞数目），试求：（1）平衡间距；（2）结合能W （单个离子的）；（3）体弹性模量的表达式；（4）若取02,10,3m n r ===?,4W =eV,求,αβ值。 解： （1）平衡间距 ()=-+m n αβ U r r r 2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=. 证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有 (1)1111 2[... ]234j ij r r r r r r α ±' ==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 2 34 (1) (34) n x x x x x x +=-+-+ 当X=1时，有111 1 (2234) n - +-+= 2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为()m n u r r r α β =- + 求 1）平衡间距0r 2）结合能W （单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取 02,10,0.3,4m n r nm W eV ==== ，计算,αβ值。 解 1）晶体内能()()2m n N U r r r αβ= -+ 平衡条件 0r r dU dr == 1100 0m n m n r r αβ ++-+= 1 0()n m n r m βα-= 2) 单个原子的结合能01 ()2 W u r =- 0()()m n r r u r r r αβ ==-+ 1(1)(2m n m m n W n m β αα--=- 3) 体弹性模量0 202()V U K V V ?=?? 晶体的体积3 V NAr =—— A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能()()2m n N U r r r αβ= -+ 112 1()23m n N m n r r NAr αβ++=- 22112 1[()]23m n U N r m n V V r r r NAr αβ++???=-??? 1112[1...]234α=-+-+n α∴= Chapter 4 能带理论（energy band theory ） 一、简要回答下列问题（answer the following questions ） 1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ ［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为321,,b b b ，而波矢空间的基矢分别为321332211,,;/,/,/N N N N N N b b b 分别是沿正格子基矢321,,a a a 方向晶体的原胞数目。 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321Ω=??b b b 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 N N N N *)(3 32 21 1Ω= ??b b b 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。 2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ ［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢G h 正交，边界是G h 的中垂面，则禁带的宽度Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。 不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。 3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ ［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022 ??k E ，晶格对电子作正功，有效质量大于零。 4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的？ [答]单电子理论是在经过几步近似之后，将多体问题转化为单电子问题，以单电子在周 第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11 )(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11 /-=T k i B i e n ωη. 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3/2220)3(2πn m E F η=, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答] 《固体物理学答案》第一章晶体的结构 第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密 度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致 密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示 刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度 ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原 子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2， 3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个 最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体 心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切， 因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a 图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ = 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 固体物理学概念和习题 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。《固体物理学答案》第一章晶体的结构
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