柯西不等式

柯西不等式及其应用

摘要：本文先对柯西不等式基本形式、推论、变式、推广及积分形式作了介绍、归纳，然后通过举一系列范例揭示了柯西不等式及其推论、变式在不等式、等式、数列、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用.说明了柯西不等式的重要性及较强的应用性，灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解.

关键词：柯西不等式；闵可夫斯基不等式；赫尔德不等式；施瓦兹不等式

Application of Cauchy Inequality

********

Abstract: This paper introduces and summarizes the Cauchy inequality from its basic form , corollary, deformation ,spreading, and integral form .And then reveals their application in inequality, scope, sequence, equation of parameter, equation, function by series examples. It illustrates the importance of the Cauchy inequality and applicability. We can easily solve some difficult problems with Cauchy inequality. Key Words: Cauchy inequality; Minkowski inequality; Holder inequality; Schwarz inequality

1引言

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱.在高考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出

现了与之有关的题目，灵活巧妙地运用柯西不等式，则往往可使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.但在解题过程中，很多时候不能直接应用柯西不等式，需要适当地构造使用它的条件，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变式、推广和积分形式，并通过列举一些高考题、竞赛题讲述了它在多方面的应用.

2柯西不等式各种形式简述

2.1柯西不等式的基本形式[1]

柯西不等式：已知()n i R b a i i ,,2,1, =∈，则,12

122

1∑∑∑===≤??

? ??n

i i n i i n i i i b a b a 当且仅当

()n i b a b a b a n n ,,2,122

11 ====时等号成立. 2.2柯西不等式的推论

柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，下面归纳出它常见的几个推论. 2.2.1推论1[2]

设n a a a ,,,21 是正实数，则2

111n a a n i i n i i ≥???

? ????? ??∑∑==，等号成立当且仅当n a a a === 21. 2.2.2推论2[2]

设n a a a ,,,21 是实数，则2

112

??

?

??≥∑∑==n i i n

i i a a n ，等号成立当且仅当n a a a === 21.

2.2.3推论3[3]

已知()n i a i ,,2,1 =是正数，()n i R x i ,,2,1 =∈且11=∑=n

i i a ，则

2

112

??? ??≥∑∑==n i i i n

i i i x a x a . 2.2.4推论4[3]

已知()n i a i ,,2,1 =是正数，()n i R x i ,,2,1 =∈且11=∑=n

i i a ，则2

112

??

? ??≥∑∑==n i i n

i i i x a x .

2.3柯西不等式的变式[4]

柯西不等式有多种变式，下面只介绍一些常见的变形形式. 2.3.1变式一

∑∑∑===??? ??≥n i i

i n i i n

i i

i b a a b a 1

2

11()时等号成立仅当同号且均不为零，当且n i i b b b b a === 21,，

在柯西不等式中令i i i i

i i b a b b a a ==2

2

,即得. 2.3.2变式二

???? ??===∈∈???

??≥+===∑∑∑时等号成立当且仅当n n i i n i i

n i i n

i i i b a b a b a R b R a b a b a 22111

2

112,,在柯西不等式中令i i i

i i b b b a a ==2

2

2

,即得.

2.3.3变式三

∑∑∑===???

??≥n i i

n i i i n

i i i a b a b a 1

2

11

2()时等号成立

当且仅当n i i

b b b R b R

a ===∈∈++

21,,，在柯西不等式中令2

2

2,i i i i i b a b a a ==即得. 2.3.4变式四

()

2

1112

1

1

??

? ??≤∑∑∑===n i n

i i i n

i i i b a b a ()成比例时等号成立

与当且仅当i i i i

b a R b R

a ,,++

∈∈，在柯西不等式中令2

12

1,i i i i b b a a ==即得. 2.3.5变式五

???? ??===∈≥??? ????? ??∑∑∑===时等号成立当且仅当n n i i i n

i i n i i n

i i b a b a b a R b a b a b a 221112

1122

1

12,,， 将柯西不等式两边开平方根即得. 2.4柯西不等式的推广[4]

由柯西不等式易导出闵可夫斯基不等式. 推广1：设R y y y x x x n n ∈,,,;,,,2121 ，则有：

()()()2

2221222212

222211n

n n n y y y x x x y x y x y x +++++++≤++++++ 其中等号当且仅当n n y y y x x x ,,,,,2121与对应成比例时成立. 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的赫尔德（Holder ）不等式. 推广2：设()11

1,

0,0,,,2,10,0=+>>=>>q

p q p n i b a i i ，则 q

n

i q i p

n

i p i n

i i i a a b a 11111??? ????? ??≤∑∑∑===，当且仅当q

i p i b a λ=时等号成立. 注：当2==q p 时，该不等式即上述变式五.

推广3：设i i b a ,为正数()n i ,,2,1 =，k 为整数，且2≥k ，则

k

n i i i n i k i n i k i b a n b n a n ??

?

??≥??? ????? ??∑∑∑===111111. 注：当2=k 时，上式即柯西不等式.

推广4：设(),,,,2,1,z k n i R b a i i ∈=∈+

则k

n i i k n

i i

k i n

i i a n a b a ??? ??≥???

? ??∑∑∑=-==1211，当且仅当 n n b b b a a a ====== 2121;时等号成立. 注：当2=k 时，上式即变式二. 2.5柯西不等式的积分形式[5]

柯西（Cauchy ）不等式的积分形式称为施瓦兹（Schwarz ）不等式.

定理[1]

：若()()[]b a x g x f ,在、上可积，则()()()()????≤??

? ??b

a b

a b a dx x g dx x f

dx x g x f 22

2

.

若()()[]b a x g x f ,在、上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,使得()()

x g x f βα≡时成立，()不同时为零

βα,. 3柯西不等式的应用

柯西不等式是著名的不等式，它在数学上的应用十分广泛.应用柯西不等式解题的关键是将原问题变形使之适合于柯西不等式的形式，下面就举例说明柯西不等式的推论、变式及基本形式在解题中的巧妙应用. 3.1应用柯西不等式的推论

3.1.1应用推论一

例1 非零实数n a a a ,,,21 满足121=+++n a a a ，求证：

1

321312

321111-++++++

++++++++++=

n n n n a a a a a a a a a a a a a y 有最小值并求之.（1982年西德国际奥林匹克数学竞赛题目） 解：121=+++n a a a

1

3232132122

1111a a a a a a a a a a a a n n n -=

+++++++++=+++++∴

同理可得：

2

3132131222

1111a a a a a a a a a a a a n n n -=

+++++++++=+++++

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -=

+++++++++++=++++++---22

1111132113211321 将上面n 个等式相加得：

n a a a a a a a a a a a a a n n n n +++++++++++++++++-1

321312

321111

n

a a a -+

+-+-=

22

222221 即∑

∑==-=-=+n

i i

n

i i a a n y 1121

222 （其中n i ,,2,1 =） 又()12221

1

-=-=-∑∑==n a n a n

i i n i i

而由推论一可得：

()21

1

21

2n a a n

i i

n i i ≥-?-∑

∑== 即()2212n n y n ≥+?- 12-≥

∴n n y ，等号当且仅当n

a a a n 1

21==== 时成立，所以y 有最小值1

2-n n . 3.1.2应用推论二

例2 (1988年四川高中联赛试题)已知：,,,,21R x x x n ∈ 满足

()021>=+++a a x x x n ，且1

22

2

22

1-=+++n a x x x n

()N n n ∈≥,2，求证：()n i n

a

x i ,,2,120 =≤

≤ 证明： a x x x n =+++ 21

1-21n n x x x x a +++=-∴

由推论二得，()

()()???? ??---=-≤???

??=-∑∑-=-=221

122

1

12

111n n i n n i n n x n a n x n x x a

()()2

22

1n n x n a x a --≤-∴

n

a

x n 20≤

≤∴ 由n x x x ,,,21 的对称性，有()n i n

a

x i ,,2,120 =≤

≤. 3.1.3应用推论三

例3 已知正数c b a ,,满足1=++c b a ，求证：3

2

223

3

3

c b a c b a ++≥++

证明：由于正数c b a ,,满足1=++c b a ，故由推论三可得：

??? ??++?=++22222231313

1

3c b a c b a

2

313131

3??? ??++?≥c b a

2

33??

?

??++?=c b a

3

1

=

⑴ 而222333c c b b a a c b a ?+?+?=++，故由推论三可得： ()2

333c c b b a a c b a ?+?+?≥++

()2

222c b a ++=

()()

222

2

22

c b a

c b a

++++= ⑵

由⑴⑵得： ()

222

3333

1c b a c b a ++?≥++ 故原不等式得证. 3.1.4应用推论四

例4 求证：的三边。为其中ABC c b a c b a c

b a

c b a c b a c b a ?++≥-++-++-+,,,2

22

证明：设,,,c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=

的三边为ABC c b a ?,,

∴,0,0,0c b a z y x z y x ++=++>>>且 1=++++++++c

b a z

c b a y c b a x 即

c

b a

c b a c b a c b a -++-++-+∴2

22 z

c y b x a 222++= ?????

?

??????++++++++++=c b a z c

c b a y b c b a x a c b a 2221

则由推论四得： 上式 ()c b a c b a c

b a ++=++++≥

21

故原不等式得证. 3.2应用柯西不等式的变式 3.2.1应用变式一

例5设2

3,,,≥+++++∈+b a c a c b c b a R c b a 求证：

证明：由变式一可得，

()()()()

b a

c a c b c b a c b a b a c

a c

b

c b a +++++++≥

+++++2

()()

ca bc ab ca bc ab c b a +++++++=

22222

()()()

ca bc ab ca bc ab ca bc ab +++++++≥

22

2

3=

故原不等式成立.

3.2.2应用变式二

例6 设n a a a ,,,21 是正数，且()为常数p p a n

i i =∑=1

，试证明：

2

12

12132222121p

a a a a a a a a a a a a n n n n n ≥++++++++--

证明：由变式二得, n n n n n a a a a a a a a a a a a ++

++++++--12

12

1322

2

212

1

()()()()()

n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++++≥--1132212

121

p

p 22

=

2

p = 故原不等式得证.

3.2.3应用变式三

例7 已知的最小值。求222225432,305432v u z y x W v u z y x ++++==++++ 解：由变式三得，222225432v u z y x W ++++=

()5

432154322

++++++++≥

v u z y x 6015

302== 当且仅当v u z y x ====即2=====v u z y x 时等号成立，故W 的最小值为60.

3.2.4应用变式四

例8 已知求证：且,1,,,,=+++∈+d c b a R d c b a

()年列宁格勒数学竞赛题

802414141414≤+++++++d c b a 证明：可利用变式四，

令1,14,14,14,1443214321====+=+=+=+=b b b b d a c a b a a a 则原不等式左边

44332211b a b a b a b a +++= ()()2

143212

1

4321b b b b a a a a +++?+++≤

()[]2

12

1444?++++=d c b a 24=

故原不等式成立. 3.2.5应用变式五 例9 如果111,21

11,1,,-+-+-≥++=++

≥z y x z y x z

y x z y x 证明：且 （1998年伊朗数学奥林匹克试题） 证明：21

11=++z

y x

12311131

11=-=???

? ??++-=-+-+-∴

z y x z z y y x x 不妨令 z

z b y y b x x b z a y a x a 1

,1

,1

,,,321321-=-=-=

=== 则由变式六得：z

z y y x x z y x 1

11-+

-+-?

++ 2

32

22

12

32

22

1b b b a a a ++?++= 332211b a b a b a ++≥ 111-+-+-=z y x 即111-+-+-≥++z y x z y x 3．3应用柯西不等式

柯西不等式作为重要不等式，其价值是不可估量的.下面通过具体的例子介绍柯西不等式的基本形式在数学中的巧妙应用.

3.3.1在证明不等式中的应用 例10 设z y x ,,是正数，证明：()

()

()

11111112

2

2

≥+++++

+++++

++++x z yz

xy z y xy

zx y x zx

yz (2010年

日本数学奥林匹克试题) 证明：由柯西不等式得

()[]()2

111++≥??

? ??++++y x z y x y x z

即 ()()2

11++≥++++y x z

z y x zy zx 所以

()z

y x z

y x zx

yz ++≥

++++2

11 ⑴

同理可得

()z

y x x

z y xy

zx ++≥

++++2

11 ⑵

()z

y x y

x z yz

xy ++≥

++++2

11 ⑶

将上面三个不等式⑴，⑵，⑶相加，得

()

()

()

11111112

2

2

≥+++++

+++++

++++x z yz

xy z y xy

zx y x zx

yz

故原不等式得证. 3.3.2在证明等式中的应用

例11 若??

?

??∈4,0,πβα且()()βαβαβsec 2cos tan 1sin tan -1=++，求证：

4

π

βα=

+.

证明：由柯西不等式得，

()()[]()()[]()ααββαβαβ22222cos sin tan 1tan 1cos tan 1sin tan 1+++-≤++-

()

ββ2

2s e c 2t a n 12=+=

则()()βαβαβsec 2cos tan 1sin tan 1≤++- 当()()αβαβsin tan 1cos tan 1+=-即??

?

??-=+-=βπββα4tan tan 1tan 1tan 时等号

成立

又βπ

απβα-=??

? ??∈4

40，所以，，，即4

π

βα=

+.

3.3.3在解数列题中的应用

例12 （2008年陕西高考）已知数列{}n a 的首项,,2,1,1

23,53

11 =+==+n a a a a n n n 证

明：1

2

21+>+++n n a a a n

证明：由1231+=

+n n n a a a 可得，3213111+?=+n n a a ，则???

? ??-=-+11

31111n n a a n n n n n n a a a a 3

2

113211311111

1

1+=?=-?

??

? ?????? ??-=-?- 由柯西不等式得：()2

2

121111n a a a a a a n n ≥???? ??+++?+++ 所以n

n a a a n a a a 1

11212

21+++≥

+++

??

? ??

+++??? ??++??? ??+=

n n 3

2132132122

n

n n 3

112-+=

1

2+>n n 故原不等式得证.

3.3.4在求参数范围中的应用

例13 已知对于满足等式6622=+y x 的任意实数，对()y x ,恒有5≤+y ax ，求实数a 的范围.

解：由柯西不等式得，()

2

2

661

???

? ??+=+y ax y ax

()

222661y x a +??? ?

?

+≤

162+=a

162+≤+∴a y ax

∴若使对()y x ,恒有5≤+y ax ，则必须满足5max ≤+y ax ，即5162≤+a

22≤≤-∴a

3.3.5在解方程或方程组问题中的应用 例14 解方程1521234=-++x x 解：原方程可变形为152122

3

22=-++

?x x 由柯西不等式可得

()

2

221223221515???

? ??-++?==x x ()()

???

?

???

?-+????

??+??????+≤2

2222123222x x 15=

其中等号成立的充要条件为

2212

23

2x x -=+

解得3

1

-=x

∴原方程的解为3

1

-=x

例15 在实数集内解方程???=-+=++105432

222z y x z y x

解：由柯西不等式得

()()[]

()2

2

22222

543543z y x z y x

-+≥-++++

又(

)()[]

2

22222543-++++z y x ()210100251692==++?=

()2210543=-+z y x

()()[]

()2

2

22222543543z y x z y x -+=-++++∴

即柯西不等式中只有取等号时上式才成立，从而由柯西不等式中等号成立的条

件，得

543-==z y x ，它与10543=-+z y x 联立得：.1,5

4,53-===z y x 3.3.6在解函数问题中的应用 例16 求函数1

cos 2sin cos 3sin -++=

x x x

x y 的值域.

解：原式可化为()x x x x y cos 3sin 1cos 2sin +=-+

即 ()()x y x y y cos 32sin 1-+-=

利用柯西不等式及1cos sin 22=+x x 可得:

()()[]()()()[]

2

22222321cos sin cos 32sin 1-+-+≤-+-=y y x x x y x y y

即 ()()2

2

2321-+-≤y y y

化简即得05722≥+-y y

所以函数值域为(]??

?

???+∞?∞-,251,

3.3.7在几何中的应用

例17 ABC ?的三边长为c b a ,,，其外接圆半径为R ，求证：

()

2

2

22222

36sin 1sin 1sin 1R C B A c b a

≥??

? ??++++ 证明：由三角形中的正弦定理得：R

c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===

所以,4sin 1222a R A =同理22

22224sin 1,4sin 1b

R C b R B ==

于是原不等式左边 =(

)

???

?

??++++2222222

22444c R b R a R c b a

2

2

36222R c R c b R b a R a =??? ???+?+?≥

故原不等式得证.

[参考文献]

[1]谢跃进.柯西不等式应用探讨[J].铜仁职业技术学报（自然科学版）.2008,6（6）：59.

[2]蔡玉书.应用柯西不等式证明竞赛中的不等式[J].数学通讯,2010(4):58.

[3]欧华.柯西不等式的两个推论[J].数学大世界，2002(9).

[4]王晓凤.对柯西不等式的探讨[J].通化师范学院报,2006,27（2）：23-25.

[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.第二版[M].北京:高等教育出版社，1993:371-387.

[6]刘治和.浅谈柯西不等式的证明及应用[J].数学通报，2000(5).

[7]段刚山.柯西不等式的推广[J].中学数学研究.2009.1.

[8]林先展.关于柯西不等式的证明与应用探讨[J].北京电力高等专科学校学报.2010.10.

[9]李芹.柯西不等式在数学中的证明和应用[J].自然科学，第2期29卷.

[10]王玉兰.柯西不等式的一个简单证明及应用[J].内蒙古科技与经济，2002(8).

[11]周沛耕.数学奥林匹克竞赛标准教材[M].北京：北京教育出版社，2005.

[12]程乐根.柯西不等式的妙用[J].安庆师范学院报,2001,7(4).

[13]徐国平.柯西不等式的两个推论及应用[j].中学数学研究,2006(8).

[14]李调惠.一类不等式的证明[J].数学通报，2000.

[15]孙平川.Cauchy 不等式的应用与推广.中学科技，1982（6）.

[16]陈亚萍.柯西不等式的证明与推广应用[J].宁德师专学报,1999,19(6):78.

[17]唐燕贞.浅谈柯西不等式的应用[J].宁德师专学报（自然科学版）,2003,15(4).

谢辞

本文在写作过程中得到了肖*老师的精心指导，在此表示衷心的感谢.