二次函数
一、选择题
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(﹣2,4),则该图象必经过点()A.(2,4)B.(﹣2,﹣4)C.(﹣4,2)D.(4,﹣2)
2.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1
3.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是()A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是()
A.﹣4<P<0 B.﹣4<P<﹣2 C.﹣2<P<0 D.﹣1<P<0
5.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x﹣1)2﹣4,则b、c的值为()
A.b=2,c=﹣6 B.b=2,c=0 C.b=﹣6,c=8 D.b=﹣6,c=2
6.若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0),则抛物线y=ax2+bx 的对称轴为()
A.直线x=1 B.直线x=﹣2 C.直线x=﹣1 D.直线x=﹣4
7.将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()
A.y=(x﹣2)2 B.y=(x﹣2)2+6 C.y=x2+6 D.y=x2
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()
A.ac>0
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.b﹣2a=0
D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
9.对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
10.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()
A.B.C.D.
二、填空题
11.已知二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;
②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数),其中正确结论的序号有.
12.若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为.13.如图,抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,﹣2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为.
14.二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是.
15.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m+6,n),则n=.
16.如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=.
17.抛物线y=x2+1的最小值是.
18.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,
则实数k的取值范围是.
19.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=.三、解答题
20.如图,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD ∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(﹣1,0)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
21.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点
C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(﹣2,4),则该图象必经过点()A.(2,4)B.(﹣2,﹣4)C.(﹣4,2)D.(4,﹣2)
【解答】解:∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴,
∴若图象经过点P(﹣2,4),则该图象必经过点(2,4).故选:A.
2.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1
【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1,开口向下,x<1时,y随x的增大而增大.
故选A.
3.若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为(0,﹣3),则下列说法不正确的是()A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时,y的最大值为﹣4
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
【解答】解:∵抛物线过点(0,﹣3),
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3.
A、抛物线的二次项系数为1>0,抛物线的开口向上,正确.
B、根据抛物线的对称轴x=﹣=﹣=1,正确.
C、由A知抛物线的开口向上,二次函数有最小值,当x=1时,y的最小值为﹣4,而不是最大值.故本选项错误.
D、当y=0时,有x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0),(3,0).正确.
故选C.
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是()
A.﹣4<P<0 B.﹣4<P<﹣2 C.﹣2<P<0 D.﹣1<P<0
解:∵二次函数的图象开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴的左边,
∴﹣<0,
∴b>0,
∵图象与y轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,
代入得:a+b﹣2=0,
∴a=2﹣b,b=2﹣a,
∴y=ax2+(2﹣a)x﹣2,
当x=﹣1时,y=a﹣b+c=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4,
∵b>0,
∴b=2﹣a>0,
∴a<2,
∵a>0,
∴0<a<2,
∴0<2a<4,
∴﹣4<2a﹣4<0,
∵y=a﹣b+c=a﹣(2﹣a)﹣2=2a﹣4,
∴﹣4<a﹣b+c<0,
即﹣4<P<0.
故选:A.
5.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x﹣1)2﹣4,则b、c的值为()
A.b=2,c=﹣6 B.b=2,c=0 C.b=﹣6,c=8 D.b=﹣6,c=2
【解答】解:函数y=(x﹣1)2﹣4的顶点坐标为(1,﹣4),
∵是向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到,
∴1﹣2=﹣1,﹣4+3=﹣1,
∴平移前的抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣1),
∴平移前的抛物线为y=(x+1)2﹣1,
即y=x2+2x,
∴b=2,c=0.
故选:B.
6.若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0),则抛物线y=ax2+bx 的对称轴为()
A.直线x=1 B.直线x=﹣2 C.直线x=﹣1 D.直线x=﹣4
【解答】解:∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0),
∴﹣2a+b=0,即b=2a,
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣1.
故选:C.
7.将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()
A.y=(x﹣2)2 B.y=(x﹣2)2+6 C.y=x2+6 D.y=x2
【解答】解:将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为:y=(x﹣1+1)2+3,即y=x2+3;
再向下平移3个单位为:y=x2+3﹣3,即y=x2.
故选D.
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列
结论中正确的是()
A.ac>0
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.b﹣2a=0
D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根
【解答】解:由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得:抛物线开口向上,即a>0,抛物线与y轴的交点在y轴负半轴,即c<0,
∴ac<0,选项A错误;
由函数图象可得:当x<1时,y随x的增大而减小;
当x>1时,y随x的增大而增大,选项B错误;
∵对称轴为直线x=1,∴﹣=1,即2a+b=0,选项C错误;
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),又对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),
则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根,选项D正确.
故选D.
9.对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:①∵a=﹣<0,
∴抛物线的开口向下,正确;
②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;
③顶点坐标为(﹣1,3),正确;
④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,
∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;
综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.
故选:C.
10.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()
A.B.C.D.
【解答】解:∵二次函数图象开口方向向下,
∴a<0,
∵对称轴为直线x=﹣>0,
∴b>0,
∴一次函数y=ax+b的图象经过第二四象限,且与y轴的正半轴相交,
C选项图象符合.
故选:C.
二、填空题
11.已知二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:①abc<0;
②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数),其中正确结论的序号有①③④.
【解答】解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,故此选项正确;
②当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,即b>a+c,错误;
③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故此选项正确;
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=﹣=1,
即a=﹣,代入得9(﹣)+3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;
⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c,
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故此选项错误.
故①③④正确.
故答案为:①③④.
12.若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为0或﹣1.【解答】解:令y=0,则kx2+2x﹣1=0.
∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点,
∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根.
①当k=0时,2x﹣1=0,即x=,∴原方程只有一个根,∴k=0符合题意;
②当k≠0时,△=4+4k=0,
解得,k=﹣1.
综上所述,k=0或﹣1.
故答案为:0或﹣1.
13.如图,抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,﹣2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为12.
【解答】解:连接AP,A′P′,过点A作AD⊥PP′于点D,
由题意可得出:AP∥A′P′,AP=A′P′,
∴四边形APP′A′是平行四边形,
∵抛物线的顶点为P(﹣2,2),与y轴交于点A(0,3),平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2,﹣2),
∴PO==2,∠AOP=45°,
又∵AD⊥OP,
∴△ADO是等腰直角三角形,
∴PP′=2×2=4,
∴AD=DO=sin45°?OA=×3=,
∴抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为:4×=12.
故答案为:12.
14.二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(0,1).
【解答】解:二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(0,1).
故答案为:(0,1).
15.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m+6,n),则n=9.
【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,
∴当x=﹣时,y=0.且b2﹣4c=0,即b2=4c.
又∵点A(m,n),B(m+6,n),
∴点A、B关于直线x=﹣对称,
∴A(﹣﹣3,n),B(﹣+3,n)
将A点坐标代入抛物线解析式,得:n=(﹣﹣3)2+b(﹣﹣3)+c=﹣b2+c+9
∵b2=4c,
∴n=﹣×4c+c+9=9.
故答案是:9.
16.如图,一段抛物线:y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=2.
【解答】解:∵一段抛物线:y=﹣x(x﹣3)(0≤x≤3),
∴图象与x轴交点坐标为:(0,0),(3,0),
∵将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;
…
如此进行下去,直至得C13.
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为(36,0),(39,0),且图象在x轴上方,
∴C13的解析式为:y13=﹣(x﹣36)(x﹣39),
当x=37时,y=﹣(37﹣36)×(37﹣39)=2.
故答案为:2.
17.抛物线y=x2+1的最小值是1.
【解答】解:抛物线y=x2+1的最小值是1.
故答案为:1.
18.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,
则实数k的取值范围是﹣2<k<.
【解答】解:由图可知,∠AOB=45°,
∴直线OA的解析式为y=x,
联立消掉y得,
x2﹣2x+2k=0,
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0,
即k=时,抛物线与OA有一个交点,
此交点的横坐标为1,
∵点B的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴点A的坐标为(,),
∴交点在线段AO上;
当抛物线经过点B(2,0)时,×4+k=0,
解得k=﹣2,
∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,实数k的取值范围是﹣2<k <.
故答案为:﹣2<k<.
19.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=x2+1(答案不唯一).
【解答】解:抛物线y=x2+1开口向上,且与y轴的交点为(0,1).
故答案为:x2+1(答案不唯一).
三、解答题
20.如图,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD ∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(﹣1,0)
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
【解答】解:(1)将A(﹣1,0)代入y=a(x﹣1)2+4中,得:0=4a+4,
解得:a=﹣1,
则抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)对于抛物线解析式,令x=0,得到y=3,即OC=3,
∵抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4的对称轴为直线x=1,
∴CD=1,
∵A(﹣1,0),
∴B(3,0),即OB=3,
==6.
则S
梯形COBD
21.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点
C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.
【解答】解:(1)设抛物线的解析式
把A(2,0)、C(0,3)代入得:
解得:
∴
即
(2)由y=0得
∴x1=2,x2=﹣3
∴B(﹣3,0)
①CM=BM时
∵BO=CO=3 即△BOC是等腰直角三角形
∴当M点在原点O时,△MBC是等腰三角形
∴M点坐标(0,0)
②如图所示:当BC=BM时
在Rt△BOC中,BO=CO=3,
由勾股定理得BC=
∴BC=,
∴BM=
∴M点坐标(,
综上所述:M点坐标为:M1(,M2(0,0).
《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0 3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0二次函数图像与性质