比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】 一、比例线段

1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段

的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．

4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 ，那么线段ｂ叫做线

段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质：

(1)比例的基本性质：

(2)反比性质：

(3)更比性质: 或

(4)合比性质:

(5)等比性质: 且

１、判断下列四条线段是否成比例.

① a=2，b=5,c=15，d=32； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10.

2、已知：ad=bc .

（1） 将其改写成比例式；

（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；

（4）若

d

b

c a =；写出以c 作第四比例项的比例式；

3 、计算.

(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.

(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.

4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?

5、

EF

BE

AD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.

6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若2x-3y x+y =12 ，求y

x

。

(3) 若

a ＋

b b ＝65 ，求a b ，a －b b (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求y

x

7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。

（1）

（2） （3）

8：若25a c e b d f ===，求a c b d --，234234a c e b d f +-+-

练习：已知:, 求的值.

9： 若ABC ?三边3:4:6::=c b a ，三边上的高分别为321h h h 、、，求321::h h h 的值。

10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢?比例尺是多少？

12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？

比例线段拓展 1、比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 设a 、b 、c 、d 为线段，如果::a b c d =，b 、c 叫比例内项，a 、d 叫比例外项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；如果::a b b c =，或2

b a

c =，那么b 叫a 、c 的比例中项。

2、黄金分割

如图，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫

做把线段AB 黄金分割, 点C 叫做线段AB 的黄金分割点，

51

2

AC AB -=

叫作黄金分割数（简称黄金数或黄金比） 注意：（1）0.618AC AB ≈；

（2）一条线段有两个黄金分割点。

3、三角形一边的平行线

（1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），截得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图，则有

AD AE DB EC =，DB EC AB AC =，AD AE DE

AB AC BC

== 【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。

（2）三角形的重心

定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点

与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

（3）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）：

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC ，那么DE=EF

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 在△ACF 中，CF BE //，AB=BC ，那么AE=EF

（5）三角形和梯形的中位线定理

三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，那么BC DE //，BC DE 2

1

=

梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。 梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，那么BC AD EF ////，

)(2

1

BC AD EF +=

练习

1、如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（ ） （A ）AD ：AB ＝AE ：AC （B ）AD ：DB ＝AE ：EC （C ）AD ：DB ＝DE ：BC （D ）AD ：AB ＝DE ：BC

2、如图，DF ∥AC,DE ∥BC,下列各式中正确的是（ ） (A)

AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =AB BC

3、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB ?AF ，求证∠1=∠2

A

B

C

D

E

F A

B

C

D

E F

1

2

4、已知ΔABC 中,AD 为∠BAC 的外角∠EAC 的平分线，D 为平分线与BC 延长线交点，求证:AB AC = BD

DC

5、设点F 在平行四边形ABCD 的边CB 的延长线上，DF 交AB 于点E ，求证 AE:AD=AB:CF

【课后练习】

1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c 的值。

2、若 , 求

的值。

3、已 知

,求 的值。

4、已知a=4,c=9若b 是a,c 的比例中项,求b 的值。

5、已知线段MN 是AB,CD 的比例中项,AB=4cm,CD=5cm ，求 MN 的长

6. y+z x =z+x y =x+y

z =k,求k 的值

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

比例线段知识点

知识点1：两条线段的比 如果a:b=c:d （即 d c b a =）那么就说a 、b 、c 、 d 成比例，两条线段的长度比叫做两条线段的比。 例1 如图1，已知M 为线段AB 上一点，AM ：MB ＝3：5，且AB ＝16cm,求线段AM ，BM 的长度. 例2 若a=6cm, b=6m,则两条线段a,b 的比为1，请你判断这种说法是否正确。 知识点2 成比例线段 1 成比例线段 在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，线段a, d 是比例外项，线段b,c 是比例内项，线段d 是a,b,c 的第四比例项 例3 判断下列各组长度的线段是否成比例？ （1）cm a 2= cm b 3= cm c 4= cm d 1= （2）cm a 5.1= cm b 5.2= cm c 5.4= cm d 5.6= （3）cm a 1.1= cm b 2.2= cm c 3.3= cm d 4.4= （4）cm a 1= cm b 2= cm c 2= cm d 4= 知识点3 比例的基本性质 比例线段有以下基本性质： 两个外项的积等于两个内项的积，即如果d c b a =，那么c d ab = 还可以得到d b c a =，c d a b =，b d a c = 例4 若a,b,c,d 是成比例线段，且3=a ,5=b ,2=d 求c

知识点4 合比性质 如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，或者d d c b b a -=- 例5 （1）若 4=y x ，求y y x -，y x x + （2）若53=b a ，求b b a +- 知识点5等比性质 如果k c d b a ==，那么k c d b a d b c a ===++ 拓展：k b a b a b a ====....332211，那么321321b b b a a a ++++=k b a b a b a ====. (3) 32211 例6 已知， 3===f e d c b a ，求f d b e c a 4242+-+-的值(042≠+-f d b ) 例7 已知4 1532===-c b a ，求c b a ++的值 知识点6 黄金分割 如果点C 把线段AB 分割成AC 和CB （CB AC ）两条线段，且AB AC AC BC =，那么这种分割称为黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比值叫做黄金分割数（简称黄金数）由计算可知 AC ：AB ＝ 215-：1≈0.618：1＝0.618

三角形全等相似知识点总结

三角形全等、相似知识点比较总结
三角形特点及相似全靠等的概： 特点：三角形的稳定性，这一特征的本质就是“边长确定，大小、形状也就确定”，三角形的一个元素变化，相应的边和角都会跟着变化。 概念：1、相似三角形是指形状相同的三角形。2、全等三角形指的是两个三角形的形状、大小完全相同。 结论：1、可见全等三角形要在相似三角形的基础上多加几个个条件才能确定。2、判断三角形的全等与相似实际上是看由哪几个元素能确定一 个唯一的一个大小或形状相同的三角形。3、要保证三角形相似（形状一样），对应角必须相等；要保证对应角相等，对应边变化必须成比例。
三角形全等
三角形相似
性
（1） 全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。
质
（1）（SSS）三边对应相等的两个三
角形全等。?
√
（2）(AAA)
×
（3）(ASA)两角和它们的夹边对应
判 相等的两个三角形全等。
√?
A
（4）(AAS)两角和其中一角的对边 A
对应相等的两个三角形全等。 √?
（5）（SAS)两边和它们的夹角对应 A
定 相等的两个三角形全等。
√
（6）(SSA)
S
×
（7）斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等。
√
A
S
A S
S
A
S S
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。? (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比。? (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（1）(SSS)三边对应成比例，
两三角形相似。
√
A A
（2）(AA)两角对应相等，两三
角形相似。
√
A
A
（3）(SAS)两边对应成比例且 平行线分线段成比例
夹角相等，两三角形相似 √
A
（4）(SSA)
×
D
E
B
F
C

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B

比和比例知识点归纳

比和比例知识点归纳 1、比的意义和性质 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。例如：9 : 6 = 1.5 前比后比 项号项值 比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。 应用比的基本性质可以化简比。 习题： 一、判断。 1、比的前项和后项同时乘一个相同的数，比值不变。（） 2、比的基本性质和商的基本性质是一致的。（） 3、10克盐溶解在100克水中，这时盐和盐水的比是1:10. （） 4、比的前项乘5，后项除以1／5，比值不变。（） 5、男生比女生多2／5，男生人数与女生人数的比是7:5. （） 6、“宽是长的几分之几”与“宽与长的比”，意义相同，结果表达不同。（） 7、2／5既可以看做分数，也可以看做是比。（） 二、应用题。 1.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。 （1）写出甲、乙两队完成这项工程所用的时间比，并化简。 （2）写出甲、乙两队工作效率比，并化简。

2.育才小学参加运动会的男生人数和女生人数的比是5∶3，其中女生72人。那么男生比女生多多少人 3.食品店有白糖和红糖共360千克，红糖的质量是白糖的。红糖和白糖各有多少千克 4.甲、乙两个车间的平均人数是162人，两车间的人数比是5∶7。甲、乙两车间各有多少人 5.有一块长方形地，周长100米，它的长与宽的比是3∶2。这块地有多少平方米 6.建筑用混凝土是由水泥、沙、石子按5∶4∶3搅拌而成，某公司建住宅楼需混凝土2400吨，需水泥、沙、石子各多少吨 外项 2、比例的意义和性质： 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如：9 ：6 = 3 ： 2 内项 比例的基本性质：在比例中两个内项的积等于两个外项的积。 应用比例的基本性质可以解比例。 3、比和分数、除法的关系：

相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳： 1、三角形相似的判定方法 （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。 （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 （6）判定直角三角形相似的方法： ①以上各种判定均适用。 ②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 #直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题： 例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G 又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF ∴EC 2 ＝EG· EF，故EB 2 =EF·EG 【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。 例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD 证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点， ∴ED=21 AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD （1） 又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA （2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD 证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD （1） ∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2） 由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD ，证毕。 【解题技巧点拨】 本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD ”过渡，使问题得证，证法 二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形知识点讲解及专项练习

相似三角形知识点讲解及专项练习 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . “类射影”与射影模型 示意图 结论 相似三角形证明方法 模块一 相似三角形6大证明技巧 专题

类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 比例式的证明方法 模块二

比例线段知识点

一元二次方程的应用 例题解析 1.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？ 2.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm 的无盖长方形的纸盒？ 3.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。设该商品的售价为X元。 （1）、每件商品的利润为元。若超过50元，但不超过80元，每月售件。 若超过80元，每月售件。（用X的式子填空。） （2）、若超过50元但是不超过80元，售价为多少时利润可达到7200元 (3)、若超过80元，售价为多少时利润为7500元。 练习、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 第1页（共4页）

成比例线段习题 10.19 知识点1：两条线段的比 如果a:b=c:d （即d c b a =）那么就说a 、b 、 c 、 d 成比例，两条线段的长度比叫做两条线段的比。 例1 已知M 为线段AB 上一点，AM ：MB ＝3：5，且AB ＝16cm,求线段AM ，BM 的长度. 例2 若a=6cm, b=6m,则两条线段a,b 的比为1，请你判断这种说法是否正确。 知识点2 成比例线段 1 成比例线段 在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即d c b a =，我们就把这四 条线段叫做成比例线段，简称比例线段，线段a,d 是比例外项，线段b,c 是比例内项，线段d 是a,b,c 的第四比例项 例 3 判断下列各组长度的线段是否成比例？ （1）cm a 2= cm b 3= cm c 4= cm d 1= （2）cm a 5.1= cm b 5.2= cm c 5.4= cm d 5.6= （3）cm a 1.1= cm b 2.2= cm c 3.3= cm d 4.4= （4）cm a 1= cm b 2= cm c 2= cm d 4= 知识点3 比例的基本性质 比例线段有以下基本性质： 两个外项的积等于两个内项的积，即如果d c b a =，那么cd ab = 还可以得到d b c a =，c d a b =，b d a c = 例 4 若a,b,c,d 是成比例线段，且3=a ,5=b ,2=d 求c 知识点4 合比性质 如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，或者 d d c b b a -=- 例5 （1）若4=y x ，求y y x -，y x x + （2）若 53=b a ，求b b a +- 知识点5等比性质 如果k c d b a ==，那么 k c d b a d b c a ===++ 拓展： k b a b a b a ==== (3) 3 2211，那么321321b b b a a a ++++=k b a b a b a ==== (3) 3 2211 例6 已知，3===f e d c b a ，求f d b e c a 4242+-+-的 值(042≠+-f d b )

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝ c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

比例线段及相似知识点解

【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 ，那么线段ｂ叫做线 段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 １、判断下列四条线段是否成比例. ① a=2，b=5,c=15，d=32； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10. 2、已知：ad=bc . （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若 d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.

4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE AD AB ，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若 2x-3y x+y =12 ，求y x 。 (3) 若 a ＋ b b ＝65 ，求a b ，a －b b (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求y x 7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。

(完整版)相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）

相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比例 中项。

相似三角形基本知识点及典型例题

相似三角形 一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把 a, b,c,d 四 a c 个实数成比例表示成： 或者a : b=c ： d ,期中b ， c 称为比例内项，a ，d 称为比例外项。 b d a c a c 等式两边同乘以 bd ，可得ad=bc ，反过来等式 ad=bc 同除以bd ，可得 =一 b d b d 2、比例线段：在四条线段 a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比, a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。 a b 3、比例中项：如果三个数a, b, c 满足比例式 ，那么b 叫做a 、c 的比例中项， 此时有b = ac 。 b c 那么这四条线段 4、黄金分割：如果点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 PB,使 AP AP 帀，那么称线段AB 被点P 黄 金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，比值叫做黄金比。 全二长二 ? 0.618 2 5、比例式变形: a c a_ b c_d b d - b 或旦亠 b b d a c ” ■ * * b _d 一 =b ，（交换内项） c -交换外项） b a d 聖?（同时交换内外项） c a 3，那么a r e a 仁如果b = 3 a + b 卄 a 3 “a + b“,+ 0 2、若，贝U 的值是 b 5 b 8 3 3 B C 、- D 5 5 2 3、若 4x=5y,则 x : y = 例 4、 x —yz yz_x 5、已知g = y ，则j 的值为 13 7 y 例6、如果x : y :z = 1 : 3 : 5,那么 x 3y z x_3y z

比例线段知识点及练习题

第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解 【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成n m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果d c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ， d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 (2)反比性质： c d a b d c b a =?= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =?=或a c b d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±?= (5)等比性质: n m f e d c b a ====...且 b a n f d b m e c a n f d b =++++++++?≠++++......0...

比例线段练习 ① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10 2、已知：ad=bc （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长. 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若 2132=+-y x y x ，求x y (3) 若56=+b b a ，求b a ，b b a - (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求x y

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

相似三角形知识点梳理及经典练习

相似三角形知识点梳理及经典练习 知识点1：有关相似形的概念 1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2.如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2：比例线段的相关概念 1.线段比：如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段 写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 2.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段 d c b a ,,,叫做成比 例线段，简称比例线段． d 叫比例后项， d 叫第四比例项.如果b=c ，即a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有 2b ad =。 3.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形。 知识点3：比例的性质（注意性质成立的条件：分母不能为0） 1.基本性质： （1）bc ad d c b a =?=::；

（2）2::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，可化为： d c b a ::=，d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=， c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关 比例计算变形中一种常用方法． ②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

(完整版)相似三角形知识点大总结

相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2 b ad =。 （3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．