变悬点变摆长单摆运动分析

　收稿日期:2001-09-17;修回日期:2002-03-16

　作者简介:何勤(1955—

),男,江苏扬中人,江苏大学物理系副教授.第22卷第1期大　学　物　理Vol.22No.12003年1月COLL EGE PHYSICS Jan.2003

变悬点变摆长单摆运动分析

何　勤,谢秉川

(江苏大学物理系,江苏镇江　212003)

摘要:用两种方法导出了变悬点变摆长单摆的加速度和运动微分方程,分析了小球作周期振动的条件,讨论了角速度取最大值的位置,并通过计算机数值计算,画出了小球作周期振动时的相图.

关键词:变悬点变摆长单摆;周期振动;相图

中图分类号:O 311 文献标识码:A 文章编号:100020712(2003)0120017203

1　引言

质量为m 的小球可视为质点,挂在一线上,线的另一端绕在半径为r 的固定圆柱体上,圆柱体的中心轴水平安置.设在平衡时线下垂部分的长度为l ,不计线的质量,写出小球的运动微分方程.文献[1,2]中都是将这一问题作为一道分析力学习题给出的.本文分别从加速度定义式和对坐标求导方法求解了小球的加速度;分别用牛顿定律和拉格朗日方程导出了小球的运动微分方程;并利用机械能守恒,对小球可能出现的运动情况进行了全面分析,给出了小球可用统一的运动微分方程描述即小球作周期振动的条件.讨论了小球摆动角速度取最大值的位置,通过计算机数值计算,画出了小球作周期振动时的相图.

2　作周期振动小球的加速度

小球摆离平衡位置,摆线与铅直向下方向的夹角用θ表示,并称为摆角.规定小球在平衡位置右方的摆角为正,在平衡位置左方的摆角为负;小球逆时针摆动时角速度为正,顺时针摆动时角速度为负.由图1可以看出绳上变动的悬点C 与圆柱体中心O 点连线与水平向右方向的夹角亦为θ.因此在小球作周期振动条件下,小球(质点)的位置完全可以由摆角θ确定.设在某时刻t ,绳上C 点为悬点,摆角为θ,角速度为θ?

且大于零,在t +Δt 时刻,悬点由绳上的C 点转移到C ′点,摆角由θ(t )变为θ(t +Δt ),角速度由θ?

(t )变为

θ?

(t +Δt ),t 时刻绳上悬点C 在t +Δt 时刻的速度已不再为零.由图2不难看出:

v c (t +Δt )=CC ′?

θ?

(t +Δt )=r [θ(t +Δt )-θ(t )]θ?

(t +Δt

)

图

1

图2

速度的方向垂直于绳斜向上,根据加速度的定义知

a c =lim

Δt →0

v c (t +Δt )-v c (t )Δt =lim

Δt →0

v c (t +Δt )-0

Δt 加速度的大小为

a c =lim

Δt →0

v c (t +Δt )

Δt

=

　lim Δt →0r [θ(t +Δt )-θ(t )]θ?

(t +Δt )Δt

=r θ

?2

加速度的方向为Δt →0时,v c (t +Δt )的极限方向,此极限方向沿OC 向外.小球在t 时刻,相对悬点C 的加速度在垂直于绳和绳方向的分量分别为:

a ′θ=(l +r θ)θ¨

,　a ′r =(l +r

θ)θ?

2

小球在t 时刻的绝对加速度在垂直于绳和绳方向的分量分别为:

a θ=(l +r

θ)θ¨

+r θ?

2(1)a r =(l +r

θ)θ?

2

(2)

上面推导过程物理概念清楚,直观易懂.为比较或者说

为验证式(1)、

(2)的正确性,我们取水平向右为x 轴正向,坚直向下为y 轴正向,建立直角坐标系Oxy (如图

1所示),当摆角为θ时,小球(质点)的坐标为:

x =(l +r

θ)sin θ+r cos θ(3)y =(l +r

θ)cos θ-r sin θ(4)对x 、y 求时间的一阶导数得:

x =(l +r θ)θ?cos θ

(5) y =-(l +r θ)θ?

sin θ

(6)

对式(5)、

(6)求时间的一阶导数得:¨x =r θ?2

cos θ+(l +r θ)θ¨cos θ-(l +r θ)θ?2

sin θ

¨y =-r θ?2sin θ-(l +r θ)θ¨sin θ-(l +r θ)θ?2

cos θ

将上面两式平方相加后整理得

¨x 2+¨y 2=(r θ?

2)2+(l +r θ)2θ¨2+[(l +r θ)θ?

2]2

+

2r (l +r

θ)θ?2

θ¨=[r θ?2+(l +r θ)θ¨]2+[(l +r θ)θ?2

]2=a 2θ+a 2

r

两种方法推导的结果相同,对坐标求导得到加速度是力学、理论力学中常用的方法,需要较多的数学运算.

3　作周期振动小球的运动微分方程

小球在作周期性运动中受到重力m g 和绳子的张力T 作用,将重力沿垂直于绳和绳方向进行分解.根据

牛顿第二定律和(1)、

(2)两式得m [(l +r

θ)θ¨

+r θ?2

]=-m g sin θ即

[(l +r

θ)θ¨

+r θ?

2]=-g sin θ(7)m (l +r

θ)θ?2

=T -m g cos θ(8)

式(7)可改为

d θ?2

d θ+

2r l +r θθ?

2=-2g sin θl +r

θ上式是以θ?

2为变量的一次型微分方程,根据通解公式可求得

θ?

2=

1

(l +r θ)2

(2gl cos θ+2gr θcos θ-2gr sin θ+c )

(9)

式中常数c 由初始条件确定,将式(9)代入式(8)可得

知绳中张力为θ的函数.式(9)可改写成

12

m (l +r θ)2θ?2

-m g (l cos θ+r θcos θ-r sin θ

)=E 上式表示运动中的小球机械能守恒.因此可用保守系的拉格朗日方程求解小球的运动微分方程,由式(5)、

(6)可求得小球速度

v =±

x 2+ y 2

=(l +r

θ)θ?

小球的动能为

T =

12

m (l +r

θ)2θ?2

以小球的平衡位置为势能零点,在摆角为θ处小球的

重力势能为

V =m g [l -(l +r

θ)cos θ+r sin θ]拉格朗日函数为

L =T -V =

12

m (l +r θ)2θ?2

-m g [l -(l +r

θ)cos θ+r sin θ]代入拉格朗日方程

d d t 5L 5θ?-5L

5θ

=0中,得　m r (l +r θ)θ?

2

+m (l +r

θ)2θ¨+m g (l +r θ)sin θ=0即

(l +r θ)θ¨

+r θ?

2+g sin θ=0

显然由保守系的拉格朗日方程能够得到式(7),但不能得到式(8),即不能求出绳中张力.若用第一类拉格朗日方程可得到式(8),但没有应用牛顿第二定律方便.

4　小球作周期性运动的条件

上面推导小球的加速度和运动微分方程过程中都是以绳子不松弛、小球作周期性运动为前提的,小球能否作周期性运动即小球运动的全过程能否用式(7)、

(8)描述,需要加以讨论.为方便实验验证下面的讨论

结果,我们将小球拉离平衡位置且在绳被拉直的情况

下由静止释放小球,即取θ=θ0,θ?

=0为初始条件.根据前面对θ的正负规定,当θ0>π

2且x (θ0)>r 时,根据式(3)可知小球的坐标x (θ0)

π

2

.因小球是由静止释放,初速度为零,绳中张力为零,小球将在重力作用下竖直下落,绳处于松弛状态,直到θ<

π

2

且满足8

1大　学　物　理 第22卷

x (θ)=x (θ0)时,绳被拉直,小球开始作逆时针摆动.

当θ0>

π

2

且0

2时,小球一开始就作逆时针摆动.若y (θ0)

2

),仍具有垂直于绳且向上的速度,即具有逆时针摆动的角速度,小球将继续作逆时针摆动,摆角将继续减小θ<-π2

,导致重力沿绳的分量-m g cos θ为正即

指向悬点.角速度的绝对值继续减小,由式(8)知绳中张力将出现等于零的情况,由于此时小球的运动速度不为零,小球将以此时的速度为初速度向右作斜抛运动,绳子将在一段时间内呈现松弛状态.若θ0值使得y

(θ0)≥r ,由机械能守恒和式(8)易知,小球在来回摆动

的整个过程中,绳都不会出现松弛,即小球(质点)在与圆柱体底部相切的水平面内或之下,且绳被拉直状态下静止释放小球,都可实现小球的周期振动.当取θ=

θ0,

θ?≠0为初始条件时,仍以小球平衡位置为重力势能零点,当小球的能量满足　

12

m (l +r θ0)2θ?2

0+m g [(l -(l +r θ0)cos θ0+r sin θ0]≤m g (l -r )

时,也可实现小球的周期振动.

5　周期振动小球的角速度θ?

取最大值的位置

根据机械能守恒易知,小球的速度在平衡位置取

最大值.为讨论小球的角速度θ?

取最大值的位置,我

们将式(7)改写成

m (l +r

θ)θ¨

=-m r θ?2

-m g sin θ其中-m r θ?

2实际上是在以变动的悬点为参考点的平动非惯性系中观察到的惯性力,无论小球是从平衡位置右侧摆向左侧,还是从平衡位置左侧摆向右侧,惯性力-m r θ?2始终垂直于绳且指向绳的左侧.当小球在平衡位置左侧时,θ<0,从而使得-m r θ?

2-m g sin θ=

0,角加速度为零,角速度

θ?

最大.因此角速度θ?

取

最大值的位置在平衡位置左侧,这个结论可通过数值计算画出相图直观地看出(图3).由相图还可以看出小球由平衡位置向左偏转的幅角大于向右偏转的幅角,这个结论也不难由机械能守恒加以证明.

图3

最后需要说明的是,本文采用的由加速度定义式直接求解悬点加速度的方法具有普遍的实用价值.参考文献:

[1]　朱照宣等.理论力学(下册)[M ].北京:北京大学出版

社,1982.400.

[2]　汤姆逊W T.振动理论及其应用[M ].胡宗武等译.北

京:煤炭工业出版社,1980.399～400.

An analysis of the motion of a single pendulum

with variable suspension point and length

HE Qin ,XIE Bing 2chuan

(Department of Physics ,Jiangsu University ,Zhenjiang ,Jiangsu ,212003,China )

Abstract :The acceleration and differential equations of motion of a single pendulum with variable suspension point and length are obtained by two methods ;the condition of periodic vibration of globule is analyzed ;the position of maximum value of angle velocity is discussed and the phase diagram is given by the computer.

K ey w ords :single pendulum with variable sus pension point and length ;periodic vibration ;phase diagram

9

1第1期 何　勤等:变悬点变摆长单摆运动分析

单摆

上海市单摆辅导教案 教学内容 ＜建议用时5分钟！＞ 下面两种单摆都见过了么？有什么规律么？ ＜建议用时20分钟！＞ 一、要点提纲：单摆 1、引入： （1）讲述故事： 1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的 Ⅱ.同步讲解 Ⅰ.课堂导入

模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。 2、什么是单摆： （1）如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多（质点），这样的装置叫单摆。 （2）理解： ① 悬点：固定; ② 摆球：体积小、质量大——线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，只有质量无大小，悬线的长度就是摆长. ③细线：不可伸缩、质量不计、较长——线的伸缩和质量可以忽略——使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上. ④空气等产生的阻力可以忽略不计； （3）单摆是一种理想化模型。 3、单摆的摆动： （1）当摆球静止于O 点时，摆球受到的重力G 和悬线的拉力F ′彼此平衡，O 点就是单 摆的平衡位置. （2）单摆的摆动： （3）以悬挂点为圆心在竖直平面内做圆弧运动（摆球以平衡位置O 为中心振动）。 （4）摆球沿着以平衡位置O 为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动. 4、关于单摆的回复力： （1）如图所示，摆球受重力mg 和绳子拉力F ′两个力的作用，将重力按切线方向和径向方向正交分解，则绳子的拉力T 与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F ′提供了摆球振动所需的回复力F ＝mgsin θ （2）设单摆的摆长为l ，在最大偏角θ很小的条件下，摆球对O 点的位移x 的大小与θ角所对应的弧长、θ角所对应的弦长都近似相等，即x ＝=OP 若偏角θ用弧度表示，则由数学关系知sin θ＝ l x l OP ≈ 所以重力沿切向的分力F ＝mgsin θ≈mg l x 令k ＝l mg ，则F ＝kx B A A θ θ T O mg P Q

单摆习题及答案

单摆习题及答案 1．如图所示是、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是（） A．甲、乙两单摆的振幅之比为2：1 B．t=2s时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能为零 C．甲、乙两单摆的摆长之比为4：1 D．甲、乙两单摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等 2．在同一地点，两个单摆的摆长之比为4：1，摆球的质量之比为1：4，则它们的频率之比为A．1：1B．1：2C．1：4D．4：1 3．在同一地点，关于单摆的周期，下列说法正确的是（） A．摆长不变，离地越高，周期越小B．摆长不变，摆球质量越大，周期越小 C．摆长不变，振幅越大，周期越大D．单摆周期的平方与摆长成正比 4．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，有同学发现他测得重力加速度的值偏大，其原因可能是（） A．悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了B．单摆所用摆球质量太大 C．把（n+1）次全振动时间误当成n次全振动时间D．开始计时时，秒表过迟按下5．如图所示，一单摆在做简谐运动．下列说法正确的是（） A．单摆的振幅越大，振动周期越大B．摆球质量越大，振动周期越大 C．若将摆线变短，振动周期将变大 D．若将单摆拿到月球上去，振动周期将变大 6．一单摆的摆长为90cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，（g取10m/s2），则在t=1s时摆球的运动情况是（） A．正向左做减速运动，加速度正在增大B．正向左做加速运动，加速度正在减小C．正向右做减速运动，加速度正在增大D．正向右做加速运动，加速度正在减小7．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用力传感器测得摆线的 拉力大小F随时间t变化的图象如图所示，已知单摆的摆长为l， 则重力加速度g为（）

单摆练习题

单摆练习题 姓名 _________ 1用细线悬挂一小球，上端固定，如果悬挂小球的细线的 ______ 和 _____ 可以忽略，线 长又比球的直径 _____ ，这样的装置叫做单摆?单摆是 ______________ 模型 2、 单摆的回复力为摆球重力沿 _____________ 方向的分力?单摆做简谐运动的条件是最大 摆角 ________ ，所受回复力与偏离平衡位置的位移大小成 ___________ ，而方向指向 _________ 3、 单摆的周期公式 T = _____________ ;单摆的等时性是指周期与 ______________ 无关?单摆 的摆长L 是指从 _____ 到 _____ 的距离。 4、 单摆做简谐运动的图象是 _______________________ 曲线。 5、提供单摆做简谐运动的回复力的是 （ ） A .摆球的重力 C.摆线的拉力 B.摆球重力沿圆弧切线的分力 D .摆球重力与摆线拉力的合力 6、 对单摆的振动，以下说法中正确的是（ ） A. 单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B. 单运动的回复力是摆球所受合力 C. 摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D. 摆球经过平衡位置时所受合外力为零 7、 做简谐振动的单摆，在摆动的过程中 （ ） A. 只有在平衡位置时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力 B. 只有在最高点时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力 C. 小球在任意位置处，回复力都等于重力和细绳拉力的合力 D. 小球在任意位置处，回复力都不等于重力和细绳拉力的合力 &用空心铁球内部装满水做摆球，球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满 水到水流完为止的过程中，其周期的变化是（） 9、某一单摆的周期为 2s,现要将该摆的周期变为 4s,下面措施中正确的是（ ） A. 将摆球质量变为原来的 1/4 B .将振幅变为原来 的 2倍 C.将摆长变为原来的 2倍 D .将摆长变为原来的 4倍 11、单摆摆长为98cm,开始计时时摆球经过平衡位置向右运动 ，当t=时，对单摆运动描述正 确的是（ ） A .不变 B .变大 C.先变大后变小回到原值 D .先变小后变大回到原值 10、A 、B 两个单摆,在同一地点A 全振动N i 次的时间内 B 恰好全振动了 N 2次，那么A 、 C.时仁「

高中物理实验探究单摆的摆长与周期的关系学案

实验十三 探究单摆的摆长与周期的关系 考纲解读1.知道把单摆的运动看做简谐运动的条件.2.会探究与单摆的周期有关的因素.3.会用单摆测定重力加速度． 基本实验要求 1．实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T ＝2π l g ，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g ＝4π2 l T 2.因此，只要测出摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度g 的值． 2．实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺． 3．实验步骤 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆． (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示． (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l ′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r ，计算出摆长l ＝l ′＋r. (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t ，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T ＝t N (N 为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期T ＝T 1＋T 2＋T 33. (5)根据单摆周期公式T ＝2π l g 计算当地的重力加速度g ＝4π2 l T 2. (6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值． (7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因． 规律方法总结 1．注意事项 (1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.

《单摆》 练习题

单摆练习题 姓名__________ 1、用细线悬挂一小球，上端固定，如果悬挂小球的细线的＿＿＿和＿＿＿可以忽略，线长又比球的直径＿＿＿，这样的装置叫做单摆．单摆是________模型 2、单摆的回复力为摆球重力沿方向的分力．单摆做简谐运动的条件是最大摆角 ,所受回复力与偏离平衡位置的位移大小成，而方向指向 3、单摆的周期公式T＝；单摆的等时性是指周期与无关．单摆的摆长L是指从＿＿＿到＿＿＿的距离。 4、单摆做简谐运动的图象是曲线。 5、提供单摆做简谐运动的回复力的是( ) A．摆球的重力 B．摆球重力沿圆弧切线的分力 C．摆线的拉力 D．摆球重力与摆线拉力的合力 6、对单摆的振动，以下说法中正确的是（） A．单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B．单运动的回复力是摆球所受合力 C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零 7、做简谐振动的单摆，在摆动的过程中( ) A．只有在平衡位置时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力 B．只有在最高点时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力 C．小球在任意位置处，回复力都等于重力和细绳拉力的合力 D．小球在任意位置处，回复力都不等于重力和细绳拉力的合力 8、用空心铁球内部装满水做摆球，球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其周期的变化是（） A．不变B．变大 C．先变大后变小回到原值D．先变小后变大回到原值 9、某一单摆的周期为2s,现要将该摆的周期变为4s,下面措施中正确的是( ) A．将摆球质量变为原来的1/4 B．将振幅变为原来的2倍 C．将摆长变为原来的2倍 D．将摆长变为原来的4倍 10、A、B两个单摆,在同一地点A全振动N1次的时间内B恰好全振动了N2次，那么A、B 摆长之比为（） A. B. C.

《实验：探究单摆周期与摆长的关系》参考教案

实验：探究单摆周期与摆长的关系 一、教学目标 1、知识与技能： （1）探究摆长对单摆周期的影响及其定量关系 （2）理解单摆周期与摆长的定量关系 （3）学会借助计算机处理实验数据 2、过程和方法： 体验用计算机辅助系统进行科学探究的过程，学会科学探究的基本思想和基本方法 3、情感、态度和价值观：科学研究的浓厚兴趣，培养科学探究能力，培养团队合作精神 二、教学重点与难点 重点：实验探究单摆周期与摆长的定量关系 难点：精确测量摆长 三、教学结构 四、教学过程 （一）情景导入，提出问题 复习单摆理想模型，分析描述单摆作简谐振动的条件。 （二）观察实验，做出猜测 1.两摆的振幅不同 2.两摆的质量不同 3.两摆的摆长不同 （三）设计方案与讨论 1：利用米尺和游标卡尺分别测量出细线长度和小球的半径，算出摆长。 2；让单摆做简谐运动，用秒表测出振动周期。（课件出示注意事项） 注意事项 1.为减小误差，测量时间时从摆球经过平衡位置计时，此处摆球速度最大，计时误差相对较小。 2.为提高测量准确度，采取叠加测量，即测量30个周期时间，再除以次数，也

可减小测量误差。 （四）学生实验，教师辅导 每个小组改变摆长测量10组摆长和周期的数据。（直接记录到电脑的Excel 表格中） 学生进行实验，老师辅导，约10分钟 （五）实验总结，数据分析 1、原始数据定性分析大致规律 学生观察采集到的原始数据，根据数据定性分析。 学生观察采集的数据，可以从数据中看到：随着摆长逐渐减小，单摆的周期也在逐渐减小。 2、作图并拟合曲线分析定量关系 从数据的变化我们已经可以看出，摆长的确是影响单摆周期的因素之一，而且他们的大致关系是摆长越小周期也越小。excell 中，提供了对表格数据的绘图功能，利用这个功能，可以用计算机快捷地把原始数据绘制成图象。 学生活动:在计算机上画出图象，用各种函数进行拟合一次函数、二次函数、三次函数、平方根函数、三次方根函数等，观察哪条函数图线拟合得最好。 学生观察结果：平方根函数拟合得最好。 3、转化参量提高定量分析精度 师：曲线的拟合程度高低看起来还不是非常直观，最好能把图线转化成直线，这样更能说明问题。可以把周期的数据平方，当然也可以选择把摆长的数据开平方根，都可以更加精确地证明我们的猜想。而且利用软件提供的功能，可以非常快捷地完成这个过程。 学生活动，分两大组分别用两种方法处理数据，重新绘制图线。 4、找到规律总结思想方法 学生分析：从重新绘制的拟合图线中可以看出，将周期平方或者将摆长开平方根以后得到的拟合图线与正比例函数拟合得非常好，从而表示出了周期与摆长的定量关系，那就是L T ∝2，或L T ∝。 （六）讨论摆长与其他因素的关系 1、设计实验讨论细节

单摆选择

1、如图所示，用绝缘细线悬挂着的带正电小球在匀强磁场中作简谐运动，则[ ] A.当小球每次经过平衡位置时，动能相同 B.当小球每次经过平衡位置时，动量相同 C.当小球每次经过平衡位置时，细线受到的拉力相同 D.撤消磁场后，小球摆动的周期不变 2、如图所示，一单摆摆长为L，摆球质量为m，悬挂于O点。现将小球拉至P点，然后释放，使小球做简谐运动，小球偏离竖直方向的最大角度为θ。己知重力加速度为g。在小球由P点运动到最低点P′的过程中 （） A．小球所受拉力的冲量为0 B．小球所受重力的冲量为 C．小球所受合力的冲量为 D．小球所受合力的冲量为 3、单摆在地球上的周期等于T，现将它移到月球上，已知地球的半径为R1，质量为M1，月球的半径为R2，质量为M2，则该单摆在月球上的周期等于 A．B． C． D． 4、已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为l.6m．则两单摆摆长 l a与l b分别为 A． B．C． D． 5、右图所示的MON是曲率半径很大的圆弧形轨道，所对的圆心角很小，O是轨道的最低点，M、N两点等高。连接OM的一段直线轨道顶端的M点有一块小滑块从静止开始沿着直线轨道下滑；同时，从N点也有一块小滑块从静止开始沿着圆弧轨道下滑。如果不计一切摩擦，则： A.两个滑块可能在O点相遇 B.两个滑块一定在O点左方相遇 C.两个滑块一定在O点右方相遇 D.以上三种情况均有可能 6、一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆钟搬到行星上后，此钟的分针走一圈所经历的时间实际上是（） A．1/4h B．1/2h C．2h D．4h 7、通常把振动周期是2s的单摆叫做秒摆，下述说法中正确的是( ) A.秒摆摆长缩短为原来的四分之一时，频率变为1Hz B.秒摆的摆球质量减少到原来的四分之一时，周期变为4s C.秒摆的振幅减为原来的四分之一，周期变为1s D.若重力加速度减为原来的四分之一，频率变为0.25Hz 8、A、B两个单摆，在同一地点A全振动N8、1次的时间内B恰好全振动N2次，那么A、B摆长之比为( ) A. B. C. D. 9、如下图所示，AC为一段很短的光滑圆弧轨道，其所对圆心角小于5°，D为AC上的一点，现将同一小球先后从C、D两点由静止释放，到达A点的速度分别为υ1、υ2，所用时间为t1、t2，则应有( ) A.υ1＞υ2，t1＞t2 B.υ1=υ2,t1=t2 C.υ1＞υ2,t1=t2 D.υ1＞υ2,t1＜t2 10、如下图所示，光滑球面半径为R，将A、B两小球置于球面上，它们距球面最低点O的距离都很近，且B球离得更近，均远远小于R.C球处于球面的球心处.三球的质量mA=2mB=4mC,而三球均可视为质点，不计空气阻力，将三球同时由静止释放，则( ) A.B球比A球先到达O点 B.B球比C球先到达O点 C.A球比C球先到达O点 D.A球与B球同时到达O点 11、如下图所示，两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细绳上，两绳互相平行，两球在同一水平线上且互相接触，第二球的摆长是第一球摆长的4倍，现将第一球拉开一个很小的角度后释放，在第一球摆动周期的两倍的时间内，两球碰撞次数为( ) A.2次 B.3次 C.4次 D.5次 12、一单摆在地球上做简谐运动时，每分钟振动N次.现把它放在月球上，则该单摆在月球上做简谐运动时，每分钟振动的次数为( ).(设地球半径为R1，质量为M1；月球半径为R2，质量为M2.) A. B. C. D. 13、如图所示，若单摆的摆长不变，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，

第2课时单摆受迫振动

第二课时单摆受迫振动 第一关：基础关展望高考 基础知识 一、单摆 知识讲解 1.单摆:在一条不可伸长的\,忽略质量的细线下端拴一质点,上端固定构成的装置. 2.单摆振动可看作简谐运动的条件:α≤10°. 3.周期公式:T=2πl g ,式中摆长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力 加速度. 4.单摆的等时性:在小振幅摆动时,单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系. 5.应用:①测重力加速度g= 2 2 4l T ;②计时器. 6.能量转化关系:在不计阻力的情况下,单摆在运动中摆球的动能和重力势能相互转化,总能量不变. 活学活用 1.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置的速度减小为 原来的1 2 ,则单摆振动的() A.频率不变,振幅不变 B.频率不变,振幅改变 C.频率改变,振幅改变 D.频率改变,振幅不变解析: 摆球经过平衡位置的速度减小从而引起振幅减小,由T=2πl g ,可得单摆的周期与摆 球的质量和振幅无关,故B正确. 答案:B 二、受迫振动和共振

知识讲解 如果振动系统不受外力作用,此时的振动叫做固有振动,其振动的频率称为固有频率. (1)阻尼振动 振动系统振动过程中受阻尼的作用,系统克服阻尼做功,消耗机械能,因而振幅减小.这种振幅减小的振动叫做阻尼振动.[来源:Z*xx*k.] 说明:物体做阻尼振动时,振幅不断减小,但振动的频率仍由自身结构决定,并不会随振幅的减小而变化.用力敲锣,锣受空气阻尼的作用,振幅越来越小,锣声减弱,但音调不变. (2)受迫振动 振动系统在周期性的外力(驱动力)作用下的振动叫做受迫振动. 说明:物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关. （3）共振 ①定义:驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫做共振. ②条件:驱动力的频率等于系统的固有频率. ③共振曲线:直观地反映物体做受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系,即当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时,受迫振动的振幅A较小;当驱动力频率f等于固有频率f0时,受迫振动的振幅A最大.如图所示. 活学活用 2. 如图所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇柄,曲轴可以带动弹簧振子上下振动,开始时不转动摇柄,让振子上下自由振动,测得振动频率为 2 Hz,然后匀速转动摇柄,转速为240 r/min,当振子振动稳定后,它的振动周期是()

单摆练习题

单摆练习题 Revised by Chen Zhen in 2021

单摆练习题 姓名__________ 1、用细线悬挂一小球，上端固定，如果悬挂小球的细线的＿＿＿和＿＿＿可以忽略，线长又比球的直径＿＿＿，这样的装置叫做单摆．单摆是________模型 2、单摆的回复力为摆球重力沿方向的分力．单摆做简谐运动的条件是最大摆角 ,所受回复力与偏离平衡位置的位移大小成，而方向指向 3、单摆的周期公式T＝；单摆的等时性是指周期与无关．单摆的摆长L是指从＿＿＿到＿＿＿的距离。 4、单摆做简谐运动的图象是曲线。 5、提供单摆做简谐运动的回复力的是( ) A．摆球的重力 B．摆球重力沿圆弧切线的分力 C．摆线的拉力 D．摆球重力与摆线拉力的合力 6、对单摆的振动，以下说法中正确的是（） A．单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B．单运动的回复力是摆球所受合力 C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零 7、做简谐振动的单摆，在摆动的过程中( ) A．只有在平衡位置时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力 B．只有在最高点时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力 C．小球在任意位置处，回复力都等于重力和细绳拉力的合力 D．小球在任意位置处，回复力都不等于重力和细绳拉力的合力

8、用空心铁球内部装满水做摆球，球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其周期的变化是（） A ．不变 B ．变大 C ．先变大后变小回到原值? D ．先变小后变大回到原值 9、某一单摆的周期为2s,现要将该摆的周期变为4s,下面措施中正确的是( ) A ．将摆球质量变为原来的1/4 B ．将振幅变为原来的2倍 C ．将摆长变为原来的2倍 D ．将摆长变为原来的4倍 10、A 、B 两个单摆,在同一地点A 全振动N 1次的时间内B 恰好全振动了N 2次，那么A 、B 摆长之比为（ ） A. B. C. D. 11、单摆摆长为98cm,开始计时时摆球经过平衡位置向右运动,当t=时,对单摆运动描述正确的是( ) A ．正在向左做减速运动,加速度正在增大 B.正在向左做加速运动,加速度正在减小 C ．正在向右做减速运动,加速度正在增大 D.正在向右做加速运动,加速度正在增大 12、同一单摆放在甲地的振动频率为f 1，放在乙地的振动频率为f 2，那么甲乙两地的重力加速度之比为（ ） f 2 f 1 C.f 12/f 22 D. f 22/f 12 13、摆长为L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t =0），当振动至 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（ ） 14、一绳长为L 的单摆，在悬点正下方(L —Ｌ′)处的P 处有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是（ ） A.Ｔ＝２πg L B.Ｔ＝２πg L ' C.Ｔ＝２π（g L +g L '） D.Ｔ＝π（g L +g L '） 15、 对于单摆振动过程，正确的是（ ） A. 摆球机械能守恒，因为合外力为零

经典课件：2020年高考物理总复习课时作业五十三实验十一单摆的周期与摆长的关系

课时作业五十三实验十一：单摆的周期与摆长的关系 受迫振动和共振 (限时：45分钟) (班级________ 姓名________) 1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是 ( ) A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用 B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大 C．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大 D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向 2．某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是( ) A．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成了摆长 B．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，记为第0次，此后摆球第30次通 过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，并由计算式T＝t 30 求得周期 C．开始摆动时振幅过小 D．所用摆球的质量过大 3．(多选)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于摆球形状不规则，无法准确测量摆长l，但摆线的长度l′可以准确测量．现使用同一摆球，多次改变摆线长度l′并测得每一次相应的摆动周期T.对于数据的处理方法，下列说法中正确的是( ) A．l′与T2不是直线关系 B．摆长l可以利用l′-T2图线求出 C. l′与T2是直线关系，在理论上，l′-T2直线的斜率与 l-T2直线的斜率相同 D．l′与T2是直线关系，在理论上，l′-T2直线的斜率与 l-T2直线的斜率不同 4．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦地探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题，在飞机机翼前装置配重杆的主要目的是 ( ) A．加大飞机的惯性 B．使机体更加平衡 C．使机翼更加牢固 D．改变机翼的固有频率 5．(多选)一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则( )

《单摆》课时作业Word版

课时作业4 1．关于单摆做简谐运动时所受的回复力，下列说法正确的是( ) A ．是重力和摆线对摆球拉力的合力 B ．是重力沿圆弧切线方向的分力，另一个沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力平衡 C ．是重力沿圆弧切线方向的分力，另一个沿摆线方向的分力总是小于或等于摆线对摆球的拉力 D ．是摆球所受的合力沿圆弧切线方向的分力 解析：摆球所受的回复力是合力沿圆弧切线方向的分量，也等于重力沿切线方向的分量，重力沿摆线方向的分力与摆线拉力两者合力提供向心力，这个合力等于零或总指向悬点，故C 、D 正确。 答案：C 、D 2．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的( ) A ．频率不变，振幅不变 B ．频率不变，振幅改变 C ．频率改变，振幅改变 D ．频率改变，振幅不变 解析：单摆的周期与单摆的质量、振幅无关，即改变质量和振幅，周期不变；到达平衡位置时速度减小，说明单摆摆角减小，即振幅减小，故B 项正确。 答案：B 3．要使单摆的振动频率加大，可采用下列哪些做法( ) A ．使摆球的质量减小 B ．使单摆的摆线变长 C ．将单摆从赤道移到北极 D ．将单摆从平原移到高山上 解析：由f ＝1T ＝12π g l 知，要使f 加大，则g 加大或l 减小，可知只有C 正确。 答案：C 4．如图4－1所示，三根细线在O 点处打结，A 、B 两端固定在同一水平面上相距为L 的两点上，使AOB 成直角三角形，∠BAO ＝30°。已知OC 线长为L ，下端C 点系着一个小球，下面说法正确的是( )

图4－1 A ．让小球在纸面内摆动，周期T ＝2π L g B ．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T ＝2π 3L 2g C ．让小球在纸面内摆动，周期T ＝2π 3L 2g D ．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T ＝2π L g 解析：让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O 点为圆心，摆长为L ，周期为T ＝2π L g 。让摆球在垂直纸面方向摆动，摆球以OC 的延长线与AB 交点为中心摆动，摆长为：L ＋12L cos30°＝L ＋3 4 L ，周期为T ′，T ′＝2π 4＋ 3 4g L ，选项A 正确。 答案：A 5．伽利略曾设计如图4－2所示的一个实验，将摆球拉至M 点放开，摆球会达到同一水平高度上的N 点。如果在E 或F 处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M 点。这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( ) 图4－2 A ．只与斜面的倾角有关 B ．只与斜面的长度有关 C ．只与下滑的高度有关 D ．只与物体的质量有关 解析：物体从同一高度沿不同弧线下滑，至最低点后，都能沿同一条弧线运动至同一水平高度处，说明物体沿不同弧线运动到最低点的速度相同，故C 项对。 答案：C 6.如图4－3所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自A 点由静止开始滑下，到达最低点O 时的速度为v 1，用时为t 1；第二次自B 点由静止开始滑下，到达最

完整版单摆习题及答案

则重力加速度g 为（ ） 单摆习题及答案 1. 如图所示是、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是（ B. t=2s 时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能为零 C ?甲、乙两单摆的摆长之比为 4: 1 D .甲、乙两单摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等 2. 在同一地点，两个单摆的摆长之比为 4: 1,摆球的质量之比为1: 4，贝尼们的频率之比为 3. 在同一地点，关于单摆的周期，下列说法正确的是（ 5.如图所示，一单摆在做简谐运动.下列说法正确的是（ A. 单摆的振幅越大，振动周期越大 B .摆球质量越大，振 动周期越大 C 若将摆线变短，振动周期将变大 D .若将单摆拿到月球上去，振动周期将变大 ! 6?—单摆的摆长为90cm ,摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，（g 取10m/s 2 ），& 则在t=1s 时摆球的运动情况是（ ） C ?正向右做减速运动，加速度正在增大 D .正向右做加速运动，加速度正在减小 7.在 用单摆测定重力加速度”的实验中，用力传感器测得摆线的 拉力大小F 随时间t 变化的图象如图所示，已知单摆的摆长为 A . 1 : 1 B. 1: 2 C. 1: 4 D. 4: 1 A .摆长不变，离地越高，周期越小 B .摆长不变，摆球质量越大，周期越小 C ?摆长不变，振幅越大，周期越大 4. 在 用单摆测定重力加速度”的实验中, 能是（ ） D .单摆周期的平方与摆长成正比 有同学发现他测得重力加速度的值偏大，其原因可 A .悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了 B ?单摆所用摆球质量太大 C ?把（n+1）次全振动时间误当成n 次全振动时间 D .开始计时时，秒表过迟按下 A .正向左做减速运动，加速度正在增大 B .正向左做加速运动，加速度正在减小 A .甲、乙两单摆的振幅之比为 2: 1

单摆教学文档

单摆 绵竹中学邓兴龙 【教学目标】 1．知识目标： （1）知道什么是单摆； （2）理解单摆振动的回复力来源及做简谐运动的条件； （3）知道单摆的周期和什么有关，掌握单摆振动的周期公式，并能用公式解题。 2．能力目标： 观察演示实验，概括出影响周期的因素，培养由实验现象得出物理结论的能力。【教学重点、难点分析】 1．本课重点在于掌握好单摆的周期公式及其成立条件。 2．本课难点在于单摆回复力的分析。 【教学过程】 ●引入新课 在前面我们学习了弹簧振子，知道弹簧振子做简谐运动。那么：物体做简谐运动的条件是什么？ 答：物体做机械振动，受到的回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。 ●进行新课 【板书】一、什么是单摆？ 一根细线上端固定，下端系着一个小球，如果悬挂小球的细线的伸长和

质量可以忽略，细线的长度又比小球的直径大得多，这样的装置就叫单摆。 物理上的单摆，是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内摆动。所以，实际的单摆要求绳子轻而长，摆球要小而重。 【板书】二、单摆的运动性质 物体做机械振动，必然受到回复力的作用，弹簧振子的回复力由弹簧弹力提供，单摆同样做机械振动，思考：单摆的回复力由谁来提供，如何表示？1）平衡位置当摆球静止在平衡位置O点时，细线竖直下垂，摆球所受重力G和悬线的拉力F平衡，O点就是摆球的平衡位置。 2）回复力单摆的回复力F回=G1=mg sinθ，单摆的振动是不是简谐运动呢？ 如图： F = - ( mg / L )x = - k x（k=mg/L）所 以，当θ≤5°时，单摆振动是简谐运动。 ★练习 1、关于单摆的振动，以下说法正确的是 图２ ( ) A.摆球摆到最高点时，所受合外力为零 B.摆球摆到最高点时，所受合外力指向悬点 C.摆球摆到最低点时，所受合外力指向悬点 D.摆球摆到最低点时，所受合外力为零. 2.单摆作简谐运动时的回复力是：（） A.摆球的重力 B.摆球重力沿圆弧切线的分力

单摆习题及答案

单摆习题及答案 1.如图所示就是、乙两个单摆做简谐运动的图象,则下列说法中正确的就是() A.甲、乙两单摆的振幅之比为2:1 B.t=2s时,甲单摆的重力势能最大,乙单摆的动能为零 C.甲、乙两单摆的摆长之比为4:1 D.甲、乙两单摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等 2.在同一地点,两个单摆的摆长之比为4:1,摆球的质量之比为1:4,则它们的频率之比为 A.1:1 B.1:2 C.1:4 D.4:1 3.在同一地点,关于单摆的周期,下列说法正确的就是() A.摆长不变,离地越高,周期越小 B.摆长不变,摆球质量越大,周期越小 C.摆长不变,振幅越大,周期越大 D.单摆周期的平方与摆长成正比 4.在“用单摆测定重力加速度”的实验中,有同学发现她测得重力加速度的值偏大,其原因可能就 是() A.悬点未固定紧,振动中出现松动,使摆线增长了 B.单摆所用摆球质量太大 C.把(n+1)次全振动时间误当成n次全振动时间 D.开始计时时,秒表过迟按下 5.如图所示,一单摆在做简谐运动.下列说法正确的就是() A.单摆的振幅越大,振动周期越大 B.摆球质量越大,振动周期越大 C.若将摆线变短,振动周期将变大 D.若将单摆拿到月球上去,振动周期将变大 6.一单摆的摆长为90cm,摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动,(g取10m/s2),则在 t=1s时摆球的运动情况就是() A.正向左做减速运动,加速度正在增大 B.正向左做加速运动,加速度正在减小 C.正向右做减速运动,加速度正在增大 D.正向右做加速运动,加速度正在减小 7.在“用单摆测定重力加速度”的实验中,用力传感器测得摆线的拉 力大小F随时间t变化的图象如图所示,已知单摆的摆长为l,则重 力加速度g为()

单摆

单摆 一、单选题：每格3分、共78分 ( )1.下列现象，何者不适宜用来测量时间？(A)蜡烛燃烧(B)节拍器(C)沙的滴漏(D)闪 烁的星光 ( )2.作单摆实验时，因空气阻力使单摆的摆角越摆越小，此时单摆摆动的频率会如何？(A) 变大(B)变小(C)不变(D)无法确定。( )3.要具备怎样的性质，才可用来测量时间？ (A)规律性变化(B)周而复始的现象(C)有 一定周期(D)以上皆可。 ( )4.A、B两单摆的摆锤、摆角均相等，摆长A＞B，则摆动一次所需的时间何者较长？(A)A (B)B(C)A＝B(D)无法判定。 ( )5.以不同的单摆A、B、C作单 摆周期实验，结果如附图， 则摆长由短而长的顺序为： (A) C＜B＜A(B) B＜C＜A (C) C＜A＜B(D) A＜B＜C ( )6.若某生以摆长180公分的单摆做实验，得周期为1.0秒，则改以摆长为25公分的单摆重 做实验，其周期约为：(A) 0.25秒(B) 0.5 秒(C) 1.0秒(D) 2.0秒 ( )7.做单摆实验时，测得其周期为T0；如摆锤质量及振幅不变，增加摆长时测得的周期T1； 如摆长及振幅不变，加重摆锤质量时测得的 周期为T2；如摆长及摆锤质量不变，增大振 幅时测得的周期为T3。则下列何项叙述与事 实相合？(A) T1＞T0＝T2＝T3(B) T0＝T1＝T2 ＝T3(C) T2＞T0＞T1＞T3(D) T3＞T0＞T1＞T2 ( )8.从下列哪一个实验，可测得摆的周期和摆长的关系？(A)固定摆长，改变摆锤的质量， 测量小角度摆动十次所需时间(B)固定摆锤 的质量，改变摆长，测量小角度摆动十次所 需时间(C)同时改变摆长、摆锤质量，但固 定两者乘积，测量小角度摆动十次所需时间 (D) 同时改变摆长、摆锤质量，但固定两者比 值，测量小角度摆动十次所需时间 ( )9.在摆角小于10度的单摆实验中，下列哪一项和单摆的周期有关？(A)摆锤的质量(B)摆 锤的种类(C)摆线的长度(D)摆线的种类( )10.体重较重的小兰和较轻的柯南玩同一秋千，则两个人摆动一次所需时间应：(A)小兰较长 (B)柯南较长(C)时间一样(D)不一定 ( )11.欲测量单摆的周期，下列何者最佳？(A)测摆动1次的时间(B)测摆动10次的时间，再 除以10(C)测摆动100次的时间，再除以 100(D)以上均相同 ( )12.当钟摆动得太慢时，下列何种处理方式可以让钟摆动得快些？(A)增长摆长(B)缩短摆长 (C)换个较小的摆锤(D)减少摆动的幅度。( )13.附图为甲、乙两单摆的摆动次数与时间之关 系图。则乙、甲两单摆周期之比值为若干？ (A) 0.2(B) 0.4(C) 1(D) 2.5。 ( )14.甲、乙、丙三人荡秋千，如附图所示，则何人所荡的秋千，来回摆动一次所需的时间何 者较长？(A)甲(B)乙(C)丙(D)一样长( )15.在单摆摆动实验中，固定摆角为5°，当摆长为100公分，摆锤质量为50公克，测得摆动 20次，需耗时40秒。若摆长不改变，摆锤质 量增加为100公克，则摆动10次需耗时几 秒？(A) 10(B) 20(C) 30(D) 40 ( )16.子恒研究单摆之周期，其实验数据如附表所示，由附表之数据可以推论(A)单摆的周期 与摆长无关(B)单摆的周期与摆锤质量无关 (C)单摆的周期与摆角无关(D)单摆的周期与 摆长、摆锤质量及摆角皆无关 ( )17.在小角度的单摆摆动实验中，摆长36公分，摆锤质量50公克，测得摆动20次，需时24 秒。若摆长不变，摆锤质量改为100公克， 则摆动10次需时：(A) 12(B) 24(C) 36 (D) 48秒 ( )18.下列有关单摆的叙述，何者正确？(A)摆角在10度以下时，单摆的周期与摆动的幅度无 显著的关系(B)摆锤的质量愈大，所受的重 力愈大，因此周期愈小(C)在摆动过程中， 当摆锤摆到最高点时速率最大(D)在摆动过 程中，当摆锤摆到最低点时动能为零 ( )19.小彤研究摆的运动时，其实验数据如附表，假设摆动周期与「摆长」、「摆锤质量」及「摆角」等因素有关，根据附表数据，单摆的周期和摆角的关系图，下面何者正确？ (A) (B)(C)(D) ( )20.摆长为160公分的摆，其摆锤质量为200公克，摆动角度为5°，来回摆动6次需时15 秒，则下列叙述何者正确？(A)摆动周期为 2.5秒(B)摆动频率为0.8赫(C)欲使摆动变 快，需减轻摆锤质量(D) 欲使摆动变快，需 ─ 1 ─

单摆、振动中的能量

单摆、振动中的能量 知识目标 一、单摆 1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆． 2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角θ＜100． 3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。 4、单摆的周期：当 l、g一定，则周期为定值 T=2πg l，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处 的测量值。要区分摆长和摆线长。 5、小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个 振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。 6、秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm. 【例1】如图为一单摆及其振动图象，回答： （1）单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位移x（F回、a、E p）最大的时刻为． 解析：由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3crn．横坐 标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据 的时间．轴长度就是周期 T=2s，进而算出频率f=1/T=0.5Hz， 算出摆长l=gT2/4π2=1m· 从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0．5 s末和1．5s末． （2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是。势能增加且速度为正的时间范围是． 解析：图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正．且增大．A处最大，历时1/4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G．A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点． 摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1．5—2．0s间 摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从 E向G的过程．在图象中为从O到A，时间范围是0—0．5 s间．

高考物理二轮专题复习 单摆

1 新课标2014年高考二轮专题复习之单摆 一、选择题 1．甲乙两只摆钟（可视为单摆）当甲钟刚走完45分钟，乙钟已走完1小时，则甲乙两钟摆长之比为（ ） A ．3﹕4 B ．4﹕3 C ．9﹕6 D ．16﹕9 （直接运用单摆的周期公式即可求解） 2．单摆的摆球做简谐振动，经过平衡位置时正好遇到空中飘落下的速度可忽略的雨滴，雨滴均匀附着在摆球表面，则摆球在振动中有关物理量的变化情况是（ ） A ．最大速度不变，振幅不变，周期不变 B ．最大速度变小，振幅变小，周期变小 C ．最大速度变小，振幅变小，周期不变 D ．最大速度变大，振幅变大，周期不变 （该题考查单摆运动过程中各物理量的变化，雨滴均匀附着在摆球表面的过程其实是一个完全非弹性碰撞过程，动量不变，质量增大，重心不变） 3．如图25-A-4，曲轴上挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得振动频率为2H Z ，然后匀速转动摇把，转速为240 rad/min ，当振子振动稳定后它的振动周期为（ ） A ．0.5s B ．0.25s C ．2s D ．4s （受迫振动的频率与其固有频率无关，等于驱动力的频率） 4．一单摆摆长为L ，在悬点的正下方有一细钉可挡住摆线的运动，钉与悬点间的距离为l ，（摆线与竖直方向的最大偏角小于10°）则此摆的周期是（ ） A ．2πg L B ．2πg l C ．π（g L ＋g l ） D ．π（g L ＋()g l L -） （在g 一定的情况下，摆长不同其周期也不同） 5．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（ ） A ． 频率不变，振幅不变 B ．频率不变，振幅改变 C ．频率改变，振幅改变 D ．频率改变，振幅不变 （单摆的频率决定于摆长，与质量、振幅无关。摆球在平衡位置的速度改变，其振幅相应改变） 6．如图25-A-5所示，在一根张紧的绳子上挂着4个单摆小球a 、b 、c 、d ，它们的摆长分别是L b =1.0m ，L a =3L b /4，L c =L b /2，L d =L b /4，当用0.5H Z 的周期性外力拨动张紧的绳时，稳定后摆球振动的振幅最大的是（ ） A ．a 球 B ．b 球 C ．c 球 D ．d 球 （受迫振动中如果固有频率不可能等于驱动力的频率，则根据共振曲线可知当它们之间相差越小振幅越大） 二、填空题 7．一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是 。 （该题考查了不同星体表面的重力加速度对单摆周期的影响，利用万有引力定律求解） 8．一个单摆长为 L ，摆球的质量为m ,在最大位移处时，摆线与竖直方向的夹角为α，此时摆球所受的合力为 ，摆球所受的回复力的大小为 ，摆球往复运动时，摆线上最大张力为 。 9．振动周期为2秒的单摆叫秒摆，秒摆的摆长为 ，若将此摆移到离地球表面距离等于地球半径的高空，其周期是 秒。 （该题是单摆周期公式的具体应用，结合万有引力定律找出g 的相互关系即可求解） 图25-A-5

《单摆》随堂练习

第四节单摆练习题 1．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的 1 2，则单摆振动的（） (A)频率不变，振幅不变(B)频率不变，振幅改变 (C)频率改变，振幅改变(D)频率改变，振幅不变 2.甲、乙两个单摆，摆球质量相同，做简谐运动时，其周期之比为万：1，如果两摆的悬点处于同高度，将摆线拉到水平位置伸直，自由释放摆球，则摆球经过各自的最低点时( ) (A)甲球的动能等于乙球的动能 (B)甲摆悬线拉力大于乙摆悬线的拉力 (C)甲球的机械能等于乙球的机械能 (D)甲球的向心加速度等于乙苹的向心加速度 3，一单摆的摆长为40cm，摆球在c=0时刻正从平衡位置向右运动，若g取10n／s’，则在1 s时摆球的运动情况是( ) (A)正向左做减速运动，加速度正在增大 (B)正向左做加速运动，加速度正在减小 (C)正向右做减速运动，加速度正在增大· (D)正向右做加速运动，加速度正在减小 4．一只钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是( ) (A)g甲>g乙，将摆长适当增长 (B)g甲>g乙，将摆长适当缩短 (C)g甲

参考答案： 1.B 2.CD 3.D 4.C 5.A B X 6. 3 4 a g 方向向下