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高中数学全攻略の 概率与统计

概率与统计(文)高考对概率与统计内容的考查,往往以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,2011 年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置,可见概率统计在高考中属于中档题。在今年的高考中,可能涉及等可能事件,互斥事件,对立事件,独立事件的概率的求法,对于这部分,我们还应当重视与传统内容的有机结合

概率与统计(理)高考对概率与统计内容的考查,往往以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于分布列与期望. 应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋

势,2011年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置,可见概率统计在高考中属于中档题。高中学习的《概率统计》是大学统计学的基础,起着承上启下的作用,是每年高考命题的热点.试题特点(1)概率统计试题的题量大致为2道,约占全卷总分的6%-10%,试题的难度为中等或中等偏易。(2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编,通过对基础知识的重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念,尊重不同考生群体思维的差异,贴近考生的实际,体现了人文教育的精神。(3)概率统计试题主要考查基本概念和基本公式,对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。下面通过简析有关概率统计方面的试题,来分析命题方向,透视命题信息,以便科学高效地组织好概率统计的高考复习。预计2012年该部分的基本考查方向还是这样,虽然可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化.

概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概率试题的核心是概率计算,其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具,在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具;统计问题的核心是样本数据的分布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法,把图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样本均值和方差的计算,用样本估计总体等.

复习概率最重要的是搞清概念,弄懂过程,区分概率模型以选择正确的概率公式.几种古典概型的概念及其计算是高中新课程概率部分的必修内容,试题设计比较基本,注重考查灵活应用“相互独立事件概率的乘

法”“互斥事件概率的加法”或“先求事件的对立事件的概率”等基础知识处理问题,从而考查考生的思维能力和运算能力.在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法:一是将所求事件的概率化为一些彼此互斥的事件的和;二是先求出此事件的对立事件(适用于求用“至少”表达的事件的概率)的概率. 对概率和统计部分的知识的复习要特别注意掌握并灵活地运用几个基本公式:(1)互斥事件的概率:P(A+B)=P(A)+P(B); (2)对立事件

的概率:P(A+)=P(A)+P()=1; (3)相互独立事件的概率:P(A·B)=P(A)·P(B); (4)n次独立重复试验中事

件A恰好发生k次的概率:P

n (k)=C

n

k P k(1-P)n-k.求解概率问题可归纳为以下的一般步骤:第一步:确定事件性

质,即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步:判断事件的运算,即是至少有一个发生,还是同时发生,然后分别运用相加或相乘事件.第三步:运用公式,求得.

关于概率和统计,从近几年全国高考数学试题来看,主要是概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法,以及分析问题和解决问题的能力.根据中学数学教学大纲的要求,有关概率与统计的内容在新课程中分为必修和选修两部分,其中必修部分包括:随机事件的概率,等可能事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件的概率,独立重复试验等.在选修部分分为文科、理科两种要求:选修I为文科的要求,只含统计的内容,包括抽样方法,总体分布的估计,总体期望值和方差的估计;选修II为理科的要求,包括离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望值和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等.

概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等知识为工具,以

考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师,预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。下面对其常见题型和考点进行解析。 考点1 考查等可能事件概率计算

在一次实验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结果有m 个,那么P (A )=

n

m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。求解等可能性事件的概率时,先确定

本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数,然后代入概率公式即可. 高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

例1:编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:

(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:

(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i)用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.

【名师点睛】求解等可能性事件A 的概率一般遵循如下步骤:(1)先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少,即求出A .(2)再确定所研究的事件A 是什么,事件A 包括结果有多少,即求出m .(3)应用等可能性事件概率公式P =

n

m 计算.

例2:某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5 杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3 杯选对2杯,则评为良好;否则评为及格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率;(2)求此人被评为良好及以上的概率.

【名师点睛】判断是否是几何概型,关键要判断试验的结果是不是无限个,每个试验的结果是不是等可能的。

考点2.互斥事件有一个发生的概率 不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为A+B ,用概率的加法公式

)()()(B P A P B A P +=+计算。事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,则A 、B 叫做

相互独立事件,它们同时发生的事件为B A ?。用概率的法公式()()()B P A P B A P ?=?计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件A 、

B 叫做互为对立事件。即-

=A B 或-

=B A 。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减法公式

()??

?

??-=_1A P A P 计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考

查。

例3:某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召,对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动.经上级研究决

定:向甲地派出3名A 校教师和2名B 校教师,向乙地派出3名A 校教师和3名B 校教师.由于客观原因,需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区.(Ⅰ)求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率;(Ⅱ)求互换后A 校教师派往甲地区人数不少于3名的概率.

【名师点睛】事件A 、B 的和记作A +B ,表示事件A 、B 至少有一个发生.当A 、B 为互斥事件时,事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的,因此当A 和B 互斥时,事件A +B 的概率满足加法公式:P (A +B )=P (A )+P (B )(A 、B 互斥),且有P (A +A )=P (A )+P (A )=1.当计算事件A 的概率P (A )比较困难时,有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些,为此有P (A )=1-P (A ).对于n 个互斥事件A 1,A 2,…,A n ,其加法公式为P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ).概率加法公式仅适用于互斥事件,即当A 、B 互斥时,P (A +B )=P (A )+P (B ),否则公式不能使用.如果某事件A 发生包含的情况较多,而它的对立事件(即A 不发生)所包含的情形较少,利用公式P (A )=1-P (A )计算A 的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维,同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先去求此事件的对立事件的概率.

考点3:考查相互独立事件同时发生的概率与独立重复试验概率计算

若在n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果,则此试验叫做n 次独立重复试验。若在 1 次试验中事件A 发生的概率为P ,则在n 次独立惩处试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为()()

k

n k

k

n n P P C k P --=1。高考结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方

法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。

例4:某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中: (I )没有人申请A 片区房源的概率; (II )每个片区的房源都有人申请的概率。

【名师点睛】事件A 与B 的积记作A ·B ,A ·B 表示这样一个事件,即A 与B 同时发生.当A 和B 是相互独立事件时,事件A ·B 满足乘法公式P (A ·B )=P (A )·P (B ),还要弄清A ·B ,B A ?的区别. A ·B 表示事件A 与

B 同时发生,因此它们的对立事件A 与B 同时不发生,也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +,

因此有A ·B ≠B A ?,但A ·B =B A +.应用公式时,要注意前提条件,只有对于相互独立事件A 与B 来说,才能运用公式P (A ·B )=P (A )·P (B )在学习过程中,要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积,或其对立事件.首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立),当且仅当事件A 和事件B 互相独立时,才有P (A ·B )=P (A )·P (B ).A 、B 中至少有一个发生:A +B .(1)若A 、B 互斥:P (A +B )=P (A )+P (B ),否则不成立.(2)若A 、B 相互独立(不互斥).法一:P (A +B )=P (A ·B )+P (A ·B )+P (A ·B );法二:P (A +B )=1-P (A ·B );法三:P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ).某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减少运算量,提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化n 次独立重复

试验中某事件发生k 次的概率P n (k )=C k n p k (1-p )

n -k 正好是二项式[(1-p )+p ]n 的展开式的第k +1项. 考点4 考查随机变量概率分布与期望计算

主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验以及随机变量的分布列、数学期望等概念。解决此类问题解题思维的的流程是:要求期望,则必先求分布列,而求分布列的难点在于求概率,求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“k ξ=”所对应的具体随机试验的结果然后正确求出相应事件的概率。

例5:某商店试销某种商品20天,获得如下数据:

日销售量(件)

0 1 2 3 频数

1

5

9

5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变).设某天开始营业时由该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至...3件,否则不进货....将频率视为概率.()I 求当天商店不进货的....概率;()II 记X 为第二天开始营业时该商品视为件数,求X 的分布列和数学期望.

例6:以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以

X 表示。

(1)如果8X =,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;

(2)如果9X =,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望。(注:方差2

222

121[()()()]n s x x x x x x n

=

-+-++- ,其中x 为1x ,2x ,…,n x 的平均数)

【名师点睛】1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母ξ、η等表示.(1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若ξ是随机变量,η=a ξ+b ,其中a 、b 是常数,则η也是随机变量.

2.离散型随机变量的分布列 (1)概率分布(分布列).设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1,x 2,…,x i ,…,ξ取每一个值x i (i =1,2,…)的概率P (ξ=x )=p ,则称表

(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k

次的概率是P (ξ=k )=C k n p k q

n -k

. 其中k =0,1,…,n ,q =1-p ,于是得到随机变量ξ的概率分布如下:

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B (n ,p ),其中n 、p 为参数,并记C k n p k q

n -k

=b (k ;n ,p ).离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和.求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题,一是求出ξ的所有取值,二是求出ξ取每一个值时的概率.求一些离散型随机变量的分布列,在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数,即相应的排列组合数,所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提.

例7:某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X 依次为1,2,……,8,其中X ≥5为标准A ,X ≥3为标准B ,已知甲厂执行标准A 生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B 生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准(I )已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示:

1X

5 6 7 8 P

0.4

a

b

0.1

且1X 的数字期望1EX =6,求a ,b 的值;

(II )为分析乙厂产品的等级系数X 2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:

3 5 3 3 8 5 5 6 3

4 6 3 4 7

5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数2X 的数学期望.

(Ⅲ)在(I )、(II )的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.注:(1)产品的“性价比”=

产品的零售价

期望

产品的等级系数的数学

; (2)“性价比”大的产品更具可购买性.

【名师点睛】1.期望:若离散型随机变量ξ,当ξ=x i 的概率为P (ξ=x i )=P i (i =1,2,…,n ,…),则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望,反映了ξ的平均值.

2.方差:称D ξ=∑(x i -E ξ)2p i 为随机变量ξ的均方差,简称方差.ξD 叫标准差,反映了ξ的离散程度.

3.性质:(1)E (a ξ+b )=aE ξ+b ,D (a ξ+b )=a 2D ξ(a 、b 为常数).

(2)若ξ~B (n ,p ),则E ξ=np ,D ξ=npq (q =1-p ).

对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题,首先应仔细地分析题意,当概率分布不是一些熟知的类型时,应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件,并准确判断各事件的相互关系,从而求出各随机变量相应的概率. 考点5: 统计

统计的考题以填空题居多,注重对基本概念和方法的应用,中档偏易题居多,有时也与概率综合以解答题的形式出现,正确找出分层抽样比是解决样本抽样统计题的关键;频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望

例8:某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙.(I )假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X ,求X 的分布列和数学期望;(II )试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm 2)如下表:

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?附:样本数据x 1,x 2,…,x a 的样本方差()(

)

()

2

2

2

2

111n s x x x x

x x

n ?

?

=

-+-+???+-???

?

,其中x 为样本平均数.

【名师点睛】1.简单随机抽样:一般地,设一个总体的个体数为N ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.

2.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分地反映总体的情况,常将总体分成

几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 分层抽样的步骤:(1)分层;(2)按比例确定每层抽取个体的个数;(3)各层抽样(方法可以不同);(4)汇合成样本.

3.总体:在数理统计中,通常把被研究的对象的全体叫做总体.

4.频率分布:用样本估计总体,是研究统计问题的基本思想方法,样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比,就是该数据的频率.所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.解决总体分布估计问题的一般程序如下:(1)先确定分组的组数(最大数据与最小数据之差除以组距得组数);(2)分别计算各组的频数及频率(频率=总数

频数);(3)画出

频率分布直方图,并作出相应的估计.

1、如图,A 地到火车站共有两条路径L 1

和L 2

,现随机抽取100位从A 地到火车站的

人进行调查,调查结果如下:(Ⅰ)试估计40分钟内不能..赶到火车站的概率; (Ⅱ )分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

(Ⅲ )现甲、乙两人

分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径。

2、本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超

过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42

;两小时以上且不超过三

小时还车的概率分别为

11

,24

;两人租车时间都不会超过四小时.(Ⅰ)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.

3、在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用n

x

表示编号为()1,2,,6n n = 的同学所得成绩,且前

5位同学的成绩如下:

时间(分

钟) 1020

2030

3040

4050

5060

选择1L 6 12 18 12 12 选择2L

4

16

16

4

(1)求第6位同学成绩6x ,及这6位同学成绩的标准差s ;

(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间()68,75中的概率.

4、甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(I )若从甲校和乙校报名的教师

中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(II )若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

5

根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设

各车主购买保险相互独立(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率; (Ⅱ)求该地的3位车主中恰有一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

6、某种产品以其质量指标值衡量,质量指标越大越好,且质量指标值大于102

的产品为优质产品,现在用两

种新配方(A 配方、B 配方)做试验,各生产了100件,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果: A 配方的频数分布表

B 配方的频数分布表

(1)分别估计使用A 配方,B 配方生产的产品的优质品的概率;

(2)已知用B 配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为:)102(10294()

94(422≥<≤

?

??-=t t t y 估计用B 配方生产上述产

品平均每件的利润。

7、某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y (单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X

(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X 每增加10,Y 增加5;已知近20年X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140

,110,160,220,140,160. (I )完成如下的频率分布表:

近20年六月份降雨量频率分布表

(II)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.

8、某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a、b、c的值;(11)

在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x

1, x

2

, x

3

,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从

x 1, x

2

, x

3

, y

1

, y

2

,这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并

求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

9、根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求ξ的期望。

10本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,

42

;两小

时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,

24

;两人租车时间都不会超过四小时.(Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望Eξ;

11、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.

12、学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(Ⅰ)求在一次游戏中,(i)摸出3个白球的概率;(ii)获奖的概率;(Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()

E X.

13、某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以确定工资级别,公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出

4杯A 饮料,若4杯都选对,则云工资定为3500元,若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,令X 表示此人选对A 饮料的倍数,假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.(1)求X 的分布列(2)

求此员工月工资的期望

14、某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产

品为优质品,现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表

指标值分组

[)94,90

[)98,94

[)102,98

[)106,102

[)110,106

频数

8

20

42

22

8

B 配方的频数分布表

指标值分组

[)94,90

[)98,94

[)102,98

[)106,102

[)110,106

频数

4

12

42

32

8

(Ⅰ)分别估计用A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;

(Ⅱ)已知用B 配方生成的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t 的关系式为

)102(10294()

94(422≥<≤

?

??-=t t t y 从用B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期

望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)

15、某市公租房房屋位于A.B.C 三个地区,设每位申请人只申请其中一个片区的房屋,且申请其中任一个片区

的房屋是等可能的,求该市的任4位申请人中:(Ⅰ)若有2人申请A 片区房屋的概率;(Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。

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