【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 1.6.1.1 第一章立体几何初步

§6 垂直关系

6．1 垂直关系的判定(一)

【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．

1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．

2．判定定理

文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．

符号表述：

?

????l ⊥a

l ⊥b

?l ⊥α．

一、选择题

1．下列命题中正确的个数是( )

①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；

④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

2．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( ) A ．a ⊥β B ．a ∥β

C ．a β

D ．a β或a ∥β

3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交

4．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ?α，PB ⊥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则△ABC 为(

)

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．无法确定

5．如图所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为(

)

A．4 B．3 C．2 D．1

6．从平面外一点P向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果PA＝PB ＝PC，有如下命题：

①△ABC是正三角形；

②垂足是△ABC的内心；

③垂足是△ABC的外心；

④垂足是△ABC的垂心．

其中正确命题的个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．

8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．

11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．

求证：(1)CD⊥PD；

(2)EF⊥平面PCD．

能力提升

12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．

13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；

(2)PQ⊥SC．

1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直?线面垂直”．

2．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．

(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．

§6 垂直关系

6．1 垂直关系的判定(一)

答案

知识梳理

2．两条相交直线 a α b α a ∩b ＝A

作业设计

1．B [只有④正确．] 2．D 3．C

[取BD 中点O ，连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C ．]

4．B [易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ．]

5．A [

?????PA ⊥平面ABC BC 平面ABC ?

?

???

?PA ⊥BC AC ⊥BC ?BC ⊥平面PAC ?BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．] 6．A

[PO⊥面ABC．

则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，

O为△ABC外心．

只有③正确．]

7．①④⑤

8．∠A1C1B1＝90°[

如图所示，连接B1C，

由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，

因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，

即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．

(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)]

9．90°

解析∵B1C1⊥面ABB1A1，

∴B1C1⊥MN．

又∵MN⊥B1M，∴MN⊥面C1B1M，

∴MN⊥C1M．

∴∠C1MN＝90°．

10．证明在平面B1BCC1中，

∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，

∴△BB1E≌△CBF，

∴∠B1BE＝∠BCF，

∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，

又AB⊥平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，

∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．

11．证明(1)∵PA⊥底面ABCD，

∴CD⊥PA．

又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PD．

(2)取PD的中点G，

连接AG，FG．

又∵G、F分别是PD，PC的中点，

∴GF 綊1

2

CD ，∴GF 綊AE ，

∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG ∥EF ．

∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，

∵CD ⊥平面PAD ，AG 平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．

∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ． 12．

证明 连接AB 1，CB 1， 设AB ＝1．

∴AB 1＝CB 1＝2，

∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连接PB 1．

∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94

， OP 2＝PD 2＋DO 2＝3

4

，

∴OB 21＋OP 2＝PB 2

1． ∴B 1O ⊥PO ，

又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．

13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．

又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ 平面SAB ，

∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．

(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC 平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．

又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．

∵PQ 平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．