初一常用几何证明的定理总结

初一常用几何证明的定理总结

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：

（1）x 轴将坐标平面分为两部分，x 轴上方的纵坐标为正数；x 轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y 轴正方向（也称y 轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y 轴负方向（也称y 轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。

反之，如果点P （a ，b ）在x 轴上方，则b >0；如果P （a ，b ）在x 轴下方，则b <0。 (2)y 轴将坐标平面分成两部分，y 轴左侧的点的横坐标为负数；y 轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x 轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x 轴正半轴上的点的横坐标为正数。

（3）规定坐标原点的坐标为（0 ，0） （4

(5)

对称点的坐标特征：

（1）关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。如点P （x 1 ，y 1）与Q （x 2 ，y 2）关于x 轴对称，则12

12

x x y 0y ??+=?＝反之也成立。如P （2 ，－3）与Q （2 ，3）关于x 轴对称。

（2）关于y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。如点P （x 1 ，y 1）与Q （x 2 ，y 2）关于y 轴对称，则12

120

y x x ??+=?＝y 反之也成立。如P （2 ，－3）与Q （－2 ，－3）关于y 轴对称。

（3）关于原点对称的两点：纵坐标、横坐标都互为相反数。如点P （x 1 ，y 1）与Q （x 2 ，y 2）关于原点对称，则1212

x + x 0

y 0y =??+=?反之也成立。如P （2 ，－3）与Q （－2 ，3）关于原点对称。

初中几何证明题五大经典(含答案)

经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形

3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO

初一数学几何证明题答案

初一典型几何证明题 1、已知： AB=4，AC=2，D是 BC中点， AD是整数，求 AD 解：延长 AD到 E, 使 AD=DE ∵D是 BC中 点∴ BD=DC 在△ ACD和△ BDE中 A AD=DE ∠BDE=∠ ADC BD=DC ∴△ ACD≌△ BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ ABE中 AB-BE＜AE＜ AB+BE ∵AB=4 即4-2 ＜2AD＜ 4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2B C D 2、已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠ 2 A 1 2 B E C F D 证明：连接 BF 和 EF ∵BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠EDF ∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S)

∴BF=EF,∠ CBF=∠ DEF 连接 BE 在△ BEF中 ,BF=EF ∴ ∠ EBF=∠ BEF。 ∵ ∠ ABC=∠ AED。 ∴ ∠ ABE=∠ AEB。 ∴AB=AE。 在△ ABF和△ AEF中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ ABF≌△ AEF。 ∴ ∠ BAF=∠ EAF ( ∠1=∠ 2) 。 3、已知：∠ 1=∠2，CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC A 12 F C D E B 过C 作 CG∥EF 交 AD的延长线于点 G CG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGD DE＝DC ∠FDE＝∠ GDC（对顶角） ∴△ EFD≌△ CGD EF＝CG ∠CGD＝∠ EFD 又， EF∥AB ∴，∠ EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠ CGD＝∠2 ∴△ AGC为等腰三角形， AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC 4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

初中数学所有几何证明定理

初中数学所有几何证明 定理 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。 对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

证明题要用到哪些原理？ 要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。

初中数学几何证明试题有答案

初中数学几何证明试题 有答案 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

十二周培优精选 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ． 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形． 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 求证：CE ＝CF ．（初二） A P C D B A F G C E B O D

2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝ 求证：AE ＝AF ．（初二） 3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二） 经典题4 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，求：∠APB 的度数．（初二） 2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠求证：∠PAB ＝∠PCB ． 4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（ D

经典题（一） 1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形 4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。 经典题（二） 1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得BH=BF,从而可得HD=DF，

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

初一几何证明典型例题

初一几何证明典型例题 1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2ADBC 2、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABCDEF21证明：连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF (S、 A、S)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在△BEF中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。在△ABF和△AEF中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△AEF。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E 过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝ ∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝CG∴EF＝ACA 4、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝

牛顿几何三大定理及证明

精品文档 . 牛顿三大定理 牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N。取BE中点P,BC 中点R,PN∩CE=Q R,L,Q共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P共线。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线 故牛顿定理1成立 牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。 显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S △BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S △CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。证毕。 牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。精品文档

初一几何证明题练习

初一下学期几何证明题练习1、如图，∠B=∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF=∠C。（6 解：∵∠B=∠C ∴ AB∥CD（ ） 又∵ AB∥EF（） ∴ ∥（） ∴∠BGF=∠C（） 2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，ED//BC，试说明 ∠1=∠2，以下是证明过程，请填空：（8分） 解：∵CD⊥AB，FG⊥AB ∴∠CDB=∠=90°( 垂直定义) ∴_____//_____ ( ∴∠2=∠3 ( 又∵DE//BC ∴∠=∠3 ( ∴∠1=∠2 ( ) 3、已知：如图，∠1+∠2=180°， 试判断AB、CD有何位置关系？并说明理由。（8分） 4、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30°，你能算出∠EAD、∠ DAC、∠C的度数吗？（7分） D C B A E D

5、如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。 解：∵EF∥AD（已知） ∴∠2= （） 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠3（等量替换） ∴AB∥（） ∴∠BAC+ =180 o （） ∵∠BAC=70 o（已知）∴∠AGD= ° 6、如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系。 解：AB∥CD，理由如下： 过点E作∠BEF=∠B ∴AB∥EF（） ∵∠BED=∠B+∠D（已知） 且∠BED=∠BEF+∠FED ∴∠FED=∠D ∴CD∥EF（） ∴AB∥CD（）7、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o， 求∠EAD、∠DAC、∠C的度数。（6分） 8、如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。（6分）

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

几何定理证明

几何定理证明 1、重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边 中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 先证明交于一点，如图一中线AD、BE交于G，延长CG 交AB于F，即证明F为AB中点即可，延长GD至H使 GD=DH，又BD=DC∴BDCG为平行四边形，∴BE∥CH， CF∥BH，又E为AC中点，EG为中位线，∴G为AH中 点，又CF∥BH，∴FG为中位线，即F为AB中点，∴三 条中线交于一点。 再证明2倍问题 证明1：如图：△ABC的中线AD、BE交于G（重心），求 证：AG＝2GD 取CE的中点F，连接DF， 则CE＝2EF＝AE ， ∴DF是△BCE的中位线， ∴GE∥DF ， AG／GD＝AE／EF＝2， ∴AG＝2GD 。 证明2：面积法（三条中线将三角形分成6个面积相等 的三角形） △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∵D、E、F为中点 ∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF =S△ABC／2 ∴S△ADG=S△CEG=S△BEG 同理S△BDG=S△BEG ∴S△ABG=2S△BEG ∴AG／GE=2即AG=2GE 证明3：相似三角形 △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。 ∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF/2 , BE=BC/2，又可由①知HF=BE/2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH。 ∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=（2/3）BF

初一数学几何证明题

初一数学几何证明题 初一数学几何证明题一般认为，要提升数学能力就是要多做，培养兴趣。事实上，兴趣不是培养出来的，而是每次考试都要考得好，产生信心，才能生出兴趣来。所以数学不好，问题不在自信，而是要培养学好数学的能力那么，我们应如何提升的数学能力呢?可以从以下四方面入手：1. 提升视知觉功能。由于数学研究客观世界的"数量与空间形式"，要想从纷繁复杂的客观世界抽出这些" 数与形"，首先必须具备很强的视知觉功能，去辨识，去记忆，去理解。2. 提升对数学语言的理解能力。数学有着自己独特的语言体系，它是一种"文字兼数字与符号的结构"。数学里的符号、公式、方程式、图形、图表以及文字都需要通过阅读才能了解。3. 提升对数学材料的概括能力。对数学材料的抽象概括能力是数学学习能力的灵魂。若一个看到一大堆东西，看了半天也不晓得它们背后的"数量关系与空间形式"，这将是数学学习上极为糟糕的事。因为数学的精髓就在于，它舍弃了具体的内容，而仅仅抽出"数与形"，并对这些"数与形"进行操作。4. 提示孩子的运算能力。对"数或符号"的运算操作能力是数学学习所必须具备的一项重要技能。我们日常生活中的衣食住行，时时刻刻也离不开运算。在运算中会出现各种各样的问题，需具体问题具体分析。俗语说，冰冻三尺非一日之寒，同样数学能力的培养也是一个漫长的过程，要善于发现自己的弱点，进行强化与补救训练。 1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若

D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z 证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点. 过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点. 根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN. 过D点做BC上的高交BC于O点. 过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J 点. 则X=DO,Y=HY,Z=DJ. 因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD 同理可证FP=2DJ。 又因为FQ=FP,EM=EN. FQ=2DJ，EN=2HD。 又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN 又因为 FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。 因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。 2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN 相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。 当∠BON=108°时。BM=CN还成立 证明;如图5连结BD、CE.

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=． （1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°． （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ； （Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ； （Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点． （1）求证：DM ⊥平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

初一几何典型例题

初一几何典型例题 1、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角尺的顶点P在射线OM上移动，两直角分别与OA，OB相较于C，D两点，则PC与PD相等吗？试说明理由。 PC=PD 证明：作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∵OM是角平分线 ∴PE=PF ∠EPF=90° ∵∠CPD=90° ∴∠CPE=∠DPF ∵∠PEC=∠PFD=90° ∴△PCE≌△PDF ∴PC=PD 2、如图，把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置，D在BC上，连接AD、BE，AD的延长线交BE于点F。试判断AF与BE的位置关系。并说明理由。 AF⊥BE 证明： ∵CD=CE，CA=CB，∠ACD=∠BCE=90° ∴△ACD≌△BCE

∵∠CBE+∠BEC=90° ∴∠EAF+∠AEF=90° ∴∠AFE=90° ∴AF⊥BE 3、如图，已知直线l1‖l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上。 （1）如果点P在A、B两点之间运动，试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由； （2）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合)，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系，请画出图形，并说明理由。解：（1）∠1+∠2=∠3； 理由：过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ， ∴∠1=∠4，∠2=∠5. ∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3； （2）同理：∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3． 理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ， ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥PQ， ∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，

当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3． 4、D、E是三角形△ABC内的两点，连接BD、DE、EC，求证AB+AC＞BD+DE+EC 解答：延长DE分别交AB、AC于F、G。 由于FB+FD>BD AF+AG>FG EG+GC>EC 所以 FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC 即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC 所以AB+AC>BD+DE+EC 5、D为等边△ABC的边BC上任意一点，延长BC至G。作∠ADE＝60°(E.C在AD同侧)与∠ACG的角平分线相交于E，连AE。求证：ADE为等边三角形。 解：如图，作DF‖AC交AB于F. ∵DF‖AC.等边△ABC. ∴等边△BFD.

初中数学所有几何证明定理

初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？

要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

初中数学几何证明经典题(含答案)

初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B

初一几何证明典型例题

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戴氏教育达州西外校区名校冲刺 戴氏教育温馨提醒： 暑假两个月是学习的最好时机，可以在两个月里，复习旧知识，学习新知识，承上，还能启下。在这个炎热的假期，祝你学习轻松愉快。 初一典型几何证明题 1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3、 4、证明：连接BF 和EF A B C D E F 2 1 A D B C

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF≌△

∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 已知：∠1=∠2，CD=DE ， EF P 是∠BAC 平 分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB

立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行 实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面 平行实现 l

βααβ//',',' //'//??? ?? ? ? ? ??且相交且相交m l m l m m l l 。βαβαα//,////??? ????且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

七年级数学几何证明题

七年级数学几何证明题 1. 如图，在ABC中，D在AB上，且△ CAD^P A CBE都是等边三角形, 求证：（1）DE=AB（2）Z EDB=60 2. 如图，在A ABC中, AD平分/ BAC DE||AC,EF 丄AD交BC延长线于F。求证: / FAC=z B 4、一个零件的形状如图，按规定/ A=90o，/ C=25o，Z B=25o，检验已量得/ BDC=150,就判断这个零3. 已知，如图，在△ ABC中，AD，AE分别是△ ABC的高和角平分线，若/ B=30 / C=50求：（1），求/ DAE的度数（2）试写出/ DAE与 / C - / B有何关系？（不必证明） A

件不合格，运用角形的有关知识说明零件不合格的理由 D A B 5、如图,已知DF// AC,/C=Z D,你能否判断CE// BD?式说明你的理由 6、如图,△ ABC中,D在BC的延长线上,过D作DEL AB于E,交AC于F. 已知/ A=30 , / FCD=80 ,求/ D。 7、如图，BE平分/ ABD CF平分/ ACD BE、CF交于G, 若/ BDC = 140 °，/ BGC = 110。，则 / A ? C 8、如图，AD L BC于D, EGLBC于G,Z E = / 1,求证AD平分/ BAC B G D

9、如图，直线。丘交厶ABC勺边AB AC于D E,交BC延长线于F, 若/B= 67°,/ ACB= 74°,/ AED= 48°，求/ BDF的度数? 10、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角勺顶点重合于O，则/ AOC/+ DOB 11、如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起? (1)若/ DCE=35,求/ ACB的度数； (2)若/ ACB=140,求/ DCE的度数； ( 3)猜想： / ACB与/ DCE有怎样的数量关系，并说明理由 12、已知：直线ABW直线CDf交于点0, / BOC= (1) 如图1,若EOLAB求/ D0E的度数； (2) 如图2,若E0平分/ AOC求/ DOE勺度数. 13、已知，为上一点.

初中几何证明题要用到的一些定理

初中几何证明题要用到的一些定理 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的

弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。