复数的扩充和复数的概念--习题
复数的扩充和复数的概念
一．选择题（共23小题）
1．（2016?上饶二模）已知集合A={﹣1，0，1}，则（）
A．1+i∈A B．1+i2∈A C．1+i3∈A D．1+i4∈A
2．（2016?济宁一模）已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2015?湖北）i为虚数单位，i607=（）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
4．（2016?张掖校级模拟）若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．±1 B．﹣1 C．0 D．1
5．（2016春?邯郸校级月考）已知复数z=﹣4﹣3i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．复数z的虚部为﹣3i B．复数z的虚部为3
C．复数z的共轭复数为=4+3i D．复数z的模为5
6．（2016?黄浦区一模）已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也不必要条件
7．（2016?四川模拟）已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a 的值为（）
A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1
8．（2016?眉山模拟）已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（）
A．1+i B．l﹣i C．﹣l+i D．﹣l﹣i
9．（2016?禹州市一模）已知（1+xi）（1﹣2i）=y（其中x，y∈R），则（）
A．x=﹣2，y=﹣3 B．x=2，y=﹣3 C．x=﹣2，y=7 D．x=2，y=5
10．（2016?河南模拟）若z?（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），则复数z的虚数部分为（）
A．B．﹣C．i D．﹣i
11．（2016?南平模拟）已知复数w满足w﹣1=（1+w）i（i为虚数单位），则w=（）A．1﹣i B．﹣i C．﹣1+i D．i
12．（2016春?福建月考）已知对于x的方程x2+（1﹣2i）x+3m﹣i=0有实根，则实数m满足（）
A．m≤﹣B．m≥﹣C．m=﹣D．m=
13．（2015?宿州三模）设i为虚数单位，若=b﹣i（a，b∈R），则a+b=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）
A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i
15．（2016?湖南一模）已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．（2016?黄山一模）设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．（2016?徐汇区一模）（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x ﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）
A．B．C．D．
18．（2016?陕西模拟）定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i
19．（2016?榆林一模）设复数z满足z?i=2﹣i，i为虚数单位，
p1：|z|=，
p2：复数z在复平面内对应的点在第四象限；
p3：z的共轭复数为﹣1+2i，
p4：z的虚部为2i．
其中的真命题为（）
A．p1，p3B．p2，p3C．p1，p2D．p1，p4
20．（2016?安徽模拟）设i是虚数单位，复数（a∈R）在平面内对应的点在直线方程x
﹣y+1=0上，则a=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
21．（2016春?深圳校级月考）设x=3+4i，则复数z=x﹣|x|﹣（1﹣i）在复平面上的对应点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．（2015春?福州期中）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）
A．1 B．2 C．D．3
23．（2015?陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣
二．解答题（共7小题）
24．（2016春?衡水校级月考）设复数z=（m2﹣3m+2）+（2m2﹣5m+2）i（m∈R），
（Ⅰ）若z是实数，求m的值；
（Ⅱ）若z对应的点位于复平面第四象限，求m的取值范围．
25．（2015春?新沂市校级期末）已知复数z1=m（m﹣1）+（m﹣1）i，z2=（m+1）+（m2﹣1）i，（m∈R），在复平面内对应的点分别为Z1，Z2．
（1）若z1是纯虚数，求m的值；
（2）若z2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
26．（2015秋?海陵区期末）设z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i．
（1）若z1?z2为纯虚数，求a的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求a取值范围．
27．（2015春?庐江县期末）在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是m2﹣8m+15+
（m2+m﹣12）i．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，点A在虚轴上；
（Ⅱ）当实数m取什么值时，点A位于第四象限．
28．（2015春?湛江期末）已知复数，z1=2+mi．
（1）若|z+z1|=5，求实数m的值；
（2）若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
29．（2015春?潍坊期中）实数m为何值时，复数z=+（m2+8m+15）i
（Ⅰ）为实数；
（Ⅱ）为纯虚数；
（Ⅲ）对应点在第二象限．
30．（2015春?北京校级期中）设z1=1+2ai，z2=a﹣i（a∈R），已知A={z||z﹣z1|≤1}，B={z||z ﹣z2|≤2}，A∩B=Φ，求a的取值范围．
高考复数专题及答案百度文库
一、复数选择题 1．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 2．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35 i C ． 35 D ．65 - 3．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．i C i D i 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．6．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 7．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 8．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3 π而得到.则21 arg()2z z -的值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 43 π 9．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）
数系的扩充和复数的引入教学设计
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
名词的复数练习题
名词的复数练习题 1．给下列的名词加上复数的形式： thriller documentary comedy action movie life knife fry leaf photo radio piano zoo tomato potato bus watch box book map cat film door month 0horse picture class boy tooth woman eye tooth German Chinese man football child classroom monkey tree egg coat Frenchman 2.将下列词组译成汉语： [1]三杯牛奶[2] 一袋大米 [3]三篮子苹果 [4]一碗面条[5]四盒子书[6]七套英语书 [7]五袋子大米[8]三听橘汁[9]八条新闻 [10]一箱香蕉 3. 选择填空： [1].They are________ A:man doctor B:men doctors C:men doctor D:man doctors [2]There are five_____ in the hill. A:sheep B:sheeps C: goose D:deers [3] Those white socks____small. A:are B:is C: am D:do [4]We have many_____in our school. A:woman teacher B:women teachers C: woman teachers D:women teacher [5]Do you like _____? A:vegetable B: vegetables C:an vegetable [6]How many_____do they have? A:picture B: pictures C:a picture [7]There are six ____in the room. A:volleyball B:volleyballs C:a volleyball D:volleyballs [8]Are these ____teachers? A:woman B:women C:womans [9]It is ____. A:milk B:a milk C:an molk D:milks [10]It’s a ____.It isn’t an ____. A:apple, egg B;cake,egg C:egg,orange, D:egg,cake [11]Tom and Jim are ___. A:friends B:friend C:brother D:sister [12]Where are his ____?___the dresser. A:keys ,They are on B:key, They are on C:keys, It is at D:key,It is in [13]Are those your ____? A:bookes B:boxs C:apples D:apple [14]There is ____in our room. A:a picture and five maps B:five maps and a picture C:two pictures and five maps D: two picture and five map
高考复数专题及答案百度文库
一、复数选择题 1．复数11z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i + D ．1122i - 2．设复数1i z i = +，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12i C ．12- D ．12 i - 3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 4．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．复数312i z i = -的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 7．))5511--+＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 8．已知复数512z i = +，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 9．已知复数()211i z i -=+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ?虚部等于（ ）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i - 12．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
新概念名词变复数练习题
新概念英语测试题Lesson 17-18 姓名____________ 学号_____________ 得分_____________ 一.R ead this dialogue. Fill in the missing words.填空。(30分) 二.M r. Jackson: Please come and our employees．You: you, Mr. Jackson．Mr. Jackson: This is Nicola and _________ is Claire．Nicola and Claire: How do you do？ You: ？Mr. Jackson: These are very hard-working．You: What jobs? Mr. Jackson: They’re operators. What’s your ？You: I’m student. And I’m very ,too！ 二.What are their jobs? Choose and write in the best word. 用括 号中正确的词填空。(12分) 三.1What’s her job? –She’s a . (engineer/ housewife） 2 What’s his job? –He’s a ．（policewoman/ postman） 3 What are their jobs? –They’re ．（policeman/ policemen）
4 What’s Michael’s job? –He’s a . (sales rep/ keyboard operators） 5 What’s Mary’s job? –She’s an . (air hostesses/ office girl） 6 What are Mike and Ji m’s jobs? –They’re . (sales rep/ sales reps） 三.Write these numbers in figures.用阿拉伯数字表示以下数词。（12分） two hundred four hundred and two six hundred eight hundred and ten nine hundred a thousand and one 四.Write these regular plural words in the correct columns.根据复数的读音将以下规则的名词复数填入表内。（11分） office assistants sales reps employees office girls jobs keyboard operators mechanics Customs officers air hostesses engineers taxi drivers Plural with a /s/ sound Plural with a/z/ sound Plural with an /iz/ sound 五.Write in the irregular plurals of these nouns.写出以下不规则名词的复数形式。（5分） Housewife - man - woman Postman - policewoman - 六.Complete these sentences using He, She, We or They.完成以下
复数的概念5
复数的概念 1、复数1z ＝3＋i ，2z =1－i,则21z z z ?=在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限内 B 第二象限内 C 第三象限内 D 第四象限内 2、若复数z 满足i z z 2110||-=-，则z ＝ （ ） A －3＋4i B －3－4i C 3－4i D 3＋4i 3、设z 为复数，则“|z|=1”是“z z 1 +∈R ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 4、复数)2(sin cos 1παπαα<
2018高考共轭复数类型题全解(附答案)
共轭复数的运算专项练习(2016—2018高考)(附答案) 2018年 1、（全国卷1）设z=i i +-11+2i , 则z =（ ） A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 2、（全国卷2）=-+i i 2121（ ） A.i 5354-- B.i 5354+- C.i 5453-- D.i 5453+- 3、（全国卷3）（1+i ）（2-i ）=（ ） A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 4、（浙江卷）复数i -12（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 5、（江苏卷）若复数z 满足i ·z=1+2i,其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______ 6、（天津卷）i 是虚数单位，复数 =++i i 2176_______ 7、（北京卷）在复平面内，复数i -11的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2018答案 1、 因为,22)1)(1(211)1(2i i i i i i i i i z i =+-=+-+=++-= -所以,1=z 故选C 。 2、 i i i i i i i 5 453)21)(21()21)(21(2121+-=+-++=-+，故选D 3、 i i i i i i +=-+-=-+322)2)(1(2，选D 4、 因为i i i i i i i +=-+=+-+=-11)1(2)1)(1()1(2122，所以复数i -12的共轭复数为1-I,故选B.
5、 复数i i i i i z -=-+=+= 2))(21(21的实部是2. 6、 i i i i i i i i -=-=-+-+=++45520)21)(21()21)(76(2176 7、 i i i 21212111+=+=-，其共轭复数为i 2121-，对应的点为（21，2 1-），故选D. 2017年 1、设有下面四个命题 1P :若复数z 满足R z ∈1，则R z ∈ 2P :若复数z 满足R z ∈2 ，则R z ∈ 3P : 若复数21,z z 满足R z z ∈21，则21z z = 4P : 若复数R z ∈，则R z ∈. 其中的真命题为 A. 1P ,3P B 1P .4P C. 2P ,3P D. 2P ,4P 2、=++i i 13 A.1+2i B.1-2i C.2+i D. 2-i 3、设复数z 满足（1+i ）z=2i,则z = A.21 B.22 C. 2 D. 2 4、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则a= A.1或-1 B. 7-7或 C. 3- D. 3 5、已知R a ∈，i 为虚数单位，若 i i +-2a 为实数，则a 的值为________. 6、已知i R b a bi a 43,,)(2+=∈+（i 是虚数单位），则=+22b a ________,
最新数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
复数的概念 人教版
1 复数的概念 【学习目标】 1．理解复数的概念． 2．掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件． 3．掌握复数相等的概念及其应用，了解不全是实数的两个复数不能比较大小． 【学习障碍】 1．对虚数单位i 的理解不深导致概念理解不透． 2．应用复数概念时，没有掌握好数集的结构． 3．应用复数相等，联立方程组求解变量时，没有注意变量的取值范围、取舍等问题． 【学习策略】 1．在处理复数有关判断问题时，通常采用特例法，帮助理解复数概念． 2．在应用复数相等的条件时，思维过程要严密，要保证实部、虚部有意义，充分掌握好数集结构． 对于复数f (m )＋g (m )i 有如下判断： (1)表示实数：g (m )＝0 (2)表示纯虚数：f (m )＝0且g (m )≠０ (3)虚数：g (m )≠０ 3、要注意变量取值范围，比如：对数式中应真数大于0；分式分母不为0；无理式中开偶次方根的被开方数大于等于0． 【例题分析】 ［例1］判断各式的对错． (1)若z ∈C ，则z 2≥0 (2)若a >b ，则a ＋i >b ＋i (3)若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2>0，则z 1>z 2 分析：虚数与实数的一个重要区别：虚数不能比较大小，因此，不等式的性质在复数集中部分不适用． 方法：特例法——除解决复数问题，在解决不等式、三角函数等有关问题，也常采用特例法． 解：(1)z 2≥0，当且仅当z ∈R 时成立．如设z ＝i ，则z 2＝－1<0，故(1)错 (2)因a >b ，故a 、b ∈R ，故a ＋i 与b ＋i 都是虚数，不能比较大小，故(2)错 (3)反例：设z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，满足z 1－z 2>0，但z 1，z 2不能比较大小，故(3)错 ［例2］已知复数z ＝(1＋i )m 2＋(5－2i )m ＋6－15i ，实数m 分别为何值时， ①z 是实数；②z 是虚数；③z 是纯虚数 分析：本题直接考查数集的分类： 复数a ＋bi (a ，b ∈R )?? ??????≠=≠=非纯虚数纯虚数虚数实数 0 0 0 0a a b b 在判断一个复数类型时，首先一定要分清所给复数的实部和虚部． 方法：如学习策略2，联立方程组或不等式组． 解：z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ∵m ∈R ，∴z 的实部m 2＋5m ＋6，虚部m 2－2m －15 (1)由m 2－2m －15＝0(m ∈R )∴m ＝5或m ＝－3，∴当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数 (2)由m 2－2m －15≠0(m ∈R )∴m ≠5且m ≠－3， ∴当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数
全国名校高考专题训练-复数
2008年全国名校高考专题训练 13复数 一、选择题 1、(省执信中学、纪念中学、外国语学校三校期末联考)若复数 i i a 213++（a R ∈，i 为虚数 单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.3 2 D.13 答案：A 2、(省皖南八校2008届高三第一次联考)定义运算 bc ad d c b a -=,,，则符合条件 01121=+-+i i i z ，，的复数_ z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限； 答案：A 3、(省市2008届第一次调研考试)若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ） A.－4； B.4； C.－1； D.1； 答案：B 4、(省市2008届高三第一次模拟考试)复数 i i ?--2123=（ ） A ．－i B ．I C ． 22－i D ．－22+i 答案：B 5、(省市2008届高三第二次教学质量检测)计算 242(1)12i i i +---等于（ ） A.0 B.2 C.－4i D.4i 答案：D 6、(市东城区2008年高三综合练习一）若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上
对应的点位于第二象限，则实数a 的取值围是（ ） A ．1>a B ．11<<-a C ．1-- 精心整理 页脚内容 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x = 2（1①a z =（2例题：注意：三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==? bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_ b a z z +=? 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 精心整理 页脚内容 2、复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点 ①位于第三象限；②位于直线x y =上 （2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数 3、复数的模： 向量OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算 （1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2221)()()()())(())(d c i a d bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出 的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 六、常用结论 （1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i 求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：=675i （2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=- （3）1)2321(3=±-i ，1)2 321(3-=±i 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( ) 一、复数选择题 1．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 2 ． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 3．设1z 是虚数，211 1 z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22?? - ???? C ．[]22-, D ．11,00,22 ????-?? ????? ? 4．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ．D ．4 5．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 7．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 8．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 9．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ） A ．1 B C ．2 D ．4 10．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ． 35 B ．15- C ．15 D ． 3 5 11．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 14．复数22 (1)1i i -+=-（ ） A ．1+i B ．-1+i C ．1-i D ．-1-i 15．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0 B ． 12 C ．1 D ．2 二、多选题 16．已知复数2020 11i z i += -(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的虚部为1 C ．z i = D ．||z =17．已知复数z 满足2 20z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0 B ．2- C ．2i D ．2i+1- 18．（多选题）已知集合{ } ,n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+ B ． 11i i -+ C ． 11i i +- D ．()2 1i - 19．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足 1 R z ∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 20．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A ．z 的虚部为3 B ．z = C ．z 的共轭复数为23i + D ．z 是第三象限的点 21．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z = ，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z = C ．若12z z >则12z z > D ．若12z z >，则12z z > 22．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z = §1.1 复数的基本概念 授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系 1、 复数的定义： 设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则 加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++ 乘法：()(),,(,) a b c d ac bd ad bc =-+ 则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b 其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为 a =Re α， b =Im α 纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有 α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1） 其中(0，1)即为虚数单位，常记为i. 2、 复数的相等与大小 两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等. 复数不能比较大小！这一点可用反证法证明： 假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即 20i > 即 -1>0，这显然是错误的！ 3、 几个特殊的复数： (0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=??=? (1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b = (0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1 (0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1) 4、 共轭复数：(,)a b α=，* (,)a b α=-互为共轭复数 性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己） *2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα?=+，为非负实数（α的模方） 5、 复数的减法、除法 减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d ++-+-==+++-++ ↑“分母实数化” 6、 复数的几何表示： （1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起 点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一 矢量（如右图所示） （2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则） γαβ=+ （3） 减法的几何表示： 第十四章 复数 一 、复数的概念 1. 虚数单位：i 规定：（1）21i =-；（2）虚数单位i ，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。 2. 复数:形如a bi +，,a R b R ∈∈的数叫做复数，a 叫实部，b 叫虚部。 3. 复数集：所有复数构成的集合，复数集{},,C x x a bi a R b R ==+∈∈. 4. 分类：0b =时为实数；0b ≠时为虚数，0,0a b =≠时为纯虚数，且R üC . 5. 两个复数相等：a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈ 例1 下面五个命题 ①34i +比24i +大； ②复数32i -的实部为3，虚部为2i -； ③1Z ,2Z 为复数，120Z Z ->，那么12Z Z >；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数； ⑤两个复数相等：a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈. 例2 已知：(1)(1),Z m m i m R =++-∈求Z 为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m 的值。 例3 已知2226()x y i y x i +-=+-，求实数,x y 的值。 二 、复数的几何意义：,,,Z a bi a R b R =+∈∈与点(,)a b 一一对应。 1.复平面：x 轴叫实轴；y 轴叫虚轴。x 轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。 2.Z a bi =+；连接点(,)a b 与原点，得到向量OZ ,点(,)Z a b ，向量OZ ，Z a bi =+之间一一对应。 3.模：2Z a bi OZ a =+== 注：Z 的几何意义：令(,)Z x yi x y R =+∈,则Z =Z 的点到原点的距离就是Z 的几何意义；12Z Z -的几何意义是复平面内表示复数1Z ，2Z 的两点之间的距离。 数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+± 高考总复习：复数 【考纲要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。 3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、复数的有关概念 1.虚数单位i : （1）它的平方等于1-，即2 1i =-； （2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）i 的周期性：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）. 2. 概念 形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。 说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数集 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数z a bi =+（,a b R ∈）， 当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数； 当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数； 当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数； 当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0. 所以复数的分类如下: z a bi =+（,a b R ∈）?(0)(0)00b b a b =?? ≠?=≠?实数；虚数当且时为纯虚数 5.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+?==且. 特别地: 00a bi a b +=?==. 应当理解: （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 6.共轭复数： 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。 考点二：复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算 《数系的扩充和复数的概念》教学设计 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的 分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简 明扼要的概括和总结） 自然数整数有理数无理数实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使 得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问 题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定： （1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数， 我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有： N* N Z Q R C． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复 数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与 零的条件可以确定实数m的值．(完整版)复数知识点归纳
四川省泸州市泸化中学高考复数专题及答案百度文库
1-1复数的基本概念
复数的定义
数系的扩充与复数的引入知识点总结
学习知识资料讲解复数(基础学习知识)
数系的扩充和复数的概念