累加数列错位相减取大差法案例详细讲解

累加数列错位相减取大差法

在非节奏流水施工中，通常采用累加数列错位相减取大差法计算流水步距。由于这种方法是由潘特考夫斯基首先提出的，故又称为潘特考夫斯基法。

基本步骤：

1.每一个施工过程在各施工段上的流水节拍依次累加，求得各施工过程流水节拍的累加数列；

2.将相邻施工过程流水节拍累加数列中的后者错后一位，相减后求得一个差数列；

3.在差数列中取最大值即为这两个相邻施工过程的流水步距。

例题1：

某工程由3个施工过程组成，分为4个施工段进行流水施工，其流水节拍见表，试确定流水步距。

解：(1)求各施工过程流水节拍的累加数列（从第一个施工段开始累加至最后一个施工段）：

施工过程Ⅰ：2578

施工过程Ⅱ：35911

施工过程Ⅲ：37911

(2)错位相减求得差数列：

施工过程Ⅰ：2578

施工过程Ⅱ：35911

相减得222-1-11

施工过程Ⅱ：35911

施工过程Ⅲ：37911

相减得：3222-11

(3)在求得的数列中取最大值求得流水步距：

K1=max{2，2，2，-1，-11}=2

K2=max{3，2，2，2，-11}=3

表示：工序Ⅰ与工序Ⅱ之间的流水步距为2天，工序Ⅱ与工序Ⅲ之间的流水步距为3天。

例题2：

某工程有5座通道，每座通道工序流水节拍如下：挖基2D，清基2D，浇基4D，台身8D，盖板4D，回填6D。浇基后等4D才能施工台身，台身完成后要

等2天才能进行盖板施工。

问题：

（1）计算不窝工的流水工期； （2）计算无多余间歇流水工期；

（3）有窝工且有多余间歇流水时的工期是多少？ 解答：

（1）本题中，5道相同的涵洞，说明有5个施工段，各施工段的施工工艺都一样，均为挖基、清基、浇基、台身、盖板、回填。列入如例题1题干中的表格为：

求各施工过程流水节拍的累加数列，为： 挖基2 4 6 8 10 清基2 4 6 8 10 浇基

4

8

12

16

20

台身816243240

盖板48121620

回填612182430

按照例题1的计算方法，错位相减求得差数列，得各工序之间的流水步距，为：

K1=max{2，2，2，2，2，-10}=2

K2=max{2，0，-2，-4，-6，-20}=2

K3=max{4，0，-4，-8，-12，-40}=4

K4=max{8，12，16，20，24，-20}=24

K5=max{4，2，0，-2，-4，-30}=4

接着计算不窝工的流水工期：

不窝工的无节拍流水工期=流水步距和+最后一道工序流水节拍的和+技术间歇之和，即：

T=ΣK+Σt+ΣZ=(2+2+4+24+4)+5×6+(4+2)=72(天)

注：题中告诉“浇基后等4D才能施工台身，台身完成后要等2天才能进行盖板施工”，说明技术间歇为4+2=6天。最后一道工序为回填，需要6天，一共5道相同的涵洞，则最后一道工序流水节拍的和为5×6=30天。

（2）计算无多余间歇流水工期

各施工段之间的时间间隔计算，同段节拍累加错位相减取大差就等于流水节拍的最大值8。具体计算方法如下：

先进行各段上工序节拍累加，这里并不同于第（1）步中那样将同一工序在

各工段上累加（即表中横向数据累加），而是在一个工段上各工序节拍的累加（即表中竖向数据累加），由于5道涵洞的施工工序及持续时间都一致，因此，每段上节拍的累加都一样，即：

第①道涵洞248162026

第②道涵洞248162026

第③道涵洞248162026

第④道涵洞248162026

第⑤道涵洞248162026

错位相减求得差数列，取最大差，得各工段之间的时间间隔为8天。

接着计算无多余间歇的流水工期：

无多余间歇的无节拍流水工期=施工段间间隔和+最后一个施工段流水节拍的和+技术间歇和，即：

T=(5-1)×8+26+(4+2)=64(天)

注：5个施工段，之间有4个时间间隔。

（3）计算有窝工且有多余间歇流水时的流水工期

有窝工且有多余间歇流水时的流水工期，是第（1）、（2）两问中最短的工期，即无多余间歇流水工期，为64天。

思考：

根据例题2的计算方法，试着计算一下例题1中的“不窝工的流水工期”、“无多余间歇流水工期”以及“有窝工且有多余间歇流水时的流水工期”。

累加数列错位相减取大差法案例详解

累加数列错位相减取大差法 在非节奏流水施工中，通常采用累加数列错位相减取大差法计算流水步距。由于这种方法是由潘特考夫斯基首先提出的，故又称为潘特考夫斯基法。 基本步骤： 1. 对每一个施工过程在各施工段上的流水节拍依次累加，求得各施工过程流水节拍的累加数列； 2. 将相邻施工过程流水节拍累加数列中的后者错后一位，相减后求得一个差数列； 3. 在差数列中取最大值，即为这两个相邻施工过程的流水步距。 例题1： 某工程由3个施工过程组成，分为4个施工段进行流水施工，其流水节拍见表2-1，试确定流水步距。 解：（1）求各施工过程流水节拍的累加数列（从第一个施工段开始累加至最后一个施工段）： 施工过程Ⅰ：2，5，7，8 施工过程Ⅱ：3，5，9，11 施工过程Ⅲ：3，7，9，11

（2）错位相减求得差数列： 施工过程Ⅰ： 2，5，7，8 施工过程Ⅱ： 3，5，9，11 相减，得： 2，2，2，-1，-11 施工过程Ⅱ： 3，5，9，11 施工过程Ⅲ： 3，7，9，11 相减，得： 3，2，2，2，-11 （3）在求得的数列中取最大值求得流水步距： K1=max{2，2，2，-1，-11}=2 K2=max{3，2，2，2，-11}=3 表示：工序Ⅰ与工序Ⅱ之间的流水步距为2天，工序Ⅱ与工序Ⅲ之间的流水步距为3天。 例题2： 某工程有5座通道，每座通道工序流水节拍如下：挖基2D，清基2D，浇基4D，台身8D，盖板4D，回填6D。浇基后等4D才能施工台身，台身完成后要等2天才能进行盖板施工。 问题： （1）计算不窝工的流水工期； （2）计算无多余间歇流水工期； （3）有窝工且有多余间歇流水时的工期是多少？

错位相减法-(含答案)

— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。

由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[

(完整word版)数列专题错位相减求和

高一数学第七周周考 一、解答题 1．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111a b ==，327a b +=，5313a b +=． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15555==S a ，． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{2}n n a ?的前n 项和为n T 3．已知数列{}n a 满足12a =，2*112( )()n n n a a n N n ++=?∈ （1）求证:数列2n a n ?????? 是等比数列，并求其通项公式； （2）设22 3log ()26n n a b n =-，求数列{ }n b 的前n 项和n T ； 4．已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 2 11-=.（12分） （1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2） 记n n n b a c ?=,求数列{}n c 的前n 项和n T 5．已知数列{a n }的前n 项和s n 满足S n =2n 2﹣13n （n ∈N * ）． （1）求通项公式a n ； （2）令c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 6．等差数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且3547a a a +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足不等式32n n S a <-的n 的值．

数列求和方法-错位相减法-分组求和

错位相减法求和 如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例1． 已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。 例2 求和S n = n n n n 2 12232252321132-+-++++- 例3：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。 例4设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且 1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．求数列n n a b ?????? 的前n 项和n S ．

例5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3 n-1a n ＝ 3n ,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项; (2)设n n a n b = ,求数列{b n }的前n 项和S n . 分组求和 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1：S n =-1+3-5+7-…+(-1)n (2n-1) 例2已知数列{}n a 的前五项是111111,2,3,4,5,392781243 （1）写出该数列的一个通项公式； (2)求该数列的前n 项和n S . 例3 求下面数列的前n 项和： 1147(3n 2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121a a a n -

例4 求数列:1223 131311,,31311,311,1n +++++++ 的前n 项的和. 例5求2222121234(1)n S n -=-+-+ +-（n N +∈） 例6、求和:??? ? ??+++???? ??++???? ?? +n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 例7 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

一建实务累加数列错位相减取大差法案例详解(一级建造师公路实务)

一级建造师公路实务 累加数列错位相减取大差法案例详解 在非节奏流水施工中，通常采用累加数列错位相减取大差法计算流水步距。由于这种方法是由潘特考夫斯基首先提出的，故又称为潘特考夫斯基法。 基本步骤： 1.每一个施工过程在各施工段上的流水节拍依次累加，求得各施工过程流水节拍的累加数列； 2.将相邻施工过程流水节拍累加数列中的后者错后一位，相减后求得一个差数列； 3.在差数列中取最大值即为这两个相邻施工过程的流水步距。 例题1： 某工程由3个施工过程组成，分为4个施工段进行流水施工，其流水节拍见表，试确定流水步距。 施工过程(工序) 施工段 ①②③④ Ⅰ2321 Ⅱ3242 Ⅲ3422解：(1)求各施工过程流水节拍的累加数列（从第一个施工段开始累加至最后一个施工段）： 施工过程Ⅰ：2578

施工过程Ⅱ：35911 施工过程Ⅲ：37911 (2)错位相减求得差数列： 施工过程Ⅰ：2578 施工过程Ⅱ：35911 相减得：222-1-11 施工过程Ⅱ：35911 施工过程Ⅲ：37911 相减得：3222-11 (3)在求得的数列中取最大值求得流水步距： K1=max{2，2，2，-1，-11}=2 K2=max{3，2，2，2，-11}=3 表示：工序Ⅰ与工序Ⅱ之间的流水步距为2天，工序Ⅱ与工序Ⅲ之间的流水步距为3天。 例题2： 某工程有5座通道，每座通道工序流水节拍如下：挖基2D，清基2D，浇基4D，台身8D，盖板4D，回填6D。浇基后等4D才能施工台身，台身完成后要等2天才能进行盖板施工。 问题：

（1）计算不窝工的流水工期； （2）计算无多余间歇流水工期； （3）有窝工且有多余间歇流水时的工期是多少？ 解答： （1）本题中，5道相同的涵洞，说明有5个施工段，各施工段的施工工艺都一样，均为挖基、清基、浇基、台身、盖板、回填。列入如例题1题干中的表格为： 施工过程（工序） 施工段（涵洞序号） ①②③④⑤ 挖基22222清基22222浇基44444台身88888盖板44444回填66666求各施工过程流水节拍的累加数列，为： 挖基246810 清基246810 浇基48121620 台身816243240 盖板48121620

错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列?的前 项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上? (I)求数列的通项公式; (n)设，,■是数列的前」项和，求?’? ［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般 ［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点， 则设, 又点「均在函数的图象上， 二当心时,?、、= J ；：? ；?■■■ L］ 5 T

又忙：=.：「=乜，适合上式,

I ............................................... （7 分） （n）由（i）知 - 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2 ? ? ：' - 'I+（2?+ l）^"kl,上面两式相减得 =3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】 卜2* 4屮一才丨, , : ■ . 1=2 整理得：，?................. 2.已知数列’的各项均为正数，是数列’ （14 分）的前n项和，且 （1）求数列’的通项公式； （2）二知二一- ［答案］查看解析 解出a i = 3, ［解 析］ 又4S n = a n? + 2a n —3 ①

数列练习题(裂项相消法、错位相减法)

数列练习题 一、单选题 1．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 二、填空题 2．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则7S 的值为___________. 三、解答题 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足132a a =，是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）是否存在n 值，使得{}n a 的前n 项和27n S =？

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若112 n a n n n b a a +=+?，求数列{b n }的前n 项和S n ． 6．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332 b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n n a c b += ，求数列{}n c 的前n 项和n T .

7．已知数列{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 8．已知等差数列{}n a 满足23a =，4822a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的前n 项的和235n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．

数列求和之错位相减法练习

数列求和之错位相减法专项练习 一、解答题 1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2?a4=6，a6=4． (1)求数列{a a}的通项公式； }的前n项和． (2)求数列{a a 2a?1 2.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a? a a?1(a≥2)． 3.(1)设a a=a a?1，求证：{a a}为等比数列． 4.(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a． 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a?1)

(1)求数列{a a}的通项公式； (2)若a a=a(a a?1)，求数列{a a}的前n项和a a． 13.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{a a}的通项公式； (2)求数列{a a 2a a }的前n项和a a ． 14.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的 等比中项，a a为{a a}的前n项和． (1)求a a及a a； (2)若a a=a a+1?3a a，求数列{a a}的前n项和．

15.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且 a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公 式； 16.(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a． 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+ a a+1. (1)求数列{a a}的通项公式； (2)令a a=(a a+1) (a a+2)a a+1 ，求数列{a a}的前n项和．

错位相减法数列求和法

特定数列求和法一错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程： 数列a n 是由第一项为a i ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 由已知有 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。可以归纳数学模型如下： S n a i a i q a i q 2 a i q n i ，求S n 的通项公式。 两端同乘以 q ，有 i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ... qs n aiq 2 aiq 3 a i q n ... (1 q)s n a i n a i q 由①可得 由③可得 S n s n S n n a i (q i)或者 na i i)

已知数列4是以a i 为首项，d 为公差的等差数列，数列 0是以b i 为首 项，q(q 1)为公比的等比数列，数列C n a n b n ，求数列C n 的前n 项和. 解 由已知可知 许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式， 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知 这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解， 得另 找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知: a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N (1)求a 1，并求数列｛a n ｝的通项公式 (2)求数列｛na n ｝的前n 项和. 两端同乘以q 可得 qC n a1?q :a 1b 2 a 2 b 2q a ? b 3 asdq 83 匕4 .. . ...a n 1 b n 1 q a n b n q a n 1b n a n b n q 由①-②得 (1 q)C n a 1 b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1 b n ) a n b n q 化简得 C n Cd d(b 2 b 3 ... b n 1 b n ) a n b n q / (q C n a i b 1 a 2b 2 a 3b 3 ■■- i q

利用错位相减法解决数列求和的答题模板

利用错位相减法解决数列求和的答题模板 数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力． [典例] ( 满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12 n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，求a n ； (2)求数列???? ??9－2a n 2n 的前n 项和T n . 规范审题模板 1．审条件，挖解题信息 观察条件―→S n ＝－12 n 2＋kn 及S n 的最大值为8 n S n ???????→是于的二次函关数 当n ＝k 时，S n 取得最大值 2．审结论，明解题方向 观察所求结论 ―→求k 的值及a n ――――→应建立关于k 的方程S n 的最大值为8，即S k ＝8，k ＝4n S ?????→可求的表式达 S n ＝－12n 2＋4n 3．建联系，找解题突破口 根据已知条件，可利用a n 与S n 的关系求通项公式 ―――――→注意公式的使用条件a n ＝S n －S n －1＝92－n n ，a 1＝S 1＝72 ―――――→验证n ＝1时，a n 是否成立a n ＝92－n 教你快速规范审题

1．审条件，挖解题信息 观察条件―→a n ＝92－n 及数列???? ??9－2a n 2n 922n n a ?????????????→－可化列简数 9－2a n 2n ＝n 2 n －1 2．审结论，明解题方向 观察所求结论―→求数列??????9－2a n 2n 的前n 项和T n 12n n ???????→－分析通的特项点 可利用错位相减法求和 3．建联系，找解题突破口 ――――→同乘以2 ――――→错位相减

错位相减法数列求和法(供参考)

特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++

累加数列错位相减取大差法案例详解

累加数列错位相减取大差法案例详 解 累加数列错位相减取大差法 在非节奏流水施工中，通常采用累加数列错位相减取大差法计算流水步距。由于这种方法是由潘特考夫斯基首先提出的，故又称为潘特考夫斯基法。 基本步骤： 1.对每一个施工过程在各施工段上的流水节拍依次累加，求得各施工过程流水节拍的累加数列； 2?将相邻施工过程流水节拍累加数列中的后者错后一位，相减后求得一个差数列； 3.在差数列中取最大值，即为这两个相邻施工过程的流水步距。 例题1: 某工程由3个施工过程组成，分为4个施工段进行流水施工，其 流水节拍见表2-1，试确定流水步距

解：（1）求各施工过程流水节拍的累加数列（从第一个施工段开始累加至最后一个施工段）： 施工过程I: 2, 5, 7, 8 施工过程皿：3, 7, 9, 11

（2）错位相减求得差数列: 施工过程I : 2, 5, 7, 8 施工过程II：3, 5, 9, 11 相减, 2, 2, 2, -1, -11 施工过程II：3, 5, 9, 11 施工过程皿：3, 7, 9, 11 相减，得: 3, 2, 2, 2, -11 （3）在求得的数列中取最大值求得流水步距： Ki=max{2, 2, 2, -1, -11}=2 K2=max{3, 2, 2, 2, -11}=3 表示：工序I与工序ii之间的流水步距为2天，工序II与工序in 之间的流水步距为3天。 例题厶 某工程有5座通道，每座通道工序流水节拍如下：挖基2D,清基2D,浇基4D,台身8D,盖板4D,回填6D。浇基后等4D才能施工台身，台身完成后要等2天才能进行盖板施工。 问题： （1）计算不窝工的流水工期； （2）计算无多余间歇流水工期； （3）有窝工且有多余间歇流水时的工期是多少？

【易错点16】数列错位相减法求和

【芝罘区数学】 【芝罘区数学】 1 【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。 例16、已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a =++= （1）求数列{}n a 的通项公式（2）令()n n n b a x x R =∈求数列{}n b 前项和的公式。 【思维分析】本题根据条件确定数列{}n a 的通项公式再由数列{}n b 的通项公式分析可知数列{}n b 是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得2n a n = （2）由（1）得2n n b nx =令n s =232462n x x x nx ++++ （Ⅰ）则 ()23124212n n n xs x x n x nx +=+++-+ （Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得()231122222n n n x s x x x x nx +-=++++- 当1x ≠()11211n n n x x s nx x x +??-??=---???? 当1x =时()24621n s n n n =++++=+ 综上可得： 当1x ≠()11211n n n x x s nx x x +??-??=---???? 当1x =时()24621n s n n n =++++=+ 【知识点归类点拔】一般情况下对于数列{}n c 有n n n c a b =其中数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，则其前n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练16】已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++ () ,0,0n N a b +∈>>当a b =时，求数列{}n a 的前n 项和n s 答案：1a ≠时()()()21221221n n n n a n a a a s a +++-+-+=-当1a =时() 32n n n s +=.

高中数学_数列求和之错位相减法教学设计学情分析教材分析课后反思

错位相减法是非等差等比数列求和中运算较繁琐的一种。教师不是直接给出方法，再让学生进行针对性解题练习，而是留出足够时间，先让学生先经历迷茫，由此产生强烈的求知欲望，老师“点到为止”，再让学生尽量自己找到解决办法，通过经历求解过程来充分暴露方法的利弊，最终找到解决的最佳途径。具体设计如下： 老师：在前面我们已经复习了等差等比数列的求和公式，本节课我们来研究非等差等比数列的求和问题。你回想一下当初等比数列前n项和的公式的推导过程． 学生：等比数列前n项的和的公式的推导过程是这样的：先写出一式，再写出二式，然后把两式相减，再分情况化简求得．老师：你能将这种方法应用到一个等差数列乘以一个等比数列形式的数列求和吗？ 学生：数列的各项由一个常数等差数列和一个等比数列对应项相乘而得的，那么这种求和的方法一定可以参考。 这句话激起了下面学生的兴趣，好多学生情绪高涨，班里传出窃窃讨论声。 学生：我把两式相减，左式按次数提取公因式 老师：这样的结果是否正确？ 有一个学生指出最后一项前的运算符号应是“减号”． 老师：说得对．这种提公因式的方法很巧妙，不但简化了计算，还转化为等比数列的求和问题．但因为项数比较多，大家是否会觉得容易算错？

学生很有感触地点点头。 老师：现在教你们一个方法。 这时学生都瞪大眼睛，全神贯注地听着。 老师：我们把计算时的书写格式作一下改变，使之上下行且下一行往后错一项，两式错项对应相减即可得。 学生：这样对应着写就不容易搞错了！ 老师:因为是前面乘以等比数列的公比，我们把这种求和的方法叫做错位相减法．现在，请你们总结一下什么样的数列求和可用此法? 给学生留一段思考空间后，老师请一位学生起来回答：如果这个数列是由等差和等比数列对应项相乘而得的，可用错位相减法．老师:总结的很好．能否再说说看求解的时候要注意哪些地方? 学生1:相减是错开一项后相减，且右式的最后一项是“减号”．学生2:还要注意相减后的等比数列的首项、公比和项数． 老师总结：同学们把要注意的地方已经找出来了．错位相减法求和，实质都是把非等差等比数列转化为等差或等比数列的求和问题来解决这种转换的思想即为数学中的“化归”思想。 学情分析： 本节课学生是在掌握了等差数列和等比数列的两种特殊数列的 基础上探究对非等差等比数列的求和问题。学生的自主探索，动手练习，课堂讨论，归纳总结的能力，运算能力都比较薄弱，需要进一步培养和提高。整堂课力图以学生探究、师生交流和教师讲授相结合的方式来展开，提高学生灵活运用错位相减法求和的能力。

【造价工程师】2018造价-案例-精讲-37、(2018)第二章-异节奏流水施工及非节奏流水施工-精编

第七节异节奏流水施工 一、异步距流水施工的特点 ④各个专业工作队在施工段上能够连续作业，施工段之间可能空闲时间。 二、等步距流水施工方式的特点 大的施工过程，可按其倍数增加相应专业工作队数目； ④各个专业工作队在施工段上能够连续作业，施工段之间没有空闲时间。 ⑤ 式中n’——专业工作队数目，其余符号如前所述。 三、异节奏流水施工示例 【例题1·案例题】 某建设工程由四幢大板结构楼房组成，每幢楼房为一个施工段，施工过程划分为基础工程、结构安装、室内装修和室外工程4项，其流水节拍分别为：5周、10周、10周、5周。 【问题】等步距流水施工如何安排？画出横道图并计算工期。 【分析】 异步距流水施工流水施工进度计划如下图所示。

总工期为：T0=(5+10+25)+4×5=60周 （注：计算方法此处未介绍，可按下一节“非节奏流水”计算。） 【参考答案】 (1)计算流水步距 流水步距等于流水节拍的最大公约数：K=min[5，10，10，5]=5（周） (2)确定专业工作队数目 【做法分析： 每个施工过程成立的专业工作队数目可按下式计算： b j=t j/K 式中b j——第j个施工过程的专业工作队数目； t j——第／个施工过程的流水节拍； K——流水步距。】 本题目各施工过程的专业工作队数目分别为： I——基础工程：bⅠ= 5／5=1 （个） Ⅱ——结构安装：bⅡ=10／5=2 （个） Ⅲ——室内装修：bⅢ=10／5=2 （个） Ⅳ——室外工程：bⅣ= 5／5=1 （个） 专业工作队总数：n’=(1+2+2+1)=6 （个） (3) 等步距流水施工进度计划如下图所示。 (4) 流水施工工期 流水施工工期为：T=(m + n’-1)K=(4+6-1)×5=45(周) 【分析：与异步距流水施工进度计划比较，等步距流水施工使总工期缩短了15周。请分析，这15周和上面的60周关系？】 第八节非节奏流水施工（掌握）

高中数学数列求和-错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可. 目录 简介 举例 错位相减法解题 编辑本段简介 错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列. 编辑本段举例 例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 编辑本段错位相减法解题 错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）用（1）—（2）,得到等式（3）如下：（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S 的通用公式了.例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n

(完整word版)数列求和之错位相减法、倒序相加法

数列求和之错位相减法、倒序相加法 1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。 步骤：此时可把式子 的两边同乘以公比 q (q 10且 q 11)，得到 ，两式错位相减整理即可求出 S n . 2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。 【例1】已知数列2 1 1,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠L ，求前n 项和. 【例2】已知 a n { } 是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 6 =55,a 2+a 7=16 （Ⅰ）求数列 a n {}的通项公式： （Ⅱ）若数列 a n { } 和数列 b n { } 满足等式:2 n n n a b =，求数列 b n {} 的前n 项和S n . 【例3】求和：22 2 2 sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L

【例4】已知函数()()R x x f x ∈+= 2 41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上 的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为2 1． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1,Λ=∈?? ? ??=，求数列{}n a 的前m 项的和m S ； 【变式训练】 1、已知数列26a --，14a --，2-，0,2a ，24a ，...，（-8+2n ）3 n a -求前n 项和. 2、若数列 {}n a 的通项公式为23n a n =+，数列 b n { } 满足等式:2n n n b a =，求数列 b n { } 的 前n 项和S n

等差乘等比型-错位相减法

“错位相减法”并非“等差乘等比型”数列求和的唯一方法 ——具有突破观念性的创新型解法—裂项求和 内蒙古自治区巴彦淖尔市奋斗中学 0504班 陈一帆 指导老师：李国梅 一、问题的提出 我们都知道，高一课本第一册（上）在推导等比数列前n 项和公式1(1)1n n a q S q -=- (1)q ≠的过程中运用了著名的“错位相减法” ，随即在书中的第137页复习参考题三B 组中出现了运用该方法来解决的求和问题：6、2123S x x =+++……1n nx -+。 这类数列的主要特征是：已知数列{}n C 满足n n n C a b =?其中{}n a 等差，{}n b 等比且公比不等于1，老师们形象地称这类数列{}n C 为“等差乘等比型”数列。求这类数列前n 项的和时通常在和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法即所谓的“错位相减法”。 而且近年来的各地乃至全国高考的试卷中频频出现此类型的数列的求和问题，解法当然是不变的“错位相减法”，而且老师在平时的讲题中也一再强调该类型的前n 项和只能用错位相减法来解决，似乎成了“自古华山一条道”的绝法。 难道真的没有其他的解决方法了吗？ 这的确没有让我墨守成规，反而激起了我无限的探索欲。 二、特例解决带来的启发 当1q ≠时等比数列{}n a 通项11n n a a q -=可变形为n a =11111()11n n n a q a q q q q q ---?=--- 于是前n 项和1121[(1)()1n a S q q q q =-+-+-…+1()n n q q --]=1(1)1n a q q -- 受到上面变形的启发，我想既然等比数列的通项可以裂成两项的差的形式，那么公比不为1的“等差乘等比型”数列的通项如果也能裂成类似的形式，那么让我苦思冥想的那个求和方法不就神奇的找到了吗？在此之前，我们老师还一再强调此类数列的求和不能用裂项相消，如果这一设想成功的话，算不算是观念和方法上的一次突破。 三、一个方法的发现 裂项求和也是数列求和中最常用的一种方法，它的本质是将数列中的每一项都化为两项之差，并且前一项的减数恰好与后一项被减数相同，求和时中间项相抵消。裂项求

数列求和裂项法错位相减法分组求和法

数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020.

数列求和的三种特殊求法 例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和 例2、求下列数列的前n 项和： （1）211，412，813，……n n 21+，…… （2）1，211+，3211 ++…… n +??+++3211 …… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）,,，……，……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+= n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n = 1 1++n n ，求S n （4）求和：+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。 练习：求和：21，223，325，……n n 2 1 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且 ，则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a A ．)12(-n n B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法 分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列） 数列求和的思维策略： 从通项入手，寻找数列特点

错位相减法的运用

错位相减法的运用 错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如{}n n b a 的数列，其中{n a }为等差数列，{}n b 为等比数列；分别列出n S ，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q ，即n qS ；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。 典型例题： 例 1. （2012年四川省文12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且 11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1 {lg }n a 的前n 项和最大？ 【解析】（I ）由题意，n=1时，由已知可知11(2)0a a λ-=，分类讨论：由1a =0及1a 0≠，结合数列的和与项的递推公式可求。 （II ）由10a >且100λ=时，令1 lg n n b a =，则2lg2n b n =-，结合数列的单调性可 求和的最大项 。 【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得21112=2a S a λ=，∴11(2)0a a λ-=。 若1a =0，则1S =0, 当n 2≥时，1=0n n n a S S --=。 若1a 0≠，则12 a λ =， 当n 2≥时，2 2n n a S λ = +，112 2n n a S λ --= +， 两个相减得：12n n a a -=，∴n 2n a λ = 。∴数列{}n a 公比是2的等比数列。 综上所述，若1a =0, 则 n 0a =；若1a 0≠，则n 2n a λ =。 （Ⅱ）当10a >且100λ=时，令1 lg n n b a =，则2lg 2n b n =-。 ∴{}n b 是单调递减的等差数列（公差为－lg2） 则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100 lg 2100lg 6 =>=； 当n≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100 lg 2 100lg 7=<=。 ∴数列{lg n a 1}的前6项的和最大，即当n =6时，数列1 {lg }n a 的前n 项和最大。 【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应 用。 例2. （2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.