第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 解析版
第四章 第2节
1．(2020·内江市一模)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)
B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)
C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝????12
，－34 解析：B [对于A ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底．
对于B ，e 1，e 2是两个不共线向量，故可作为基底．
对于C ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底．
对于D ，e 1∥e 2，e 1，e 2是两个共线向量，故不可作为基底．故选B.]
2．(2020·包头市一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，1)．若a ＋b 与a 平行，则λ＝( )
A ．－5
B.52 C ．7 D ．－12
解析：D [∵向量a ＝(－1,2)，b ＝(λ，1)，∴a ＋b ＝(－1＋λ，3)，
∵a ＋b 与a 平行，∴－1＋λ－1
＝32，解得λ＝－12.] 3．(2020·孝义市模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(－3，－2m)，b ＝(1，m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B.???
?65，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)
D.????－∞，65∪???
?65，＋∞ 解析：D [由题意可知a ，b 为一组基向量，故a ，b 不共线，
∴－2m ≠3(m －2)，即m ≠65
.故选D.] 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
解析：D [设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．]
5．已知非零不共线向量OA →、OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且P A →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
解析：A [由P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以
?????
x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.] 6．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ ________ .
解析：因为2a ＋b ＝(4,2)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2－λ×4＝0，解得λ＝12
. 答案：12
7．(2020·柳州市模拟)设A (1,1)、B ?
???4，112，点C 满足AC →＝2CB →，则点C 到原点O 的距离为 ________ . 解析：∵AC →＝2CB →，
∴OC →－OA →＝2(OB →－OC →)，
∴OC →＝13(OA →＋2OB →)＝13?
???(1，1)＋2????4，112 ＝(3,4)．
∴|OC →|＝5，即点C 到原点O 的距离为5.
答案：5
8．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝ ________ .
解析：因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，
所以a 2＋b 2－c 2
＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 结合余弦定理知，cos C ＝12
，又0° 9．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，BC 的中点，且|DM |＝1，|DN | ＝2，∠MDN ＝π3 . (1)试用向量AB →，AD →表示向量DM →，DN →； (2)求|AB →|，|AD →|； (3)设O 为△ADM 的重心(三角形三条中线的交点)，若AO →＝xAD →＋yAM →，求x ，y 的值． 解： (1)如图所示， DM →＝DA →＋AM →＝12 AB →－AD →； DN →＝DC →＋CN →＝AB →＋12CB →＝AB →－12 AD →. (2)由(1)知AD →＝23DN →－43 DM →， AB →＝43DN →－23 DM →， 所以|AD →|＝????23DN →－43DM →2＝43，|AB →|＝????43DN →－23DM →2＝2313. (3)由重心性质知：AO →＋DO →＋MO →＝0，所以有： 0＝xAD →＋yAM →＋OA →＝x (AO →－DO →)＋y (AO →－MO →)－AO →＝(x ＋y －1)AO →＋(－x )DO →＋(－y )MO →. 所以(x ＋y －1)∶(－x )∶(－y )＝1∶1∶1?x ＝y ＝13 . 10．已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？P 在第三象限？ (2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 解：(1)∵AB →＝(3,3)， ∴OP →＝(1,2)＋(3t,3t )＝(3t ＋1,3t ＋2)， 若点P 在x 轴上，则3t ＋2＝0，解得t ＝－23 ； 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，解得t ＝－13 ； 若点P 在第三象限，则????? 1＋3t <0，2＋3t <0.解得t <－23. (2)不能，若四边形OABP 成为平行四边形， 则OP →＝AB →，∴????? 1＋3t ＝3，2＋3t ＝3. ∵该方程组无解， ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.