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2012-10-241
第八讲函数的连续性与间断点
第八、九节函数的连续性与间断点一、连续函数的概念
二. 函数的间断点
三.连续函数的运算及其基本性质四.初等函数的连续性
一、连续函数的概念
极限形式增量形式
设f (x ) 在U(x 0) 内有定义,若
1.函数连续性的定义(极限形式)
定义
是整个邻域)
()(lim 0 0
x f x f x x =→则称函数f (x ) 在点x 0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数f (x ) 在点x 0 处连续, 应该满足以下三点:(1) f (x ) 在U(x 0) 内有定义;(包括在点x 0 处有定义)
li . )( )3(0x f a =(极限值等于函数在点x 0 处的函数值)
)(lim )2(0
;存在a x f x x =→) )( , ( 0有极限时x f x x →函数y = x 2 在点x = 0 处是否连续? 0
lim 2=x 又∵y = x 2 在U(0) 内有定义,
例1解
6
→x ∴函数y = x 2 在点x = 0 处连续.
且
2
====x x x y
2.连续性的《ε-δ语言》形式
设函数f (x ) 在U(x 0) 内有定义.?ε>0, 若?δ>0, 当| x ?x 0 | < δ时, 有
f ))|0
x x x ?=Δ定义
函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以
运用《ε?δ》语言描述它.
则称函数f (x ) 在点x 0 处是连续的.
|f (x ) ?f (x 0) | < ε
成立,)
()(0x f x f y ?=Δ 3.连续性概念的增量形式
在某过程中, 变量u 的终值u 2 与它的初值u 1 的差u 2 ?u 1, 称为变量u 在u 1处的增量, 记为Δu = u 2-u 1.
定义
Δu 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称Δu 为变量u 在u 1 处的差分.
设函数f (x )在U(x 0)内有定义,x ∈U(x 0),则称Δx =x ?x 0为自变量x 在x 0点处的增量.
Δx
Δy y y = f (x )
= f (x 0+ Δx ) ?f (x 0)
Δy = f (x ) ?f (x 0)O
x 0
x
x
此时, x = x 0 + Δx , 相应地, 函数在点x 0 点处有增量Δy
连续性概念的增量形式
lim 0
=Δ→Δy x )
(0x x x ?=Δf )设f (x ) 在U(x 0) 内有定义. 若
定义
则称f (x ) 在点x 0 处连续.
自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.
4.函数的左、右连续性
设函数f (x ) 在[x 0, x 0+δ) 内有定义. 若
)()(lim 00
x f x f x x =+
→则称f (x ) 在x 0 点处右连续.
设函数f x ) 在x –δ, x 0] 内有定义. 若定义
f ()(0,0 ]
则称f (x ) 在x 0 点处左连续.
其中, δ>0为任意常数.
)()(lim 00
x f x f x x =?
→)
()(lim 0
x f x f x x =→??
)()(lim )(lim 00
x f x f x f x x x x ==?
+
→→函数在点定理x 0连续, 等价于它在点x 0既
左连续又右连续.
5.函数在区间上的连续性
设函数f (x ) 在开区间(a ,b ) 内有定义.若?x 0∈(a ,b ), f (x ) 在点x 0 处连续,
))定义
则称f (x ) 在开区间(a ,b ) 内连续, 记为
f (x )∈C ( (a , b ) ).
若f (x )∈C ( (a , b ) ), 且f (x ) 在x = a 处右连续, 在端点x = b 处左连续, 则称函数定义
f (x ) 在闭区间[a , b ] 上连续, 记为
f (x )∈C ( [a , b ] ).
对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性
二. 函数的间断点
通常将函数的不连续点叫做
函数的间断点.
函数f (x ) 在点x 0 处连续, 应该满足以下三点:(1) f (x ) 在U(x 0) 内有定义; (包括在点x 0 处有定义)
(极限值等于函数在点x 0 处的函数值)
; )(lim )2(0
存在a x f x x =→)
)( , ( 0有极限时x f x x →. )( )3(0x f a =(1))01.函数间断点的定义
满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数f (x )
若函数f (x ) 在U()0x
内有定义, 且在点x 0 处
在点x 0 处间断, 点x 0 称为函数f (x ) 的一个间断点:
定义
(1) f (x ) 在x 0 处无定义.
.
)(lim (2)0
不存在a x f x x =→()()()0
03lim
,x x
f x a a f x →=≠但求函数间断点的途径求函数间断点的途径::
(1) f (x )在x 0 处无定义, 但f (x ) 在U()0x
内有定义.(2)中至少有一个不存在.
)(lim )(lim 0
x f x f x x x x ?
+
→→与(3)存在, 但不相等.)(lim )(lim 0
x f x f x
x x x ?+→→与(4)但a ≠f (x 0).
,)(lim )(lim 0
a x f x f x x x x ==?+→→间断第一类间断点
)0()0()(000+=?x f x f x f 无定义,但可去间断点跳跃间断点:
)
()0()0()(0000
x f x f x f x f ≠+=?但有定义,
00(0)(0)
f x f x ?≠+特点:左右极限
都存在点的分类
第二类间断点:无穷间断点;震荡间断点。
都存在。特点:左右极限至少有一个不存在
可能出现间断的地方:1)使函数无意义的点;
2)分段函数的分界点
o
x
y
x o o x
x
y
y
x 0x 第一类间断点可去间断点
跳跃间断点
o
x
y
x 第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
三.连续函数的运算及其基本性质
回忆函数极限的四则运算
, )(lim 0
a x f x x =→,
)(lim 0
b x g x x =→则
现在怎么说?
()()→0设当x x 时,函数f x ,g x 的极限存在
()()0,f x g x x 设函数在点处连续)(0x f )(0x g b a x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 0
b a x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0
)0( )(lim )(lim )()(lim 0
0≠==→→→b b
a x g x f x g x f x x x x x x 0
)]()([)()(00x x x g x f x g x f =?=
?0
000()() ( ()0 )()()x x f x f x g x g x g x ==≠()()()()000x x f x g x f x g x =±=±????
反函数的连续性
y
从几何上看:
x =f -1(y )与y =f (x )
的图形相同,从而, )
(1
y f x ?=)
(x f y =)
(1x f y ?=O x
y = f -1(x ) 的图形只是y = f (x ) 的图形绕直线y = x
翻转180o而成, 故单调性、连续性仍保持.
连续性保持.
单调性、设函数y = f (x ) 在区间I 上严格单调增加
(减少) 且连续,则其反函数)(1
y f x ?=在相应的
定理3
(反函数连续性定理)
区间I*={y |y =f (x ),x ∈I }上严格单调增加(减少)且连续.
y
2
π
2
π
?
y
1
例11x
2
π
?
1
?1
O
增加
单调
) ]1 ,1[ (arcsin ?∈=C x y 2
π
x
?1
O
增加
单调 ) ]2
,2[ (sin π
π?∈=C x y 设函数u = ?(x ) 在点x 0 处连续, 且u 0=?(x 0),
函数y =f (u )在u 0处连续.
=)定理4
(复
若复合函数y f (?(x ))在U(x 0) 内则y = f (?(x )) 在x 0 点处连续.
有定义,这个条件有必要吗?
有
, u y =尽管u = cos x ?1 是在定义域内
的定义域是一个孤立点集
1cos ?=x y 但由它们构成的复合函数连续的函数,例12
的定义域是个孤立点集
D = { x | x = 2k π, k ∈Z }
1cos ?=x y 从而, 函数在其定义域内的每一点均不连续.
在定理4 的条件下,
))
(lim ())((lim 0
x f x f x x x x ??→→=推论
在定理4 的条件下, 极限符号可与连续函数
符号交换顺序.
x
x
x x e
e
20
2
sin lim sin 0
lim →=→1
0==e 求x
x e
2
sin
lim →例13
解
设函数u = ?(x ) 的极限存在:函数y = f (u ) 在点u = a 处连续.
,a x x
x =→)(lim 0
?∧
定理5
复合函数f (?(x )) 当x →x 0时的极限存在, 且
()0U x )
())(lim ())((lim 0
a f x f x f x x x x ==→→??若复合函数f (?(x ))在内有定义, 则求0
sin lim ln
x x x
→y = ln u 在其定义域内连续,
, 0 sin 处无定义在点==
x x
u 例14解
x
,
1sin lim
0=→x
x
x 但故=→x x x sin ln lim 0
1ln ] sin lim [ ln 0==→x
x
x (y = ln u 在u = 1 处连续)
四.初等函数的连续性
基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.
注意两者的区别!
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0
第四章 函数的连续性 ● 引言 在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数.从今天开始,我们就来看看这类函数的特点.主要讲以下几个问题: 1.什么是“函数的连续性”? 2.“间断”或“不连续”有哪些情形? 3.连续函数有哪些性质? 4.初等函数的连续性有何特点? §1 连续性概念 ● 引言 “连续”与“间断”(不连续)照字面上来讲,是不难理解的.例如下图1中的函数()y f x =,我们说它是连续的,而图2中的函数在0x 处是间断的. 由此可见,所谓“连续函数”,从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线.而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了. 当然,我们不能满足于这种直观的认识,因为单从图形上看是不行的,图形只能帮助我们更形象地理解概念,而不能揭示概念的本质属性. 例如,可以举出这样的例子,它在每点都连续但却无法用图形表示出来(如Rieman 函数). 因此,为了给出“连续”的定义,需要对此作进一步分析和研究. 从图2看出,在0x 处,函数值有一个跳跃,当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时,对应的函数值发生了显著的变化.而在其它点处(如1x 处),情况则完全相反.:当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时,对应的函数值也只作微小的改变;这就是说,当自变量x 靠近1x 时,函数值就靠近1()f x ,而当1x x →时,1()()f x f x →.换句话说,当1x x →时,()f x 以1()f x 为极限,即1 1lim ()()x x f x f x →=. 根据这一分析,引入下面的定义: 一 函数在一点的连续性 1. 函数f 在点0x 连续的定义 定义1(f 在点0x 连续)设函数f 在某0()U x 内有定义,若0 0lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续. 注 00 0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==,即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换. 2.例子 例1.0,sin ,cos x R x x ?∈在0x 处连续. 例2.2 lim(21)5(2)x x f →+==.
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1
用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数,且, 则 = 由得,由得, . ,,即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数,且, 则 由得,由得
.又 , . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数,求 的取值集合. 分析:首先需要对 前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究. 解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不 具备增减性. 当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 . 小结:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数. 分析:由于函数的单调性不易直接判断,而且含有字母系数,求解过程中需要讨论字母的范围,因此可以从单调性定义出发,从定义求解释一种基本的方法,不可忽视. 解: 在[]+∞,0上任取1x ,2x ,使得21x x < )()(21x f x f -