搜档网
当前位置:搜档网 › 08-第8讲函数的连续性

08-第8讲函数的连续性

08-第8讲函数的连续性
08-第8讲函数的连续性

2012-10-241

第八讲函数的连续性与间断点

第八、九节函数的连续性与间断点一、连续函数的概念

二. 函数的间断点

三.连续函数的运算及其基本性质四.初等函数的连续性

一、连续函数的概念

极限形式增量形式

设f (x ) 在U(x 0) 内有定义,若

1.函数连续性的定义(极限形式)

定义

是整个邻域)

()(lim 0 0

x f x f x x =→则称函数f (x ) 在点x 0 处是连续的.

函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.

函数f (x ) 在点x 0 处连续, 应该满足以下三点:(1) f (x ) 在U(x 0) 内有定义;(包括在点x 0 处有定义)

li . )( )3(0x f a =(极限值等于函数在点x 0 处的函数值)

)(lim )2(0

;存在a x f x x =→) )( , ( 0有极限时x f x x →函数y = x 2 在点x = 0 处是否连续? 0

lim 2=x 又∵y = x 2 在U(0) 内有定义,

例1解

6

→x ∴函数y = x 2 在点x = 0 处连续.

2

====x x x y

2.连续性的《ε-δ语言》形式

设函数f (x ) 在U(x 0) 内有定义.?ε>0, 若?δ>0, 当| x ?x 0 | < δ时, 有

f ))|0

x x x ?=Δ定义

函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以

运用《ε?δ》语言描述它.

则称函数f (x ) 在点x 0 处是连续的.

|f (x ) ?f (x 0) | < ε

成立,)

()(0x f x f y ?=Δ 3.连续性概念的增量形式

在某过程中, 变量u 的终值u 2 与它的初值u 1 的差u 2 ?u 1, 称为变量u 在u 1处的增量, 记为Δu = u 2-u 1.

定义

Δu 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称Δu 为变量u 在u 1 处的差分.

设函数f (x )在U(x 0)内有定义,x ∈U(x 0),则称Δx =x ?x 0为自变量x 在x 0点处的增量.

Δx

Δy y y = f (x )

= f (x 0+ Δx ) ?f (x 0)

Δy = f (x ) ?f (x 0)O

x 0

x

x

此时, x = x 0 + Δx , 相应地, 函数在点x 0 点处有增量Δy

连续性概念的增量形式

lim 0

=Δ→Δy x )

(0x x x ?=Δf )设f (x ) 在U(x 0) 内有定义. 若

定义

则称f (x ) 在点x 0 处连续.

自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.

4.函数的左、右连续性

设函数f (x ) 在[x 0, x 0+δ) 内有定义. 若

)()(lim 00

x f x f x x =+

→则称f (x ) 在x 0 点处右连续.

设函数f x ) 在x –δ, x 0] 内有定义. 若定义

f ()(0,0 ]

则称f (x ) 在x 0 点处左连续.

其中, δ>0为任意常数.

)()(lim 00

x f x f x x =?

→)

()(lim 0

x f x f x x =→??

)()(lim )(lim 00

x f x f x f x x x x ==?

+

→→函数在点定理x 0连续, 等价于它在点x 0既

左连续又右连续.

5.函数在区间上的连续性

设函数f (x ) 在开区间(a ,b ) 内有定义.若?x 0∈(a ,b ), f (x ) 在点x 0 处连续,

))定义

则称f (x ) 在开区间(a ,b ) 内连续, 记为

f (x )∈C ( (a , b ) ).

若f (x )∈C ( (a , b ) ), 且f (x ) 在x = a 处右连续, 在端点x = b 处左连续, 则称函数定义

f (x ) 在闭区间[a , b ] 上连续, 记为

f (x )∈C ( [a , b ] ).

对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性

二. 函数的间断点

通常将函数的不连续点叫做

函数的间断点.

函数f (x ) 在点x 0 处连续, 应该满足以下三点:(1) f (x ) 在U(x 0) 内有定义; (包括在点x 0 处有定义)

(极限值等于函数在点x 0 处的函数值)

; )(lim )2(0

存在a x f x x =→)

)( , ( 0有极限时x f x x →. )( )3(0x f a =(1))01.函数间断点的定义

满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数f (x )

若函数f (x ) 在U()0x

内有定义, 且在点x 0 处

在点x 0 处间断, 点x 0 称为函数f (x ) 的一个间断点:

定义

(1) f (x ) 在x 0 处无定义.

.

)(lim (2)0

不存在a x f x x =→()()()0

03lim

,x x

f x a a f x →=≠但求函数间断点的途径求函数间断点的途径::

(1) f (x )在x 0 处无定义, 但f (x ) 在U()0x

内有定义.(2)中至少有一个不存在.

)(lim )(lim 0

x f x f x x x x ?

+

→→与(3)存在, 但不相等.)(lim )(lim 0

x f x f x

x x x ?+→→与(4)但a ≠f (x 0).

,)(lim )(lim 0

a x f x f x x x x ==?+→→间断第一类间断点

)0()0()(000+=?x f x f x f 无定义,但可去间断点跳跃间断点:

)

()0()0()(0000

x f x f x f x f ≠+=?但有定义,

00(0)(0)

f x f x ?≠+特点:左右极限

都存在点的分类

第二类间断点:无穷间断点;震荡间断点。

都存在。特点:左右极限至少有一个不存在

可能出现间断的地方:1)使函数无意义的点;

2)分段函数的分界点

o

x

y

x o o x

x

y

y

x 0x 第一类间断点可去间断点

跳跃间断点

o

x

y

x 第二类间断点

无穷间断点

振荡间断点

三.连续函数的运算及其基本性质

回忆函数极限的四则运算

, )(lim 0

a x f x x =→,

)(lim 0

b x g x x =→则

现在怎么说?

()()→0设当x x 时,函数f x ,g x 的极限存在

()()0,f x g x x 设函数在点处连续)(0x f )(0x g b a x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 0

b a x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0

)0( )(lim )(lim )()(lim 0

0≠==→→→b b

a x g x f x g x f x x x x x x 0

)]()([)()(00x x x g x f x g x f =?=

?0

000()() ( ()0 )()()x x f x f x g x g x g x ==≠()()()()000x x f x g x f x g x =±=±????

反函数的连续性

y

从几何上看:

x =f -1(y )与y =f (x )

的图形相同,从而, )

(1

y f x ?=)

(x f y =)

(1x f y ?=O x

y = f -1(x ) 的图形只是y = f (x ) 的图形绕直线y = x

翻转180o而成, 故单调性、连续性仍保持.

连续性保持.

单调性、设函数y = f (x ) 在区间I 上严格单调增加

(减少) 且连续,则其反函数)(1

y f x ?=在相应的

定理3

(反函数连续性定理)

区间I*={y |y =f (x ),x ∈I }上严格单调增加(减少)且连续.

y

2

π

2

π

?

y

1

例11x

2

π

?

1

?1

O

增加

单调

) ]1 ,1[ (arcsin ?∈=C x y 2

π

x

?1

O

增加

单调 ) ]2

,2[ (sin π

π?∈=C x y 设函数u = ?(x ) 在点x 0 处连续, 且u 0=?(x 0),

函数y =f (u )在u 0处连续.

=)定理4

(复

若复合函数y f (?(x ))在U(x 0) 内则y = f (?(x )) 在x 0 点处连续.

有定义,这个条件有必要吗?

, u y =尽管u = cos x ?1 是在定义域内

的定义域是一个孤立点集

1cos ?=x y 但由它们构成的复合函数连续的函数,例12

的定义域是个孤立点集

D = { x | x = 2k π, k ∈Z }

1cos ?=x y 从而, 函数在其定义域内的每一点均不连续.

在定理4 的条件下,

))

(lim ())((lim 0

x f x f x x x x ??→→=推论

在定理4 的条件下, 极限符号可与连续函数

符号交换顺序.

x

x

x x e

e

20

2

sin lim sin 0

lim →=→1

0==e 求x

x e

2

sin

lim →例13

设函数u = ?(x ) 的极限存在:函数y = f (u ) 在点u = a 处连续.

,a x x

x =→)(lim 0

?∧

定理5

复合函数f (?(x )) 当x →x 0时的极限存在, 且

()0U x )

())(lim ())((lim 0

a f x f x f x x x x ==→→??若复合函数f (?(x ))在内有定义, 则求0

sin lim ln

x x x

→y = ln u 在其定义域内连续,

, 0 sin 处无定义在点==

x x

u 例14解

x

,

1sin lim

0=→x

x

x 但故=→x x x sin ln lim 0

1ln ] sin lim [ ln 0==→x

x

x (y = ln u 在u = 1 处连续)

四.初等函数的连续性

基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.

注意两者的区别!

数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0

高等数学第4章第1节连续性概念

第四章 函数的连续性 ● 引言 在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数.从今天开始,我们就来看看这类函数的特点.主要讲以下几个问题: 1.什么是“函数的连续性”? 2.“间断”或“不连续”有哪些情形? 3.连续函数有哪些性质? 4.初等函数的连续性有何特点? §1 连续性概念 ● 引言 “连续”与“间断”(不连续)照字面上来讲,是不难理解的.例如下图1中的函数()y f x =,我们说它是连续的,而图2中的函数在0x 处是间断的. 由此可见,所谓“连续函数”,从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线.而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了. 当然,我们不能满足于这种直观的认识,因为单从图形上看是不行的,图形只能帮助我们更形象地理解概念,而不能揭示概念的本质属性. 例如,可以举出这样的例子,它在每点都连续但却无法用图形表示出来(如Rieman 函数). 因此,为了给出“连续”的定义,需要对此作进一步分析和研究. 从图2看出,在0x 处,函数值有一个跳跃,当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时,对应的函数值发生了显著的变化.而在其它点处(如1x 处),情况则完全相反.:当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时,对应的函数值也只作微小的改变;这就是说,当自变量x 靠近1x 时,函数值就靠近1()f x ,而当1x x →时,1()()f x f x →.换句话说,当1x x →时,()f x 以1()f x 为极限,即1 1lim ()()x x f x f x →=. 根据这一分析,引入下面的定义: 一 函数在一点的连续性 1. 函数f 在点0x 连续的定义 定义1(f 在点0x 连续)设函数f 在某0()U x 内有定义,若0 0lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续. 注 00 0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==,即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换. 2.例子 例1.0,sin ,cos x R x x ?∈在0x 处连续. 例2.2 lim(21)5(2)x x f →+==.

函数的单调性 知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是增函数;

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 10,则f (x )在区间D 内为增函数;如果f ′(x )<0,则f (x )在区间D 内为减函数. 注意:(补充) (1)若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个,

用函数单调性定义证明

用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数,且, 则 = 由得,由得, . ,,即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数,且, 则 由得,由得

.又 , . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数,求 的取值集合. 分析:首先需要对 前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究. 解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不 具备增减性. 当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 . 小结:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数. 分析:由于函数的单调性不易直接判断,而且含有字母系数,求解过程中需要讨论字母的范围,因此可以从单调性定义出发,从定义求解释一种基本的方法,不可忽视. 解: 在[]+∞,0上任取1x ,2x ,使得21x x < )()(21x f x f -

)(11212 221x x a x x --+-+= )(1 12122 212 2 21x x a x x x x --+++-= )1 1)( (22 21 2121a x x x x x x -++++-= (Ⅰ)当1≥a 时,因为11 122 21 21<++++x x x x , 01 122 21 21<-++++a x x x x ,又 021<-x x , 所以0)()(21>-x f x f ,即)()(21x f x f > 所以当1≥a 时,函数)(x f 在区间[]+∞,0上是单调递减函数 (Ⅱ)当10<

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种: 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地,设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2,当21x x <时,总有 (1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数; (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤: (1)设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; (2)作差)()(21x f x f -; (3)变形(普遍是因式分解和配方); (4)断号(即判断)()(21x f x f -差与0的大小); (5)定论(即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性)。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明:设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则

).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明:设1x 、),0(2+∞∈x ,且21x x <,则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x , 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数; 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的,因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时,容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直 接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我

函数连续性

第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我 们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数 的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义.若()x f x x 0 lim →=()0x f , 则称f 在点0x 连续. 例如,函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续,因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如,函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续,因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述,记0x x x -=?,称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量.设()00x f y =,相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数,也可以是0或负数.引进了增 量的概念之后,易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的,因而也可直接用δε-方式来叙述, 即:若对任给的0>ε,存在0>δ,使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续.

人教版高中数学必修4试题 1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值

1.4. 2.2正、余弦函数的单调性与最值 基础知识和技能训练(九) 1.函数y =cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.???? ??-π4,π4 B.?????? π4,3π4 C.? ?? ???0,π2 D.???? ??π2,π 解析 ∵y =cos2x , ∴2k π≤2x ≤π+2k π(k ∈Z ), 即k π≤x ≤π 2+k π(k ∈Z ). ∴? ?? ???k π,k π+π2(k ∈Z )为y =cos2x 的单调递减区间. 而? ?? ? ??0,π2显然是上述区间中的一个. 答案 C 2.函数y =cos ? ????x +π6,x ∈??????0,π2的值域是( ) A.? ???? -32,12 B.?????? -12,32 C.???? ?? 32,1 D.? ??? ?? 12,1 解析 由0≤x ≤π2,得π6≤x +π6≤2π 3, ∴-12≤cos ? ????x +π6≤3 2,选B. 答案 B

3.设M 和m 分别表示函数y =1 3cos x -1的最大值和最小值,则M +m 等于( ) A.23 B .-23 C .-43 D .-2 解析 依题意得M =13-1=-23,m =-1 3-1 =-4 3,∴M +m =-2. 答案 D 4.下列关系式中正确的是( ) A .sin11°<cos10°<sin168° B .sin168°<sin11°<cos10° C .sin11°<sin168°<cos10° D .sin168°<cos10°<sin11° 解析 cos10°=sin80°,sin168°=sin12°. sin80°>sin12°>sin11°, 即cos10°>sin168°>sin11°. 答案 C 5.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间??? ? ??0,π3上单调递增,在区间???? ?? π3,π2上单调递减,则ω=( ) A.23 B.32

分段函数连续性讨论书写格式

讨论分段函数在分段点的连续性与可导性涉及分段函数概念、连续概念、导数概念,既是重点,又是难点。建议同学们认真模仿以下3道题的解答过程,注意讨论的函数是整个分段函数()f x ,而不是其中的某段函数(以下解答中标红的不要省了);务必精准写出连续、导数定义;答题过程较长时最后要加以总结. 例1:讨论20,1,()0 1,x x e f x x ≠?-=?=?在0x =的连续性与可导性. 解: (0)1f =. 020 li l m im (1)()0x x x f x e →→=-=. 因0 lim ()(0)x f x f →=,故 ()f x 在0x =不连续,从而也不可导. 例2:讨论20,1,()0sin , x x e f x x x ≤?-=?>?在0x =的连续性与可导性. 解:先讨论连续性. (0)0f =. 因020li l m(1im )0()x x x f x e --→→=-=,且00 lim l s i m ()n 0i x x x f x ++→→==, 得0 lim ()0x f x →=. 因0 lim ()(0)x f x f →=,故 ()f x 在0x =连续. 再讨论可导性. 因021()(0)(01lim )lim 02x x x f x f f x e x --→-→-'=--==, 但00sin l ()(0)(0)im l 1im x x f x f x f x x ++ +→→==-=', 得1()(0) (1)lim 0x f x f f x →-'=-不存在,故 ()f x 在0x =不可导. 总之, ()f x 在0x =连续,但不可导.

证明函数单调性的方法总结归纳

证明函数单调性的方法总结归纳 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x1、x2∈D,且x1②作差f(x1)-f(x2),并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等); ③依据差式的符号确定其增减性. 2、导数法: 设函数y=f(x)在某区间D内可导.如果f′(x)>0,则f(x)在区间D 内为增函数;如果f′(x)注意:(补充) (1)若使得f′(x)=0的x的值只有有限个, 则如果f ′(x)≥0,则f(x)在区间D内为增函数; 如果f′(x) ≤0,则f(x)在区间D内为减函数. (2)单调性的判断方法: 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 (补充)单调性的有关结论 1.若f(x),g(x)均为增(减)函数, 则f(x)+g(x)仍为增(减)函数. 2.若f(x)为增(减)函数, 则-f(x)为减(增)函数,如果同时有f(x)>0,

则 为减(增)函数, 为增(减)函数 3.互为反函数的两个函数有相同的单调性. 4.y=f[g(x)]是定义在M上的函数, 若f(x)与g(x)的单调性相同, 则其复合函数f[g(x)]为增函数; 若f(x)、g(x)的单调性相反, 则其复合函数f[g(x)]为减函数.简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值. (2)比较函数值或自变量值的大小. (3)解、证不等式. (4)求参数的取值范围或值. (5)作函数图象. 搜集整理,仅供参考学习,请按需要编辑修改

函数的连续性复习--例题及解析

分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f (1)求)x f (在点1=x 处的左、右极限,函数)x f (在点1=x 处是否有极限? (2)函数)x f (在点1=x 处是否连续? (3)确定函数)x f (的连续区间. 分析:对于函数)x f (在给定点0x 处的连续性,关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ;函数在某一区间上任一点处都连续,则在该区间上连续. 解:(1)1lim )(lim 1 1==--→→x x f x x 11lim )(lim 1 1==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数)x f (在点1=x 处有极限. (2))(lim 21)1(1 x f f x →≠= 函数)x f (在点1=x 处不连续. (3)函数)x f (的连续区间是(0,1),(1,2). 说明:不能错误地认为)1(f 存在,则)x f (在1=x 处就连续.求分段函数在分界点0x 的左右极限,一定要注意在分界点左、右的解析式的不同.只有)(lim ),(lim )(lim 0 00x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在. 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2+-=x x x f , (1)求)x f (的定义域,并作出函数的图象;

(2)求)x f (的不连续点0x ; (3)对)x f (补充定义,使其是R 上的连续函数. 分析:函数)x f (是一个分式函数,它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围,给函数)x f (补充定义,使其在R 上是连续函数,一般是先求)(lim 0 x f x x →,再让)(l i m )(0 0x f x f x x →=即可. 解:(1)当02≠+x 时,有2-≠x . 因此,函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时,.22 4)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图. (2)由定义域知,函数)x f (的不连续点是20-=x . (3)因为当2≠x 时,2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2-=-=-→-→x x f x x 因此,将)x f (的表达式改写为 ?? ???-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数)x f (在R 上是连续函数. 说明:要作分式函数的图象,首先应对函数式进行化简,再作函数的图象,特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致. 利用函数图象判定方程是否存在实数根

函数单调性的判断或证明方法

函数单调性的判断或证明方法. (1)定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设,且;②作差,求;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)向有利于判断差值符号的方向变形;④定号,判断的正负符号,当符号不确定时,应分类讨论;⑤下结论,根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数在(-1,+∞)上的单调性,并证明. 解:设-10,x2+1>0. ∴当a>0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,即f(x1)>f(x2), ∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 例2.证明函数在区间和上是增函数;在 上为减函数。(增两端,减中间) 证明:设,则 因为,所以,

所以, 所以 所以 设 则, 因为, 所以, 所以 所以 同理,可得 (2)运算性质法. ①在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.(增+增=增;减+减=减;增-减=增,减-增=减) ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论,直接判断函数的单调性,如一次函数、反比例函数等。(3)图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数的单调区间。 解:

在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. (4)复合函数法.(步骤:①求函数的定义域;②分解复合函数;③判断内、外层函数的单调性;④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间,则便是原复合函数的一个单调区间,如例4;若不是内层函数的一个单调区间,则需把划分成内层函数的若干个单调子区间,这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间,如例5.)设,,都是单调函数,则在 上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。如下表: 增增增 增减减 减增减 减减增 例4.求函数的单调区间

正弦、余弦函数的单调性

§4.8正弦、余弦函数的单调性(一) 班级 学号 姓名 一、 课堂目标: 能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间 二、 要点回顾: 1增函数定义回顾:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2,当x 1sin β. C.sin α≥sin β D.sin α,sin β大小不定 7、下列函数中,既是偶函数又是周期函数的是 A.y=x sin B.y=x 2log C.y=sin x D.y=log x 2 7、求下列函数的单调递增区间: (1))42cos(2π- =x y (2))24sin(2x y -=π (3)x y sin 21?? ? ??= (4)x y cos log 2=

《实变函数》第四章 可测函数

第四章 可测函数(总授课时数 14学时) 由于建立积分的需要,我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数,并讨 论其性质和结构. §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好 的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1可测函数定义 定义:设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞),若[],f a a R E >?∈可测,则称()f x 是E 上的可测函数. 2可测函数的性质 性质1 零集上的任何函数都是可测函数。 注:称外测度为0的集合为零集;零集的子集,有限并,可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数 若1n i i E E ==? (i E 可测且两两不交),()f x 在每个i E 上取常值i c ,则称()f x 是E 上的 简单函数; 1()()i n i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i E i x E x x E E χ∈?=?∈-? 注:Dirichlet 函数是简单函数 性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数,称()f x 在0x E ∈处连续 00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ?>?>??若使得 对比:设()f x 为(),a b 上有限实函数,0()(,)f x x a b ∈在处连续 0lim ()()x x f x f x →=若

高数教案_函数连续性8

课 题: 函数连续性 目的要求: 掌握函数连续的充要条件及应用 初步掌握间断点的分类及示例 掌握闭区间上连续函数的性质及应用 会利用函数连续性求极限 教学重点: 掌握函数连续的充要条件及应用 教学难点: 掌握函数连续的充要条件及应用 教学课时:2 教学方法: 讲练结合 教学内容与步骤: 函数的连续性 从图上可看出, ?(x )在x 0间断. 但 f (x )在x 0连续. ?(x )在x 0的极限不存在, 而 00lim ()().x x f x f x →= 定义1. 设f (x )在x 0的某邻域U(x 0)内有定义. 且0 0lim ()().x x f x f x →=则称f (x )在x 0连续, x 0称为f (x )的连续点. 否则称f (x )在x 0间断, x 0称为f (x )的间断点, 或称为不连续点. 因为:0 0lim cos cos x x x x →=:余弦函数在任何点x 0处连续

连续的δ-ε 语言描述:若对?ε >0, ?δ>0,使得当|x -x 0|<δ时, 对应的函数值f (x )满足| f (x ) - f (x 0) |<ε,则称f (x )在x 0处连续. 注: 与极限定义比较, 将"a "换成" f (x 0)" 证:00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因,00lim ()lim()0x x f x x --→→=-=,00 lim ()lim ||0x x f x x →→==故 又因为f (0)=0.从而:0 lim ()(0)x f x f →= ()||0f x x x ==故在处连续 定义:设f (x )在x 0的某右邻域0()U x +(某左邻域0()U x - )内有定义, 若0 0lim ()()x x f x f x +→=,则称函数在 0x 处右连续, 若0 0lim ()()x x f x f x -→=,则称函数在 0x 处左连续. 定理1. f (x )在x 0处连续? f (x )在x 0左连续且右连续. 上例证明:00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因=f(0),00 lim ()lim()0x x f x x --→→=-==f(0), ()||0f x x x ==故在处连续 注:判断x 0处连续的步骤:1,x 0处是否有定义,2,左右极限是否存在,3,左右极限是 否相等,4,极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时,不执行下一步骤。 ()f x 在区间内连续: 如果()f x 在区间(,)a b 内每一点都是连续的,就称()f x 在区间(,)a b 内连续,记作 f (x )∈C (a , b ).若()f x 在(,)a b 内连续,在x a =处右连续,在x b =处左连续, 则称()f x 在[,]a b 上连续,记作 f (x )∈C [a , b ]. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线. f (x )在x 0处连续的增量描述: 函数的增量 设函数()y f x =在点 0x 的某邻域上有定义,当自变量 x 由 0x 变到0x x +?时,函数 y 相应由0()f x 变到0()f x x +?,函数相应的增量为00()()y f x x f x ?=+?-. 其几何意义如右图所示.

函数的连续性及极限的

第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义, lim x x →f (x )存在,且0 lim x x →f (x )=f (x 0),那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 2..函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f (x )在点x =x 0处有定义; (2)0 lim x x →f (x )存在; (3)0 lim x x →f (x )=f (x 0),即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点 的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足,就说函数f (x )在点x 0 处不连续.那根据这三个条件,我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3.函数连续性的运算: ①若f(x),g(x)都在点x 0处连续,则f(x)±g(x),f(x)?g(x), ) ()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。 ②若u(x)都在点x 0处连续,且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。 4.函数f (x )在(a ,b )内连续的定义: 如果函数f (x )在某一开区间(a ,b )内每一点处连续,就说函数 f (x )在开区间(a ,b )内连续,或f (x )是开区间(a ,b )内的连续函数. f (x )在开区间(a ,b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续,现在 函数f (x )的定义域是[a ,b ],若在a 点连续,则f (x )在a 点的极限

存在并且等于f (a ),即在a 点的左、右极限都存在,且都等于f (a ), f (x )在(a ,b )内的每一点处连续,在a 点处右极限存在等于f (a ), 在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在[a ,b ]上连续的定义: 如果f (x )在开区间(a ,b )内连续,在左端点x =a 处有 + →a x lim f (x )=f (a ),在右端点x =b 处有- →b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x ) 在闭区间[a ,b ]上连续,或f (x )是闭区间[a ,b ]上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间[a ,b ]上的连续函数,那么f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值和最小值 7.特别注意:函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限,有极限未必连续。” 二、 问题讨论 ●点击双基 (x )在x =x 0处连续是f (x )在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析:f (x )在x =x 0处有定义不一定连续. 答案:A

数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性外文翻译

外文翻译: 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性 原文来源:“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文: 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们(在后面各章里)主要感兴趣的是实函数和复函数(即值是实数或复数的函数),但是我们也要讨论向量 值函数(即在R k 中取值的函数)和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础 上将要讨论的定理,并不会因为我们限制在(例如)实函数而显得更容易些,放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理,反而会使得情景确实简洁了. 我们的函数的定义域也是度量空间,遇有不同的要求,便加以适当的说明. 函数的极限 4.1定义 令X和Y是度量空间,假设X E ?,f将E映入Y内.且p是E的极限点.凡是我们写当p x →时q x f →)(,或 q x f p x =→)(lim (1) 的时候,就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质:对于每个ε>0,存在着δ>0,使得 ε<)),((q x f d Y (2) 对于满足 δ<<),(0p x d X (3) 的一切点E x ∈成立. 记号Y X d d 和分别表示X和Y中的距离. 如果X和(或)Y换成实直线,复平面或某一欧式空间k R ,那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数(见第2.16段). 应当注意X p ∈,但是上面的定义中,并不一定要求p是E的点.此外,即使E p ∈,也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠. 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为: 4.2 定理 令X,Y,E,f和p是定义4.1说的那些,那么

第四章Lebesgue积分的知识要点与复习自测

第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测 一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点: ◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义,理解为什么它们的L积分总是存在的,并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示; ◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异;非负可测函数L积分存在与L可积的差异; ◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全(可数)可加性、集合的单调性和唯一性(即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等)】,并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。 ◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理(Levi 定理和Fatou引理);能正确地区分这两个定理各自的适用范围(Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列,而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合);会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性(Lebesgue基本定理),会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性;会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。 ◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解,借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法; 注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。 ◇会用积分的几何意义简洁地证明:非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关;以及Levi定理。

◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论: ① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数,则()d 0E f x x =??()0..f x a e =于E (称 为非负可测函数积分值为零的特征); ② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数,则()()f x L E ∈?()f x 在E 上几乎处处有限(称为非负可测函数L 可积的有限性,注意L 积分存在不具有这个性质); ③ mE <+∞,()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数,{}n y 满足: n y ,lim n n y →∞ =+∞,00y =,1n n y y δ+-<, 则()()f x L E ∈?10 [()]n n n n y mE x y f x y ∞ +=≤<<+∞∑; ④(非负可测函数L 可积的积分绝对连续性)设()f x 为可测集E 上的非负可测函数,若()()f x L E ∈,则A E ??,A 为可测集,总有 lim ()d 0mA A f x x →=?, 即0ε?>,0δ?>,使得A E ??,A 为可测集,当mA δ<时,总有 0()d A f x x ε≤

第8节 函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 教学目的:理解函数连续的概念,会判断函数间断点的类型,了解初等函数的连 续性和闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质。 教学重点:连续的定义,间断点的分类 教学难点:连续的定义,间断点的分类 教学过程: 一、函数的连续性 对()x f y =,当自变量从0x 变到x ,称0x x x -=?叫自变量x 的增量,而 ()()00x f x x f y -+=?叫函数y 的增量. 定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量0x x x -=?趋于零时,对应的函数的增量()()00x f x x f y -+=?也趋于零,那么就称函数()x f y =在点0x 连续. 它的另一等价定义是:设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义,如果函数()x f 当 0x x →时的极限存在,且等于它在点0x 处的函数值()0x f ,即()()00 lim x f x f x x =→,那么就 称函数()x f y =在点0x 连续. 下面给出左连续及右连续的概念. 如果()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ,即()()000x f x f =-,就说函数() x f 在点0x 左连续.如果()()0lim 00 0+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ,即()()000x f x f =+, 就说函数()x f 在点0x 右连续. 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 二、函数的间断点 设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数()x f 有下列三种情形之一: 1.在0x x =没有定义; 2.虽在0x x =有定义,但()x f x x 0 lim →不存在;

相关主题