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26.1-二次函数(二)同步测控优化训练(包含答案)

26.1 二次函数（二）

一、课前预习 (5分钟训练) 1.抛物线y=3

x 2

不具有的性质是( ) A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点 2．二次函数y=－3x 2，y=－5x 2图象的开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴是__________，顶点是__________.

3．二次函数y=3x 2－3开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为__________．当x ＞0时，y 随x 的增大而__________；当x ＜0时，y 随x 的增大而__________．因为a=3＞0，所以y 有最__________值，当x=__________时，y 的最__________值是__________． 4．若点A （－2，a ）在抛物线y=－5x 2上，则点A 关于y 轴对称点的坐标为__________．二、课中强化(10分钟训练)

1．对于二次函数y=（a 2+3）x 2，下列命题中正确的是( )

A ．函数图象开口方向不确定

B ．当a<0时，抛物线开口向下

C ．此抛物线的对称轴是y 轴，顶点是坐标原点;

D ．当x<0时，y 随x 的增大而增大 2．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图26－1－2－1所示，则大门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到0．1米）为( )

A ．6.9米

B ．7.0米

C ．7.1米

D ．6.8米

3．将抛物线y=2x 2向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是_________________.

若向下平移3个单位,得到的抛物线的解析式是_________________．

4．（1）已知二次函数①y=－3 x 2，②y=－3 x 2+5.在同一个坐标系中画出图象后比较它们的开口大小、方向，顶点坐标，对称轴有什么关系？

（2）y=ax 2，y=ax 2+b 的开口大小，顶点坐标，对称轴有什么关系？

图26－1－2－1

5．如图26－1－2－2，等边△ABC 以2 m/s 的速度沿直线l 向菱形DCEF 移动，直到AB 与CD 重合，其中∠DCF ＝60°，设x s 时，三角形与菱形重叠部分的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的关系表达式．（2）当x ＝0.5，1时，y 分别是多少?

（3）当重叠部分的面积是菱形面积的一半时，三角形移动了多长时间？

图26－1－2－2

三、课后巩固(30分钟训练)

1．如图26－1－2－3，已知h 关于t 的函数关系式为h=2

1gt 2

（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为( )

图26－1－2－3

2．二次函数y=－mx 2－m+4，开口向下，其图象的顶点在y 轴的正半轴上，则m 的取值范围是( )

A.m<0

B.m>0

C.m>4

D.0

A.y=2x 2+2

B.y=2x 2－4

C.y=2x 2－2

D.y=－2x 2－2

图26－1－2－4

4．函数y=－ax 2与y=－ax+a 的图象在同一个坐标系中的图象大致是( )

图26－1－2－5

5．已知二次函数y=mx m2－2m －6

中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m=______________．

6．抛物线y=

1x 2

关于x 轴对称的函数解析式为_________________． 7．抛物线y=5x 2与直线y=kx+3的交点为（1，b ），则b=____________，k=____________． 8．如图26－1－2－6，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20 m ，水位上升3 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的关系式；

（2）若洪水到来时水位以0．2米／时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？

图26－1－2－6

9.如图26－1－2－7，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （2，0），且其面积为8．求此抛物线的解析式.

图26－1－2－7

10.如图26－1－2－8是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的

数据：

（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图26－1－2－9所示的坐标系中画出y关于x的函数图象.

（2）①填写下表：

②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y 的二次函数的表达式：

______________________．

（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1．8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？

图26－1－2－8 图26－1－2－9

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练) 1.抛物线y=3

x 2

不具有的性质是( ) A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点解析：本题具有逆向思维的过程，把y=3

x 2

的性质写下来形成对比，开口向下，对称轴是y 轴，最高点是坐标原点，问题显而易见．答案：C

2．二次函数y=－3x 2，y=－5x 2图象的开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴是__________，顶点是__________.

解析：二次函数的开口大小决定于｜a ｜,｜a ｜越大开口越小,｜a ｜越小开口越大,开口方向由a 的符号决定,a>0开口向上,a<0开口向下. 答案：y=－3x 2 向下 y 轴原点

3．二次函数y=3x 2－3开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为__________．当x ＞0时，y 随x 的增大而__________；当x ＜0时，y 随x 的增大而__________．因为a=3＞0，所以y 有最__________值，当x=__________时，y 的最__________值是__________．解析：在二次函数中，当二次项系数大于0时，开口向上，有最低点，最小值，在对称轴左侧，函数值y 随着的x 增大而减小；在对称轴右侧，函数值y 随着x 的增大而增大．答案：上（0，－3） y 轴增大减小小 0 小－3

4．若点A （－2，a ）在抛物线y=－5x 2上，则点A 关于y 轴对称点的坐标为__________．

解析：点A （－2，a ）在抛物线y=－5x 2上，代入后求得a ＝－20，即A 点的坐标就是（－2，－20），它关于y 轴对称点的坐标为（2，－20）．答案：（2，－20）二、课中强化(10分钟训练)

1．对于二次函数y=（a 2+3）x 2，下列命题中正确的是( )

A ．函数图象开口方向不确定

B ．当a<0时，抛物线开口向下

C ．此抛物线的对称轴是y 轴，顶点是坐标原点;

D ．当x<0时，y 随x 的增大而增大解析：a 2+3>0，∴抛物线开口向上，A 、B 错误；顶点是坐标原点，对称轴为y 轴．当x>0时，y 随x 的增大而增大；当x<0时，y 随x 的增大而减小，D 项错误．答案：C

2．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图26－1－2－1所示，则大门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到0．1米）为( )

图26－1－2－1

A ．6.9米

B ．7.0米

C ．7.1米

D ．6.8米解析：如右图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线关系式为y=ax 2，设大门高为h 米，则

A （4，－h ），

B （－4，－h ），

C （3，－h+3），

D （－3，－h+3）．将A 、C 坐标代入上式，得??

?=+-=-.

93,

16a h a h 解得h≈6.9.∴大门高约为6.9米．

答案：A

3．将抛物线y=2x 2向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是_________________.

若向下平移3个单位,得到的抛物线的解析式是_________________．解析：上下平移只是顶点位置的不同，向上纵坐标增大，向下纵坐标减小．答案：y=2x 2+3 y=2x 2－3

4．（1）已知二次函数①y=－3 x 2，②y=－3 x 2+5.在同一个坐标系中画出图象后比较它们的开口大小、方向，顶点坐标，对称轴有什么关系？

（2）y=ax 2，y=ax 2+b 的开口大小，顶点坐标，对称轴有什么关系？

解：（1）画图略，开口大小、方向相同；顶点坐标不同，但都在y 轴上；对称轴都是y 轴．

（2）开口大小、方向相同；顶点坐标不同，但都在y 轴上；对称轴都是y 轴． 5．如图26－1－2－2，等边△ABC 以2 m/s 的速度沿直线l 向菱形DCEF 移动，直到AB 与

CD 重合，其中∠DCF ＝60°，设x s 时，三角形与菱形重叠部分的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的关系表达式．（2）当x ＝0.5，1时，y 分别是多少?

（3）当重叠部分的面积是菱形面积的一半时，三角形移动了多长时间？

图26－1－2－2

解：重合部分是一个等边三角形，底边为2x ，其高为3x ，所以， (1)y=3x 2.

(2)当x=0.5时,y=

;当x=1时,y=3. (3)S 菱形=350,当y=325时,x=5 s. 三、课后巩固(30分钟训练)

1．如图26－1－2－3，已知h 关于t 的函数关系式为h=2

1gt 2

（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为( )

图26－1－2－3

解析:因为h=

1gt 2

的h 是t 的二次函数，g 、t 、h 都是非负数，所以该函数的图象是在第一象限的抛物线．答案：A

2．二次函数y=－mx 2－m+4，开口向下，其图象的顶点在y 轴的正半轴上，则m 的取值范围是( )

A.m<0

B.m>0

C.m>4

D.00，顶点在y 轴的正半轴上得－m+4>0，故选D ．

答案：D

3．二次函数的图象如图26－1－2－4所示,则它的解析式为( )

A.y=2x 2+2

B.y=2x 2－4

C.y=2x 2－2

D.y=－2x 2－2

图26－1－2－4

解析:根据图象可设解析式为y=ax 2+b ，又因顶点为（0，－2）且过（1，0），解析式为y=2x 2－2．答案：C

4．函数y=－ax 2与y=－ax+a 的图象在同一个坐标系中的图象大致是( )

图26－1－2－5

解析:一看开口，二看经过的象限及截距,从而得出答案．答案：A

5．已知二次函数y=mx m2

－2m －6

中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m=______________．

解析:由题意得m 2－2m －6=2且m≠0，解得m ＝4或m ＝－2，但当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，就是说m ＞0，故只取m ＝4．答案：4 6．抛物线y=

1x 2

关于x 轴对称的函数解析式为_________________．解析:y=

21x 2

关于x 轴对称的函数的二次项系数应与之相反．答案：y=－2

x 2

7．抛物线y=5x 2与直线y=kx+3的交点为（1，b ），则b=____________，k=____________．

解析:抛物线y=5x 2与直线y=kx+3的交点为（1，b ），说明（1，b ）代入y=5x 2和y=kx+3都成立，解得b=5，k=2．答案：5 2

8．如图26－1－2－6，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20 m ，水位上升3 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的关系式；

（2）若洪水到来时水位以0．2米／时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？

图26－1－2－

解：（1）建立如图所示坐标系，则D 点横坐标为5，B 点横坐标为10，EF=3．设OE=h ，则OF=h －3．则B （10，－h ），D （5，3－h ）．设抛物线为y=ax 2,则??

?-=-=.

325,

100h a h a

解得?????

=-=.

4,251h a

∴y=25

x 2

,B(10,－4),D(5,－1). （2）∵OE=4,∴4÷0．2=20（小时）．

9.如图26－1－2－7，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （2，0），且其面积为8．求此抛物线的解析式

图26－1－2－7

解：B 点坐标为（0，2），∴OB=2.∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为（－2，2）．

根据题意可设抛物线解析式为y=ax 2+c ，其过点A （0，1）和C （－2，2），得??

?+==.

42.1c a c 解这个方程组，得a=41

，c=1.

∴此抛物线的解析式为y=

1x 2

+1. 10.如图26－1－2－8是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：

（1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图26－1－2－9所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图象. （2）①填写下表：

②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数的表达式：______________________．

（3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1．8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？

图26－1－2－8 图26－1－2－9 解：（1）图象略．（2）①填表如下；

②y=

200

1x 2

. （3）当水面宽度为36米时，相应的x 为18，此时水面中心的y=

200

1×182=1.62.因为货船吃水深度为1.8 m ，显然，1.62<1.8,所以当水面宽度为36米时，该货船不能通过这个河段．

二次函数求最大利润问题的教学设计

二次函数求最大利润问题的教学设计范亚书一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y ＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。二、教学任务分析 “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是： (一)知识与技能

1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析

二次函数与实际问题-利润问题

课题：人教版第二十六章第一节《实际问题与二次函数》教学目标： 1、知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。 2、过程与方法：经历探索商品销售中最大利润问题的过程，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，增强学生数学应用能力。 3、情感态度与价值观：提高学生解决问题的能力，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。教学重点与难点： 1、重点：让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。 2、难点：如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。教学过程：一、创设情境：请同学们考虑下列问题：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？学生根据相应的数量关系列出方程。设每件涨价x元（60+x -40）×（300-10x）=6090 （从实际生活入手，创设问题情境，提高学生兴趣，激发求知欲望。）二、探索新知，进入新课 1、商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润否是随涨价而增多，降价而减少呢？ 2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。如何定价才能使利润最大？教师展示问题，（1）、本题中的变量是什么？（2）、如何表示赚的钱呢？学生分组讨论，利用函数模型解决问题设每件涨价x元，由此商品 ①每件的利润为：（60+x -40）元 ②每星期的销售量为：（300-10x）件 ③所获利润是：（60+x -40）×（300-10x）元若设所获得利润为y元，则有y=（60-40+x）（300-10x），即 y=-10x2+100x+6000。

人教版初三数学上册二次函数求最大利润问题

二次函数求最大利润问题的教学设计巩义市二中附中贾雷明一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。二、教学任务分析 “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是： (一)知识与技能 1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。

(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：复习回顾、创设问题情境讲授新课、巩固练习、实践应用、课堂小结、课后作业。第一环节复习回顾活动内容： 1．复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额

二次函数与实际问题中考题

二次函数与实际问题类型一用二次函数解决“抛物线型”问题方法技巧：利用二次函数解决抛物线问题通常有以下几种：拱桥问题、导弹问题、投抛球问题、喷泉喷水问题、跳台跳水问题、荡秋千问题等。解决此类问题常常要建立平面直角坐标系，通过建立图象模型，构造二次函数关系式解决实际问题。 1、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边 AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是 11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。 (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系h=-1/128(t-19)2+8(0?t?40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行? 2、如图,庄子大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )秒

类型二用二次函数解决方案设计中最优化的问题方法技巧：方案最优化问题实际就是求函数的最大（小）值，如利润最大，效益最好，材料最省，根据题意列出二次函数关系式，通过配方转化为顶点式后，求最值。 1、为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担。张刚按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500. (1)张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元? (2)设张刚获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润? (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元。如果张刚想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

二次函数最优化问题

龙文教育学科导学案教师:学生:日期:星期:时段:课题二次函数最优化问题学习目标与考点分析1：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。 2：掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。学习重点重点：二次函数最值解决实际问题中的最优化。难点：能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最优化学习方法探究法、分析、对比、归纳总结学习内容与过程回顾所学，强化旧知 1、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？

2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面32/3米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为18/5米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。 3、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。 ⑴问此球能否投中？ ⑵在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?

数学中的最优化问题

“数学中的最优化问题”研究性学习课题名称：数学中的最优化问题指导老师：蒋行彪组员：刘露冬漫(组长) 杨瑶万昕张瑞课题界定：研究内容：研究背景：研究目的：研究方法：研究步骤：研究困难：预期结果：研究过程：（一）利用函数 1、一次函数型例1、某城市有20个志愿青年，联合开发郊区50亩土地，这些土地适宜种蔬菜、棉花、水稻，这些作物每亩地所需劳力和预计产值如下表：请你设计一种方案，使每亩地都种上作物（水稻必种），所有劳力都有工作且作物预计总产值最大？并求出这个最大值。分析：本题以经济问题为背景，若设种水稻、棉花、蔬菜分别为x亩、y亩、z亩，则由题意可将总产值 w= f（x、y、z）转化为w关于x的一次函数关系式，从而利用x的范围，求出w的最大值。解：设种x亩水稻（0＜x≤50），y亩棉花（0≤y＜50），z亩蔬菜（0≤y＜50）时，总产值为w万元且每个劳力都有工作，则有由②，③得y=30－ x，z=20+ x。代入①得w=－x + 27。又依题意可得4≤x≤50，x∈N 。而函数 w关于x在[ 4，50 ]上单调递减。∴当x=4时，w取最大值26.4。此时y=24 ，z = 22，从而x=1，y=8，z=11，故方案是：安排1人4亩水稻，8人种24亩棉花，11人种22亩蔬菜时，农作物总产值最大，且所有劳力都有工作，最大总产值为26.4万元。 2.二次函数型

例2、（2003年北京春季高考卷）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（１）当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车? （２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少? 解：（１）当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车为 12辆，以租出了车88辆答：能租出88辆。（２）设每辆车的月租金定为x（3000≤x≤8000）元，则租赁公司的月收益为y元由题得：y=（100-（x-3000）／50）×（x-150）-50×（x-3000）／50，整理得：y=- 所以当时，最大，其最大值为答：当每辆车的月租金定为元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是元． 3、分段函数型例3、（2008年湖北卷理）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）. 解：（Ⅰ）①当0＜t 10时，V(t)=(-t2+14t-40) 化简得t2-14t+40>0, 解得t＜4，或t＞10，又0＜t 10，故0＜t＜4. ②当10＜t 12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50, 化简得（t-10）（3t-41）＜0, 解得10＜t＜，又10＜t 12,故 10＜t 12. 综合得0

第一章--最优化问题与数学预备知识

第一章最优化问题与数学预备知识 1. 最优化问题的一般形式给定目标函数，满足不等式约束及等式约束，记为： )(min x f X Ω ∈，其中[]T n x x x x ,...,,21= ) (,...2,10 )(,...,2,10 )(..n l l j x h m i x s t s j i <===≥ 满足所有约束的向量X 称为容许解或容许点，容许点集合称为容许集。从最优化问题的一般形式可以看出，最优化要解决的问题就是在容许集中找一点*x ，使目标函数)(x f ，在该点取极小。这样*x 称为问题的最优点，而相应的目标函数值)(*x f 称为最优值。 2.最优化问题分类最优化问题可分为静态问题和动态问题两大类，本书只讨论静态问题。静态最优化问题又可分为无约束问题和约束问题两类。例：求Rosenbrock 函数大极小点，即{}212212)1()(100min x x x -+-。这是一个无约束二维问题。例：求优化问题 {}3214min x x x ++ 422..321=+-x x x t s 0,0,0321≥≥≥x x x 的最优解。这是一个约束最优化问题。无约束问题又可分为一维问题及n 维问题，求解一维问题的方法称为一维搜索或直线搜索，在最优化方法中起着十分重要的作用，故单独列出。

约束问题又分为线性规划和非线性规划。 3.二次函数 1)二次函数的一般形 ∑∑∑===++==n i n j n i i i j i ij n c x b x x q x x x f x f 111 2121),...,,()( 它的矩阵形式是c x b Qx x x f T T ++=2 1 )( 其中???? ????????= (2) 1 22221 11211 nn n n n n q q q q q q q q q Q ,? ???? ? ??????=n b b b b (21) 这里Q 是对称矩阵。我们称特殊的二次函数Qx x x f T 2 1 )(=为二次型。（无一次项和常数项） 2)正定矩阵设Q 是n n ?阶对称矩阵。若n R x ∈?且0≠x 时都有0>Qx x T ，则称矩阵Q 是正定的；若n R x ∈?都有0≥Qx x T ，则称矩阵Q 是半正定的；若n R x ∈?且0≠x 时都有0

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章概述(包括凸规划) 一、判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .

二次函数的应用最值问题

21.4二次函数的应用第一课时（最值问题）教学目标： 1、经历数学建模的基本过程。 2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。 3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点二次函数在最优化问题中的应用教学难点从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解教学过程一、创设问题情境，引入新课由21.1节的问题1引入例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。二、讲授新课在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m =100（m2）。时，函数取得最大值，为S 最大值所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100 m2。总结得出解这类题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。三、例题讲解

P36例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v 0t－ 1 2 gt2，其中h是物体上升的高度，v 是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。（1）问排球上升的最大高度是多少？（2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5 米。第二个问题只要令h=2.5，求出方程h=10t-5t2的解，t 1≈0.3(s),t 2 ≈1.7(s)。在结合实际情况，要快攻，所以最后确定选择较小的根。四、课堂练习课本P34练习1、2；P38练习1 五、课堂小结本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题。六、布置作业习题21.4第2、3题。

二次函数与利润最大问题

二次函数与最大利润问题学习目标: 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点: 本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点: 本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习方法: 在教师的引导下自主学习。学习过程: 一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. ⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. ⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.? ⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?

①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？ 4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章概述(包括凸规划) 一、判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{}Λ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .

与二次函数有关的最优化问题

与二次函数有关的最优化问题与二次函数有关的最优化问题在人们的生产、生活中有着广泛的应用，为帮助同学们进一步掌握这类问题的求解策略，下面给出两例与之有关的试题，供大家参考．例1．（2009年滨州市）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？分析：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值. 解：（1） y =(60－x －40)(300+20x ) ＝6000+400x －300x －20x 2 ＝－20x 2+100x +6000 自变量x 的取值范围是0≤x ≤20. （2）∵a ＝－20<0，∴函数有最大值， ∵100 2.522(20)b a -=-=?-， 22444(20)600010061254(20)ac b a -?-?-==?-. ∴当x =2.5时，y 的最大值是6125. ∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元. 例2.(2008西宁市)现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m ，宽为30m ，要将这块地划分为四块分别种植：A ．兰花；B ．菊花；C ．月季；D ．牵牛花．（1）求出这块场地中种植B 菊花的面积y 与B 场地的长x 之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．（2）当x 是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？分析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y 与x 之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值. 解：（1）由题意知，B 场地宽为(30)m x -， ∴2(30)30y x x x x =-=-+，自变量x 的取值范围为030x <<．（2）22 30(15)225y x x x =-+=--+，图1

二次函数知识点(大全)

二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0 c ,与y 轴交于正半轴；③0