同步发电机转子运动方程

发电机组的转速是由作用在它转子上的转矩所决定的，作用在转子上的转矩主要包括原动机作用在转子上的机械转矩和发电机的电磁转矩两部分。原动机的机械转矩是由发电厂动力部分（例如火电厂的锅炉和汽轮机）的运行状态决定，发电机的电磁转矩是由发电机及其连接的电力系统中的运行状态决定，在这些运行状态中如发生任意干扰都会使作用在转子上的转矩不平衡，也就会使转速发生变化。因此要求系统在受到各种干扰后，发电机组经过一段过程的运动变化后仍能恢复同步运行，即δ角能达到一个稳态值。能满足这一点，系统就是稳定的，否则就是不稳定的，而必须采取相应的措施以保证系统的稳定性。

一般将电力系统稳定性问题分为两大类，即静态稳定性和暂态稳定性。所谓电力系统静态稳定性是指电力系统在某个运行状态下，突然受到任意小干扰后，能恢复到原来的（或是与原来的很接近）运行状态的能力。这里所致的小干扰，是在这种干扰作用下，系统的状态变量的变化很小，因此允许将描述系统的状态方程线性化。电力系统暂态稳定性是指电力系统在某个运行状态下，突然受到较大干扰后，能够过渡到一个新的稳态运行状态（或者回到原来运行状态）的能力。由于受到的是大干扰，系统的状态方程不能线性化。由于两种稳定性问题中受到的干扰的性质不同，因而分析的方法也不同。

电力系统的稳定性问题还可以根据需要按时间长短分为短期、中期和长期稳定，它们在分析时所用的系统元件的数学模型不同，例如长期稳定将计及锅炉的过程。

一：同步发电机转子运动方程

同步发电机组转子的机械角加速度与作用在转子轴上的不平衡转矩之间的关系：

T E d J M M M dt

Ω=?=- （1） 其中，Ω为转子机械角速度，/rad s ；J 为转子的转动惯量，2kg m ；M ?为作用在转子轴上的不平衡转矩（略去风阻，摩擦等损耗即为原动机机械转矩T M 和发电机电磁转矩

E M 之差）

，N m ；上式极为转子运动方程。 当转子以额定转速0Ω（即同步转速）旋转时，其动能为：

2012

K W J =Ω （2） 式中，K W 为转子在额定转速时的动能，J 。由式（2）

20

2K W J =Ω，代入（1）： 202K W d M dt

Ω?=?Ω （3） 如转矩采用标幺值，将上式两端同除以转矩基准值B M (即功率基准值除以同步转速，0/B B M S =Ω)：

20*00

22K

K B B W W d d M S dt S dt ΩΩΩ?=?=?ΩΩ （4） 式中B S 单位为(/)VA N m s 。由于机械角速度和电角速度的关系：

0,p p ωω

Ω=Ω=

式中，p 为同步发电机转子的极对数；0ω为同步电角速度。

则（4）可改写为：

*002J K B T W d d M S dt dt

ωωωω?=?=? (5) *0/2

2J H T H

d M dt ωω=?=?在英美书籍中往往采用则

2K J B W T S =(或20J B

T J S Ω=) 式中，J T 为发电机组的惯性时间常数，s 。B S 为发电机的额定容量。一般手册上给出的数据均以发电机本身的额定容量为功率基准值。其物理意义：J T 为在发电机转子上加额定转矩后，转子从停顿状态转到额定转速时所经历的时间。

二：等值发电机

复杂系统中发电机台数过多会增加计算量。为简化计算，对于那些在暂态过程中，它们之间的相对角度变化不大（或者说它们的绝对角变化规律相似）的发电机，称为同调机群，可以将它们合并成一台等值机参加计算。例如在一个母线上并联运行的发电机，当故障离母线较远时，可以认为这些发电机在暂态过程中的相对角度几乎不变。

等值发电机的惯性时间常数是各台发电机归算到统一基准功率的惯性时间常数之和，即：

1212...n J J J Jn B B B

S S S T T T T S S S ∑=+++ 式中，12...J J Jn T T T 、分别为各台发电机的惯性时间常数；B S 为功率基准值。

关于如何识别同调机组并将其合并等问题属于动态等值专门问题。

运动微分方程

运动微分方程 弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。弹性体在t 时刻的动量P （t) dV v dt d dV f dS t dt dP F f V f m F dV f dS t F F F dV v m v p V i V i s i i i V i s i i V i i ??????= += ?=?=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面 ******************************************************************************* 散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。???=??s V S d F dV F 散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。 z R y Q x P R Q P z y x F ??+ ??+??=???????=??),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。 散度定理的证明：S d F dV F s V ?=???????。 令()R Q P F ,,= ，假设F =(0，0，R)，则需要证明 dS n R dV R s V z ?? ????=),0,0( 如下图，投影区为U 。 dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz R dV R U y x Z y x Z z D z ))],(,,()),(,,([)() ,() ,(底顶 顶底????????-== S=S 底+S 顶+S 侧面

第2章 流体运动的基本方程

第2章 流体运动的基本方程 流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。 2.1 连续方程 2.1.1 微分形式的连续方程 质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。 在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则 ? = V dV M ρ 根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立 0== ? V dV dt d dt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则 0dV )]v (div t [dV )v div Dt D ( dV dt d V V V ?? ? =+??=+= ρρρρ ρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有 0v div Dt D =+ ρρ （2-2a ） 或 0)v (div t =+?? ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式 0x u Dt D i i =??+ρ ρ （2-2b ） 或 0x )u (t i i =??+ ??ρρ （2-3b ）

式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。 在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为 0z )u (y )u (x )u (t z y x =??+ ??+ ??+ ??ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。 由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为 0=Dt D ρ （2-5） 即密度应随质点运动保持不变。 0=??t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以 在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。 图2-1 河口的海水入侵[1] 图2-2 水库中的浑水异重流[1] 对不可压缩均质流体，则不但0=Dt D ρ，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此， 连续性方程简化为

同步发电机转子运动方程

发电机组的转速是由作用在它转子上的转矩所决定的，作用在转子上的转矩主要包括原动机作用在转子上的机械转矩和发电机的电磁转矩两部分。原动机的机械转矩是由发电厂动力部分（例如火电厂的锅炉和汽轮机）的运行状态决定，发电机的电磁转矩是由发电机及其连接的电力系统中的运行状态决定，在这些运行状态中如发生任意干扰都会使作用在转子上的转矩不平衡，也就会使转速发生变化。因此要求系统在受到各种干扰后，发电机组经过一段过程的运动变化后仍能恢复同步运行，即δ角能达到一个稳态值。能满足这一点，系统就是稳定的，否则就是不稳定的，而必须采取相应的措施以保证系统的稳定性。 一般将电力系统稳定性问题分为两大类，即静态稳定性和暂态稳定性。所谓电力系统静态稳定性是指电力系统在某个运行状态下，突然受到任意小干扰后，能恢复到原来的（或是与原来的很接近）运行状态的能力。这里所致的小干扰，是在这种干扰作用下，系统的状态变量的变化很小，因此允许将描述系统的状态方程线性化。电力系统暂态稳定性是指电力系统在某个运行状态下，突然受到较大干扰后，能够过渡到一个新的稳态运行状态（或者回到原来运行状态）的能力。由于受到的是大干扰，系统的状态方程不能线性化。由于两种稳定性问题中受到的干扰的性质不同，因而分析的方法也不同。 电力系统的稳定性问题还可以根据需要按时间长短分为短期、中期和长期稳定，它们在分析时所用的系统元件的数学模型不同，例如长期稳定将计及锅炉的过程。 一：同步发电机转子运动方程 同步发电机组转子的机械角加速度与作用在转子轴上的不平衡转矩之间的关系： T E d J M M M dt Ω=?=- （1） 其中，Ω为转子机械角速度，/rad s ；J 为转子的转动惯量，2kg m g ；M ?为作用在 转子轴上的不平衡转矩（略去风阻，摩擦等损耗即为原动机机械转矩T M 和发电机电磁转矩E M 之差），N m g ；上式极为转子运动方程。 当转子以额定转速0Ω（即同步转速）旋转时，其动能为： 2012 K W J =Ω （2） 式中，K W 为转子在额定转速时的动能，J 。由式（2） 20 2K W J =Ω，代入（1）： 202K W d M dt Ω?=?Ω （3） 如转矩采用标幺值，将上式两端同除以转矩基准值B M (即功率基准值除以同步转速，0/B B M S =Ω)：

第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程 如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即 ()H h k q ?= （2-2-1） 式中：H ?——为水势梯度； k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。 Richards 方程垂向一维方程为 ) 1)(( ) (±??-=??-=z h k z H k q z θθ 注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。 由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。 一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。 一维Richards 方程的几种形式： 根据() ()θθ θD h k =??（K=C ×D ）得： x h k q x ??-=)(θ x D q x ??-=θ θ)( y h k q y ??-=) (θ y D q y ??-=θθ)( )1)( (±??-=z h k q z θ )]()([θθθk z D q z ±??-=

运动学四个基本公式

匀变速直线运动速度与时间关系练习题 1、物体做匀加速直线运动，已知加速度为2m/s2，那么（） A．在任意时间内，物体的末速度一定等于初速度的2倍 B．在任意时间内，物体的末速度一定比初速度大2m/s C．在任意一秒内，物体的末速度一定比初速度大2m/s D．第ns的初速度一定比第（n-1）s的末速度大2m/s 2、物体做匀加速直线运动，初速度v0=2m/s，加速度a=0.1m/s2，求（1）第3s末的速度？ （2）5s末的速度？ 3、质点作匀减速直线运动，加速度大小为3m/s2，若初速度大小为20m/s，求经4s质点的速度？ 4、质点从静止开始作匀变速直线运动，若在3s内速度变为9m/s，求物体的加速度大小？ 5、飞机以30m/s的速度降落在跑道上，经20s停止下来，若加速度保持不变，则加速度大小是？ 6、质点作初速度为零的匀变速直线运动，加速度为3m/s2，则（1）质点第3s的初速度和末速度分别为多少？ 7、汽车在平直的公路上以10m/s作匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小为2m/s2，则： （1）汽车经3s的速度大小是多少？ （2）经5s汽车的速度是多少？ （3）经10s汽车的速度是多少？ 8、质点从静止开始作匀加速直线运动，经5s速度达到10m/s，然后匀速度运动了20s，接着经2s匀减速运动到静止，则质点在加速阶段的加速度大小是多少？在第26s末的速度大小是多少？

9、质点在直线上作匀变速直线运动，若在A点时的速度是5m/s，经3s到达B点速度是14m/s，若再经4s到达C点，则在C点的速度是多少？ 10、一物体做直线运动的速度方程为v t=2t+4. (1)说明方程中各字母或数字的物理意义. (2)请画出物体运动的v-t图象. 11、一质点从静止开始以1m/s2的加速度匀加速运动，经5s后作匀速运动，最后2s的时间使质点匀减速到零，则质点匀速运动的速度是多大？减速运动时的加速度是多大？从开始运动到静止的平均速度是多少？

4.2 理想流体的运动微分方程讲解

4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下

??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1） 对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）

运动微分方程推导

以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导 1. 黏性流体的内应力 黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。 如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力 有法向应力 xx p ，与切向应力xy τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作 用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。 流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。 2. 以应力表示的运动微分方程 在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此，

xx p yy p ，zz p 必为负值。 由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为： Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx p - xx p x ??dy )dydz ]+ yx τdxdz +[-(yx τ- yx y τ??dy )dxdz ]+ zx τdxdy +[-(zx τ- zx z τ??dz )]x du dxdy dxdydz dt ρ= 等式两边分别除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到： 1 1 ( )zx x XX du P yx X X y z dt τρρ τ??+ + +=???? （1） 同理，在y 方向，由牛顿第三定律得：

[()][)][()] yy yy yy xy xy xy zy zy zy y Ydxdydz dxdz dy dxdz y dydz dx dydz x dxdy dz dxdy z dxdydz dt p p p du ρρττ τ ττ τ + +-- + ?+-- + ?+ +-- ?=??? 等式两边同时除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得： 1 1 ( )yy zy xy y Y y z x dt p du ρρ ττ+ ++ = ?????? （2）

运动学基本公式

运动学基本公式 一、运动学一般公式 1、 平均速度公式： t x v ??= 2、 加速度定义式：t v a ??= 二、匀变速直线运动公式： 1、 速度和时间关系：at v v +=0 2、 位移和时间关系：202 1at t v x += 3、 速度-位移公式：ax v v t 2202=- 4、 平均速度公式：2 0t v v v += 5、 平均速度位移公式：t v v t v x t 20+= = 6、 中间时刻速度：2 02t t v v v v += = 7、 中间位置速度：2 2202t x v v v += 三、初速度为零的匀变速直线运动公式： （一）一般公式 8、 速度和时间关系：at v = 9、 位移和时间关系：22 1at x = 10、速度-位移公式： ax v t 22= 11、平均速度公式：2 t v v =

12、平均速度位移公式：t v t v x t 2 == 13、中间时刻速度：2 2t t v v v = = 14、中间位置速度：2 2t x v v = （二）自由落体公式： 15、速度和时间关系：gt v = 16、位移和时间关系：22 1gt h = 17、速度-位移公式：gh v t 22= 18、中间时刻速度：2 2t t v v v = = 19、中间位置速度： 2 2t h v v = 四、初速度为零的匀变速直线运动的四个重要比例式： 20、速度比：n v v v v n :.......:3:2:1:......:::321= 21、位移比：2321:.......:9:4:1:......:::n x x x x n = 22、在相同时间内通过的位移比： )12(:.......:5:3:1......::: III II I -=n x x x 23、经过相同位移所用的时间比： ） （）（）（1:.......:2-3: 1-2:1:......:::321--=n n t t t t n

三相同步发电机的并联运行实验报告

实验报告四 实验名称：三相同步发电机的并联运行实验 实验目的：1.掌握三相同步发电机投入电网并联运行的条件与操作方法。 2.掌握三相同步发电机并联运行时有功功率与无功功率的调节。 实验项目：1.用准确同步法将三相同步发电机投入电网并联运行。 2.三相同步发电机与电网并联运行时有功功率的调节。 3.三相同步发电机与电网并联运行时无功功率调节。 →测取当输出功率等于零时三相同步发电机的V形曲线。（一）填写实验设备表

（二）三相同步发电机与电网并联运行时有功功率的调节 填写实验数据表格 表4-1 U=220V （Y ） f f0I =I = 0.85 A （三）三相同步发电机与电网并联运行时无功功率的调节 填写实验数据表格 表4-2 n=1500r/min U=220V 2P 0≈W

（四）问题讨论 1.三相同步发电机投入电网并联运行有哪些条件？不满足这些条件将产生什么后果？ 答：1.发电机的频率和电网的频率相同。 2.发电机和电网的电压大小相等，相位相同。3.发电机和电网的相序相同。 不满足这些条件将产生：1.频率不同，引起系统功率下降，进而导致系统解列。2.电压不同，引起系统损耗加大。相位不同不但会使有功和无功的冲击外，还会有一个电磁力矩冲击，会导致传动部分冲击。 3.相序不同.将会发生短路，造成人身伤亡和损坏设备事故。 2. 三相同步发电机与电网并联的方法有哪些？ 答：1.直接并网，2.有电动机带动至电网电压和频率时并网。3.发电机先做电动机，再转向发电机状态。 3. 实验的体会和建议 答：熟悉了三相同步发电机并网运行的条件与操作方法，知道了如何对三相同步发电机并联运行时有功功率与无功功率的调节，明白了三相同步发电机投入电网并联条件的重要性。

质点运动微分方程

第3篇 动力学 第10章 质点运动微分方程 一、目的要求 1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。 2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。 3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。 二、基本内容 1．基本概念： 动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式： （1）牛顿第二定律：a m F =（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a 。） （2）质点运动微分方程 1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F 2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dt z d m 22 3）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dt τυ =∑，∑ = b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。 三、重点和难点 1．重点： （1）建立质点运动微分方程。 （2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点： 在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。 四、教学提示 1．建议 （1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。 （2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。 （3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。 2.建议学时 课内（2学时）课外（3学时） 3．作业 10-5，10-12，10-14

第三章 流体运动的基本方程

3.1写出下列各量的数学表达式： （1）单位时间内以n 为法向的面积元dA 上的流体体积流量； [解] 设流速为V ，单位时间令为“1”，则解为dA n ν? （2）t ?时间内经固定不动空间τ的表面S 净流入τ的质量； [解] 设流体密度为ρ，n 为其单位法向量，流速为ν，则解为t dA n ??- ?νρ （3）流体体积τ内的动量、动能的随体导数。 [解] 动量的随体导数：() ?τνρτd Dt D 动能的随体导数：??? ? ???τνρτd Dt D 22 3.2 求各种坐标系下的连续性方程（用微六面体）： （1）柱坐标； [解] （2）球坐标； （3）一般曲线坐标。 [解] 将连续性方程推广到一般曲线坐标系下，建立微元体如下图： 在1u 轴向：单位时间内 3.3 下列各种流体运动中，哪个方向速度分量为零，然后写出连续性方程： （1）流体质点在每一平行平面上作径向运动； （2）流体质点在空间作径向运动； （3）流体质点在每一个都交于z 轴的平面上运动； （4）流体质点在同心的球面上运动； （5）流体质点在共轴的圆柱面上运动。若再加上无轴向运动，又如何？ （6）流体质点在共轴且有共同顶点的锥面上运动。 3.5 在流体中取一任意形状的控制体，由此求连续性方程。 [解] 取一任意形状控制体（流场中），其体积为τ，表面积为Ｓ，密度为()t z y x ,,,ρ，左方流入流体质量dA n s νρ??-1，右方流出流体质量dA n s νρ? ?2， 净流量为dA n s νρ??-1－dA n s νρ? ?2＝dA n s νρ??- 据质量守恒有：dA n d t p s νρττ???-=??，即0=?+????dA n d t p s νρττ 3.6 流体作有自由面的三维波动，底面为平面且流体等深，波动幅度小，求连续性方程。 [解] 取一控制体（如上图）： ｘ方向：左端流入 ()t dy h u ?+ξρ，右端流出()()()x t dy h u t dy h u ??+?+?+ξρξρ， 净流量()()t dxdy h u x ?+?? ξρ

2 永磁同步电机的公式推导

2 永磁同步电机的公式推导 2.1 永磁同步电机的能量转换过程推导 永磁同步电机电压平衡方程： （2-1） 其中，t θ = Ω ，θ为转子机械角位移，Ω为转子机械角速度，电机稳定运行时为常数，即const Ω=。则有 d d i L u Ri L i t θ?=++Ω? （2-2） 其中，Ri 为电阻压降，d d i L t 表示感应电动势，L E i θΩ?=Ω?成为运动电动势。 转矩平衡方程： 22d d m mec J R mec T T T T d T J R dt t θθ Ω =++=++ （2-3） 其中，m T 为电机电磁转矩，mec T 为输出机械转矩，22J d T J dt θ =为惯性转矩， d d R T R t θ Ω=为阻力转矩；理想情况下，电机阻力力矩近似为常数，稳定运行时机 械加速度为零，所以输出的机械转矩mec m R T T T =-，由于电机阻力力矩近似为常数，电磁功率可近似看作输出机械功率。 磁能的表达式： '1112n n m m j jk k j k W W i L i ====∑∑ （2-4） 由磁能与电磁转矩之间的关系m m W T d θ=?，则： 111122n n jk m m j k t j k L W L T i i i i θθθ ==???===???∑∑ （2-5） 其中，t i 表示电流矩阵的转置。 则电磁功率为：

1122 m m t t L P T i i i E θΩ?=Ω= Ω=? （2-6） 由公式两边同时乘以t i ，则： d d 1d 12d 2t t t t t t t t i i u i Ri i L i E t i i Ri i E i L i E t ΩΩΩ=++?? =+++ ? ?? （2-7） 由式（2.7）可知，等式左边t i u 为电机输入功率；等式右边t i Ri 为电阻损耗 功率，1 2 t i E Ω是电磁功率，即电功率转换成机械功率输出的那一部分，表明从电 磁耦合场中获得的一半能量转换成了机械能输出；d 1 d 2 t t i i L i E t Ω+是输入功率除去 输出的和内阻损耗功率之后的功率，即为磁场功率。稳态运行时，一个周期内磁场功率应为零，即一个周期内磁场转化的功率与释放的功率相同。 2.2 坐标变换 （1）0abc dq -变换（Clark 变换） 设三相绕组和两相绕组每相的绕组匝数分别为N 1，N 2，将两组磁动势分别投影到α轴和β轴上： 121211 () 22) a b c b c N i N i i i N i N αβ=--=- （2-8） 前后保持功率不变， 可进一步推倒出此时 21N N = ，所以，三相静止坐标系到两相静止坐标系（3s/2s ）的“等功率”变换矩阵为： 3/2111220s s C ?--?=? （2）0dq αβ-变换（Park 变换） 同样遵照磁效应等效原则，同一时刻、同一方向上的瞬时磁动势相等，再由

第3章振动系统地运动微分方程的题目解

习 题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为 题3-1图 题3-2图

θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论 （1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ，C y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 （2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+=

§2.4运动方程式的变换全解

§2.4 运动方变换 通过上节课对运动方程的求解我们看出，交流电机运动方程的系数都是时变函数，因此，求截这种微分方程是非常繁琐的。为了简化运动方程的求解，我们这一节研究采用变数变换的方法。即用新的变数电压和电流来替换运动方程中的实际变数。我们称这种变数变换为坐标变换。 电机理论中用到的变换基本上都是线性变换，而且坐标变换的种类也很多，究竟采用哪一种需要根据具体问题来选择。 一、 电流、电压和阻抗变换的一般公式 设有电路方程 3132121111i z i z i z u ++= 3232221212i z i z i z u ++= 3332321313i z i z i z u ++= 即 ??????????321u u u =???? ?? ????3332 312322 21131211 z z z z z z z z z ???? ? ?????321i i i 写成向量形式为 zi u = 其中 u 、i 是电压、电流矩阵，Z 是阻抗矩阵。 现在引入坐标变换，将u 和i 变为u '和i '，设变换矩阵是C ，即： u c u '= i c i '= 可见，若变换枕C 为一常值矩阵，电压方程组的形式保持不变，此时系统的功率为 u c c i u i H H h ''=

如果要求满足功率不变的约束，则必须有 C H C=E 或 C H =C -1 即C 是酉矩阵，而这种变换矩阵采 用酉矩阵的坐标变换称为酉变换。酉变换满足“功率不变”要求，且有： i c i c i H =='-1 u c u c u H =='-1 i z u ''=' zc c z H =' 在分析三相交流电机是常用的一些酉矩阵，如αβ0阵，dq0阵，对称分量阵等等会在下面介绍。 二、 对称分量变换 交流电机不对称运行最常用的方法是对称分量法。其基本思想就是利用对 称分量变换，将系统的阻抗矩阵变换为对角阵，从而简化问题的求解。 1、 公式及其含义 对于三相对称电路，若外加的电源电压不对称时可以证明，总可以把不对称 的电源电压U A 、U B 、U C 分解成正序、负序和零序三组对称电压，即