广东省华南师范大学附中2013届高三5月综合测试数学文试题word版

广东省华南师范大学附中2013届高三5月综合测试数学文试题word 版

2013.5

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（共50分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知i 是虚数单位，则复数3

2

32i i i z ++=所对应的点落在

A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x x

B ，则=)(B A

C U

A ．}20{<≤x x

B ．}0{≥x x

C ．}1{-≤x x

D ．}1{->x x

3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92

log

a

A ．4 B.5 C.6 D.7 4．在A

B

C ?中, 已知向量)72cos ,18(cos 0

=AB , )27cos 2,63cos 2(0

=AC , 则BAC ∠cos 的值为 A ．0 B ．

2

1 C ．

2

2 D ．

2

3

5．一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为

A ．

B ．

C ．

D ． 6．命题:p 若R b a ∈,，则1>+b a 是1>+b a 的充分而不必要条件；命题:q 函数21--=

x y 的

定义域是),3[]1,(+∞--∞ ，则

A ．“p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真

题图

第157．若?

??≤+≥+102

2y x y x ，则y x +2的取值范围是 A ．[

2

2

, 5 ] B ． [－

22 ,22

] C ． [－

2

2

, 5 ] D ． [－ 5 , 5 ]

8 在圆42

2

=+y x 上与直线01234=-+y x 距离最小的点的坐标是( ) A.)5

6

,58( B . )5

6,5

8

(-

C . )5

6,58(-

D . )5

6,5

8(-

-

9．函数x x y cos +=的大致图象是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．已知命题“x ?∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.)1,3(- B . ]1,3[- C . ),1()3,(+∞--∞ D . ),1[]3,(+∞--∞

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11. 双曲线2

2

9161x y -=的焦距是___________. 12．已知5

3)4sin(

=

-x π，则 x 2sin 的值为 .

13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是 .

（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）

14．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知

圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则它的圆心到直线l ：???+=--=t

y t

x 2322（t 为参数）的距离等

于 .

15．如图，已知P 是⊙O 外一点，P D 为⊙O 的切线，D 为切点， 割线PEF 经过圆心O ，若12P F =， 43P D =，则⊙O 的 半径长为 ．

x

y

O 2

π

x

y

O 2

π

x

y

O 2

π

x

y

O 2

π

开始 s =0,n =1

n ≤2012 是 否

s =s +sin

n π3

n = n + 1

输出s

结束

P

D

F

O

E

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数

)2

||,0,0)(sin()(π

?ω?ω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数)(x f 的解析式;

(2)当]3

2,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与

最小值及相应的x 的值.

17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计 男 5 女 10 合计

50

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35

．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任

意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率． 下面的临界值表供参考：

2

()

P K

k ≥

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（参考公式2

2

()

()()()()

n a d b c K

a b c d a c b d -=

++++ 其中n a b c d =+++）

18．（本小题满分14分）已知52,a a 是方程027122

=+-x x 的两根, 数列{}n a 是公差为正数的等差数列，

数列{}n b 的前项和为n T ，且)(2

11*

N n b T n n ∈-

=。

(I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;

(II)记n n n b a c =，求数列{}n c 的前项和n S ；

y O x

1

2

－1

3 5

－2

19．（本小题满分14分）如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆

O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点．

（I ）证明：DE //平面ABC ；

（II ）若21==BC BB ，求三棱锥BC A A 1-的体积的最大值．

20．（本小题满分14分）已知函数kx e x f x

-=)(，其中R k ∈； （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若0k >，且对于任意R x ∈，0)(>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）求证：当12ln ->k 且0>x 时，13)(2

+->kx x x f ．

21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆14

:

2

2

=+y

x

C 的上、下顶点分别

为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、BP 与直线2:-=y l 分别交于点M 、N ；

（I ）设直线AP 、BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：21k k ?为定值；

（II ）求线段MN 长的最小值；

（III ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

x

y M N B

A O P

2013届华师附中高三综合测试

数学（文科）参考答案

1—10.答案：C C A C B D C A B C 11. 56 12. 725 13. 3 14. 2 2

15.4

16. 解:(1)由图像知A =2,T 2 =4 ? T =8=2πω ,∴ω =π4 ,得f (x )=2sin (π

4 x +? ).

由对应点得当x =1时, π4 ×1+? =π2 ? ? =π4 .∴f (x )=2sin (π4 x + π

4 ); (2)y =2 sin (π4 x + π4 )+2 sin [π4 (x +2)+ π4 ]=2 sin (π4 x + π4 )+2cos (π4 x + π

4 )

=2 2 sin (π4 x +π2 )=2 2 cos π

4

x ,

∵x ∈ [－6,－23 ],∴π4 x ∈ [－3π2 ,－π

6

] ,

∴当π4 x =－π6 ,即x =－23 时,y 的最大值为 6 ;当π

4 x =－π,即x =－4时,y 的最小值－2 2 .

17. (Ⅰ)解：列联表补充如下 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计

男 20 5 25 女 10 15 25 合计

30

20

50

(Ⅱ)解：因为 K 2

= n (ad －bc ) 2

(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )

，所以 K 2≈8.333

又 P (k 2≥7.789) = 0.005 = 0.5%.

那么，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.

(Ⅲ)解： 记所选5人中没有患胃病的2人为A 1,A 2, 患胃病的3人为B 1,B 2, B 3,则所有基本事件为: (A 1,A 2,B 1), (A 1,A 2,B 2), (A 1,A 2,B 3), (A 1,B 1,B 2), (A 1, B 1,B 3), (A 1,B 2,B 3), (A 2,B 1,B 2), (A 2, B 1,B 3), (A 2,B 2,B 3),(B 1,B 2,B 3),共有10种.

设从所选5人任意选出3位进行其他方面的排查，其中恰好有一位患胃病的的事件为M ，则事件M 所包含的的基本事件有3个：(A 1,A 2,B 1), (A 1,A 2,B 2), (A 1,A 2,B 3) 根据古典概型概率计算公式，得10

3)(=

M P

18. 解：(I )由a 2+a 5=12,a 2·a 5=27.且d >0得a 2=3,a 5=9. ∴ d =a 5－a 23

=2 ,a 1=1,∴ a n =2n －1

在T n =1－12 b n 中,令n =1得b 1=23 ,当n ≥2时,T n =1－12 b n ,T n －1=1－1

2 b n －1,

两式相减得b n =12 b n －1－1

2 b n ,∴ b n b n －1 =1

3 (n ≥2)

∴ b n =23 (13 )n －1=2

3n .

(II ) C n =(2n －1)·23n =4n -2

3

n ,

∴ S n =2(13 +332 +533 +…+2n －13n )，S n 3 =2(132 +3

33 +…+2n －33n +2n －13n+1 ),

∴ 23 S N =2[13 +2(132 +133 +…+13n )－2n －13n+1 ]=2[1

3 +2×19 (1－1

3n －1 )1－13 －2n －13

n+1 ]

=2(13 +13 －1

3n －2n －13n+1 )=43 －4n +43n +1 , ∴ S n =2－2n +23

n .

19. （I ）证明：连结EO ，OA .∵ E , O 分别为B 1C , BC 的中点，∴EO //BB 1. 又DA //BB 1，且DA =EO =1

2

BB 1.∴四边形AOED 是平行四边形，

即DE //OA , DE ? 平面ABC . ∴DE // 平面ABC .. （II ）解：设y AC x AB ==,，则三棱锥BC A A 1-的体积

xy AC AB V V ABC A 3

12

123

11=???=

=-．

又由题，xy y

x 242

2≥=+，得2≤xy ，且等号当2==y x 时成立；

所以三棱锥BC A A 1-的体积的最大值为

3

2。

20. 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x

f x '=-．

由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．

于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0≥x 成立．

由()e 0x

f x k '=-=得ln x k =．

①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x

f x k k x '=->->≥．

此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．

当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：

x

(0ln )k ，

ln k

(ln )k +∞，

()f x ' -

0 +

()f x

单调递减 极小值 单调递增

由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．

依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，

． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．

（Ⅲ）由题，13)(2+->kx x x f ，即012132

2>-+-?+->-kx x e kx x kx e x x 记12)(2-+-=kx x e x g x ，则k x e x g x 22)(+-='，记k x e x h x

22)(+-= 则2)(-='x e x h ，得2ln 20)(>?>?>'x e x h x

因此，)(x h 在)2ln ,(-∞上递减，在),2(ln +∞上递增； 得k h x h 22ln 22)2(ln )(min +-==；

因为，12ln ->k ，可得022ln 22)(min >+-=k x h

所以，0)(>'x g ，说明)(x g 在R 上递增，因此，当0>x 时有0)0()(=>g x g 由上，0122

>-+-kx x e x

，因此得13)(2

+->kx x x f ；

21. 解：(1)由题设 x 2

4 + y 2 = 1可知，点A (0,1)，B (0,－1).

令P (x 0,y 0)，则由题设可知x 0≠0. ∴ 直线AP 的斜率k 1 =

y 0－1 x 0，PB 的斜率为k 2 = y 0＋1

x 0

又点P 在椭圆上，所以 x 024 + y 02

= 1(x 0≠0)，从而有 k 1·k 2 = y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0 = y 02－1 x 0

2

= －14

(2) 由题设可以得到直线AP 的方程为y －1 = k 1(x －0)，

直线PB 的方程为 y －(－1) = k 2(x －0).

由 ??? y －1 = k 1x

y = －2 ，解得 ??

??? x = －3

k 1 y = －2

；

由 ??? y + 1 = k 2x

y = －2

，解得 ???

?? x = －1

k 2 y = －2

. ∴ 直线AP 与直线l 的交点 N (－3k 1 ,－2)，直线PB 与直线l 的交点 M (－1

k 2 ,－2).

∴ MN = |3k 1 －1k 2 |，又k 1·k 2 = －1

4

∴ MN = |

3k 1 + 4k 1 | = 3| k 1 |

+ 4| k 1 |≥2 3| k 1 |

·4| k 1 | = 4

3 等号成立的条件是

3| k 1 | = 4| k 1 |，解得 k 1 = ±32

. 故线段MN 长的最小值是4 3

(3)设点Q (x ,y )是以MN 为直径的圆上的任意一点，则QM →·QN → = 0，故有 (x + 3k 1 )(x + 1

k 2 ) + (y + 2)(y + 2)

= 0.

又 k 1·k 2 = －14 ，所以以MN 为直径的圆的方程为 x 2 + (y + 2) 2－12 + (3

k 1

－4k 1)x = 0

令 ??? x = 0

x 2 + (y + 2) 2

－12 = 0 ，解得 ???x = 0 y = －2 + 23 或 ??? x = 0 y = －2－23

. 所以，以 MN 为直径的圆恒过定点 (0,－2 + 2 3 )(或点 (0,－2－2 3 )). 注：写出一点的坐标即可得分.