4 线性控制系统的数学模型

第四章线性控制系统的数学模型

控制系统的数学模型在控制系统研究中非常重要，因为对系统进行仿真处理，首先要知道系统的数学模型，然后才可以分析；知道了系统的模型，才可以设计合适的控制器。因此，控制系统的数学模型是系统分析和系统设计的基础。线性连续系统一般用传递函数、状态方程空间和零极点表示，本节分别介绍这些方法。

第一节线性连续系统模型及Matlab表示

1.1线性系统的传递函数模型

线性系统的常系数线性常微分方程模型：

其中，n为阶次，为常数，物理可实现。

Laplace变换后的数学模型为：

传递函数即放大倍数：

M atlab输入语句为：

1.第一种表示方法

例4-1 输入传递函数模型

M atlab输入语句：

>> num=[12 24 12 20];

>> den=[2 4 6 2 2];

>> G=tf(num,den)

在M atlab工作空间中建立了一个变量G

2.第二种表示方法

例4-2 如何处理如下的传递函数？

定义算子s=tf('s') ，再输入传递函数：

>> s=tf('s');

>> G=3*(s^2+3)/(((s+2)^3)*(s^2+2*s+1)*(s^2+5))

给出结果为：

例4-3 输入混合运算的传递函数模型

>> s=tf('s');

>> G=(s^3+2*s^2+3*s+4)/(s^3*(s+2)*((s+5)^2+5))

1.2 线性系统的状态方程模型

状态方程的数学模型为：

Xi为状态变量，n为阶次，输入和输出可以为任意的线性或非线性函数。对于时变模型：

而线性时不变模型(linear time invariant, LTI)为：

线性时不变模型的M atlab描述：

G=ss(A, B, C, D);

其中，A矩阵是n ×n方阵，B为n ×p矩阵，C为q ×n矩阵，D为q ×p矩阵。显然，利用此指令只要给出系统的(A, B, C, D)矩阵即可。

例4-5

MATLAB 模型输入

>> A=[-12 -17.2 -16.8 -11.9;6 8.6 8.4 6; 6,8.7 8.4 6;-5.9 -8.6 -8.3 -6];

>> B=[1.5 0.2;1 0.3;2 1;0 0.5];

>> C=[2,0.5 0 0.8;0.3 0.3 0.2 1];

>> D=zeros(2,2);G=ss(A,B,C,D)

>> G=ss(A,B,C,0)

1.3 线性系统的零极点模型

零极点模型是因式型传递函数模型：

其中，零点为Zi，极点为Pi，增益为K。

零极点模型的M atlab表示为：

例4-6 零极点模型

M atlab输入：

>> P=[-1;-2;-3;-4];

Z=[-5;-2+2i;-2-2i];G=zpk(Z,P,6)

M atlab输出：

第二节线性离散时间系统的数学模型及M atlab表示离散系统的数学模型为：差分方程代替微分方程

2.1 离散传递函数模型

Z变换代替Laplace变换后的数学模型为：

Matlab表示为（采样周期为T）：

1.第一种方法

Z=tf(‘z’, T)

例4-8 离散传递函数，采样周期T= 0.1s

MATLAB输入方法:

2.第二种方法

2.2 离散状态方程模型

数学模型为：

MATLAB表示方法:

H=ss(F, G, C, D, ‘Ts’, T)

数学建模(教案)第一章--线性规划

数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。

一般线性规划数学模型

一般线性规划问题 1. 线性规划的条件： ① 决策变量有没有---------------------必须有 ② 目标函数和约束条件是不是决策变量的线性表达式------------------必须是 ③ 决策变量非负条件是否满足-------------必须满足 ④ 目标函数是否表现出极大化或极小化------必须表现 2. 线性规划的表达式 目标函数： x c x c x c n n z Max Min +???++=2211)( 约束条件： b x a x a x a n n 112 12 1 11 )(≤≥+???++ b x a x a x a n n 222 2 21 21 )(≤≥+???++ b x a x a x a n n 332 2 31 31 )(≤≥+???++ ..............

b x a x a x a n n nn n )(2 2 1 n1 ≤≥+???++ 非负性约束： 0,,0,02 1 ≥???≥≥x x x n 问题重述 某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如表17所示。储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半小时服务员必须连续工作4h ，报酬40元。（1）问该储蓄所应如何雇用全时和半时两类服务员。（2）如果不能雇用半时服务员，每天至少增加多少费用。（3）如果雇用半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？ 表16 每天不同时间段所需要的服务员数量

数学建模习题——线性规划

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此 表四 问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解：设利润函数为M(x),投资A、B、C、D、E五种类型的证券资金分别为

12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知 12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400 225 1.4()9154325(),,,,0 M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥ 利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045]; A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3]; b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：

线性离散系统的数学模型和方法分析

§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法 大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。 一、线性离散系统的数学描述 1. 差分方程 对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示 )()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17) (10.17)式也可以写成如下紧缩的形式 ∑∑==-=-+n i n i i i iT kT u b iT kT y a kT y 1 )()()( (10.18) 如果引入后移算子1 -q ，即 )()(1T kT y kT y q -=- (10.19) 则(10.18)式可写成多项式的形式 )()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20) 式中 n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)( 方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。 2. 差分方程的解 线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解)(kT y 由齐次方程的通解

用MATLAB处理线性系统数学模型

实验一 用MATLAB 处理线性系统数学模型 [说明] 一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。MATLAB 软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。采用MATLAB 软件仿真的关键问题之一是在MATLAB 软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。 [实验目的] 1．了解MATLAB 软件的基本特点和功能； 2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB 环境下的表示方法及转换； 3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法； 4． 掌握在SIMULINK 环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法； 5．了解在MATLAB 环境下求取系统的输出时域表达式的方法。 [实验指导] 一、被控对象模型的建立 在线性系统理论中，一般常用的描述系统的数学模型形式有： （1）传递函数模型——有理多项式分式表达式 （2）传递函数模型——零极点增益表达式 （3）状态空间模型（系统的内部模型） 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 1、传递函数模型——有理多项式分式表达式 设系统的传递函数模型为 111011 1......)()()(a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m ++++++++= =---- 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a n 不等于零。 这时系统在MATLAB 中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定，这两个向量常用num 和den 表示。 num=[b m ,b m-1,…,b 1,b 0] den=[a n ,a n-1,…,a 1,a 0]

1-用MATLAB处理线性系统数学模型 (3)

实验二 用MATLAB 处理线性系统数学模型 [说明] 一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。MATLAB 软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。采用MATLAB 软件仿真的关键问题之一是在MATLAB 软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。 [实验目的] 1．了解MATLAB 软件的基本特点和功能； 2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB 环境下的表示方法及转换； 3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法； 4． 掌握在SIMULINK 环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法； 5．了解在MATLAB 环境下求取系统的输出时域表达式的方法。 [实验指导] 一、被控对象模型的建立 在线性系统理论中，一般常用的描述系统的数学模型形式有： （1）传递函数模型——有理多项式分式表达式 （2）传递函数模型——零极点增益表达式 （3）状态空间模型（系统的内部模型） 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 1、传递函数模型——有理多项式分式表达式 设系统的传递函数模型为 111011 1......)()()(a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m ++++++++= =---- 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a n 不等于零。 这时系统在MATLAB 中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定，这两个向量常用num 和den 表示。 num=[b m ,b m-1,…,b 1,b 0] den=[a n ,a n-1,…,a 1,a 0]

线性规划问题及其数学模型

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题 1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。 (1)????? ? ?≥=++≤++≥++++=无约束 3213213213213 21,0,5343 32243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≤≥≤++≥-+-=++++=0 ,0,8374355 22365max 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束 (3)?? ??? ??? ???==≥=====∑∑∑∑====) ,,1;,,1(0) ,,1(),,1(min 1 111n j m i x n j b x m i a x x c z ij m i j ij n j i ij m i ij n j ij (4)???????????=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1() ,,1(min 1 211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij n j i j ij n j j j 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； (4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。

线性规划模型及其举例

线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数

数学建模线性规划以及预测求解

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：103 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 高亚勇 2. 陆彦丽 3. 陈昊 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

电脑组装及销售 摘要 本文针对电脑组装及销售问题进行了分析、讨论，运用了多项式 0000000000000000模型，利用MATLAB 软件进行求解得出结论，为金牛公司的电脑组装及销售，提供了方案。 针对问题1：根据附件3金牛公司过去18个月投放市场销售的台式机数量和销售价格，建立了三次多项式拟合模型，利用MATLAB 编程，对2011年1月到2012年6月金牛公司过去18个月投放市场销售的台式机数量和销售价格进行了预测（见表000000）。 针对问题2：根据附件1金牛公司各种型号台式机以及附件4金牛公司库存电脑硬件零件的情况，通过公司获得最大利润，建立了线性规划模型求解，利用lingo 软件进行计算，建立图表（000000000000）进行与目前库存电脑零件进行对比，得出现有库存不能够满足旺季销售的需要，从而对目前库存零件进行优化组装。 针对问题3：根据问题3的要求，2012年5月份以后由于青羊公司生产金牛C,金牛D ，金牛E 三种型号的台式机，同时投放市场，使得金牛公司的三种型号的销售价格分别降低4%，3%，2%，且销售量分别下降2%，2%，1%，但不影响金牛公司其他型号电脑的价格和销量，即通过表（0000000）再次建立三次多项式拟合，得出函数表达式Yc=。。。。。。。。。。。。。。。,Yd=000000000000，Ye=0000000000，得出7,8月份金牛C,D,E 型号数量。通过公司获得最大利润，建立线性规划模型求解,得出表达式65432110644.97324.98456.675531518x x x x x x Z +++++=，通过公司库存零件的数量的约束，运用lingo 编程（详附件x ），得出生产最优方案。 针对问题4：为了与青羊公司竞争，金牛公司采用提升配置的方案，将C,D 两个型号的台式机的内存由“金士顿2GB DDR3”一条增加到了两条，即内存由原来的2G 扩大到了4G 。因此使C,D 两型号的台式机成本相应增加，同时公司又以原来的进价购进了这种内存300条，即库存零件相应的数量相应增加，则C,D 型号每台的利润相应变化，则目标函数也相应变化，65432110641094968763531518x x x x x x z +++++=，再通过公司库存零件的数量约束，运用lingo 编程（详x ）,得出最优生产方案。 针对问题5：结合问题3和问题4的最大利润，可得出金牛公司用“提升配置不提升价格”的方法可取。（生产安排意见见模型求解5） 关键字：多项式拟合 销售量 MATLAB Lingo 线性规划模型 公司最大利润