湖南省师范大学附属中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题

湖南师大附中2016届高三第一次月考

理科数学试题

时量 120分钟总分 150分

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分） 1、已知i 为虚数单位，复数z 满足i iz 43+=，则z =（） A.25 B. 7

C.5

D.1

2

3、设直线062=++y ax 与圆C ：222410x y x y +-++=相交于点P ,Q 两点，CP CQ ⊥，则实数a 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．3

4、命题p ：“非零向量b a

,，若0

“对函数)(x f ，若0)(0='x f ，则0x x =为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（）

A.q p ∧

B.q p ∨

C.)(q p ?∧

D.)()(q p ?∧?

5、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱

锥S ABCD -，该四棱锥的体积为

3

，则该半球的体积为。

6、5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ).

A ．－56

B ．－35

C ．35

D ．56

7、已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项为正数的等比数列，且公比1≠q ，若101022,b a b a ==，则（）

A.66b a >

B.66b a =

C.66b a <

D.66b a >或66b a <

8、“(1)(1)0m n -

->”是“0log >m n ”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

9、如图，已知圆M 的半径为2，点P 与圆心M 的距离为4，正方形ABCD 是圆M 的内接四边形，E ，F 是边AB ，AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME PF ?的取值范围是 A.]2,2[- B.]22,22[- C.]4.4[- D.]24,24[-

10、若实数y x ,满足的约束条件??

?

??≥+≥+

-≤-+010101y y x y x ，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为b

a ,，则

by ax z

+=2在点)1,2(-处取得最大值的概率为（ ）

A

11?的三个内角，给出下列三组数据

①sinA,sinB,sinC ； ②222sin A,sin B,sin C ； 分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 A .①② B.①③ C.②③ D.①②③

12、已知()x f '是定义在R 上的函数)(x f y =的导函数，且)()(x f x f '<，则)2(ln 2

1

f a =

，)1(1

f e

b =

，)0(f c =的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.a b c << D.b a c <<

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 13、已知定义在R 上的函数()21x m

f x -=-（m R ∈）为偶函数，则不等式1)(

14、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是.

15、已知方程()2

00,0x px q p q -+=>>有两个不同的根21,x x ，

且2,,21-x x 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成

等比数

列，则p q ×的值等于

16、设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为)0,(c F ，右顶点为)0,(a A ，过F 作x 轴的垂线与

双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .，若D 到直线BC 的距离等于a c +，则双曲线的离心率为

三、解答题（本题共6个小题，满分70分） 17、（满分10分）已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ω?ω?π00，为偶函数，且其图象上相邻两

对称轴之间的距离为π. （I ）求函数f x ()的单调区间；

（II ）若sin ()αα+=f 23

，求2241

1sin tan απα-?

? ??

?++的值.

18、（满分12分）某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润.

（1）求下表中的,a b 值；

（2）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率()P A ；

（3）求η的分布列及数学期望E η.

19、（满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（I ）求证：BN ⊥平面11C B N ；

（II ）设θ为直线1C N 与平面1C NB 所成的角，求sin θ的值； （Ⅲ）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求C

BP

P 的值．

20、（满分12分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足

2*21()n n a S n N -=∈；数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．

（1）求n a 和n T ；

（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围；

21、（满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

21,F F 为椭圆的左右焦点，若直线3450x y ++=上有且仅有一个点

M ，使得1290F MF ?∠=．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦

点．点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点．若

0PQ QT ?= 时,PQ 取得最大值为，求实数t 的值．

22、（满分12分）已知函数x a x x f ln 1)(--=（其中a 为参数）. （1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若对任意),0(+∞∈x ，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值集合；

（3）证明：1)11()11(++<<+n n n

e n （其中+

∈N n ，e 为自然对数的底数）