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人教A版高中数学选修2-2全一册学案

1.1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念

(1)平均变化率的定义是什么?平均变化率的几何意义是什么?

(2)瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率?

(3)如何用定义求函数在某一点处的导数?

[新知初探]

1.函数y =f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式:Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)

x 2-x 1

.

(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义:刻画函数值在区间[x 1,x 2]上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义:

设A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))是曲线y =f (x )上任意不同的两点,函数y =f (x )的平均变化率Δy Δx =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1

=f (x 1+Δx )-f (x 1)

Δx 为割线AB 的斜率,如图所示.

[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量,且x 2是x 1附近的任意一点,即Δx =x 2-x 1≠0,但Δx 可以为正,也可以为负.

2.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率

Δx 趋于0的距离要多近有多近,即|Δx -0|可以小于给定的任意小的正数,且始终Δx ≠0. 3

预习课本P2~6,思考并完成下列问题

[小试身手]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1,x 2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中,Δx ,Δy 都不可能为零.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)×

2.质点运动规律为s (t )=t 2+3,则从3到3+Δt 的平均速度为( ) A .6+Δt B .6+Δt +9

Δt

C .3+Δt

D .9+Δt

答案:A

3.已知函数f (x )=2x 2-4的图象上两点A ,B ,且x A =1,x B =1.1,则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )

A .4

B .4x

C .4.2

D .4.02

答案:C

4.在f ′(x 0)=lim Δx →

f (x 0+Δx )-f (x 0)

Δx

中,Δx 不可能为( )

A .大于0

B .小于0

C .等于0

D .大于0或小于0

答案:C

[典例] 求函数f (x )=x 2在x =1,2,3附近的平均变化率,取Δx 的值为1

3,哪一点附近的

平均变化率最大?

[解] 在x =1附近的平均变化率为 k 1=f (1+Δx )-f (1)Δx =(1+Δx )2-1Δx =2+Δx ;

在x =2附近的平均变化率为

k 2=f (2+Δx )-f (2)Δx =(2+Δx )2-22

Δx =4+Δx ;

在x =3附近的平均变化率为

k 3=f (3+Δx )-f (3)Δx =(3+Δx )2-32Δx =6+Δx ;

若Δx =13,则k 1=2+13=73,k 2=4+13=13

3,

k 3=6+13=19

3,

由于k 1<k 2<k 3,

故在x =3附近的平均变化率最大.

求平均变化率的步骤

(1)先计算函数值的改变量Δy =f (x 1)-f (x 0). (2)再计算自变量的改变量Δx =x 1-x 0. (3)求平均变化率Δy Δx =f (x 1)-f (x 0)

x 1-x 0.

[活学活用]

求函数y =x 3从x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率,并计算当x 0=1,Δx =1

2时平均变化率

的值.

解:当自变量从x 0变化到x 0+Δx 时,函数的平均变化率为Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)

Δx =

(x 0+Δx )3-x 30

Δx

=3x 20+3x 0Δx +(Δx )2

当x 0=1,Δx =1

2时平均变化率的值为

3×12+3×1×12+????122=19

4

.

[典例] =3t -t 2. (1)求此物体的初速度;

(2)求此物体在t =2时的瞬时速度.

[解] (1)当t =0时的速度为初速度.在0时刻取一时间段[0,0+Δt ],即 [0,Δt ], ∴Δs =s (Δt )-s (0)=[3Δt -(Δt )2]-(3×0-02)=3Δt -(Δt )2,

Δs Δt =3Δt -(Δt )2

Δt =3-Δt ,li m

Δt →0 Δs

Δt

=li m Δt →0 (3-Δt )=3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2+Δt ], ∴Δs =s (2+Δt )-s (2)

=[3(2+Δt )-(2+Δt )2]-(3×2-22) =-Δt -(Δt )2,

Δs Δt =-Δt -(Δt )2Δt

=-1-Δt , li m

Δt →0 Δs

Δt

=li m

Δt →0 (-1-Δt )=-1, ∴当t =2时,物体的瞬时速度为-

1.

1.求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0). (2)求平均速度v =Δs

Δt

(3)求瞬时速度,当Δt 无限趋近于0时,Δs

Δt 无限趋近于常数v ,即为瞬时速度.

2.求

Δy

Δx

(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中,可把Δx 作为一个数来参与运算;

(2)求出Δy

Δx 的表达式后,Δx 无限趋近于0就是令Δx =0,求出结果即可.

[活学活用]

一木块沿某一斜面自由滑下,测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s =1

2t 2,

则t =2时,此木块在水平方向的瞬时速度为( )

A .2

B .1 C.12

D.14

解析:选A ∵Δs Δt =12(2+Δt )2-12×22

Δt =1

2

Δt +2,

∴li m Δt →0 Δs

Δt

=li m Δt →0 ????12Δt +2=2,故选A.

[典例] (1)函数y =x 在x =1处的导数为________.

(2)如果一个质点由定点A 开始运动,在时间t 的位移函数为y =f (t )=t 3+3, ①当t 1=4,Δt =0.01时,求Δy 和比值Δy Δt

; ②求t 1=4时的导数. [解析] (1)Δy =1+Δx -1,

Δy

Δx

=1+Δx -1

Δx

11+Δx +1

li m

Δx →0 1

1+Δx +1

=12,所以y ′|x =1=1

2

. 答案:(1)1

2

(2)解:①Δy =f (t 1+Δt )-f (t 1)=3t 21·Δt +3t 1·(Δt )2+(Δt )3

,故当t 1=4,Δt =0.01时,Δy =

0.481 201,Δy

Δt

=48.120 1.

②li m

Δt →0 Δy

Δt

=li m Δt →0[3t 21+3t 1·Δt +(Δt )2]=3t 21=48, 故函数y =t 3+3在t 1=4处的导数是48, 即y ′|t 1=4=48.

1.用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)求平均变化率Δy Δx =f (x 0+Δx )-f (x 0)

Δx ;

(3)求极限li m

Δx →0 Δy

Δx

. 2.瞬时变化率的变形形式

li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx

=li m

Δx →0 f (x 0-Δx )-f (x 0)

-Δx

=li m

Δx →0 f (x 0+n Δx )-f (x 0)

n Δx

=li m Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0-Δx )2Δx

=f ′(x 0).

[活学活用]

求函数y =x -1

x 在x =1处的导数.

解:因为Δy =(1+Δx )-1

1+Δx -()

1-1=Δx +Δx 1+Δx

,所以Δy Δx =

Δx +

Δx

1+Δx Δx =1+1

1+Δx

. 当Δx →0时,

Δy

Δx

→2, 所以函数y =x -1

x 在x =1处的导数为2.

层级一 学业水平达标

1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( ) A .圆 B .抛物线 C .椭圆

D .直线

解析:选D 当f (x )=b 时,瞬时变化率li m Δx →0 Δy

Δx =li m △x -0 b -b Δx =0,所以f (x )的图象为

一条直线.

2.设函数y =f (x )=x 2-1,当自变量x 由1变为1.1时,函数的平均变化率为( ) A .2.1 B .1.1 C .2

D .0

解析:选A Δy Δx =f (1.1)-f (1)1.1-1

=0.21

0.1=2.1.

3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则()

A.f′(x)=a B.f′(x)=b

C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b

解析:选C f′(x0)=li m

△x-0f(x0+Δx)-f(x0)

Δx

=li m

△x-0

(a+b·Δx)=a.

4.如果质点A按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时速度为() A.6B.18

C.54D.81

解析:选B∵s(t)=3t2,t0=3,

∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3·32=18Δt+3(Δt)2.∴Δs

Δt=18+3Δt.∴li m

△x-0

Δs

Δt=li m

△x-0

(18+3Δt)=18,故应选B.

5.已知f(x)=x2-3x,则f′(0)=()

A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx C.-3 D.0

解析:选C f′(0)=li m

△x-0(0+Δx)2-3(0+Δx)-02+3×0

Δx

=li m

△x-0(Δx)2-3Δx

Δx=li m

△x-0

(Δx-3)=-3.故选C.

6.设f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a=________.

解析:∵f′(1)=li m

△x-0f(1+Δx)-f(1)

Δx

=li m

△x-0a(1+Δx)+4-(a+4)

Δx=a,∴a=2.

答案:2

7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t

,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________.

解析:v1=k OA,v2=k AB,v3=k BC,

由图象知k OA<k AB<k BC.

答案:v 1<v 2<v 3

8.球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为______. 解析:∵Δy =43π×23-43π×13=28π

3,

∴Δy Δx =28π3

2-1=28π

3. 答案:

28π

3 9.质点按规律s (t )=at 2+1做直线运动(s 单位:m ,t 单位:s).若质点在t =2时的瞬时速度为8 m/s ,求常数a 的值.

解:∵Δs =s (2+Δt )-s (2)=[a (2+Δt )2+1]-(a ×22+1)=4a Δt +a (Δt )2,∴Δs

Δt

=4a +a Δt , ∴在t =2时,瞬时速度为li m △x

Δs

Δt

=4a,4a =8,∴a =2. 10.已知函数f (x )=?????

-1x ,x >0,1+x 2,x ≤0求f ′(4)·f ′(-1)的值. 解:当x =4时,Δy =-

1

4+Δx +1

4

=1

2-14+Δx =4+Δx -224+Δx =

Δx

24+Δx (4+Δx +2).

∴Δy Δx

=1

24+Δx (4+Δx +2)

.

∴li m Δx →

Δy

Δx =li m Δx →0

1

24+Δx (

4+Δx +2)

1

2×4×(4+2)=116

.

∴f ′(4)=

116

. 当x =-1时,Δy Δx =f (-1+Δx )-f (-1)

Δx

=1+(-1+Δx )2-1-(-1)2Δx

=Δx -2,

由导数的定义,得f ′(-1)=li m Δx →

(Δx -2)=-2, ∴f ′(4)·f ′(-1)=116×(-2)=-18

.

层级二 应试能力达标

1.已知函数f (x )=2x 2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx ,-2+Δy ),则Δy

Δx

等于( )

A .4

B .4x

C .4+2Δx

D .4+2(Δx )2

解析:选C Δy Δx =f (1+Δx )-f (1)Δx =2(1+Δx )2-4+2Δx =2(Δx )2

+4Δx

Δx

=2Δx +4.

2.甲、乙两人走过的路程s 1(t ),s 2(t )与时间t 的关系如图,则在[0,t 0]

这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v 甲,v 乙的关系是( )

A .v 甲>v 乙

B .v 甲<v 乙

C .v 甲=v 乙

D .大小关系不确定

解析:选B 设直线AC ,BC 的斜率分别为k AC ,k BC ,由平均变化率的几何意义知,s 1(t )在[0,t 0]上的平均变化率v 甲=k AC ,s 2(t )在[0,t 0]上的平均变化率v 乙=k BC .因为k AC <k BC ,所以v 甲<v 乙.

3.若可导函数f (x )的图象过原点,且满足li m Δx →

f (Δx )

Δx

=-1,则f ′(0)=( ) A .-2 B .-1 C .1

D .2

解析:选B ∵f (x )图象过原点,∴f (0)=0, ∴f ′(0)=li m Δx →0 f (0+Δx )-f (0)Δx =li m Δx →0 f (Δx )

Δx =-1,

∴选B.

4.已知f (x )=2x ,且f ′(m )=-1

2,则m 的值等于( )

A .-4

B .2

C .-2

D .±2

解析:选D f ′(x )=li m Δx →0 f (x +Δx )-f (x )Δx =-2x 2,于是有-2m 2=-1

2

,m 2=4,解得

m =±2.

5.已知函数f (x )=-x 2+x 在区间[t,1]上的平均变化率为2,则t =________. 解析:∵Δy =f (1)-f (t )=(-12+1)-(-t 2+t )=t 2-t ,

∴Δy Δx =t 2

-t 1-t =-t . 又∵Δy Δx

=2,∴t =-2. 答案:-2

6.一物体的运动方程为s =7t 2+8,则其在t =________时的瞬时速度为1.

解析:Δs Δt =7(t 0+Δt )2+8-(7t 2

0+8)

Δt

=7Δt +14t 0,

当li m Δx →

(7Δt +14t 0)=1时,t =t 0=1

14

. 答案:

114

7.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105 m/s 2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-

3 s ,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

解:位移公式为s =1

2

at 2,

∵Δs =12a (t 0+Δt )2-12at 20=at 0Δt +12

a (Δt )2

, ∴Δs Δt =at 0+12a Δt ,∴li m Δx →0 Δs Δt =li m Δx →0 ????at 0+12a Δt =at 0, 已知a =5.0×105m /s 2,t 0=1.6×10-3s ,∴at 0=800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

8.设函数f (x )在x 0处可导,求下列各式的值. (1) li m Δx →

f (x 0-m Δx )-f (x 0)

Δx

(2li m Δx →

f (x 0+4Δx )-f (x 0+5Δx )

Δx

.

解:(1) li m Δx →

f (x 0-m Δx )-f (x 0)

Δx

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材P 2-P 5; ②教材P 5练习第1-5题; ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2 α 各是第几象限角? 解:α 角属于第三象限, 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

高中数学选修2-2学案7:2.2.2 反证法

2.2.2 反证法 学习要求 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题. 知识要点 1.定义:假设原命题________,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明_________,从而证明了__________,这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型:反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾,或与______矛盾,或与________________________矛盾等. 问题探究 探究点一反证法的概念 问题1王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他 们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?” ”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述,运用了什么方法? 问题2上述方法的含义是什么? 问题3反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾. 反证法引出的矛盾有几种情况? 问题4反证法主要适用于什么情形? 探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论

例1已知直线a,b和平面α,如果a?α,b?α,且a∥b,求证:a∥α. 小结数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路,即一个命题的结论如果难以直接证明时,可考虑用反证法. 跟踪训练1已知:a∥b,a∩平面α=A,如图.求证:直线b与平面α必相交. 探究点三用反证法证明否定性命题 例2求证:2不是有理数.

人教版高中数学_全册教案

第一章空间几何体 第一章课文目录 1.空间几何体的结构 1.空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 知识结构: 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行,而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形,其余各面 底面是正多边 形,且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台

高中数学选修2-2导学案

高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题. 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率,也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1.函数的平均变化率:已知函数y =f (x ),x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx = ,Δy =y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)= ,则当Δx ≠0时,商x x f x x f ?-?+) ()(00=____叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间 的 . 2.函数y =f (x )的平均变化率的几何意义:Δy Δx =__________ 表示函数y =f (x )图象上过两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢?下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题. 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度? 问题2 什么是平均变化率,平均变化率有何作用? 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 问题3 平均变化率有什么几何意义? 跟踪训练1 如图是函数y =f (x )的图象,则: (1)函数f (x )在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________. 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )=x 2,分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3];(2)[1,2];(3)[1,1.1];(4)[1,1.001]. 跟踪训练2 分别求函数f (x )=1-3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )

高一数学教案人教版

高一数学教案人教版 【篇一:人教版高中数学必修3全册教案】 教育精品资料 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步??????????????11.1算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1 算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤)

高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案

抛物线及其标准方程导学案 【学习要求】 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程. 【学法指导】 通过观察抛物线的形成过程,得出抛物线定义,建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用,体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 【知识要点】 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 2 探究点一 抛物线定义 如图,我们在黑板上画一条直线EF ,然后取一个三角板,将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边 上,并将拉链下边一半的一端固定在C 点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上,在拉锁D 处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线. 问题1 画出的曲线是什么形状? 问题2 |DA |是点D 到直线EF 的距离吗?为什么? 问题3 点D 在移动过程中,满足什么条件? 问题 4 在抛物线定义中,条件“l 不经过点F ”去掉是否可以? 例1 方程[] 2 2)1()3(2-++y x =|x -y +3|表示的曲线是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线 跟踪训练1 (1)若动点P 与定点F (1,1)和直线l :3x +y -4=0的距离相等,则动点P 的轨迹是 ( ) A .椭圆 B .双曲线 C .抛物线 D .直线 (2)若动圆与圆(x -2)2+y 2=1相外切,又与直线x +1=0相切,则动圆圆心的轨迹是 ( ) A .椭圆 B .双曲线 C .双曲线的一支 D .抛物线 探究点二 抛物线的标准方程 问题 1 结合求曲线方程的步骤,怎样求抛物线的标准方程? 问题2 抛物线方程中p 有何意义?标准方程有几种类型? 问题3 根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程? 例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程. (1)y 2=-6x ; (2)3x 2+5y =0; (3)y =4x 2; (4)y 2=a 2x (a ≠0). 跟踪训练2 (1)抛物线方程为7x +4y 2=0,则焦点坐标为( ) A .??? ?7 16,0 B .????-74,0 C .??? ?-7 16,0 D .? ???0,-7 4 (2)抛物线y =-1 4x 2的准线方程是 ( ) A .x =1 16 B .x =1 C .y =1 D .y =2 例3 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y +4=0; (2)过点(3,-4); (3)焦点在直线x +3y +15=0上. 跟踪训练3 (1)经过点P (4,-2)的抛物线的标准方程为( ) A .y 2=x 或x 2=y B .y 2=x 或x 2=8y C .x 2=-8y 或y 2=x D .x 2=y 或y 2=-8x (2)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M (m ,-3)到焦点F 的距离为5,求m 的值、

人教版高中数学集合教案

1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义: 集合:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集). 元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么? 例(1)的元素为1、3、5、7, 例(2)的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点, 例(3)的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x, 例(4)的元素为所有直角三角形, 例(5)为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合,{ …}如{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便,常用大写的拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5} 2

(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性. 3、元素与集合的关系:隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?(? 也可表示为 )两种。 如A={2,4,8,16},则4∈A ,8∈A ,32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合A 的元素,就说a 属于集A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集A 记作 a ?A (或a A ) 注:1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0。 (2)非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z * 请回答:已知a+b+c=m ,A={x|ax 2+bx+c=m},判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标:1.理解子集、真子集概念; 2.会判断和证明两个集合包含关系; 3 . 理解 ”、“?”的含义; 4.会判断简单集合的相等关系; 5.渗透问题相对的观点。 教学重点:子集的概念、真子集的概念 教学难点:元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程: 观察下面几组集合,集合A 与集合B 具有什么关系? (1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形},B={四边形}. (4) A=?,B={0}. ∈?∈

高中数学【北师大选修1-1】教案全集

第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程: 一、复习准备: 阅读下列语句,你能判断它们的真假吗? (1)矩形的对角线相等; >; (2)312 >吗? (3)312 (4)8是24的约数; (5)两条直线相交,有且只有一个交点; (6)他是个高个子. 二、讲授新课: 1. 教学命题的概念: ①命题:可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition). 也就是说,判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中,(1)(2)(4)(5)(6)是命题. ②真命题:判断为真的语句叫做真命题(true proposition); 假命题:判断为假的语句叫做假命题(false proposition). 上述5个命题中,(2)是假命题,其它4个都是真命题. ③例1:判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)2小于或等于2; (4)对数函数是增函数吗? x<; (5)215 (6)平面内不相交的两条直线一定平行; (7)明天下雨. (学生自练→个别回答→教师点评) ④探究:学生自我举出一些命题,并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p,则q”的形式: ①例1中的(2)就是一个“若p,则q”的命题形式,我们把其中的p叫做命题的条件,q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题(6)改写成“若p,则q”的形式. ③例2:将下列命题改写成“若p,则q”的形式. (1)两条直线相交有且只有一个交点; (2)对顶角相等; (3)全等的两个三角形面积也相等. (学生自练→个别回答→教师点评) 3. 小结:命题概念的理解,会判断一个命题的真假,并会将命题改写“若p,则q”的形式. 巩固练习: 教材 P4 1、2、3 4. (师生共析→学生说出答案→教师点评) ②例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1)同位角相等,两直线平行; (2)正弦函数是周期函数;

人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期: 1.1.1命题 (一)教学目标 1、知识与技能:理解命题的概念和命题的构成,能判断给定陈述句是否为命题,能判断命题的真假;能把命题改写成“若p,则q”的形式; 2、过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力; 3、情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 (二)教学重点与难点 重点:命题的概念、命题的构成 难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 (三)教学过程 学生探究过程: 1.复习回顾 初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题? 2.思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点. (2)2+4=7. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)若x2=1,则x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除. 3.讨论、判断 学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情。其中(1)(3)(5)的判断为真,(2)(4)(6)的判断为假。 教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清。 4.抽象、归纳 定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的定义的要点:能判断真假的陈述句. 在数学课中,只研究数学命题,请学生举几个数学命题的例子.教师再与学生共同从命题的定义,判断学生所举例子是否是命题,从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解.

高中数学人教版必修4全套教案

第1,2课时1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角:按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算:5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ; 在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究:计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

人教版高中数学选修2-3学案 全册

§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1) ※学习目标 1.通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理; 2. 了解分类、分步的特征,合理分类、分步; 3. 体会计数的基本原则:不重复,不遗漏. ※课前预习 1、预习目标 准确理解两个原理,弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。 2、预习内容 分类计数原理:完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m 1 种不同的方法,在第二类方 式,中有m 2种不同的方法,……,在第n类方式,中有m n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 分步计数原理:完成一件事,需要分成n个,做第1步有m 1 种不同的方法,做 第2步有m 2种不同的方法,……,做第n步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。 3、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 预习自测 1从高二(1)班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人,有多少种不同挑选结果? 2一次会议共3人参加,结束时,大家两两握手,互相道别,请你统计一下,大家握手次数共有多少?

二、新课导学 ※学习探究 探究任务一:分类计数原理 问题1:P2思考题1 分析:给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用,有___ 种方法; 第二类方法用,有___ 种方法; ∴能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知:分类计数原理-加法原理: 如果完成一件工作有两类不同的方案,由第1类方案中有m种方法,在第2类方案中有n种 m+种不同的方法. 不同的方法,那么,完成这件工作共有n 试试:一件工作可以用2种方法完成,有5人只会用第1种方法完成,另有4人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同选法的种数是. 反思:使用分类计数原理的条件是什么?分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗? 探究任务二:分步计数原理 问题2:P3思考题2 分析:每一个编号都是由个部分组成,第一部分是,有____种编法,第二部分是,有种编法;要完成一个编号,必须完成上面两部分,每一部分就是一个步骤,所以,不同的号码一共有个. 新知:分步计数原理-乘法原理: 完成一件工作需要两个步骤,完成第1步有m种不同的方法,完成第2步有n种不同的方 m?种不同方法。 法,那么,完成这件工作共有n 试试:P4例2

高中数学人教版选修1-2全套教案

高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分析. 教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:“名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间是否有关? 2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 体重. (分析思路→教师演示→学生整理)

第一步:作散点图第二步:求回归方程第三步:代值计算 ②提问:身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗? 不一定,但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画(因为所有的样本点不共线,所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系). 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg,如果能用一次函数来描述体重与身高的关系,那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响,把这种影响的结果e(即残差变量或随机 =++,其中残差变量e中包含体重变量)引入到线性函数模型中,得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时,线性回归模型就变成一次函数模型. 因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一条直线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结:求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

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第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1集合的含义与表示(第一课时) 教学目标:1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点:集合含义 教学难点:集合含义的理解 教学方法:尝试指导法 教学过程: 引入问题 (I)提出问题 问题1:班级有20名男生,16名女生,问班级一共多少人? 问题2:某次运动会上,班级有20人参加田赛,16人参加径赛,问一共多少人参加比赛? 讨论问题:按小组讨论。 归纳总结:问题2已无法用学过的知识加以解释,这是与集合有关的问题,因此需用集合的语言加以描述(板书标题)。 复习问题 x-< 问题3:在小学和初中我们学过哪些集合?(数集,点集)(如自然数的集合,有理数的集合,不等式73的解的集合,到一个定点的距离等于定长的点的集合,到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等)。(II)讲授新课 1.集合含义 通过以上实例,指出: (1)含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。 说明:在初中几何中,点,线,面都是原始的,不定义的概念,同样集合也是原始的,不定义的概念,只可描述,不可定义。 (2)表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4:由此上述例中集合的元素分别是什么? 2. 集合元素的三个特征

由以上四个问题可知,集合元素具有三个特征: (1) 确定性: 设A 是一个给定的集合,a 是某一具体的对象,则a 或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种而且只有一种成立。 如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) “中国古代四大发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数”,“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素,则称a 属于集合A ,记作a ∈A ; 若a 不是集合A 的元素,则称a 不属于集合A ,记作a ?A 。 如A={2,4,8,16},则4∈A ,8∈A ,32?A.(请学生填充)。 (2) 互异性:即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } (3)无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换. 。 3.常见数集的专用符号 (III )课堂练习 (IV )课时小结 1.集合的含义; 2.集合元素的三个特征中,确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素,互异性可用于简化集合的表示,无序性可用于判定集合的关系。

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§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法:体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程, 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点:体会直角坐标系的作用 2、教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导:自主、合作、探究 四、知识链接 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何研究曲线与方程间的关系? 五、学习过程 一.平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m,试确定

巨响发生的位置(假定声音传播的速度是340m/s,各观测点均在同一平面上) 问题1: 思考1:问题1:用什么方法描述发生的位置? 思考2:怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题? 问题2:还可以怎样描述点P的位置? B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐标系下解决问题的过程,建立直角坐标系应注意什么问题?

小结:选择适当坐标系的一些规则: 如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换: 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横 坐标x 缩为原来 1/2,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x 不变,将纵坐标y 伸长为原来 3倍,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

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导数的背景(5月4日) 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是2 2 1gt s = (其中g 是重力加速度). 当时间增量t ?很小时,从3秒到(3+t ?)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大. 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到(3+t ?)秒这段时间内位移的增量: 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而,t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出,t ?越小,t s ??越接近29.4米/秒;当t ?无限趋近于0时, t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说,当t ?趋向于0时,t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时,平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做 瞬时速度. 一般地,设物体的运动规律是s =s (t ),则物体在t 到(t +t ?)这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时,t s ??无限趋近于某个常数a ,就说当t ?趋向于0时,t s ??的极限为a ,这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2:P (1,1)是曲线2x y =上的一点,Q 是曲线上点P 附近的一个点,当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

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人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-

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高中数学选修1-1知识点总结 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 3、原命题:“若p ,则q ” 逆命题: “若q ,则p ” 否命题:“若p ?,则q ?” 逆否命题:“若q ?,则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若p q ?,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ?,则p 是q 的充要条件(充分必要条件). 利用集合间的包含关系: 例如:若B A ?,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件; 6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式p q ∧;⑵或(or ):命题形式p q ∨; ⑶非(not ):命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“ 全称命题p :)(,x p M x ∈?; 全称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“?”表示;

特称命题p :)(,x p M x ∈?; 特称命题p 的否定?p :)(,x p M x ?∈?; 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于 12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质:

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