「精品」高考数学二轮复习大题规范天天练第二周星期二概率统计与立体几何文

星期二 (概率、统计与立体几何)

2017年____月____日

1.概率、统计(命题意图：考查频率分布直方图的应用及古典概型)

(本小题满分12分)某地区为了落实国务院《关于加快高速宽带网络建设，

推进网络提速降费的指导意见》，对宽带网络进行了全面的光纤改造，为

了调试改造后的网速，对新改造的1 000户用户进行了测试，随机抽取了

若干户的网速，网速全部介于13 M 与18 M 之间，将网速按如下方式分成

五组：第一组[13，14)；第二组[14，15)；……；第五组[17，18].按上

述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.

(1)请利用上述测试估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16，17)内的户数；

(2)求测试中随机抽取了多少个用户；

(3)若从第一、五组中随机取出两户网速，求这两户网速的差的绝对值大于1 M 的概率.

解 (1)网速在[16，17)内的频率为0.32×1＝0.32，0.32×1 000＝320，

∴估计这批新改造的1 000户中网速在[16，17)内的户数为320户.

(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x ，8x ，19x ，

依题意，得3x ＋8x ＋19x ＋0.32×1＋0.08×1＝1，∴x ＝0.02，

设调查中随机抽取了n 个用户，则8×0.02＝8n

，∴n ＝50， ∴测试中随机抽取了50个用户.

(3)网速在第一组的用户数有3×0.02×1×50＝3，记为a ，b ，c ，

网速在第五组的用户数有0.08×1×50＝4，记为m ，n ，p ，q

则从第一、五组中随机取出两户的基本事件有

{a ，b }，{a ，c }，{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，c }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，q }，{m ，n }，{m ，p }，{m ，q }，{n ，p }，{n ，q }，{p ，q }，共21个.

其中满足两户网速的差的绝对值大于1 M 的所包含的基本事件有{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，q }，共12个.所以P ＝1221＝47

.

2.立体几何(命题意图：考查以三棱柱为载体的线面垂直关系的证明及体积求解)

(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝

2a ，D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2a .

(1)求证：B 1F ⊥平面ADF ；

(2)若四面体AB 1DF 的体积为523，求a 的值和三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积. (1)证明 因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .

又平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，所以AD ⊥平面CC 1B 1B

又B 1F ?平面CC 1B 1B ，所以AD ⊥B 1F ，

在Rt△B 1C 1F 中，tan∠C 1B 1F ＝12

，在Rt△DCF 中， tan∠CFD ＝12

， 所以∠C 1B 1F ＝∠CFD ，∠C 1FB 1＋∠CFD ＝π2－∠C 1B 1F ＋∠CFD ＝π2

， ∠B 1FD ＝π－(∠C 1FB 1＋∠CFD )＝π2

，即FD ⊥B 1F ，又AD ∩FD ＝D ，所以B 1F ⊥平面ADF . (2)解 ∵AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，∴AD ＝22a ，B 1F ＝DF ＝5a ，

∴V 四面体AB 1DF ＝13S △B 1DF ·AD ＝16

5a ·5a ·22a ＝ 523a 3＝523，∴a ＝1，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积为S ＝(3a ＋3a ＋2a )·3a ＋2·12·2a ·22a ＝24＋4 2.

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．

3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．

5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

最新-江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD

B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C

P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：立体几何-小题

2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：立体几何-小题

（新课标1）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为 一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 考点：圆锥的体积公式 （新课标1）（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m是 直线且mα?．若“mβ∥”，则平面、 αβ可能相交 也可能平行，不能推出// αβ， αβ，反过来若// mα ?，则有mβ∥，则“mβ∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. （福建）7．若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l m⊥”是“//lα的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．（湖南）10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用

高考数学专题复习立体几何练习题

立体几何测试卷 班级 姓名 学号 一、选择题： 1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）75 2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4cm 、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ） （A ）cm 77 （B ）cm 27 （C ）cm 55 （D ）cm 210 3．等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将AMN ?折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30 ，则四棱锥A —MNCB 的体积为（ ） （A ） 2 3 （B ）23 （C ）3 （D ）3 4．若二面角βα--l 为120 ，直线m α⊥,则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是 （ ） （A ）(] 90,0 （B ）[ ] 60 ,30 （C ）[] 90,60 （D ）[] 90,30 5．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是 （ ） （A ）若a // M,b // M,则a // b （B ）若a // M,b ⊥a,则b ⊥ M （C ）若a ,,M b M ??且l b l a ⊥⊥,则M l ⊥ （D ）若,//,N a M a ⊥则N M ⊥ 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） （A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）12 3 a 7．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）3π （B ）4π （C ）π33 （D ）6π 8． 已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22 R π （B ） 249R π （C ）238R π （D ）22 5 R π 9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） （A ）βα、都垂直于平面γ （B ）α内存在不共线的三点到β的距离相等

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

（一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-

（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

高考中常见的立体几何题型和解题方法

高考中常见的立体几何题型和解题方法 黔江中学高三数学教师：付 超 高考立体几何试题一般共有2——3道(选择、填空题1——2道, 解答题1道), 共计总分18——23分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的 逻辑推理型问题, 而解答题着重考查立几中的计算型问题, 当然, 二者均应以正 确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多 一点思考,少一点计算”的方向发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体 的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过 程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与 距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行 与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能， 通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平 行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能 力和空间想象能力． 2． 判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平 面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过 程中均可直接作为性质定理引用。 4．空间角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间角主要研究射影以 及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角 和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解 决． 空间角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系 进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线 所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?????? ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定 的手段将其转化为一个平面内的角，并把 它置于一个平面图形，而且是一个三

2019高考数学试题汇编之立体几何(原卷版)

专题04 立体几何 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 A．158 B．162 C．182 D．324

4．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ， BC P 到平面ABC 的距离为___________． 6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方 体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. 8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网 格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）

高考数学15立体几何小题.docx

立体几何 1、平面βα⊥，直线α?b ，m β?，且b m ⊥，则b 与β( ) A ．b β⊥ B ．b 与β斜交 C ．b //β D ．位置关系不确定 2、过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有( )条 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3、一条直线与一个平面所成的角等于3π，另一直线与这个平面所成的角是6 π 。则这两条直线的位置关系( ) A ．必定相交 B ．平行 C ．必定异面 D ．不可能平行 4、在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1:3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A ． B ．1:9 C ．1: D ．1:1) 5、正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点．那么，正方体的过,,P Q R 的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形 6、正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7、已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为,αβ外一定点，过点P 的一条直线与,αβ所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 8、如图所示，PAB ?所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =， 8BC =，6AB =。若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是( ) A ．椭圆的一部分 B ．线段 C ．双曲线的一部分 D ．以上都不是 9、如图所示，已知球O 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为( ) A ． 6 π B ． 3 π C D

2007年高考理科数学“立体几何”题

2007年高考“立体几何”题 1．(全国Ⅰ) 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =， 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 3 5 D ． 45 解：如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD 所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=5a ， A 1C 1=2a ，∠A 1BC 1的余弦值为4 5 ，选D 。 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知 正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 解：一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知 正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠， 2AB = ，BC = SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 解法一： （Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ， 得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =， 又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 1 A A B 1B 1A 1D 1C C D C 1A C F A D B C A S

立体几何 高考真题全国卷

（2018 文 I ）在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面平面； ⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． （2018 文 I I ）如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M

（2018 文 III ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． ⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ； ⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． （2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ，求该四棱锥的侧面积.

（2017 文 II ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ． （1）证明：AC ⊥BD ； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．

最新高考数学立体几何试题分析及备考建议

高考数学立体几何试题分析及备考建议 一、高考命题分析 立体几何是高中数学领域的重要模块，是高考考查考生的空间感、图 形感、语言转化能力、几何直观能力、逻辑推理能力的主要载体。主要包 括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，三视图，点、直线、平面 的位置关系等。通过研究近年高考试卷，不难发现有关立体几何的命题较 稳定，难易适中，基本体现出“两小一大”或“一小一大”的特点.即1--2道小题，1道大题，占17--22分，小题灵活多变且有一定的难度，其中常有组 合体三视图问题和开放型试题，大多考查概念辨析，位置关系探究，空间 几何量的简单计算求解等，考查画图、识图、用图的能力；而解答题大多 属中档题, 一般设计成几个小问题，此类考题往往以简单几何体为载体， 考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，综合考查空间想 象能力、推理论证能力和运算求解能力，也关注对条件和结论不完备情形 下开放性问题的探究。其解题思路也主要是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。命题既注意“知识的重新组合”，又采用“小题目综合化，大题分步设问”的命题思路，朝着“重基础、直观感、空间感、探究与创新”的方向发展。 二、高考命题规律 （一）客观题方面

1．以三视图为载体考查空间想象能力 空间几何体的结构与三视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象 能力，识别三视图所表示的空间几何体，柱、锥、台、球体及其简单组合 体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查，从新课标地区的高考 题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中等偏 易题。随着新课标的推广和深入，难度逐渐有所增加。主要考查以下两个 方面：①几何体的三视图与直观图的认识；②通过三视图和几何体的结合，考查几何体的表面积和体积。 例1 (新课标2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx平面为投影面， 则得到正视图可以为 A B C D 注意：必修2中的空间直角坐标系容易被文科忽视。 例2 （新课标2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A．6 B．9 C．12 D．18 注意：简单组合体的表面积和体积的问题为常考题目。 例3 （四川理）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以

上海高中数学之立体几何练习(打印).

立体几何练习题 一、选择题 1．已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则正确的结论是 A. 平面ABC 必平行于α B. 平面ABC 必与α相交 C. 平面ABC 必不垂直于α D. 存在ABC ?的一条中位线平行于α或在α内 2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” 的 （A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件． 3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个 正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）36 4．已知二面角l αβ--的大小为0 60，m n 、为异面直线，且 m n αβ⊥⊥，，则m n 、所成的角为 （A ）0 30 （B ）0 60 （C ）0 90 （D ）0 120 5．已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4 π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是 （A ） 4π （B ）3π （C ）2π （D ）23 π 7．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命 题是 A ．βαβα⊥?⊥? ⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥?⊥βαβα//,,// C ．n m n m ⊥?⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥?⊥=⊥n m n m ,,I 8．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．． 的是 A ．AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面 B ．若A C 与B D 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC D ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC 9．若l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①αγβγαβ⊥⊥?⊥，；②αγβγαβ⊥?⊥，∥；③l l αβαβ⊥?⊥，∥． 其中正确的命题有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 10．如图，O 是半径为1的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 ?AB 与? AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例 一、选择题 1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时， PE 的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ． ．【答案】D 【解析】 试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面 11AA D D ,PE ==选D 考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征． 2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ） A ．30? B ．60? C ．90? D ．120? 【答案】B 【解析】 试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,B D A C θ<>= ，因为CD DB BA AC =++，所以2 2 2 2 2()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++?+?+?

而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ?=?= 所以2222 ||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-?即222417468286cos θ?=++-?? 所以1 cos 2 θ= ，而[0,]θπ∈，所以60θ=?，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用. 3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ） A ．343cm B ．383cm C ．33cm D ．3 4cm 【答案】B ． 【解析】 试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积3 8 2231312=??==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算． 4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ?的面积为 (x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）