2016新课标创新人教A版数学选修2-2 章末小结与测评
归纳推理的四个特点
(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．
(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．
(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．
[典例1](1)观察下列不等式
1＋1
22<3 2，
1＋1
22＋1
32<
5
3，
1＋1
22＋1
32＋
1
42<
7
4，
……
照此规律，第五个不等式为________．
(2)如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．
解析：(1)第n (n ＝1,2,3)个不等式的左边为前n ＋1个正整数平方的倒数和，右边分母为n
＋1，分子为2n ＋1，故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
.
(2)设第n 层共有a n 个点，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＋1＝a n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝6＋(n －2)×6＝6n －6(n ≥2，n ∈N *)，前n 层所有点数之和为
S n ＝1＋(n －1)[6＋(6n －6)]
2
＝3n 2－3n ＋1，故这个点阵共有3n 2－3n ＋1个点．
答案：(1)1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
(2)3n 2－3n ＋1 [对点训练]
1．观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．
解析：设第n 个图形中小正方形的个数为S n ，观察图形，当n ＝1时，S 1＝2＋1；当n ＝2时，S 2＝3＋2＋1；当n ＝3时，S 3＝4＋3＋2＋1；当n ＝4时，S 4＝5＋4＋3＋2＋1；当n ＝5时，S 5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得S n ＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝[1＋(n ＋1)]·(n ＋1)2＝n 2＋3n ＋2
2.
答案：n 2＋3n ＋22
类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质．
(1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．
(2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．
[典例2] 在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D .则1AD 2＝1AB 2＋1
AC
2，类比以上结论写
出四面体ABCD 中，类似的命题，并给出证明．
解：猜想：在四面体A -BCD 中，
若AB 、AC 、AD 两两垂直，且AE ⊥平面BCD ，E 为垂足，
则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：
如图所示，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ?平面ACD ， ∴AB ⊥AF .
在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，
∴1AE 2＝1AB 2＋1AF
2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，
∴1AF 2＝1AC 2＋1AD
2.
∴
1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD 2
. 故猜想正确． [对点训练]
2．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时
为0)表示____________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O -xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz
＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
3．如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，
C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′
CC ′
＝
1.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC
S △ABC ＝1. 运用类比猜想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论？并用“体积法”证
明．
解：如图，设O 为四面体V -BCD 内任意一点，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面
于V ′，B ′，C ′，D ′，类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′
DD ′
＝
1.
类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
因为V O -BCD
V V -BCD
＝13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，
同理V O -VCD V B -VCD ＝OB ′BB ′，V O -VBD V C -VBD ＝OC ′CC ′，V O -VBC
V D -VBC
＝OD ′DD ′，
所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′
＝V O -BCD V V -BCD ＋V O -VCD V B -VCD ＋V O -VBD V C -VBD ＋V O -VBC
V D -VBC
＝
1. 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
[典例3] 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α
1－cos α
.
证明：法一：(分析法)
要证明2sin 2α≤sin α
1－cos α
成立，
只要证明4sin αcos α≤sin α
1－cos α
.
∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.只要证明4cos α≤1
1－cos α
.
上式可变形为4≤1
1－cos α
＋4(1－cos α)．
∵1－cos α＞0，
∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α
·4(1－cos α)＝4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π
3
时取等号，
∴4≤1
1－cos α
＋4(1－cos α)成立，
∴不等式2sin 2α≤sin α
1－cos α
成立．
法二：(综合法)
∵11－cos α
＋4(1－cos α)≥4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π
3时取等号，
∴4cos α≤1
1－cos α
.
∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴4sin αcos α≤sin α
1－cos α
，
∴2sin 2α≤sin α
1－cos α
.
[对点训练]
4．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，a ≠1)． (1)证明：函数f (x )的图象在y 轴一侧；
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是图象上的两点，证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x －1＞0得a x ＞1.
①当a ＞1时，x ＞0，函数图象在y 轴右侧； ②当0＜a ＜1时，x ＜0，函数图象在y 轴左侧． 故综上所述，函数总在y 轴一侧．
(2)由于k AB ＝y 1－y 2
x 1－x 2
，又由x 1＜x 2，
故只需证y 2－y 1＞0即可．
因为y 2－y 1＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1)
＝log a ax 2－1ax 1－1
.
①当a ＞1时，由0＜x 1＜x 2得a 0＜ax 1＜ax 2， 即0＜ax 1－1＜ax 2－1，
故有ax 2－1ax 1－1＞1，log a ax 2－1ax 1－1
＞0，即y 2－y 1＞0.
②当0＜a ＜1时，由x 1＜x 2＜0得ax 1＞ax 2＞a 0， 即ax 1－1＞ax 2－1＞0，
故有0＜ax 2－1
ax 1－1
＜1，
∴y 2－y 1＝log a ax 2－1
ax 1－1
＞0，即y 2－y 1＞0.
综上，直线AB 的斜率总大于零.
(1)如果一个命题的结论难以直接证明，可以考虑运用反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．
(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．
(3)反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．
反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
[典例4] 设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；
(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．
证明：(1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 2
1＋2＝0，
此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．
(2)法一：由方程组????
?
y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2
x －1，
解得交点P 的坐标(x ，y )为?????
x ＝2
k 2－k 1，
y ＝k 2
＋k
1k 2
－k 1
，
而2x 2＋y 2＝2????2k 2－k 12＋? ??
??k 2＋k 1k 2－k 12
＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2
2＋4k 21＋k 22＋4
＝1.
此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．
法二：交点P 的坐标(x ，y )满足?
????
y －1＝k 1x ，
y ＋1＝k 2x ，
故知x ≠0.从而???
k 1＝y －1x
，k 2
＝y ＋1
x .
代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1
x
＋2＝0.
整理后，得2x 2＋y 2＝1.
所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上． [对点训练]
5．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个负数．
证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由已知a ＋b ＝c ＋d ＝1，
则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋ad ＋bc ＋bd . 又ac ＋bd ＞1，
而a ，b ，c ，d 都是非负数，所以ad ≥0，bc ≥0， 则1＝(a ＋b )(c ＋d )＞1，矛盾．
所以假设不成立，即a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可．
[典例5] 已知数列{a n }中，a 2＝a ＋2(a 为常数)，S n 是{a n }的前n 项和，且S n 是na n 与na 的等差中项．
(1)求a 1，a 3；
(2)猜想数列{a n }的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解：(1)由已知得S n ＝na n ＋na 2＝a n ＋a
2
·n ，
当n ＝1时，S 1＝a 1， ∴2a 1＝a 1＋a ， ∴a 1＝a .
当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3， ∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝3(a 3＋a )， ∴2(a ＋a ＋2＋a 3)＝3(a 3＋a )， ∴a 3＝a ＋4.
(2)由a 1＝a ，a 2＝a ＋2，a 3＝a ＋4，…，
猜想a n ＝a ＋2(n －1)．下面用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ，右边＝a ＋2(1－1)＝a ， ∴当n ＝1时等式成立；
②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，等式成立， 即a k ＝a ＋2(k －1)， 则当n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋1＋a 2·(k ＋1)－a k ＋a
2
·k ，
∴2a k ＋1＝(a k ＋1＋a )(k ＋1)－(a k ＋a )k ， ∴(k －1)a k ＋1＝ka k －a .
∵k ≥2，∴a k ＋1＝ka k k －1－a
k －1
，
将a k ＝a ＋2(k －1)代入，
得a k ＋1＝k k －1[a ＋2(k －1)]－a
k －1
＝(k －1)a ＋2k (k －1)k －1
＝a ＋2[(k ＋1)－1]．
∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由①、②可知，对于任意的正整数n ，等式a n ＝a ＋2(n －1)恒成立． [对点训练]
6．用数学归纳法证明：当n ≥2且n ∈N *时，????1－122·????1－132·…·????1－1n 2＝n ＋12n
. 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－122＝1－14＝3
4，右边＝2＋12×2＝34
，等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即????1－122·????1－132·…·????1－1k 2＝k ＋12k
， 则当n ＝k ＋1时，????1－122·????1－132·…·????1－1k 2·????1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·(k ＋1)2
－1(k ＋1)2
＝
k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋2
2(k ＋1)
， 这说明当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，对任意n ≥2且n ∈N *，????1－122·????1－132·…·????1－1n 2＝n ＋12n
都成立．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0
是函数f (x )的极值点．因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值 f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( )
A ．小前提错误
B ．大前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
解析：选B 可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值相反，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B.
2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋3
3－4
＝2，
77－4＋11－4＝2，10
10－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.n
n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4
＝2 C.n
n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4
＝2 解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.
3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A ．■
B ．△
C ．□
D ．○
解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确． 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A ．各正三角形内任一点
B ．各正三角形的某高线上的点
C ．各正三角形的中心
D ．各正三角形外的某点
解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．
5．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10
＋b 10＝( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199 解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4，f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7; f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.
通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47; f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.
6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1
解析：选B 增乘的代数式为(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)
k ＋1
＝2(2k ＋1)．
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2
解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.
8．已知a n ＝????13n
，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：
记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.????1367 B.????1368 C.????13111
D.???
?13112 解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个
数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝????13112
.故选D.
9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)
B ．f ????n (n ＋1)2 C.n (n ＋1)2
D.n (n ＋1)2
f (1)
解析：选C f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，
令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ?
f (n )＝nf (1)，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)
2
f (1)．所以A ，D 正确．
又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ??
??
n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C.
10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )
A ．S n ＝n 2
B ．S n ＝n 3
C ．S n ＝n 4
D ．S n ＝n (n ＋1)
解析：选B ∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33； ∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.
11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )
A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7
B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7
C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8
D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 8
解析：选A b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)
＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2???
?????q ＋122＋34. ∵b n ＞0，q ＞1，
∴－b 4(q －1)2·
???
?????q ＋122＋34＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.
12．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n
，则a 2 016等于( )
A.1
2
B ．－1
C ．2
D ．3
解析：选C ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1
a n
，
∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1
a 2＝2，
a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1
a 4＝－1，
a 6＝1－1
a 5
＝2，
∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 016＝a 3＋3×671＝a 3＝2.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．
答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)
14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1类似的性质为________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y
分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2
＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y
b
2＝1.
答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y
b
2＝1
15．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1
n
[f (x 1)＋f (x 2)
＋…＋f (x n )]≤f ??
??
x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上
是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．
解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以1
3(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3
(结论)，
即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝33
2
.
因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是33
2
.
答案：332
16．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．
解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n . 答案：n 2＋n
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac
a
＜ 3.
证明：因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0， 所以a ＞0，c ＜0.
要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ， 即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )＞0，
因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0，
所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立，故原不等式成立．
18．(本小题12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋1
2
，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c
中至少有一个不小于1.
证明：假设a ，b ，c 都小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则a ＋b ＋c ＜3.
∵a ＋b ＋c ＝????x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋7
2＝2????x －122＋3，且x 为实数， ∴2???
?x －1
22＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1.
19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin 215°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°；
(3)sin 218°＋cos 2
12°－sin 18°cos 12°；
(4)sin 2(－18°)＋cos 2
48°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－1
2
sin 30°
＝1－14＝34
.
(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3
4
.
证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－1
2
sin 2α
＝34sin 2α＋3
4cos 2α ＝34
. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3
4
.
证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－1
4(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34
.
20．(本小题12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1
c
成等差数列． (1)比较b a 与c
b
的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B 不可能是钝角．
解：(1)b a ＜c
b .证明如下：
要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c
b
.
∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1
c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac ，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等， ∴b 2＜ac .
故所得大小关系正确．
(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＞2ac －b 22ac ＞ac －b 2
2ac
＞0，
这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．
法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 是最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1
c
＞
1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2
b
矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．
21．(本小题12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan ????x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；
(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )
1－f (x )
，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结
论．
解：(1)根据两角和的正切公式得tan ????x ＋π
4＝tan x ＋tan
π
41－tan x tan
π4
＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x
， 即tan ????x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．
因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋
1＋f (x )1－f (x )1－
1＋f (x )1－f (x )
＝－1
f (x )
，
所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1
f (x ＋2a )
＝f (x )．
所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．
22．(本小题12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝1
2?
???a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；
(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)S 1＝a 1＝1
2?
???a 1＋1a 1，得a 21＝1， ∵a n >0，∴a 1＝1.
S 2＝a 1＋a 2＝1
2?
???a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， ∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1
2?
???a 3＋1a 3. 得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．
证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立； ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12???
?a k ＋1＋1a k ＋1－1
2????a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12???
?a k ＋1＋1a k ＋1－12? ????k －k －1＋1k －k －1
＝1
2???
?a k ＋1＋1a k ＋1－k .
∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0.
∴a k＋1＝k＋1－k.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，a n＝n－n－1对任意n∈N*都成立．