古诺均衡及其拓展
假设市场反需求函数为()p Q a Q =-,
()C Q cQ =,
求:(1)完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润; (2)完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润; (3)双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润;
(4)n 家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润,并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。
(5)双寡头勾结下的产量、价格和利润;
(6)如果双寡头中有一方遵守配额协议,另一方违反协议时,各自的产量、价格和利润;
(7)比较(3)(6)的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡,而勾结的配额是不稳定的;
(8)求双寡头产量竞争在重复博弈结构下,选择合作的条件是什么? (9)求n 家企业产量竞争在重复博弈结构下,选择合作的条件是什么?比较结果(8)(9),你会得出什么结论。
(10)求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg 均衡解。并与古诺竞争均衡解对比,说明first-mover advantages ,并通过反应函数图来解释这两个均衡。
(1)完全垄断结构下,只有一家企业,
()()Q
Max p Q Q C Q π=?-,
利润最大化的一阶条件为: 2a Q c -=
2M a c
Q -= 2
M a c
p += ()2
4
M
a c π-=
(2)完全竞争结构下,有n 家相同企业,总需求函数1
()N
i i p Q a Q a q ==-=-∑,
每一家的边际成本为c ,而且完全竞争情形下价格是给定的(price-taker ),对一家企业来说,边际收益就是p ,根据利润最大化的条件MR=MC ,这时最优的价格
p c =
带入总需求函数()p Q a Q =-,可以得到 Q a c =-
根据对称性假设,每家企业的均衡产量为 i a c
q n
-=
每一家的利润 0i π=
(3)双寡头结构下,12()()p Q a Q a q q =-=-+,边际成本都为c 。 企业1的利润函数为
1111211()(())p Q q c q a q q q c q π=?-?=-+?-?
1
111()q Max p Q q c q π=?-?
利润最大化的条件为
2
12
a c q q --=
容易看出,这一结果表明,企业1的最优产量取决于企业2的产量, 这也正是博弈论中战略依存(strategic-interdependence )这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业1的反应函数。
同样道理,我们可以得出企业2的反应函数为
1
22
a c q q --=
若存在一个战略组合(1c q ,2c
q )同时满足这两个反应函数,则这个博弈存在
一个古诺-纳什均衡解(Cournot-Nash Equilibrium),容易得出
123c c
a c
q q -==
3
c a c
p +=
()2
1
2
9
c c a c ππ-==
(4) n 家企业结构下,总需求函数1
()N
i i p Q a Q a q ==-=-∑,每一家的边际成
本为c 。企业1的利润函数为
11111
1
()N
i i p q c q a q q c q π-=?-?=-?-?∑
利润最大化的一阶条件为
212
N
i
i a c q q =--=
∑
这就是企业1的反应函数。根据对称性假设,每一家企业存在一个类似的反应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合,那么
,1,...,,...,1c i a c
q i i N n -=
=+ 1a nc p n +=
+
2
(
),1,...,,...,1c i a c i i N n π-==+
当n 分别等于1、2时,这一结果等同于垄断和双寡头的结果,当n →∞时,
lim lim
1c i n n a c
q n →∞→∞-==+
lim lim 1n n a nc
p c n →∞→∞+==+
2
lim lim()01c i n n a c n π→∞→∞-==+
这一结果和完全竞争情形下结果相同。
由此可见,古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。 (5)双寡头勾结情形下(串谋、卡特尔),相当于两家企业像一家独占企业一样行事,分配垄断产出配额和利润,维持垄断价格,所以
1
1
24
M collusion
collusion Q a c
q
q
-===
2collusion M a c p p +==
()2
1
2
2
8
M
collusion collusion a c ππ
π
-==
=
(6)假设企业遵守卡特尔协议,则 2
24
M collusion
Q a c q
-== 而企业1则把企业2这一产量看作给定,去生产自己利润最大化的产量,那么企业1在背叛情形下的利润最大化为
1111211()betray collusion
p q c q a q q q c q π=?-?=--?-?
13()
8
betray a c q -=
可以看出,这一产量大于遵守勾结协议下的产量,而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格,容易知道
358
betray a c
p +=
8
betray collusion c a
p p --=
因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本,所以上式小于0。
2
1
9()64
betray a c π
-=
而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少,所以被欺骗的的企业2的产出和利润为
2
2
24
M fooled collusion Q a c
q
q
-===
2
2
3()32
fooled
a c π
-=
比较得,
()2
222
2113()9()322864
M fooled collusion collusion betray a c a c a c πππππ---=<===<=
(7)利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个Normal Form 的博弈框架如下
假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛,而且这是一个common knowledge ,那么双方的均衡就是古诺均衡。
可以看出,(Betray ,Betray )的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡,而(Collusion ,Collusion )不是纳什均衡的结果。这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下,每个企业都有背叛的积极性。这也就是现实中卡特尔协议难以稳定
存在的原因。
从反应函数图上看,古诺产量组合(
3c a -,3
c
a -)是纳什均衡,而产量组合(4c a -,4c a -)不构成纳什均衡,因为给定企业1生产4
c a -,企业2的反
应函数表明他的最优产量是大于4
c
a -的。
从Evolutionary Game 的角度看,古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性
计算多次互动后产生的。就是首先给定企业生产一个任意产量1
1q ,企业2会把这一产量带入自己的反应函数,寻找自己的最优产出)(1112q q ,依次类推,收敛于
(
3c a -,3
c
a -)。这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。这说明,即使初始的产量决策没有完全的理性,但是通过多次的互动、学习、适应调整,古诺均衡产量一定会出现。
q 1
q 2
4c a - 3c a - 2
c
a -
(8)在双寡头重复博弈的架构下,假设企业1有一个触发战略(Trigger Strategies ,或称冷酷战略,Grim Strategies ):a ,开始阶段选择勾结产量(也即选择合作);b,选择勾结产量直到企业2选择了古诺产量,然后永远选择古诺产量。本质上这个触发战略是个战略承诺。通俗的说,就是企业1会一开始会选择合作,直到对方出现不合作的行为,然后选择永远不合作。
我们来分析在这一条件下,企业2的战略选择。如果选择与企业1合作,则
每一期生产古诺均衡的产出4
c
a -,获得利润()2
8a c -,设时间贴现因子δ,则合
作的长期收益为:
()
()2
2
2
(1...)8
8(1)
n
a c a c δδδδ--++++=
-
而如果选择不合作,则第一期获得利润2
9()64
a c -,由于企业采取触发战略,
企业2从第二期开始各期利润为
()
2
9
a c -。不合作的长期收益为:
()()2
2
2229()9()( (6496491)
a c a c a c a c δδδδδ
----++++=+- 企业2选择合作的条件是合作长期收益大于不合作的长期受益,即
q 1
q 2
3
c
a -
1 12q
1
()
()22
29()8(1)6491a c a c a c δδδ
--->+--
解不等式得:17
9
≥
δ。 那么这一条件的含义是什么呢?我们来考虑贴现因子的经济学含义。贴现因子时间偏绿或者时间偏好程度的表达,反应了人们在当前和未来之间的财富替代程度,或者按照费雪的说法,反映了人们的不耐(impatient )程度。
在数量上,r
+=
11
δ,r 为利息率。对于一个普通人来说,如果他愿意接受6%的利息率而把钱存入银行,那么他的贴现因子就是94.0%
611
=+=δ,所以从
现实中的利息率的变动范围来看,正常人的不耐程度都是比较大的。 所以17
9
≥
δ是个很容易满足的条件。这也说明了,在正常的时间眼界条件下,合作在两个人长期博弈中是容易达成的。
(9)当上述合作结构不仅限于2家,而是在n 家企业之间展开博弈时,合作的条件是什么呢?
我们来看企业的1的决策行为。假定其他n-1家企业都坚持触发战略,那么
企业选择合作的每一期产量为n
c
a n Q M 2-=利润
n
c a n M
4)(2
-=
π,长期利润为: ()
()
2
2
2(1...)44(1)
n a c a c n
n δδδδ--++++=
-
背叛情形下的产量和利润。假定其他n-1家企业分别生产合作的产量
n
c
a n Q M 2-=,那么企业1的最优产量为 1111111)2)
1(()(1
q c q n
c
a n a q c q a q c q p Max N
i i q -----=--=?-?=∑=π 利润最大化的产出为n
c a n q 4)
)(1(1-+=
,此时的市场价格为
n
c a nc na p 43-++=,企业1的利润为2
2
216)()1(n c a n -+。而此后其他企业选择触发战略,企业从第2期开始选择古诺均衡的产量1
a c
n -+,获得利润()2
2(1)a c n -+
选择背叛的长期利润为:
()()2
2
222222222(1)()(1)()(...)16(1)16(1)1n
a c a c n a c n a c n n n n δδδδδ
--+-+-++++=+++-
所以选择合作的条件为:
()
()22
222(1)()4(1)16(1)1a c a c n a c n n n δ
δδ
--+-≥+-+-
解得:2
22122
22
(1)(1)1616()1(1)1(1)()
16(1)n n n n n n n n n δδ*--+≥==++---
+ 容易知,当n →∞时,δ*趋近于1,所以n 家企业合作的条件随着企业数目的增加而变得越来越严峻,或者说越来越难以满足。
总结上述结论,可以看出,合作的达成受到两个方面因素的影响: 1.时间眼界,越有耐心合作越容易达成; 2.参与博弈的人数。人数越多,合作越困难。 (10)序贯行动的博弈和Stackelberg 均衡解。
假如博弈的顺序不是simultaneous move ,而是sequential move :企业1首先选择产量,然后企业2根据企业1的产量选择自己的最优产量。在这个博弈结构下,我们看到,企业2的决策受到了企业1决策的影响。我们用backward induction 方法来求解。
在第二阶段企业2的最优决策:
2
2221222()()q Max p Q q c q a q q q c q π=?-?=--?-?
利润最大化的条件为:
1
22
a c q q --=
在第一阶段,企业1在明确企业2的反应函数(也就是战略)情形下做出自己的最优决策:
1
1111211()()q Max p Q q c q a q q q c q π=?-?=--?-?
s.t. 1
22a c q q --=
解得:12s a c
q -=
24
s a c
q -=
34
s
a c p +=
,()218s a c π-=,()2
216s a c π-= 与古诺均衡利润()2
1
2
9
c c a c ππ-==
相比,企业1获得更多利润,而企业2所获利
润减少。
可以看出,通过率先采取行动,可以获得First-mover Advantages ,这就是战略承诺(strategic commitment )或威慑(deterrence )的价值。战略承诺有以下的表现形式:
a.率先主动采取行动,先发制人,压缩对方的战略选择空间,使得对手选择退让,避免正面冲突导致两败俱伤
大规模投资,造成沉没成本sunk cost b.事先发出声明;
c.长期明确坚持某一原则。如不承诺放弃武力,(不)承诺不首先使用核武器,不与恐怖分子谈判;
1
q 2
4
c
a - 3c a - 2
c
a - 3c
a -
Leader-Follower matrix
限止定价(Limit Pricing )和掠夺定价(Predatory Pricing )和消耗战
假设在上述的Leader-Follower 的Stackelberg 模型中,其他条件不变,但是成本函数是
()C q F cq =+
就是说,进入这一行业必须首先支付一个固定成本F ,比如建造工厂,租赁店铺,或者前期的广告推广等等。所以这是一个更加接近现实的假定。
我们再来看这种情形下竞争均衡。由于利润最大化是边际条件的决策,所以不影响均衡产量
12s a c
q -=
24s a c
q -=
34
s a c
p +=, 但是成本的改变会改变利润量。所以
()2
1
8
s a c F π-=
-,
()2
2
16
s
a c F π-=
-
可以看出,由于企业1是首先采取行动的,企业2的利润受到企业的产量的影响
2
1222(
)2
s s s s a c q p q F c q F π--=?--?=- a. 通过这个表达式可以看出,企业2的利润受到企业1产量的影响,所以企业1可以主动采取行动选择一个使得企业2利润为零的产量,从而掠夺企业2的市场份额或者把企业2 赶出市场。这就是限止定价或者掠夺性定价。
b.企业也可以通过增加行业的进入或运营成本而使得F 增大来侵蚀企业2利润,直到企业2的利润为0,这就是消耗战。消耗战的典型形式的就是广告战。