搜档网
当前位置:搜档网 › 古诺均衡及其扩展

古诺均衡及其扩展

古诺均衡及其拓展

假设市场反需求函数为()p Q a Q =-,

()C Q cQ =,

求:(1)完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润; (2)完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润; (3)双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润;

(4)n 家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润,并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。

(5)双寡头勾结下的产量、价格和利润;

(6)如果双寡头中有一方遵守配额协议,另一方违反协议时,各自的产量、价格和利润;

(7)比较(3)(6)的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡,而勾结的配额是不稳定的;

(8)求双寡头产量竞争在重复博弈结构下,选择合作的条件是什么? (9)求n 家企业产量竞争在重复博弈结构下,选择合作的条件是什么?比较结果(8)(9),你会得出什么结论。

(10)求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg 均衡解。并与古诺竞争均衡解对比,说明first-mover advantages ,并通过反应函数图来解释这两个均衡。

(1)完全垄断结构下,只有一家企业,

()()Q

Max p Q Q C Q π=?-,

利润最大化的一阶条件为: 2a Q c -=

2M a c

Q -= 2

M a c

p += ()2

4

M

a c π-=

(2)完全竞争结构下,有n 家相同企业,总需求函数1

()N

i i p Q a Q a q ==-=-∑,

每一家的边际成本为c ,而且完全竞争情形下价格是给定的(price-taker ),对一家企业来说,边际收益就是p ,根据利润最大化的条件MR=MC ,这时最优的价格

p c =

带入总需求函数()p Q a Q =-,可以得到 Q a c =-

根据对称性假设,每家企业的均衡产量为 i a c

q n

-=

每一家的利润 0i π=

(3)双寡头结构下,12()()p Q a Q a q q =-=-+,边际成本都为c 。 企业1的利润函数为

1111211()(())p Q q c q a q q q c q π=?-?=-+?-?

1

111()q Max p Q q c q π=?-?

利润最大化的条件为

2

12

a c q q --=

容易看出,这一结果表明,企业1的最优产量取决于企业2的产量, 这也正是博弈论中战略依存(strategic-interdependence )这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业1的反应函数。

同样道理,我们可以得出企业2的反应函数为

1

22

a c q q --=

若存在一个战略组合(1c q ,2c

q )同时满足这两个反应函数,则这个博弈存在

一个古诺-纳什均衡解(Cournot-Nash Equilibrium),容易得出

123c c

a c

q q -==

3

c a c

p +=

()2

1

2

9

c c a c ππ-==

(4) n 家企业结构下,总需求函数1

()N

i i p Q a Q a q ==-=-∑,每一家的边际成

本为c 。企业1的利润函数为

11111

1

()N

i i p q c q a q q c q π-=?-?=-?-?∑

利润最大化的一阶条件为

212

N

i

i a c q q =--=

这就是企业1的反应函数。根据对称性假设,每一家企业存在一个类似的反应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合,那么

,1,...,,...,1c i a c

q i i N n -=

=+ 1a nc p n +=

+

2

(

),1,...,,...,1c i a c i i N n π-==+

当n 分别等于1、2时,这一结果等同于垄断和双寡头的结果,当n →∞时,

lim lim

1c i n n a c

q n →∞→∞-==+

lim lim 1n n a nc

p c n →∞→∞+==+

2

lim lim()01c i n n a c n π→∞→∞-==+

这一结果和完全竞争情形下结果相同。

由此可见,古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。 (5)双寡头勾结情形下(串谋、卡特尔),相当于两家企业像一家独占企业一样行事,分配垄断产出配额和利润,维持垄断价格,所以

1

1

24

M collusion

collusion Q a c

q

q

-===

2collusion M a c p p +==

()2

1

2

2

8

M

collusion collusion a c ππ

π

-==

=

(6)假设企业遵守卡特尔协议,则 2

24

M collusion

Q a c q

-== 而企业1则把企业2这一产量看作给定,去生产自己利润最大化的产量,那么企业1在背叛情形下的利润最大化为

1111211()betray collusion

p q c q a q q q c q π=?-?=--?-?

13()

8

betray a c q -=

可以看出,这一产量大于遵守勾结协议下的产量,而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格,容易知道

358

betray a c

p +=

8

betray collusion c a

p p --=

因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本,所以上式小于0。

2

1

9()64

betray a c π

-=

而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少,所以被欺骗的的企业2的产出和利润为

2

2

24

M fooled collusion Q a c

q

q

-===

2

2

3()32

fooled

a c π

-=

比较得,

()2

222

2113()9()322864

M fooled collusion collusion betray a c a c a c πππππ---=<===<=

(7)利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个Normal Form 的博弈框架如下

假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛,而且这是一个common knowledge ,那么双方的均衡就是古诺均衡。

可以看出,(Betray ,Betray )的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡,而(Collusion ,Collusion )不是纳什均衡的结果。这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下,每个企业都有背叛的积极性。这也就是现实中卡特尔协议难以稳定

存在的原因。

从反应函数图上看,古诺产量组合(

3c a -,3

c

a -)是纳什均衡,而产量组合(4c a -,4c a -)不构成纳什均衡,因为给定企业1生产4

c a -,企业2的反

应函数表明他的最优产量是大于4

c

a -的。

从Evolutionary Game 的角度看,古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性

计算多次互动后产生的。就是首先给定企业生产一个任意产量1

1q ,企业2会把这一产量带入自己的反应函数,寻找自己的最优产出)(1112q q ,依次类推,收敛于

3c a -,3

c

a -)。这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。这说明,即使初始的产量决策没有完全的理性,但是通过多次的互动、学习、适应调整,古诺均衡产量一定会出现。

q 1

q 2

4c a - 3c a - 2

c

a -

(8)在双寡头重复博弈的架构下,假设企业1有一个触发战略(Trigger Strategies ,或称冷酷战略,Grim Strategies ):a ,开始阶段选择勾结产量(也即选择合作);b,选择勾结产量直到企业2选择了古诺产量,然后永远选择古诺产量。本质上这个触发战略是个战略承诺。通俗的说,就是企业1会一开始会选择合作,直到对方出现不合作的行为,然后选择永远不合作。

我们来分析在这一条件下,企业2的战略选择。如果选择与企业1合作,则

每一期生产古诺均衡的产出4

c

a -,获得利润()2

8a c -,设时间贴现因子δ,则合

作的长期收益为:

()

()2

2

2

(1...)8

8(1)

n

a c a c δδδδ--++++=

-

而如果选择不合作,则第一期获得利润2

9()64

a c -,由于企业采取触发战略,

企业2从第二期开始各期利润为

()

2

9

a c -。不合作的长期收益为:

()()2

2

2229()9()( (6496491)

a c a c a c a c δδδδδ

----++++=+- 企业2选择合作的条件是合作长期收益大于不合作的长期受益,即

q 1

q 2

3

c

a -

1 12q

1

()

()22

29()8(1)6491a c a c a c δδδ

--->+--

解不等式得:17

9

δ。 那么这一条件的含义是什么呢?我们来考虑贴现因子的经济学含义。贴现因子时间偏绿或者时间偏好程度的表达,反应了人们在当前和未来之间的财富替代程度,或者按照费雪的说法,反映了人们的不耐(impatient )程度。

在数量上,r

+=

11

δ,r 为利息率。对于一个普通人来说,如果他愿意接受6%的利息率而把钱存入银行,那么他的贴现因子就是94.0%

611

=+=δ,所以从

现实中的利息率的变动范围来看,正常人的不耐程度都是比较大的。 所以17

9

δ是个很容易满足的条件。这也说明了,在正常的时间眼界条件下,合作在两个人长期博弈中是容易达成的。

(9)当上述合作结构不仅限于2家,而是在n 家企业之间展开博弈时,合作的条件是什么呢?

我们来看企业的1的决策行为。假定其他n-1家企业都坚持触发战略,那么

企业选择合作的每一期产量为n

c

a n Q M 2-=利润

n

c a n M

4)(2

-=

π,长期利润为: ()

()

2

2

2(1...)44(1)

n a c a c n

n δδδδ--++++=

-

背叛情形下的产量和利润。假定其他n-1家企业分别生产合作的产量

n

c

a n Q M 2-=,那么企业1的最优产量为 1111111)2)

1(()(1

q c q n

c

a n a q c q a q c q p Max N

i i q -----=--=?-?=∑=π 利润最大化的产出为n

c a n q 4)

)(1(1-+=

,此时的市场价格为

n

c a nc na p 43-++=,企业1的利润为2

2

216)()1(n c a n -+。而此后其他企业选择触发战略,企业从第2期开始选择古诺均衡的产量1

a c

n -+,获得利润()2

2(1)a c n -+

选择背叛的长期利润为:

()()2

2

222222222(1)()(1)()(...)16(1)16(1)1n

a c a c n a c n a c n n n n δδδδδ

--+-+-++++=+++-

所以选择合作的条件为:

()

()22

222(1)()4(1)16(1)1a c a c n a c n n n δ

δδ

--+-≥+-+-

解得:2

22122

22

(1)(1)1616()1(1)1(1)()

16(1)n n n n n n n n n δδ*--+≥==++---

+ 容易知,当n →∞时,δ*趋近于1,所以n 家企业合作的条件随着企业数目的增加而变得越来越严峻,或者说越来越难以满足。

总结上述结论,可以看出,合作的达成受到两个方面因素的影响: 1.时间眼界,越有耐心合作越容易达成; 2.参与博弈的人数。人数越多,合作越困难。 (10)序贯行动的博弈和Stackelberg 均衡解。

假如博弈的顺序不是simultaneous move ,而是sequential move :企业1首先选择产量,然后企业2根据企业1的产量选择自己的最优产量。在这个博弈结构下,我们看到,企业2的决策受到了企业1决策的影响。我们用backward induction 方法来求解。

在第二阶段企业2的最优决策:

2

2221222()()q Max p Q q c q a q q q c q π=?-?=--?-?

利润最大化的条件为:

1

22

a c q q --=

在第一阶段,企业1在明确企业2的反应函数(也就是战略)情形下做出自己的最优决策:

1

1111211()()q Max p Q q c q a q q q c q π=?-?=--?-?

s.t. 1

22a c q q --=

解得:12s a c

q -=

24

s a c

q -=

34

s

a c p +=

,()218s a c π-=,()2

216s a c π-= 与古诺均衡利润()2

1

2

9

c c a c ππ-==

相比,企业1获得更多利润,而企业2所获利

润减少。

可以看出,通过率先采取行动,可以获得First-mover Advantages ,这就是战略承诺(strategic commitment )或威慑(deterrence )的价值。战略承诺有以下的表现形式:

a.率先主动采取行动,先发制人,压缩对方的战略选择空间,使得对手选择退让,避免正面冲突导致两败俱伤

大规模投资,造成沉没成本sunk cost b.事先发出声明;

c.长期明确坚持某一原则。如不承诺放弃武力,(不)承诺不首先使用核武器,不与恐怖分子谈判;

1

q 2

4

c

a - 3c a - 2

c

a - 3c

a -

Leader-Follower matrix

限止定价(Limit Pricing )和掠夺定价(Predatory Pricing )和消耗战

假设在上述的Leader-Follower 的Stackelberg 模型中,其他条件不变,但是成本函数是

()C q F cq =+

就是说,进入这一行业必须首先支付一个固定成本F ,比如建造工厂,租赁店铺,或者前期的广告推广等等。所以这是一个更加接近现实的假定。

我们再来看这种情形下竞争均衡。由于利润最大化是边际条件的决策,所以不影响均衡产量

12s a c

q -=

24s a c

q -=

34

s a c

p +=, 但是成本的改变会改变利润量。所以

()2

1

8

s a c F π-=

-,

()2

2

16

s

a c F π-=

-

可以看出,由于企业1是首先采取行动的,企业2的利润受到企业的产量的影响

2

1222(

)2

s s s s a c q p q F c q F π--=?--?=- a. 通过这个表达式可以看出,企业2的利润受到企业1产量的影响,所以企业1可以主动采取行动选择一个使得企业2利润为零的产量,从而掠夺企业2的市场份额或者把企业2 赶出市场。这就是限止定价或者掠夺性定价。

b.企业也可以通过增加行业的进入或运营成本而使得F 增大来侵蚀企业2利润,直到企业2的利润为0,这就是消耗战。消耗战的典型形式的就是广告战。

相关主题