2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.2两直线的位置关系模拟演练理
2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.2 两直线的位
置关系模拟演练 理
[A 级 基础达标](时间：40分钟)
1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．不能确定
答案 C
解析 由???
?
?
2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，
可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程
组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－1
2，斜率之积不等于－1，故不垂直，
故选C.
2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．1 D ．－1或3
答案 B
解析 由l 1∥l 2，得－1a ＝－a －2
3，解得a ＝3或a ＝－1，验证当a ＝3时，l 1，l 2的方程
分别为x ＋3y ＋6＝0，x ＋3y ＋6＝0，l 1与l 2重合．∴a ＝－1，故选B.
3．[2017·温州模拟]直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( )
A ．－3或－1
B ．3或1
C ．－3或1
D ．－1或3
答案 C
解析 若1－k ＝0，即k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝2
5，显然两直线垂直．若k ≠1，直
线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k
k －1，k 2＝1－k
2k ＋3
.由k 1k 2＝－1，得k ＝－3.综上k ＝1或k ＝－3，故选C.
4．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.? ????1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)
答案 D
解析 由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)·m －(x ＋y －5)＝0，由
?????
x ＋2y －1＝0，
x ＋y －5＝0，
得定点坐标为(9，－4)，故选D.
5．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )
A ．0或－1
2
B.1
2或－6 C ．－12或12
D ．0或1
2
答案 B
解析 依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2
＋1.化简得8m 2＋44m －24＝0，所以2m 2
＋11m －6＝0.所以m ＝1
2
或m ＝－6，故选B.
6．两条平行直线l 1：3x ＋4y －4＝0与l 2：ax ＋8y ＋2＝0之间的距离是________． 答案 1
解析 由直线l 1：3x ＋4y －4＝0与l 2：ax ＋8y ＋2＝0平行，可得a ＝6，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0，两直线间的距离d ＝|c 1－c 2|A 2＋B 2＝|－4－1|
32＋4
2
＝1. 7．[2017·银川模拟]点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________． 答案 2 5
解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线
l 的距离取得最大值|PQ |＝ 2－0 2＋ 1＋3 2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距
离为2 5.
8．[2017·江西八校联考]已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x
＋4y
的最小值为________．
答案 4 2
解析 由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x
＋4y
≥22x
·4y ＝22
x ＋2y
＝42，当且仅当x ＝2y ＝32
时等号成立，故2x ＋4y
的最小值为4 2.
9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：
(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.
∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝4
3(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k 2≠0，
即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b
，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b
(1－a )＝－1.①
又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，
k 1＝k 2，即a
b
＝1－a .③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b
＝b ，④
联立③④，解得???
??
a ＝2，
b ＝－2
或?????
a ＝23，
b ＝2.
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3
，b ＝2.
10．[2017·合肥模拟]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得
????? y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，
解得?????
x ＝－33
13，y ＝4
13.
∴A ′? ??
??－3313，413.
(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则
?????
2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，
得M ′? ??
??613，3013.
设直线m 与直线l 的交点为N ，则
由?
??
??
2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．
又∵m ′经过点N (4,3)，
∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，
如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上， 易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，
∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得
|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|
22＋32
，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.
解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为
P ′(－2－x ，－4－y )．∵点P ′在直线l 上，
∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.
[B 级 知能提升](时间：20分钟)
11．已知直线l 的倾斜角为3
4π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，
直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
答案 B
解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， ∴k AB ＝2－ －1
3－a
＝1，解得a ＝0.
由l 1∥l 2，得－2
b
＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.
12．[2017·绵阳模拟]若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A.95
B.185
C.2910
D.295 答案 C
解析 因为36＝48≠－125
，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线
间的距离，即|－24－5|62＋8
2
＝2910，所以|PQ | 的最小值为29
10. 13．[2017·淮安调研]已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．
答案 6x －y －6＝0
解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以?????
b －4
a － －3 ·1＝－1，－3＋a 2－
b ＋4
2＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.
又反射光线经过点N (2,6)，
所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1
，
即6x －y －6＝0.
14．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．
解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则?????
n －0m －2＝－2，
m ＋22－2·n ＋0
2
＋8＝0，解得
????
?
m ＝－2，n ＝8，
故A ′(－2,8)．
P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点
共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解
?????
x ＝－2，x －2y ＋8＝0，
得?????
x ＝－2，
y ＝3，
故所求的点P 的坐标为(－2，3)．
(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当
A ，
B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，
又直线AB 的方程为y ＝x －2，解????
?
y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，
得???
?
?
x ＝12，y ＝10，
故所求的点P 的坐标为
(12,10)．