概率统计小题专练

1、甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)

2、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．

49 B ．13 C ．29 D ．19

3、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，

抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）

A ．24

B ．18

C ．16

D ．12

4、 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

A ．12

B ．35

C ．23

D ．34

5、 某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

6、已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8

x 的系数小于120，则k =

7、 7

2x x x ?

?- ??

?的展开式中，4x 的系数是

8、已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．

9、已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ）

A 、0.1588

B 、0.1587

C 、0.1586 D0.1585

10、2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

11、若n x

x )1

3(-展开式中各项系数之和为32，则展开式中含3x 的项的系数为

12、在n x )1(-=025*******=++++++-n n n a a x a x a x a x a a 中，若 ，则n 的值为 A. 7 B.8 C.9 D. 10

13、连续抛两枚骰子分别得到点数为（a,b ）,向量（a,b ）与(1,1)垂直的概率是

1、411

()()()669

P AB P A P B ==?=

2、解：个位数为0且“个位+十位=奇数”的两位数是10 30 50 70 90 共5个

若十位数为奇数，则个位数为偶数，共有C （5，1）*C （5，1）=25 若十位数为偶数，则个位数为奇数，共有C （4，1）*C （5，1）=20 5/（25+20）=1/9选D

3、C

4、D 解：甲要获得冠军共分为两个情况 一是第一场就取胜，这种情况的概率为

一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为

则甲获得冠军的概率为 故选D 5、185

6、【解析】26(1)kx +按二项式定理展开的通项为22166()r r r r r

r T C kx C k x +==，

我们知道8x 的系数为444615C k k =，即415120k <，也即4

8k <，

而k 是正整数，故k 只能取1

7、84

8、【解析】由题知1211=

++c b a ，061=++-c a ，112

12112

22=?

+?+?c a ，解得125=

a ，4

1

=b . 9、B ．1

(34)(24)2

P X P X ≤≤=

≤≤=0.3413， (4)0.5(24)P X P X >=-≤≤=0.5-0.3413=0.1587．

10、【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法243

31212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.

11、-405 12、B

13、 1/6

1 2

1、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． （1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】ξ的所有可能取值有6，

2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50

(2)0.25200

P ξ=== 20(1)0.1200P ξ==

=，4

(2)0.02200

P ξ=-== 故ξ的分布列为：

（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=?+?+?+-?=

（3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤

依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%

2、根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API

数据按照区间]50,0[，]100,50(，]150,100(，]200,150(， ]250,200(，]300,250(进行分组，得到频率分布直方

图如图5.（1）求直方图中x 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻 微污染的概率.

（结果用分数表示．已知7812557=，

12827

=，++3652182531825

7

9125

1239125818253=++

，573365?=） 解：（1）由图可知-=150x ++365218253(

182********

123150)9125818253?-=?++，解得18250119=x ；（2）219)503652

5018250119(

365=?+??； （3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为

533652195036525018250119==?+?，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为

5

2

531=-，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为

78125

76653)53()52()53()52(11

6670777=--C C .

3、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

4、某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.

表

2

(1) 求,a b 的值； (2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.

（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：

60.6540.1 4.9E a b ξ=?++?-=,

∴

即50.9a b -=. ∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, 解得

0.2,0.1a b ==. ∴0.2,0.1a b == .

(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分

故所求的概率P =30.6+C 22

30.60.2??0.432=. …… 12分

5、 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5

件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。

解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学

生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102

()405

a P A +=

=，解得6a =．所以40(32)40382b a =-+=-=． 答：a 的值为6，b 的值为2．…………………………………………………3分

（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．

记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，

则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，

所以332

340C 124123()1()11C 247247

P B P B =-=-=-=

． 答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为

123

247

．…………………………………………………6分 （3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，

其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听

觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416C C k k

-，……………………7分

所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏

高或超常的概率为32416

3

40

C C ()C k k

P k ξ-==，()0,1,2,3k =…………………………8分 ξ的可能取值为0，1，2，3，………………………………………9分

因为032416340C C 14(0)C 247P ξ===， 12

2416340C C 72

(1)C 247

P ξ===，

212416340C C 552(2)C 1235P ξ===，30

2416

3

40

C C 253(3)C 1235P ξ===， 所以ξ的分

布列为

所以0E ξ=?

142471+?722472+?55212353+?253123522239

12355

==． 答：随机变量ξ的数学期望为9

5

．……………………………………………………12分

6.（2011广东高考）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙

两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（4）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（5）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（6）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。

解：（1）乙厂生产的产品总数为14

53598

÷=； （2）样品中优等品的频率为

25，乙厂生产的优等品的数量为2

35145

?=； （3）0,1,2ξ=， 223

2

5()i i

C C P i C ξ-==

(0,1,2)i =，ξ的分布列为 ……………………10分

均值314()125105

E ξ=?

+?=. 7、（2012广州一模）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组 （每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据 模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩 的平均分相同．

（1）求a 的值；

（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）． （1）解：依题意得

11

(87899696)(87909395)44

a ?+++=?++++，…………1分 解得3a =.……………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.

所以乙组四名同学数学成绩的方差为

()()()()2222

21879293929392959294s ??=

-+-+-+-=?

?.………………5分 （3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416?=种可能的结

果．………6分

这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表：

所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………8分

由表可得1(0)16P X ==

，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4

(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2

(9)16

P X ==.

所以随机变量1012346161616161616EX =?+?+?+?+?+?891616+?+?

6817164

==

8、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图

图4 甲组 乙组

8 9 7

a 3 5 7 9 6 6 ……………………10分

如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 （1）求图中x 的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人， 该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ， 求ξ的数学期望。

（1）0.0061030.01100.054101010.018x x ??+?+?+?=?=

（2）成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012+??=人，其中成绩在90分以上（含90分）的人数为0.0610503??= 随机变量ξ可取0,1,2

211

29933222

121212691

(0),(1),(0)112222

C C C C P P P C C C ξξξ========= 6911

0121122222

E ξ=?+?+?= 答：（1）0.018x = （2）ξ的数学期望为12

9、甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,2

1

乙，丙做对的概率分别为

m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

(1)求至少有一位学生做对该题的概率；(2)求m,n 的值；(3)求ξ的数学期望.

本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()

()()1

2

P A P B m P C n ,,=

==. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，

所以至少有一位学生做对该题的概率是()13

10144

P

ξ-==-

=.…………3分 （2）由题意知()()

()()11

01124

P

P ABC m n ξ===

--=， ……………4分

1 7 9

2 0 1 5

3 0

第17题图

()()113224

P P ABC mn ξ===

=， ……………5分 整理得 1

12

mn =

，712m n +=.

由m n >，解得13m =

，1

4

n =. ……………7分 （3）由题意知()()()()

1a P

P ABC P ABC P ABC ξ===++

()()()()11111

111122224

m n m n m n =

--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==

1

4

， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=?=+?=+=+==

1312

. 10、某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；

(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.

【解析】(Ⅰ) 样本均值为

171920212530132

2266

+++++==；

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为21

63

=,故推断该车间12名工人中有

1

1243

?=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,

则()P A =11482

12

C C C 16

33=. 11、某超市元旦期间将举办“购物摇奖100％中奖”活动，凡消费者在该超市购物满20元，可享受一次摇奖机会；购物满40元，可享受两次摇奖机会，依此类推。下图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转圆盘是均匀的，扇形A 、B 、C 、D 所对应的圆心角的比值是1﹕2﹕3﹕4，相应区域的奖金分别为4元、3元、2元、1元，摇奖时，转动圆盘，待停止后，

（Ⅰ）求摇奖两次，均获胜4元奖金的概率；

（Ⅱ）某消费者购物刚好满40元，求摇奖后所获奖金超过4元的概率.

解：设摇奖一次，获得4元、3元、2元、1元奖金的事件分别记为A 、B 、C 、D ，又因为摇奖的概率大小与扇形区域A 、B 、C 、D 所对应的圆心角的大小成正比，

∵P （A ）=

110，P （B ）=210，P （C ）=310，P （D ）=410

。 （1）摇奖两次，均获得4元奖金的概率为1

111.1010100

P =?= （2）购物刚好满40元，可获两次摇奖机会，奖金不超过4元，

设奖金为2元、3元、4元的事件分别为1H ，2H 、3H ，则

14416()1010100P H =

?=，1224324()1010100

P H C =?=， 132423325()10101010100

P H C =?+?=。且1H ，2H 、3H 为互斥事件， ∴摇奖两次，奖金不超过4元的概率为12316242565

()()().100100100100

P P H P H P H =++=++= ∴摇奖两次，奖金超过4元的概率为235

1.100

P P =-=