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函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

函数y =A sin(ωx +φ)的图象及三角函数模型的简单应用

知识梳理

1.y =A sin(ωx +φ)的有关概念 y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),x ∈[0,+∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A

T =2πω

f =1T =ω2π

ωx +φ

φ

2.用五点法画y =A sin(ωx +φ)一个周期内的简图

用五点法画y =A sin(ωx +φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x -φω -φω+π2ω

π-φ

ω 3π2ω-φω 2π-φ

ω

ωx +φ 0 π2 π

3π2 2π y =A sin(ωx +

φ) 0

A

-A

3.函数y =sin x 的图象变换得到y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的步骤 法一 法二

1、y =A sin(ωx +φ)的图象变换

4、由y=sin2x 向______平移_______单位可得到y=cos2x 的图像.

5、将函数y =sin(2x +φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π

6个单位后,所得的函数恰好是偶函数,

则φ的值是________.

6.设函数f (x )=cos ωx (ω>0),将y =f (x )的图象向右平移π

3个单位长度后,所得的图象与原

图象重合,则ω的最小值等于( )

A.1

3 B .3 C .6

D .9

2、函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的作法

7、已知函数y =2sin ?

??

???

2x +π3.

(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;

(2)说明y =2sin ?

??

???

2x +π3的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而

得到.

3.求函数y =A sin(ωx +φ)的解析式

8. (1)函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0)的部分图象如图(1)所示,则f (0)=________.

(2)如图(2)所示是函数f (x )=A sin(ωx +φ)+B ???

?A >0,ω>0,|φ|∈????0,π2图象的一部分,则f (x )的解析式为________.

图(1) 图(2)

9.设函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,直线x =π

6

是它的一条

对称轴,则函数f (x )的解析式为( )

A .f (x )=sin ????x +π

3 B .f (x )=sin ????2x -π

6 C .f (x )=sin ?

???4x +π3 D .f (x )=sin ?

???2x +π6 10.已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)????ω>0,|φ|<π2,y =f (x )的部分图象如图,则f ????π

24等于( )

A .2+3 B. 3 C.3

3

D .2- 3

11.(2013·潍坊模拟)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建

如图所示的坐标系,设秒针尖位置P (x ,y ).若初始位置为P 0??

?

?

32,12,当秒针从P 0(注:此

时t =0)正常开始走时,那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )

A .y =sin ????π30t +π6

B .y =sin ????-π60t -π

6 C .y =sin ???

?-π30t +π6 D .y =sin ???

?-π30t -π3 4.函数y =A sin(ωx +φ)的性质的应用

.________],[)6

2sin(.14条对称轴有在πππ

--=x y

15.已知函数f (x )=3sin ?

???ωx -π

6(ω>0)和g (x )=2cos(2x +φ)+1的图象的对称轴完全相同.若x ∈???

?0,π

2,则f (x )的取值范围是________.

1.6 三角函数模型的简单应用

1.6 三角函数模型的简单应用 课堂训练 一、选择题 1.函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为( ) A .2 B .0 C .4 1- D .6 2. 2sin 5cos )(+-?=x x x x f ,若a f =)2(,则)2(-f 的值为( ) . A .-a B .2+a C .2-a D .4-a 3.设A 、B 都是锐角,且cosA >sinB 则A+B 的取值是 ( ) A .??? ??ππ,2 B .()π,0 C .?? ? ??2,0π D .?? ? ??2,4ππ 4.若函数 )(x f 是奇函数,且当0x 时,) (x f 的表达式为( ) A .x x 2sin 3cos + B .x x 2sin 3cos +- C .x x 2sin 3cos - D .x x 2sin 3cos -- 5.下列函数中是奇函数的为( ) A .y=x x x x cos cos 22-+ B .y=x x x x cos sin cos sin -+ C .y=2cosx D .y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6.在满足 x x 4 πtan 1πsin +=0的x 中,在数轴上求离点6最近的那个整数值是 . 7.已知( )sin 4f x a x =+(其中a 、b 为常数),若()52=f ,则()2f -=__________. 8.若?>30cos cos θ ,则锐角θ的取值范围是_________. 9.由函数??? ??≤≤=656 3sin 2ππx x y 与函数y =2的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形 的面积是_________. 10.函数1 sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是_________. 三、解答题 11.如图,表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ω?ωA t A I 在一个周期 内的图象. ①试根据图象写出)sin(?ω+=t A I 的解析式

三角函数模型的简单应用

课题(章节)1.6 三角函数模型的简单应用(二) 教学目标 能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律; 能根据问题的实际意义,利用模型解决有关实际问题; 通过三角函数模型的简单应用,培养学生应用数学知识解决问题的能力。 教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题 教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型,对实际意义的数学解释 课的类型新授课时间45分钟 教学时数1课时教具几何画板课件,计算器 板书设计 (提纲)三角函数模型的简单应用(二) 将实际问题抽象为三角函数模型:建模的基本思路: 例题:1.根据数据作散点图 2.根据图像进行函数拟合 3.选择恰当的函数模型 本题小结:4.利用函数模型解决实际问题 教学过程: 新课引入: 问题:对于三角函数模型,我们都学习了哪几个方面的应用? 引入:利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢? 教学情景: 将实际问题抽象为三角函数模型: 例:海水受日月的引力,在一定时候发生涨落的现象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001); 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? 若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 分析:1.观察表格中的数据,你发现了什么规律?(从所给数据中发现周期性变化规律); 2.要求学生根据数据作出散点图,观察徒刑,你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律?(引导学生根据散点图的特点选择函数模型); 3.引导学生与“五点法”联系,求出函数模型的解析式; 4.根据所得的函数模型,求出整点时的水深;(利用计算器) 5.引导学生正确理解题意,利用函数模型解决实际问题,求出第(2)问,并对答案进行合理地解释;(利用计算器进行计算) 6.引导学生正确理解第(3)问,用函数模型刻画安全水深,并对答案做出合理地解释 解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图: 根据图像,可以考虑用函数 sin() y A x h ω? =++刻画水深与时间之间的对应关系。从数据和图象可以得出: 2.5,5,12,0 A h T? ====,由 2 12 T π ω == ,得6 π ω= 。所以,这个港口的水深与时间的关系可用 2.5sin5 6 y x π =+ 近似描述。 由上述关系式,易得港口在整点时水深的近似值: 时刻0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 水深5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 时刻8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 水深2.835 2.500 2.835 3.754 5.000 6.250 7.165 7.500 时刻16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 (2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以 5.5 y≥时就可以进港。

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2kπ+α)= sinα cos (2kπ+α)= cosα tan (2kπ+α)= tanα cot (2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)= -sinα cos (π+α)= -cosα tan (π+α)= tanα cot (π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

三角函数在实际生活中的应用

三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要:1 关键词:3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract

Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords:mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要: 三角函数在历史的发展过程中不断完善,具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点,不仅是科学研究的重要组成部分,还是数学学习中得重点难点,

三角函数模型的简单应用教案

三角函数模型的简单应用一、教学目标 1 、基础知识目标: a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法; b 根据解析式作出图象并研究性质; c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力. 3、个性情感目标:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。 二、教学重点:精确模型的应用——即由图象求解析式,由解析式研究图象及性质 三、教学难点: a 、分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调动相关学科的知识来解决问题. b 、由图象求解析式时的确定。 四、教学过程及设计意图 教学过程 设计意图 (一)课题引入 情景展示,引入课题(多媒体显示) 同学们看过海宁潮吗?……?今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中

也蕴含着数学知识. 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 通过上面的例子引发学生的兴趣,贴近生活,可以告诉学生生活离不开数学,身边充满了数学;同时可以让学生知道数学的重要性,不仅仅是课本上的内容,还有生活都可以用到数学,所以学生更应该努力学习,才能更懂得生活。 这样的例子还有很多,比如: 二.由图象探求三角函数模型的解析式 例1 ?如图,某地一天从6?14时的温度变化曲线近似满足函数. (1 )求这一天6?14时的最大温差; (2 )写出这段曲线的函数解析式. 解:( 1 )由图可知:这段时间的最大温差是; (2)从图可以看出:从6?14 是的 半个周期的图象, 又… - ??? 将点代入得: ??,取,??。 问题的反思】

三角函数公式大全与立方公式

【立方计算公式,不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式: a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2) 立方差公式: a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式: a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差

三角函数公式及图像

锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

知识讲解 三角函数的性质及其应用 提高

三角函数的性质及其编稿:李霞审稿:孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义;能画出sin()yAx????的图象,了解参数 A,?,?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法: 作sin()yAx????的简图时,常常用五点法,五点的取法是设tx????,由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。 2.图象变换法: (1)振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00)或向右(?<0)平行移动|?|个单位,得到sin()yAx???的图象; (3)周期变换:把sin()yAx???的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的?1倍(纵坐标不变),可得到sin()yAx????的图象. (4)若要作sin()yAxb????,可将sin()yAx???的图象向上(0)b?或向下(0)b? 平移b个单位,可得到sin()yAxb????的图象.记忆方法仍为“左加右减,上正下负,纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。 要点诠释: 由sinyx?的图象利用图象变换作函数sin()yAx????的图象时要特别注意:当周期

变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??),[0,)x???表示一个振动量时,A叫做振幅,2T??? 叫做周期,12fT????叫做频率,x???叫做相位,0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法,突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T,再由2T???算出?,然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释:若图象未标明第一零点,就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2.周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数;k???时为奇函数,kZ?. 4.单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0),kZ?;对称轴

三角函数公式大全

三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦(sin) 余弦(cos) 正切(tan 或tg) 余切(cot 或ctg) 正割(sec) 余割(csc) 函数关系 倒数关系: 商数关系: 平方关系: . 诱导公式 公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系: 公式三:任意角与的三角函数值之间的关系: 公式四:与的三角函数值之间的关系: 公式五:与的三角函数值之间的关系: 公式六:及与的三角函数值之间的关系:

记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义: k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限: 其中的奇偶是指的奇偶倍数,变余不变试制三角函数的名称变化若变,则是正弦变余弦,正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋,来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角. 以诱导公式二为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终 边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数 值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得 到了诱导公式二. 以诱导公式四为例: 若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终 边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负 值.这样,就得到了诱导公式四. 诱导公式的应用:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤: 特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角 的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要项数要 最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。

三角函数图像的综合运用

三角函数的图象与性质 一、基础知识: 1.三角函数的图象和性质 2.正弦函数y =sin x 当x =2k π+π2(k ∈Z ),取最大值1;当x =2k π-π 2(k ∈Z )时,取最小值-1. 3余弦函数y =cos x 当x =2k π(k ∈Z )时,取最大值1;当x =2k π+π(k ∈Z )时,取最小值-1. 4.y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的对称中心分别为(k π,0)(k ∈Z )、 ? ????k π+π 2,0(k ∈Z ) ? ?? ??k π2,0(k ∈Z ). 5.y =sin x 、y =cos x 的对称轴分别为 x =k π+π 2(k ∈Z )和_ x =k π(k ∈Z ),y =tan x 没有对称轴. 二、综合运用: 1、五点法绘y =A sin(ωx +φ)或y=A + 的图像: 依据:以 = + 为例; =0, =1, = , =-1, =0 在实际画图中,要分别令 + =0、 、 、 、 ,再求出x 与y 的值,确定对应的五点坐标。 例:“五点法”绘出y=2 图像。 例:“五点法”绘出y= ( )的图像,其中x 图像。 注:正切函数的图像采用三点两线的办法。 2、解有关三角函数的方程。 思路:在一个周期内,利用原始函数的图像求出对应的x 的值,然后使用整体替代的思路,解出方程中的x. 例1: - 例2: =- 例3:2 ( )=1 例4:︱ ( )︱= 例5︱ ( )︱= 注:在解有关三解函数的非常规方程时,需要使用数形结合的思想,用图像交点的个数来代表方程的解的个数。 例:分析方程 - =0的解的个数。(2个) 例:分析方程x- =0的解的个数。(1个)提示:利用三角函数线的性质, α 时, α α tan α。

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈°=57°18ˊ. 1°=180 π≈(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α 原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y =αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

1.6 三角函数模型简单应用练习题(解析版)

1.6 三角函数模型简单应用 1.函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为( ) A .2 B .0 C .4 1 - D .6 2.2sin 5cos )(+-?=x x x x f ,若a f =)2(,则)2(-f 的值为( ). A .-a B .2+a C .2-a D .4-a 3.设A 、B 都是锐角,且cosA >sinB 则A+B 的取值是 ( ) A .?? ? ??ππ,2 B .()π,0 C .??? ??2,0π D .?? ? ??2,4ππ 4.若函数)(x f 是奇函数,且当0x 时, )(x f 的表达式为( ) A .x x 2sin 3cos + B .x x 2sin 3cos +- C .x x 2sin 3cos - D .x x 2sin 3cos -- 5.下列函数中是奇函数的为( ) A .y=x x x x cos cos 22-+ B .y= x x x x cos sin cos sin -+ C . y=2cosx D .y=lg(sinx+x 2sin 1+) 6.在满足 x x 4 πtan 1πsin +=0的x 中,在数轴上求离点6最近的那个整数值是 . 7.已知()3s i n 4 f x a x b x = ++(其中a 、b 为常数),若()52=f ,则()2f -=__________. 8.若?>30cos cos θ,则锐角θ的取值范围是_________. 9.由函数?? ? ??≤≤=6563sin 2ππ x x y 与函数y =2的图象围成一个封闭图形, 这个封闭图形的面积是_________.

《三角函数模型的简单应用》练习

《三角函数模型的简单应用》练习 一、选择题 1.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ) (x)=x+sinx (x)= (x)=xcosx (x)=x·· 2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知, 这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) B.6 3.如图,小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知他与树之间的水平距离BE为5m, AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是( ) 4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图 象如图所示,则当t=秒时,电流强度是( ) 安安 安安 5.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )

二、填空题 6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2, 3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28℃,12月份的平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为________℃. 7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上 标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=________,其中t∈[0,60]. 8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin+60(美元)(t(天),A>0,ω>0),现 采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150(天) 时达到最低油价,则ω的最小值为__________. 三、解答题 9.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: f(t)=10-cos t-sin t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 10.如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位,如t=1表示2月1日). (2)估计当年3月1日动物种群数量. 《三角函数模型的简单应用》巩固练习 一、选择题 1.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针

最最完整版--三角函数公式大全

三角函数与反三角函数 第一部分三角函数公式 ·两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) ·半角公式: sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) ·辅助角公式: Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ)(tanφ=B/A) Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ)(tanφ=A/B) ·万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) ·降幂公式 sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·三角和的三角函数: sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ -tanγ·tanα) ·和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB

(完整版)三角函数图像公式大全,推荐文档

幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号 sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的性质 函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R {x|x∈R且 x≠kπ+ 2 π ,k∈Z} {x|x∈R且 x≠kπ,k∈Z} 值域[-1,1]x=2kπ+ 2 π 时 y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 [-1,1] x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性在[2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ]上 都是增函数;在 [2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π]上 都是减函数(k∈Z) 在[2kπ-π,2kπ]上都是 增函数;在[2kπ,2kπ+π] 上都是减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ,kπ+ 2 π )内都 是增函数(k∈Z) 在(kπ,kπ+π)内都 是减函数(k∈Z)

反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈〔- 2 π , 2 π 〕 的反函数,叫做反正弦 函数,记作x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数,叫做反 余弦函数,记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数,叫做反 正切函数,记作 x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的 反函数,叫做反余切 函数,记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于 [- 2 π , 2 π ] 且正弦值等于x的角 arccosx表示属于 [0,π],且余弦值 等于x的角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π ),且正切值等 于x的角 arccotx表示属于(0, π)且余切值等于x 的角 性 质 定义域[-1,1][-1,1](-∞,+∞)(-∞,+∞) 值域[- 2 π , 2 π ][0,π](- 2 π , 2 π ) (0,π)单调性 在〔-1,1〕上是增函数在[-1,1]上是减 函数 在(-∞,+∞)上是增数在(-∞,+∞)上是减函 数奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arcco sx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccot x 周期性都不是同期函数 恒等式 sin(arcsinx)=x(x∈[-1, 1])arcsin(sinx)=x(x∈ [- 2 π , 2 π ]) cos(arccosx)=x(x∈ [-1,1]) arccos(cosx)=x(x∈ [0,π]) tan(arctanx)=x(x∈ R)arctan(tanx)=x(x∈ (- 2 π , 2 π )) cot(arccotx)=x(x∈ R) arccot(cotx)=x(x∈ (0,π)) 互余恒等式arcsinx+arccosx= 2 π (x∈[-1,1]) arctanx+arccotx= 2 π (X∈R)

初中三角函数公式大全

^ 三角函数公式大全锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinACosA ] Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 】 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A [ Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α $ 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a

三角函数的图像及模型的简单应用

参数A ,ω,φ对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 学习过程: 一. 知识梳理: 3.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx +φ)的图象的步骤 注意:细细体会上述两种变换的区别。 二. 问题探究: 1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: )3 sin( )2( sin )1(π - ==x y x y 3. 经过怎样的变化得到(注意定义域): ),0[),7 3sin(3 1)2( );,0[),8 4sin( 8)1(+∞∈+ =+∞∈-=x x y x x y π π

4.若函数f(x)=sin(2x +φ)的图象关于y 轴对称,则φ值是________. 5.画出函数x y sin =的图像并观察期周期和奇偶性: 三. 拓展升华: 1. 由函数的图像的图像要得到 )sin(sin ?ω+==x A y x y 经过怎样的变化可以得到? 2. 在直角坐标系中?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 表示什么曲线?(其中a,b,r 是常数,且r 为正数,θ在)2,0[π内变化) 3.函数f(x)=3sin(2x -π 3)的图象为C ,下列结论中正确的是( ) A .图象C 关于直线x =π6对称 B 由y =3sin2x 向右平移π 3个单位长度可得到图象C C .图象C 关于点(-π6,0)对称 D .函数f(x)在区间(-π12,5π 12 )内是增函数 4.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+b (ω>0,|φ|<π 2 )的图象 的一部分如图所示: (1)求f (x )的表达式; (2)试写出f (x )的对称轴方程. 5.已知函数f(x)=sin 2 ωx +3sin ωxsin(ωx + π2 )+2cos 2 ωx ,x∈R (ω>0),在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π 6 . (1)求f(x)的对称轴方程; (2)求f(x)的单调递增区间. 四. 规律总结:

三角函数图象及应用

函数y =A sin(ωx +φ)的图象及应用 1.y =A sin(ωx +φ)的有关概念 y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0),x ∈[0,+∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T =2πω f =1T =ω2π ωx +φ φ 2.如下表所示. x 0-φ ω π2 -φω π-φ ω 3π2 -φω 2π-φ ω ωx +φ 0 π2 π 3π2 2π y =A sin(ωx +φ) A -A 3.函数 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y =sin(x -π6)在一个周期的图象时,确定的五点是(0,0),(π2,1),(π,0),(3π 2 ,-1),

(2π,0)这五个点.( × ) (2)将函数y =3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y =3sin(2x +π 4).( × ) (3)函数y =sin(x -π4)的图象是由y =sin(x +π4)的图象向右移π 2个单位长度得到的.( √ ) (4)函数y =sin(-2x )的递减区间是(-3π4-k π,-π 4-k π),k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )=sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π,0.( √ ) (6)函数y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T ,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T 2 .( √ ) 1.(2014·)为了得到函数y =sin(2x +1)的图象,只需把函数y =sin 2x 的图象上所有的点( ) A .向左平行移动1 2个单位长度 B .向右平行移动1 2个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度 答案 A 解析 y =sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y =sin 2(x +1 2)的图象,即函数y = sin(2x +1)的图象. 2.(2013·)函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π 2)的部分图象如图所示, 则ω,φ的值分别是( ) A .2,-π 3

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