对弹簧单摆运动的数值模拟

对弹簧单摆运动的数值模拟

不妨假设弹簧的倔强系数K=5,其长度L=1，作为振子的小球质量m=1.如图所示

现在分别写出x 轴和y 轴方向的物理方程如下：

令y(1) =x, y(2) = dx/dt, y(3) = y,

m=1,k=5,l=1,g=10

用Matlab 写出程序为

2d x klx m kx dt =-+2d y kly

m mg ky dt

=-+??????

???????++-==++-==2222)3()1()3()3()4()4()3()3()1()1()1()2()2()1(y y m kly m ky g dt dy y dt dy y y m kly m ky dt dy y dt dy

function ydot=tanhuangfun(t,y, m,k,l,g);

ydot=[y(2);

-k*y(1)/m+k*l*y(1)/(m*sqrt(y(1).^2+y(3).^2));

y(4);

g-k*y(3)/m+k*l*y(3)/(m*sqrt(y(1).^2+y(3).^2))];

m=1;k=5;l=1;g=10;

[t,y]=ode45(＠tanhuangfun,[0:0.001:30],[1,0,0,0],[],m,k,l,g);

plot(y(:,1),y(:,3))

title('弹簧小球的非线性运动轨迹','color','b') xlabel('X');ylabel('Y') 输出的运动图象如下：

基于MATLAB的单摆运动概要

Matlab仿真技术作品报告 题目:MATLAB在单摆实验中的应用 系（院）： 专业： 班级： 学号： 姓名： 指导教师： 学年学期:2012~2013 学年第 1 学期 2012年11月18日

设计任务书 摘要 借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。 关键词单摆模型；周期；MATLAB；

目录 一、问题的提出 (2) 二、方法概述 (2) 2.1问题描述 (2) 2.2算法基础 (3) 2.2.1单摆运动周期 (3) 2.2.2单摆做简谐运动的条件 (4) 三、基于MAT LAB的问题求解 (5) 3.1单摆大摆角的周期精确解 (5) 3.2、单摆仿真（动画） (7) 3.3单摆仿真整个界面如下： (10) 四、结论 (12) 五、课程体会 (12) 参考文献 (13)

一、问题的提出 在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所学知识、提高学生综合实力的重要职责。通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力和综合创新能力。然而，物理实验的优劣很大程度受限于物理实验条件的制约。当前，受限于以下条件（很多情况下物理实验环境都是难以有效构造的），物理实验的效果并不理想： 1）一些实验设备比较复杂并且昂贵,难以普及应用； 2）有效实验环要求非常苛刻，是现实环境中难以模拟，甚至根本无法模拟； 3）除此以外，有些实验的实验环境即使可以有效构造，它的实验结果却仍然是难以直接、完整观察获取的,如力场、电场、磁场中的分布问题等。 鉴于以上原因,物理仿真实验已引起了大家的关注,出现了一些软件。但很多是基于Flash、Photoshop 、3D Studio MAX之类的图形图像软件制作。这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画,还可以制作出实际实验所无法达到的效果。但这类软件本身是制作卡通动画的，对物理实验规律和过程很少涉及,很难做到真正的交互使用,及精确的计算分析同时开发也很困难。因此，基于这些软件的仿真在工科物理实验教学中应用很少。本文利用MATLAB 计算软件及其仿真功能对单摆实验过程进行模拟、仿真及后期分析，对物理实验教学改革提供一种新思路。 具体地，本文将描述一种新颖的单摆实验方法, 其主要的意义在于给学生以综合性实验技能训练。一个综合性实验, 它必须涉及多方面的知识和实验技能。本文描述的单摆实验方法即具备这样的特征。它的实验原理虽然简单, 但所涉及到的知识点极为丰富: 力学振动, 计算机编程等。学生通过这样的实验不仅可以得到综合性的实验技能训练, 而且可以在如何将现代技术改造传统实验、理论联系实际等方面得到很多启示。另外，本文引入计算机技术分析法, 对单摆实验进行了改造, 既实现了基础物理实验的现代化, 又为MATLAB课程实验提供了很好的应用落足点, 可以使学生得到多方面的实验技能训练。 二、方法概述 2.1问题描述 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角

高中物理-单摆教案 (3)

高中物理-单摆教案 【教学目标】 一、知识与技能 1．知道单摆是一种理想化模型和做简谐运动的条件 2. 知道单摆做简谐运动时回复力的特点和表达式 3．知道单摆(偏角θ较小时)的周期与振幅、摆球质量、摆长和当地重力加速度g的关系。 二、过程与方法 1．知道测量单摆周期的方法,会用单摆测定重力加速度 2．通过探究过程体会猜想、设计实验、分析论证、评估等科学探究要素; 3．通过制定探究方案体会“控制变量”的研究方法。 三、情感、态度和价值观 1．通过实验,领悟实事求是的理念,并在探究活动中培养合作精神。 2．通过动手合作调动学生的学习主动性,培养他们的探究意识,激发他们的学习热情,体会研究的乐趣。 【重点、难点、疑点】 1.重点:单摆的振动规律和周期公式。 2.难点:单摆回复力的分析。 3.疑点:怎样确定单摆的振动周期与哪些因素有关,以及具体关系。 【教具准备】 摆球、铁架台、细线、支架、盛砂漏斗、硬纸板、砂、计算机、投影仪等 【教学过程】 一、复习引入新课 在前面我们学习了弹簧振子,知道弹簧振子做简谐运动。 那么：怎么判断物体的运动是否是简谐运动 答：有两种方法：方法一：位移时间图像为正弦 函数 方法二：物体在跟位移大小成正比、并且总是指 向平衡位置的回复力作用下的振动F =-kx 在生活中有很多种机械振动。比如建筑物挂钟的 振动、房顶吊灯的摆动、秋千的运动、座钟的钟 摆的摆动。这些运动都是摆动。我们对实际生活 中的摆进行理想化处理,忽略次要因素、突出主 要因素,这样所构建的模型称之为单摆。

二、新课教学 （一）单摆 问题：以上这些运动有什么共同点？ 物理中常抽象出一种模型 1、单摆概念：细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果 细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也 可以忽略,这样的装置就叫做单摆。 ①摆线质量m 远小于摆球质量 M,即m << M ②摆球的直径 d 远小于单摆的摆长Ｌ,即 d <<Ｌ。③摆球所受空气阻力远小 于摆球重力及绳的拉力,可忽略不计。④摆线的伸长量很小, 可以忽略。 2、摆长：悬点到摆球重心的距离。摆长 L=L0+R （二）单摆的运动 问题1：运动的平衡位置在哪里 细线竖直下垂,摆球所受重力G和悬线的拉力F平衡,O点就是摆球的平衡位置。问题２：摆球的受力情况小球收到的力有重力、拉力 问题3:小球的运动情况分析以点Ｏ为平衡位置的振动 以悬点Ｏ’为圆心的圆周运动 问题4：力与运动的关系 回复力大小：向心力大小： O` O θ sin mg F= 回 θ cos mg N F- = 向

单摆运动规律的研究模板

单摆运动规律的研究 摘要单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。 首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。 然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。 最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进行了探索。 关键词简谐运动角度阻尼运动单摆运动 目录 一、问题的描述 二、模型假设 三、模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1 模型建立 1.1.2 模型求解 1.1.3 结果分析 1.2 大角度单摆运动模型 1.2.1 模型建立 1.2.2 模型求解 1.2.3 结果分析 2 现实模式下单摆的数学模型 2.1 小、大阻尼单摆运动模型 2.1.1 模型建立 2.1.2 模型求解 2.1.3 结果分析 四模型分析 一问题的描述 根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。

二模型假设 1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多； 2.装置严格水平； 3.无驱动力。 三模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 图1 简单单摆模型 在 t 时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即f(t) =mg sin(t) 完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为： a(t) =g sin(t) 因此得到单摆的运动微分方程组： 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1模型建立 当摆角θ很小时,sinθ≈θ，故方程1可简化为:

单摆运动的分析

单摆的运动规律分析 摘要：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。 关键词：单摆 线性微分方程 非线性微分方程 正文： 单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。 单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响，且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平面内的情况，若考虑这一系列问题，求解就会变得比较复杂了，首先把问题理想化，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。 Ⅰ.由刚体绕定轴转动的微分方程可知： θθsin 2 22 mgl dt d ml -=……⑴ 当θ很小时： 02 2=+θθl g dt d ……⑵ 令l g w =2 则原式化为02 22=+θθw dt d ……⑶ 做任意角度摆动时的情况： 0sin 2 2 2=+θθw dt d ……⑷ Ⅱ.受大小与速度成正比的阻力作用时： 0sin 2 22=+-θθθw dt d k dt d ……⑸ 做小角度摆动时可近似为： 0222=++θθ θw dt d k dt d ……⑹ 其中⑵、⑶、⑹式为线性微分方程，⑴、⑷、⑸式为非线性微分方程。 1）小角度震荡时将sin θ近似看作θ i.函数文件: function fc=f0(t,y) global g l fc=[y(2) -g/l*y(1)]' ii.绘图程序：

clear clc global g l g=9.8; l=1; w0=input('wm0?\n') [t,y]=ode45('f0',[0,100],[0,w0*pi]'); plot(t,y(:,1),'r') title('θ-t 图'); xlabel('时间/s'); ylabel('θ/rad'); grid iii.图像： 取wm0=0.5. 2)振幅增大后，θ将不满足近似条件。 i.函数文件： function fc=f1(t,y) global g l fc=[y(2) -g/l*sin(y(1))]' ii.绘图程序： clear clc global g l k

探究单摆的物理原理教案

探究单摆的物理原理教案 【教学目标】 （一）知识与技能 1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。 2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。 3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 4、知道用单摆可测定重力加速度。 （二）过程与方法 1、知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。 2、通过单摆做简谐运动条件的教学，体会用近似处理方法来解决物理问题。 3、通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。 （三）情感、态度与价值观 1、单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的关系； 2、当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律。 3、培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。 【教学重点】 1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件； 2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。 【教学难点】 1、单摆振动回复力的分析； 2、与单摆振动周期有关的因素。 【教学方法】 分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。

【教学用具】 单摆、秒表、米尺、条形磁铁、装有墨水的注射器（演示振动图象用）、CAI 课件。 【教学过程】 (第一课时)单摆的回复力 （一）引入新课 教师：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。 在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例——单摆。 （二）进行新课 1．单摆 （1）什么是单摆 秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢 （出示各种摆的模型，帮助学生正确认识什么是单摆） ①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆； ②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆； ③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆； ④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆； ⑤第五种摆是单摆。 定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。 绳绕在杆上

2020高中物理必备知识点 单摆

单摆 同学们：前面几节课，我们与弹簧振子为载体详细研究了简谐运动的运动特征和简谐运动的图像。在众多的机械振动中是不是只有弹簧振子的运动是简谐运动呢？当然不是。今天我们再来研究加一个典型的简谐运动――单摆。 （板书课题：四、单摆） 我们先来看看摆动：（演示多媒体课件）其实摆动还是比较复杂的，我们先研究最简单的摆动――单摆。 什么是单摆呢？ （板书：一、单摆的构成） 一根没有质量的细线，下挂一个质点构成理想的单摆――理想化物理模型 实际中是一根质量、伸缩可以忽略不计的细线下挂一个密度较大的金属小球构成单摆。通常，如果线很细，伸缩和质量可忽略，球直径比线长短的多，这样的装置就叫做单摆。 单摆的运动特征是来回往复运动，一定有一个回复力，那么单摆的回复力是什么力提供？回复力有何特征呢？ （板书：二、单摆的回复力） 边演示多媒体课件，边分析单摆的回复力得出：（板书）θsin mg F ＝回 （板书）小角度摆动时： ι ιθθθx s tg ≈≈≈弧度）＝(sin 所以单摆在较小偏角摆动时： x mg F ι ＝－ 回，对照简谐运动的回复力 特征得：

（板书：三、单摆在较小偏角摆动时是简谐运动） 关于单摆在小角度摆动是简谐运动，还可以从单摆振动图像中得到证实。（演示多媒体课件：砂摆动运动描绘振动图像） 既然单摆是简谐运动，那么它应该有简谐运动的特征量：周期T ，频率f ，振幅A 等。 我们研究一下单摆的周期 （板书：四、单摆的周期） （演示多媒体课件比较研究单摆周期与振幅A 、质量m 、摆长L 、重力加速度g 的关系。） 首先定性研究一下单摆的周期与哪些因素有关。测量摆长约为1m 的单摆，在两个不同振幅下的周期。 怎样测才能误差小呢？ 答：测多次，而后取其平均值。为了节省时间，我只测10个全振动时间 保证小角度情况下，改变幅度，读表从平衡位置计时。 结果：单摆周期与振幅无关。 ⑴单摆周期与振幅无关（单摆的等时性） 下面我们再做实验看周期T 与摆球质量之间系。如图,m 1

单摆模型

单摆模型 模型特点：单摆模型指符合单摆规律的模型，需满足以下三个条件： (1)圆弧运动； (2)小角度往复运动； (3)回复力满足F ＝－kx . 典例 如图1所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为R ，C 为弧形槽最低点，R ?AB .甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A 点由静止释放，问： 图1 (1)两球第1次到达C 点的时间之比； (2)若在圆弧的最低点C 的正上方h 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C 处相遇，则甲球下落的高度h 是多少？ 答案 (1)22π (2)(2n ＋1)2π2R 8 (n ＝0,1,2…) 解析 (1)甲球做自由落体运动 R ＝12gt 21，所以t 1＝ 2R g 乙球沿圆弧做简谐运动(由于AC ?R ，可认为摆角θ＜5°)．此运动与一个摆长为R 的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R ，因此乙球第1次到达C 处的时间为 t 2＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g ， 所以t 1∶t 2＝22π . (2)甲球从离弧形槽最低点h 高处自由下落，到达C 点的时间为t 甲＝ 2h g 由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C 点的时间为 t 乙＝T 4＋n T 2＝π2R g (2n ＋1) (n ＝0,1,2，…) 由于甲、乙在C 点相遇，故t 甲＝t 乙

联立解得h ＝(2n ＋1)2π2R 8 (n ＝0,1,2…)． 1．解决该类问题的思路：首先确认符合单摆模型的条件，即小球沿光滑圆弧运动，小球受重力、轨道支持力(此支持力类似单摆中的摆线拉力)；然后寻找等效摆长l 及等效加速度g ；最后利用公式T ＝2πl g 或简谐运动规律分析求解问题． 2．易错提醒：单摆模型做简谐运动时具有往复性，解题时要审清题意，防止漏解或多解．

弹簧振子

教案示例 ——简谐运动 一、教学目标 1．在物理知识方面要求： (1)了解什么是机械振动； (2)掌握简谐运动回复力的特征； (3)掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的规律(定性)． 2．通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力；通过相关物理量变化规律的学习，培养分析、推理能力． 3．渗透物理学方法的教育，运用理想化方法，突出主要因素，忽略次要因素，抽象出物理模型——弹簧振子，研究弹簧振子在理想条件下的振动． 二、重点、难点分析 1．重点是使学生掌握简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律．回复力的特征是形成加速度、速度、位移等物理量周期性变化的原因． 2．偏离平衡位置的位移与运动学中的位移概念容易混淆，这是难点．在一次全振动中速度的变化(大小、方向)较复杂，比较困难． 三、教具 1．演示机械振动 钢板尺、铁架台、单摆、竖直弹簧振子、皮筋球． 气垫弹簧振子、微型气源． 2．分析相关物理量的变化 计算机、软盘、彩电(29吋，代彩显)，投影幻灯、投影片、彩笔． 四、主要教学过程 (一)引入新课

我们学习机械运动的规律是从简单到复杂：匀速运动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动，今天学习一种更复杂的运动——简谐运动． (二)教学过程设计 1．机械振动 振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，请同学举例说明什么样的运动是振动？ 说明微风中树枝的颤动、心脏的跳动、钟摆的摆动、声带的振动……这些物体的运动都是振动． 演示几个振动的实验，要求同学边看边想：物体振动时有什么特征？ (1)一端固定的钢板尺 (2)单摆 (3)弹簧振子 (4)穿在橡皮绳上的塑料球 提出问题：这些物体的运动各不相同：运动轨迹是直线的、曲线的；运动方向水平的、竖直的；物体各部分运动情况相同的、不同的……它们的运动有什么共同特征？ 在同学回答的基础上归纳出：物体振动时有一中心位置，物体(或物体的一部分)在中心位置两侧做往复运动，振动是机械振动的简称．

MATLAB在物理中的应用(单摆).doc

<>课程论文 MATLAB在单摆实验中的应用 姓名蔡小强 学号：2010110102 专业：物理学 班级：10物理学 学院：物电学院 完成日期：2011/12/11

MATLAB在单摆实验中的应用 【摘要】借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。 【关键字】单摆模型；周期；MATLAB 一、问题的提出 在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所学知识、提高学生综合实力的重要职责。通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力和综合创新能力。然而，物理实验的优劣很大程度受限于物理实验条件的制约。当前，受限于以下条件（很多情况下物理实验环境都是难以有效构造的），物理实验的效果并不理想：1）一些实验设备比较复杂并且昂贵,难以普及应用；2）有效实验环要求非常苛刻，是现实环境中难以模拟，甚至根本无法模拟；3）除此以外，有些实验的实验环境即使可以有效构造，它的实验结果却仍然是难以直接、完整观察获取的,如力场、电场、磁场中的分布问题等。鉴于以上原因,物理仿真实验已引起了大家的关注,出现了一些软件。但很多是基于Flash、Photoshop 、3D Studio MAX之类的图形图像软件制作。这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画,还可以制作出实际实验所无法达到的效果。但这类软件本身是制作卡通动画的，对物理实验规律和过程很少涉及,很难做到真正的交互使用,及精确的计算分析同时开发也很困难。因此，基于这些软件的仿真在工科物理实验教学中应用很少。本文利用MATLAB 计算软件及其仿真功能对单摆实验过程进行模拟、仿真及后期分析，对物理实验教学改革提供一种新思路。 具体地，本文将描述一种新颖的单摆实验方法, 其主要的意义在于给学生以综合性实验技能训练。一个综合性实验, 它必须涉及多方面的知识和实验技能。本文描述的单摆实验方法即具备这样的特征。它的实验原理虽然简单, 但所涉及到的知识点极为丰富: 力学振动, 计算机编程等。学生通过这样的实验不仅可以得到综合性的实验技能训练, 而且可以在如何将现代技术改造传统实验、理论联系实际等方面得到很多启示。另外，本文引入计算机技术分析法, 对单摆实验进行了改造, 既实现了基础物理实验的现代化, 又为MATLAB课程实验提供了很好的应用落足点, 可以使学生得到多方面的实验技能训练。 二、方法概述 2.1问题描述 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角比较小时,其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比较大时, 即单摆在大摆角情况下运动时,这种近似已不再成立,其运动方程满足非线性微分方程。因此,对摆角大小的限制成为该实验中必须满足的条件。不同的实验条件下,最大摆角的取值不同,其中包括, ,,,甚至等。这就为在实验过程中对摆角的统一取值造成困难,给实验带来较大的误差。同时,学生对单摆在大摆角情况下运动时其运动周期及运动规律的理解也存在困难。利用先进的计算机仿真

弹簧振子实验报告记录

弹簧振子实验报告记录

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弹簧振子实验报告 一、引言 ●实验目的 1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient). 2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式. 3.学习处理实验数据. ●实验原理 一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时,重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡,这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放,则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当 振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度内与振子的位移x成正比,即 (1) 式中的比例常数k称为刚度系数（stiffness coefficient），它是使弹簧产生单位形变所须的载荷.这就是胡克定律.式（1）中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果.

根据牛顿第二定律，如振子的质量为m，在弹性力作用下振子的运动方程为： (2) 令，上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程，其解为 （） （3） （3）式表明.弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A，角频率为的简谐振动，式中的（）称为相位，称为初相位.角频率为的振子其振动周期为，可得 （4） (4)式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的最基本的特性.弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性（振幅，相位，频率，周期）是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识更复杂震动的基础. 弹簧的质量对振动周期也有影响.可以证明，对于质量为的圆柱形弹簧，振子周期为 （5）

高中物理.《简谐运动的图像和公式》教案教科版选修解析

《简谐运动的图像》 一、教学三维目标 （一）知识与技能 1、知道振动图像的物理含义。 2、知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。 3、能根据图象知道振动的振幅、周期和频率。 （二）过程与方法 1、学会用图象法、列表法表示简谐运动位移随时间变化规律，提高运用工具解决物理问题的能力。 2、分析简谐运动图像所表示的位移，速度、加速度和回复力等物理量大小及方向变化的规律，培养抽象思维能力。 （三）情感态度与价值观 1、描绘简谐运动的图像，培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度。 2、从图像了解简谐运动的规律，培养学生分析问题的能力，以及审美能力（逐步认识客观存在着简洁美、对称美等）。 二、重点、难点、疑点及解决办法 1、重点 （1）简谐运动图像的物理意义。 （2）简谐运动图像的特点。 2、难点 （1）用描点法画出简谐运动的图像。 （2）振动图像和振动轨迹的区别。 （3）由简谐运动图像比较各时刻的位移、速度、加速度和回复力的大小及方向。 3、疑点 能用正弦（或余弦）图像判定一个物体的振动是否是简谐运动。 4、解决办法 （1）通过对颗闪照相的分析，利用表格，通过作图比较，认识简谐运动的特点。 （2）复习数学中的正弦（或余弦）图像知识；比较几种典型运动（匀速直线运动，匀加速、匀减速直线运动）的图像与简谐运动图像的区别。

三、课时安排 1课时 四、教具、学具准备 自制幻灯片、幻灯机（或多媒体课件）、音叉（带共鸣箱）（附小槌、灵敏话筒、示波器）。 五、学生活动设计 1、学生观看多媒体课件，观察振子的简谐运动情况及其频闪照片、位移一时间变化表格。 2、学生根据表格画出s-t图 3、学生分组讨论，确定振子在各时刻的位移、速度、回复力和加速度的方向。 六、教学步骤 ［导入新课］ 提问 1、在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？（是一条过原点的直线） 2、在匀变速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？ （根据s＝at2,运动的位移图像是一条过原点的抛物线） 那么，简谐运动的位移图像是一条什么线？ ［新课教学］ 多媒体课件（或幻灯）显示。观察气垫导轨上弹簧振子的振动情况，这是典型的简谐运动。 观察振子从离平衡位置最左侧20mm处向右运动的1/2周期内频闪照片，以及接下来1/2周期内的频门照片，已知频闪的频率为9.0Hz提问，相邻两次闪光的时间间隔t。是多少？ 时间t0＝s＝0.11s 提问，频闪照片上记录下来什么？ （照片上记录下来每隔t0振子所在的位置） 取平衡位置的右方为正方向。根据频门照片上的读数，列出位移。随时间；变

弹簧和单摆

弹簧振子与单摆 1.如图所示弹簧振子，振子质量为 2.0×102 g ，作简谐运动，当它到达平衡位置左侧2.0cm 时受到的回复力是0.40N ，当它运动到平衡位置右侧4.0cm 处时，加速度为( ) A 、 2 m /s 2向右 B 、 2 m /s 2向左 C 、 4 m /s 2向右 D 、 4 m /s 2向左 2.上题中，若弹簧振子的振幅为8cm ，此弹簧振子振动的周期为( ) A 、 0.63s B 、2s C 、8s D 、 条件不足，无法判断 3.弹簧振子在BC 间作简谐运动，O 为平衡位置，BC 间距离为10cm ，由B →C 运动时间为1s ，则( ) A 、 从 B 开始经过0.25s ，振子通过的路程是2.5cm B 、 经过两次全振动，振子通过的路程为40cm C 、 振动周期为1s ，振幅为10cm D 、 从B →O →C 振子做了一次全振动 4.如图所示，一个弹簧振子在光滑的水平面上A 、B 之间做简谐振动，当振子经过最大位移处（B 点）时，有块胶泥落在它的顶部，并随其一起振动，那么后来的振动与原来相比较 ( ) A 、振幅的大小不变 B 、加速度的最大值不变 C 、速度的最大值变小 D 、势能的最大值不变 6.如图所示，质量为m 的物体A 放在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧 相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动。设弹簧劲度系数为k ，但物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于（ ） A 、kx B 、M m kx C 、M m m kx D 、0 7.光滑的水平面上盛放有质量分别为m 和2 m 的两木块，下方木块与一劲度系数为k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。己知两木块之间的最大静摩擦力为f ，为使这两个木块组成的系统象一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ） A ．f k B ．2f k C ．3f k D ．4f k 8.如图所示，物体A 置于物体B 上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B 相连。在弹性限度范围内，A 和B 一起在光滑水平面上作往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止。则下列说法正确．． 的是( ) A ．A 和B 均作简谐运动 B ．作用在A 上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比 C ．B 对A 的静摩擦力对A 做功，而A 对B 的静摩擦力对B 不做功 D ．B 对A 的静摩擦力始终对A 做正功，而A 对B 的静摩擦力始终对B 做负功 m/2 m k A B A B

单摆的复杂运动

单摆的复杂运动 摘要：采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆的复杂运动，研究单摆运动中的分岔，混沌等非线性特征。 关键词：单摆；混沌；相图；庞加莱映射 正文： 物理学家伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动，发现了单摆定律：摆动的周期与摆幅无关。 惠更斯利用摆的“等时性”发现了钟表，直至电子表出现前，摆始终是计时装置的心脏，均匀韵律的象征。在高中，大学的物理教材中没有不讲单摆定律的，在物理实验中，没有不做单摆实验的。 单摆是物理学中最简单的模型之一，传统力学教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振动，阻尼振动和受迫振动的特征。事实上，如果不限制其摆幅，单摆在周期性策动力的作用下，其运动将有意想不到的复杂性，本文将从单摆的动力学方程出发，采用相图，牌庞加莱截面等描述方法研究单摆的复杂运动。 1.单摆模型的动力学方程 我们把传统的单摆模型一般化：单摆的摆线换成质量可忽略不计的刚性杆，摆角θ的取值范围不受限制，设摆长为L ，摆球的质量为m ，沿切向受阻力yl θ? -(y 为阻尼系数)，重力的分力sin mg θ-以及周期策动力cos F t ω作用，由牛顿第二定律得此单摆所满足的动力学方程为 sin cos ml rl mg F t θθθω????=--+ （1） 为使（1）式各物理量无量纲化，作如下标度变换： 令20/g l ω=，wt τ=，0/ωωΩ=，02Y m βω=，20F F f ml mg ω==，则（1）式变为： 222sin cos d d f d d θθβθπττ=--+Ω （2） 引入新变量ω，?，将（2）式化成自治方程形式 ： 2sin cos f θω θβωθ?? ?==--+ （3） 这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的不显含时间的微分方程组。（3）式中有3个可调参量；β，f 和Ω，每个变量的改变都会引起解的变化。可以通过控制Ω，β，f 参量的变化，从而得出反映系统运动特征的信息。 2 单摆运动的相图及庞加莱截面描述方法 由于（3）式含有非线性项。一般而言，不能用解析法求解，对于这类微分方程，法国数学家庞加莱在十九世纪末创建了一种微分方程的定性理论，发明了相图和拓扑学方法，在不求出解的情况下，通过直接考察微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。相

弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨

弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响 摘 要：从能量的观点出发，通过对有弹簧质量弹簧振子的振动实验进行研究，分析弹簧振子振动周期与弹簧质量的关系。 关 键 词：弹簧振子；弹簧质量；振动周期 振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一, 在物理学的基础理论研究中具有显著地位, 正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义。作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理模型——简谐振子, 由一质量为m 的质点和一劲度系数为k 的无质量理想弹簧所组成, 其振动周期为 2T = (1) 在高中和大学物理中，弹簧质量对振动的影响往往被忽略。显然，这在弹簧质量远小于振子质量的情况下是可行的。但在一些实际问题中，人们往往会用弹簧的有效质量来对理想的弹簧振子振动周期公式进行修正。查阅相关资料可知，由机械能守恒定律计算出有效质量为031 m （其中0m 为弹簧质量）；进一步由质心运动定理却得出有效质量为 02 1 m ，从而得到 “弹簧振子佯谬”；而利用数值计算解超越方程的方法，得出“有效质量随振子与弹簧质量比的增大而减小”，“当振子与弹簧质量比较大时，有效质量可小于03 1 m ”，“不能简单地认为有效质量介于031m 和 02 1 m 之间”等结论。理论繁杂冗乱，令人眼花缭乱。本文通过对弹簧振子垂直地面放置的模型进行分析，并通过解微分方程，得出最终的周期公式。 考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期（弹簧与地面垂直情况） 查阅资料可知，弹簧振子的周期T 与劲度系数k 、振子质量m 有关，在弹簧质量不可忽略时，还要考虑弹簧自身质量0m 的影响，则弹簧振子的振动周期公式可写为： k Cm m T 0 2+=π (2) 式中0Cm 即为弹簧的有效质量，C 为待定系数，在下文中称为“有效质量系数”。 为了验证该公式并分析在弹簧与地面垂直情况下有效质量系数的大小，可以对该模型进 行进一步分析。

高考物理常用模型十四：弹簧振子和单摆

模型十四：弹簧振子和单摆 ◆弹簧振子和简谐运动 ①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为 m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。 ③弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△EP 其中W 为弹簧弹力做功。 ④在平衡位置速度、动量、动能最大；在最大位移处回复力、加速度、势能最大。 ⑤振动周期 T= 2πm K (T 与振子质量有关、与振幅无关) 通过同一点有相同的位移、速率、回复力、加速度、动能、势能； 半个周期，对称点速度大小相等、方向相反。半个周期内回复力的总功为零，总冲量为2t mv 一个周期，物体运动到原来位置，一切参量恢复。一个周期内回复力的总功为零，总冲量为零。 ◆碰撞过程 两个重要的临界点： （1）弹簧处于最长或最短状态：两物块共速，具有最大弹性势能，系统总动能最小。 （2）弹簧恢复原长时：两球速度有极值，弹性势能为零。 ◆单摆 T l g =

-简谐运动的图像

简谐运动的图像 知识要点： 一、简谐运动的图像 1、坐标轴：横轴表示时间，纵轴表示位移。 具体作法：以平衡位置为坐标原点，以横轴表示，以纵轴表示质点对平衡位置的位 移，根据实验数据在坐标平面上画出各个点，并用平滑曲线将各点连接起来，即得 到简谐运动的位移——时间图像。（通常称之为振动图像） 2、简谐运动图像的特点：理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图像都是正弦或余 弦曲线。 3、简谐运动图像的物理意义：表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即位 移——时间函数图像。 注意：切不可将振动图像误解为物体的运动轨迹。处理振动图像问题时，一定要把图像还原为质点的实际振动过程分析。 二、从简谐运动图像可获取的信息 1、任一时刻振动质点离开平衡位置的位移：纵坐标值。 2、振幅A：图像中纵坐标的最大值。 3、周期T：两相邻的位移和速度始终完全相同的两状态间的时间间隔。 4、任一时刻的速度大小及方向：图线上该时刻对应的斜率大小反映速度大小，斜率正、 负反映速度方向。斜率大时速度大，斜率为正时速度为正，斜率为负值时速度为负。 5、任一时刻加速度（回复力）方向：与位移方向相反，总是指向平衡位置，即时间轴。 6、某一段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能及势能的变化情况：当振动质点 向平衡位置方向运动时，速度、动能均增大，而位移、回复力、加速度、势能均减 小，否则相反。 典型例题： 例1、如图9-15所示为某质点简谐运动的振动图像，根据图像回答： ⑴振幅、周期； ⑵具有正向最大速度的时刻； ⑶具有正向最大加速度的时刻； ⑷在3～4s内，质点的运动情况； ⑸1～4s内质点通过的路程。 解析：⑴由图像可知振幅A＝10cm，周期T＝4s。 ⑵物体在平衡位置时有最大速度，顺着时间轴向后看，看它下一时刻的位移，就知道 它向哪个方向运动，故可知t＝0，4s，8s，…4ns（n为非负整数）时，具有正向最 大速度。 ⑶物体在最大位移处时具有最大加速度，由于加速度与位方向相反，故只胡当质点位 为负时，加速度方为正，故可知t＝3s，7s，11s，…(4n＋3)s（n为非负整数）时， 具有正向最大加速度。 ⑷在3～4s内物体由负向最大位移处返回平衡位置，加速度逐渐减小，速度逐渐增大， 加速度和速度方向均为正，物体做加速度逐渐减小的加速运动。 ⑸1～4s内质点通过的路程s＝3A＝30cm。 例2、一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（） A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T 的整数倍；

单摆运动的数学建模

单摆在不同摆角下运动的数学模型 报告人：曾云霖 专业学号：微电子92 09053057 关键词：单摆、简谐运动、空气阻力，摆角大小 摘要： 单摆是生活中常见的模型，也是常用的简单模型。物理学中所讨论的单摆是一种理想化的模型,也称数学摆。它由一根不可伸缩的细线(质量不计),一端固定,另一端悬挂一质量为M的小球(视为质点)而构成的振动系统。 对于理想单摆，我们总是尽可能的简化它的一般分析，认为它只受到重力和拉力的作用。因为拉力与小球的运动总是相互垂直的，对小球的运动没什么影响 但生活中的单摆往往是非理想的，非理想单摆还考虑到绳的重力、空气阻力等，且单摆的运动还与单摆的摆角有关，研究单摆在不同摆角下的运动是有现实和理论意义的 模型建立： 考虑在摆角很小的范围内（小于5度），sinθ≈θ

此时受力如图所示： 由牛顿第二定律可知 sin mg m θα=- l αβ= l βω= d d t θ ω= 220mg ml t θθ?+=? 化简可得 220g t l θθ?+=? 这是一个二阶常系数的奇次线性微分方程,设定初值条件： ()00,(0)a θω== 利用高等数学知识可以解得： ()1sin 2cos t c t c t θ=+ 代入初值条件： ()cos t a t θω= g l ω= 结论：理想单摆在小摆角下（小于5度）的运动是简谐运动 周期

22l T g π πω== 问题扩展： 实际生活中的单摆是非理想的，总要收到其它力的作用，如绳的重力，空气阻力等 现在我们忽略绳的重力，考虑在空气阻力环境下单摆的运动。 查阅知识可知：空气粘滞阻力与小球速度成正比，即f kv = 所以单摆的受力方程变换为 sin mg kv m θα+=- d v l l dt θ ω== 化简可得： 220d k d g dt m dt l θθθ++= 可令 2,k g n m l ω==? 222^20d d n dt dt θθωθ++= 当220n ω<时 sin cos a t b t θωω=+ 当220n ω=时 ()t a bt e ωθ=+ 当220n ω>时 12 t t ae be ωωθ=+

探究单摆的运动规律

武汉大学物理科学与技术学院 物理实验报告 物理科学与技术学院物基专业2020年4月24 日 实验名称：探究单摆的运动规律 姓名：龙敏年级： 2018级学号： 2018302020201 成绩： 实验报告内容： 一、实验目的五、数据表格 二、主要实验仪器六、数据处理及结果表达 三、实验原理七、实验结果分析 四、实验内容与步骤八、习题 一．实验目的 1:设计并搭建一个理想的单摆，测量重力加速度 2:考虑有可能影响单摆运动的非理想因素 二．主要实验仪器 细绳，小重物 三．实验原理 由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述。 首先我们可以得到，重力对单摆的力矩为 其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，θ是单摆与竖直方向的夹角，注意，θ是矢量，这里取它在正方向上的投影。 我们希望得到摆角θ的关于时间的函数，来描述单摆运动。由角动量定理我们知道， 其中I是单摆的转动惯量，β是角加速度。 于是化简得到 小角度近似 不过，在θ比较小时，近似地有sin θ ≈ θ，得到这个方程的解析解为

四．实验内容与步骤 1. 将重物系上细绳得到一个单摆 2 将重物拉到一个固定的小角度，使单摆做小角度摆动 3．用手机计时器测量单摆50个周期所经过的时间，重复三次， 4．改变绳长，重复上述过程 5．利用周期公式计算当地的重力加速度 六．数据处理及结果表达 五、实验数据与处理 摆球直径：d1=2.19cm 1． 用计算法g 及其标准偏差： 给定摆长L=72.39cm 的周期 002.0707.1±=?±T T (s) 05.039.72±=?±l l (cm) (单次测量) ∴ )(78.980707 .139.7214.34422 2 22 s cm T l g =??==π 计算g 的标准偏差： )(1013.9) 14(40001.00003.0) 1(42 2222 s n n T i T -?=-?+++= -?= ∑δ 3242221028.1)707 .11013.9(4)39.7205.0()(2)(--?=??+=+?=T l l g T g δδ )(26.178.9801028.123s cm g =??=-δ 结果 )(02.081.92 s m g g ±=±δ 2． 根据不同摆长测得相应摆动周期数据 不同摆长对应的周期