正余弦N倍角公式
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(2)当n=2p 为偶数时,余弦n倍角公式又会是什么样子的。下面公式就是:
()中一般通项的表达式为:
现在当n为偶数时,我们也可以将正弦n倍角转换为余弦n倍角形式,很多情况下我们不习惯无穷项,这里就不再阐述了,以上公式已经写入百度词条,便于知识的传播。
正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中,正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的,正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式,供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理:在一个三角形中,各边和它 所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式:S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:a.已知两角 和任一边,求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解.(2)正弦定 理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中,有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式:cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便
三角函数诱导公式: 诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n?(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀: “一全正;二正弦;三两切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数; 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积,下面4个也存在这种关系。)。由此,可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanα ?tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
课题十:二倍角公式的应用,推导万能公式 教学第一环节:衔接阶段 回收上次课的教案,检查学生的作业,做判定。 了解家长的反馈意见 通过交流,了解学生思想动态,稳定学生的学习情绪 了解学生上次学习的情况,查漏补缺,为后面的备课方向提供依据 教学第二个环节:教学内容 一、解答本章开头的问题: 令AOB = , 则AB = a cos OA = a sin ∴S 矩形ABCD = a cos ×2a sin = a 2sin2 ≤a 2 当且仅当 sin2 = 1, 即2 = 90, = 45时, 等号成立。 此时,A,B 两点与O 点的距离都是a 2 2 二、半角公式:在倍角公式中,“倍角”与“半角”是相对的 例一、求证:α +α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证:1在 α-=α2sin 212cos 中,以代2,2 α代 即得: 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2在 1cos 22cos 2-α=α 中,以代2,2 α代 即得: 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3以上结果相除得:α +α-=αcos 1cos 12tan 2 注意:1左边是平方形式,只要知道2 α角终边所在象限,就可以开平方。 2公式的“本质”是用角的余弦表示2 α角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式(大纲规定这套公式不必记忆) α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4 还有一个有用的公式:α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan (课后自己证) 三、万能公式 B C a A O D
三角函数正弦与余弦的学习,在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分,那是为什么呢? 首先,我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中,有以下的应用领域: (1)已知三角形的两角与一边,解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次,余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA 的值为 2.已知α为锐角,且,则α的度数是() A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC中,若,∠A,∠B为锐角,则∠C的度数是() A.75° B.90° C.105° D.120° 4.若∠A为锐角,且,则A=() A.15° B.30° C.45° D.60° 5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为D,且AD=,E是AC中点, EF⊥BC,垂足为F,求sin∠EBF的值。
二倍角的三角函数 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够由和角公式而导出倍角公式; (2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力; (3)能推导和理解半角公式; 4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法 教法与学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 (一)探究新知 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 2、提出问题:公式中如果β=α,公式会变得如何? 3、让学生板演得下述二倍角公式:
α-=-α=α-α=ααα=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin ααα2tan 1tan 22tan -= [展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如:4α是8α的倍角. 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次) 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形: 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. (二)[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例1.(公式巩固性练习)求值: ①.sin22?30’cos22?30’=4 245sin 21=ο ②.=-π18 cos 22224cos =π ③.=π-π8cos 8sin 22 224cos -=π- ④.=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①.=π-ππ+π)12 5cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22 =π-=π-π ②.=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③.=α+-α-tan 11tan 11α=α -α2tan tan 1tan 22 ④.=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例3、已知),2 (,135sin ππ∈α= α,求sin2α,cos2α,tan2α的值。 解:∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α
正弦余弦公式总结 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b
三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为人意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα
公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆
二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇
α 1tan tan 二、提出问题:若β = α 让学生板演得下述二倍角公式:
一、例题: 例一、(公式巩固性练习)求值: 1.sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2.=-π 18 cos 22 224cos = π 3.=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4.=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1.5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=
2.=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3. =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4.=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值。 解:sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲:a =θ+sin 1,条件乙:a =θ +θ2 cos 2sin , 那么甲是乙的什么条件? 解:= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时,甲 乙;当a > 0时,乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、(P43 例一) 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α,求sin2,cos2,tan2的值。 解:∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题: 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A .2 B .-2 C .211 D .-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A .16 B .15 C .29 D .310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A .1318 B .322 C .1322 D .-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A .-12 B .-32 C .12 D .32 5、在?ABC A B A B 中,··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形 二、填空题: 6、角αβαβ终边过点,角终边过点,则(,)(,)sin()4371--+= ; 7、若αα23tan ,则=所在象限是 ; 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ,则 ; 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题: 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。,求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根,求是方程x x ·cos()αβ+的值。