03 第三节 正态总体的抽样分布

第三节 正态总体的抽样分布

分布图示

★ 抽样分布

★ 单正态总体的抽样分布

★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3

★ 双正态总体的抽样分布

★ 例 4 ★ 例 5

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题12-3

内容要点

一、抽样分布

有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布.

二、单正态总体的抽样分布

设总体X 的均值μ,方差为2σ,n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本,X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 ,)(,)(2σμ==X D X E )(2S E .2

σ=

定理1 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )/,(~2n N X σμ; (2) ).1,0(~/N n X U σμ-= 定理2 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有

(1) 2χ=);1(~)(1

1

212222--=-∑=n X X S n n i i

χσσ

(2) X 与2S 相互独立.

定理3 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个

样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )(~)(121222n X n i i χμσχ∑=-=

(2) ).1(~/--=n t n S X T μ

三、双正态总体的抽样分布

定理 4 设),(~211σμN X 与),(~222σμN Y 是两个相互独立的正态总体, 又设

1

,,,21n X X X 是取自总体X 的样本, X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差. 2

,,,21n Y Y Y 是取自总体Y 的样本, Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记2w S 是21S 与22

S 的加权平均, 即

.2

)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w 则 (1) );1,0(~//)

()(222

12121N n n Y X U σσμμ+---= (2) );1,1(~2122

2

1212--???? ??=n n F S S F σσ

(3) 当22221σσσ==时, ).2(~/1/1)()(212

121-++---=n n t n n S Y X T w μμ

例题选讲

单正态总体的抽样分布

例1 (E01) 设),2,21(~2N X 2521,,,X X X 为X 的一个样本,求:

(1) 样本均值X 的数学期望与方差; (2) }.24.0|21{|≤-X P

解 )1( 由于),2,21(~2N X 样本容量,25=n 所以,252,21~2???

? ??N X 于是,21)(=X E .4.0252)(22==X D )2( 由),4.0,21(~2N X 得),1,0(~4

.021N X - 故 ??

????????≤-=≤-6.04.021}24.0|21{|X P X P .4514.01)6.0(2=-Φ=

例2 假设某物体的实际重量为μ, 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称了n 次,得到n X X X ,,,21 . 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布),(2σμN , 方差2σ反映了天平及测量过程的总精度, 通常我们用样本均值X

去估计μ, 根据定理1, .,~2???

? ??n N X σμ 再从正态分布的σ3性质知

%.7.993||≥????

??<-n X P σμ 这就是说, 我们的估计值X 与真值μ的偏差不超过n /3σ的概率为99.7%,并且随着称量次数n 的增加, 这个偏差界限n /3σ愈来愈小. 例如若,1.0=σ10=n . 则

%,7.99}09.0|{|101.03||≥<-=?

??????<-μμX P X P 于是我们以99.7%的概率断言, X 与物体真正重量μ的偏差不超过0.09.如果将称量次数n 增加到100, 则

%.7.99}03.0|{|1001.03||≥<-=?

??????<-μμX P X P 这时,我们以同样的概率断言, X 与物体真正重量μ的偏差不超过0.03.

例3 (E02) 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的

方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布),(2σμN , 这里22100米=σ, 现在进行了25次发射试验, 用2S 记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求2S 超过502米的概率.

解 根据定理2, 有

),1(~)1(222--n S n χσ 于是 ?

?????->-=>222250)1()1(}50{σσn S n P S P ???????>=1005025)24(2χP }12)24({2>=χP }401.12)24({2>>χP .975.0=(查表)

于是我们可以以超过%5.97的概率断言, 2S 超过50 米2.

双正态总体的抽样分布

例4 (E03) 设两个总体X 与Y 都服从正态分布)3,20(N ，今从总体X 与Y 中分别抽得容量15,1021==n n 的两个相互独立的样本, 求}.3.0|{|>-Y X P

解 由题设及定理4, 知),1,0(~5.0153103)

2020()(N Y X Y X -=+--- 于是

}3.0|{|>-Y X P ??

????????≤--=5.03.05.01Y X P ??????-???? ??Φ-=15.03.021.6744.0)42.0(22=Φ-=

例5 (E04) 设总体X 和Y 相互独立且都服从正态分布);3,30(2N

251201,,;,,Y Y X X 分别来自总体X 和Y 的样本, ,,Y X 21S 和22

S 分别是这两个样均值和方差. 求}.4.0/{2221≤S S P

解 因,3221==σσ 由定理4, ),125,120(~/2221--F S S 即).24,19(~/2221F S S

因F 分布表中没有,191=n 但由F 分布的性质, 知),19,24(~/2122F S S

于是 }5.2/{}4.0/{21222221≥=≤S S P S S P

查表有,45.2)19,24(025.0=F 即,025.0}45.2)19,24({=>F P 故.025.0}4.0/{2221≈≤S S P

课堂练习

1. 设1521,,,X X X 为正态总体)3,0(2N 的一个样本, X 为样本均值, 求: .235)(65.361512?

?????≤-≤∑=i i X X P

2. 设n X X X ,,,21 为总体),(~2σμN X 的一个样本, X 和2S 为样本均值和样本方差.又设新增加一个试验量11,++n n X X 与n X X ,,1 也相互独立, 求统计量

1

1+-=+n n S X

X U n 的分布.

统计量及其抽样分布练习题

第六章 统计量及其抽样分布 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。 2. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。 3．若(5)X t ，则2X 服从_______分布。 4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。 5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。 6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。 7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。 8.若(2,4)X N ，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。 9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。 10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）

1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( ) A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势 B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势 C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势 D. 样本比例趋近于总体比例的趋势 2．设随机变量()(1)X t n n >，则21/Y X =服从 ( ) 。 A. 正态分布 B.卡方分布 C. t 分布 D. F 分布 3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。下列说法中错误的是（ ） A. 样本容量为10 B .抽样误差为2 C. 样本平均每袋重量是统计量 D. 498是估计值 4．设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( ) A. (100/,25)N n B. N C. (100,25/)N n D. (100,N 5、设2(0,1),(5),X N Y χ且X 与Y 独立，则随机变量_________服从自由度为5的t 分布。 （ ） A. /X Y B. 5/Y X C. /X /

抽样和抽样分布

5.抽样和抽样分布 5.1 抽样及抽样中的几个基本概念 1．抽样的基本概念 抽样就是从所研究的对象中随机地抽取出其中的一部分来观察，由此而获得有关总体的信息。 在对总体进行研究时，进行抽样研究是非常重要的。尤其是对于许多实际工作来说，要研究的总体很大，我们不可能对总体逐一进行研究，或者既便我们能这样做，但由于试验是具有破坏性的，我们也就没有可能这样做了。再者，在许多情况下我们也没有必要对所有对象都进行研究、试验、或考察。比如，对灯泡这类产品质量的研究。因此，我们只有进行抽样研究。 抽样的特点： 1)遵守随机原则。 2)推断被调查对象的总体的特征。 3)计算推断的准确性和可靠性。 由于抽样具有这样的特点，因此它可以用在这样一些场合： 1)不可能进行全面调查； 2)没有必要全面调查； 3)进行假设检验； 4)产品质量控制； 5)作为全面调查的补充。 2．样本统计量与总体统计量 3．随机抽样和判断抽样 这两种方法虽然都是从总体中抽取出样本的方法，但是它们两者之间存在本质上的区别。随机抽样是按概率规律抽取样本，在总体中所有单位被抽中的概率是相等的。而判断抽样不是一种随机抽样，它是根据个人或集体的设想或经验从总体中有目的地抽取样本，采用这种方法主要是由于人力、物力、财力、时间或其他因素有所限制而采取的。当然，要想使判断抽样也获得比较好的效果，条件是抽样人具有丰富的关于特定总体的专业知识。 由于判断抽样是凭主观设想和判断而抽取样本的，因此抽样的结果就不能用概率的方法来加以分析。这是随机抽样和判断抽样的根本区别。我们这里只讨论随机抽样问题。 4．抽样误差和非抽样误差 抽样调查中的误差是指样本统计量和总体统计量的相应参数之间的差距。这种误差有两种，即抽样误差和非抽样误差。 非抽样误差是指在调查过程中发生的误差和由于主观因素破坏了随机原则而产生的系统性偏差。如，登记性误差。也就是说，这主要是人为的因素造成的误差，是可以通过努力而减小的。 抽样误差是指仅仅由于抽样的随机性而带来的偶然的代表性误差。它是具有随机性质的误差，这种误差是不可避免地，但可以通过统计的理论和方法把误差控制到最小的程度。

统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布知识分享

统计学第5-6章正态分布、统计量及其 抽样分布

第5-6章统计量及其抽样分布 5.1正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量 如果随机变量X的概率密度为 2 2 () 2 1 (), 2 x f x e x μ σ πσ -- =-∞<<∞ 则称X服从正态分布。 记做 2 (,) X Nμσ : ，读作：随机变量X服从均值为 μ ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ -∞<<∞ ，是随机变量X的均值，0 σ>是是随机变量X 的标准差

5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0 f x≥, 即整个概率密度曲线都在x轴的上方。 曲线 () f x相对于xμ =对称，并在xμ = 处达到最大值， 1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定： σ 越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以 x轴为其渐近线。 标准正态分布

当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X Nμσ : ,则 (0,1) X Z N μ σ - =: 变量 2 11 (,) X Nμσ :与变量2 22 (,) Y Nμσ :相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ : 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值 ()1() x x Φ-=-Φ

样本及抽样分布知识讲解

第六章 样本及抽样分布 【内容提要】 一、简单随机样本与统计量 1. 总体 用来表征某一随机试验的数量指标X ，其概率分布称为总体的分布。 2. 简单随机样本 在相同条件下，对总体X 进行n 次独立的重复观察，将所得结果12,,...,n X X X 称为从总体X 中抽取的容量为n 的简单随机样本，试验结束后，可得一组数值12,,...,n x x x ，称其为 12,,...,n X X X 的观察值。 注:若12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，则12,,...,n X X X 相互独立，且与总体X 同分布。 3. 统计量 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12(,,...,)n T g X X X =为样本12,,...,n X X X 的实值函数，且不含任何未知参数，则称12(,,...,)n T g X X X =为一个统计量，将样本值12,,...,n x x x 代入后算出的函数值12(,,...,)n t g x x x =称为该统计量的值。 注:设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，则常用的统计量有: 4. 经验分布函数 设12,,...,n X X X 为总体X 的简单随机样本，12,,...,n x x x 为相应的样本值，将样本值 按由小到大的顺序重新编号12,1r x x x r n ***<

抽样分布习题()

抽样分布习题 1.抽样分布是指（ C ） A 一个样本各观测值的分布 B 总体中各观测值的分布 C 样本统计量的分布 D 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 4.从一个均值μ=10，标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值x 小于 9.9的近似概率为（ A ）。 A 0.1587 B 0.1268 C 0.2735 D 0.6324 5.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ B ） A 服从非正态分布 B 近似正态分布 C 服从均匀分布 D 服从2χ分布 6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样

本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ）A 保持不变 B 增加 C 减小D 无法确定 7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（ B ）。 A 50，8 B 50，1 C 50，4 D 8，8 8.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ B ）。 A 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C 右偏分布，均值为2500元，标准差为400元 D 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 9. 某班学生的年龄分布是右偏的，均值为22，标准差为4.45，如果采取重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，则样本均值的抽样分布是（ A ） A 正态分布，均值为22，标准差为0.445 B 分布形状未知，均值为22，标准差为4.45

抽样分布习题与答案

第 4 章抽样分布自测题选择题 1.抽样分布是指（） A. 一个样本各观测值的分布C. 样本统计量的分布 B. 总体中各观测值的分布D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（） 2 A. B. x C.2 D. n 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（） 2 A. B.x C.2 D. n 4.从均值为，方差为2 n 的样本，则（）的任意一个总体中抽取大小为 A.当 n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B.只有当 n<30 时，样本均值x的分布近似服从正态分布 C.样本均值 x 的分布与n无关 D. 无论 n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5.假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为 36 的样本，则样本均值的抽样分布（） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从 2 分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样 本均值的标准差（） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去 5 年每天的营业额，每天营业额的均值为2500 元，标准差为 400 元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100 天，并计算这100 天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为250 元，标准差为40 元 B. 正态分布，均值为2500 元，标准差为40 元 C.右偏，均值为2500 元，标准差为400 元 D. 正态分布，均值为2500 元，标准差为400 元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟。如果从饭店门口随机抽取 81 名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为0.33 分钟 B. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟 C. 左偏分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟

二项分布与正态分布

第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验)·关于总体成数的检验 一、填空 1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（）分布。 2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( )，它决定了否定域的大小。 3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（），原假设为真而被拒绝的概率越（）。 4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p)视为（)查表进行计算。 5．已知连续型随机变量X～N(0,1)，若概率P{X ≥λ}=0.10，则常数λ=（）。 6．已知连续型随机变量X～N(2,9)，函数值 9772 .0 )2( = Φ ，则概率 }8 {< X P= （）。 二、单项选择 1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（）。 A 要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差σ 2．二项分布的数学期望为（）。 A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（）。 A 大于0.5 B －0.5 C 1 D 0.5。

样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布 【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念； 2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算； 3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论； 4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。 【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布， F分布；分位数的理解和计算。 【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。 【学时分配】4学时 【授课内容】 §6.0 前言 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 §6.1 随机样本 1

一、总体与样本 1.总体、个体 在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。 例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。 但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。 定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。 我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。 例1：考察一块试验田中小麦穗的重量： X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x 2

03 第三节 正态总体的抽样分布

第三节 正态总体的抽样分布 分布图示 ★ 抽样分布 ★ 单正态总体的抽样分布 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 双正态总体的抽样分布 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-3 内容要点 一、抽样分布 有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布. 二、单正态总体的抽样分布 设总体X 的均值μ,方差为2σ,n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本,X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 ,)(,)(2σμ==X D X E )(2S E .2 σ= 定理1 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )/,(~2n N X σμ; (2) ).1,0(~/N n X U σμ-= 定理2 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) 2χ=);1(~)(1 1 212222--=-∑=n X X S n n i i χσσ (2) X 与2S 相互独立. 定理3 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个 样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )(~)(121222n X n i i χμσχ∑=-= (2) ).1(~/--=n t n S X T μ 三、双正态总体的抽样分布 定理 4 设),(~211σμN X 与),(~222σμN Y 是两个相互独立的正态总体, 又设 1 ,,,21n X X X 是取自总体X 的样本, X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差. 2 ,,,21n Y Y Y 是取自总体Y 的样本, Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记2w S 是21S 与22 S 的加权平均, 即

统计学抽样与抽样分布练习题

第6章 抽样与抽样分布 练习题 6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取100=n 的简单随机样本，用样本均值x 估 计总体均值。 （1） x 的数学期望是多少？ （2） x 的标准差是多少？ （3） x 的抽样分布是什么？ （4） 样本方差2 s 的抽样分布是什么？ 6.2 假定总体共有1000个单位，均值32=μ，标准差5=σ。从中抽取一个样本量为30 的简单随机样本用于获得总体信息。 （1）x 的数学期望是多少？ （2）x 的标准差是多少？ 6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。样本均值的 抽样标准差x σ等于多少? 6.4 设总体均值17=μ，标准差10=σ。从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本， 其均值为25x ；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为100x 。 （1）描述25x 的抽样分布。 （2）描述100x 的抽样分布。 6.5 从10=σ的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差： （1）重复抽样。 （2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。 6.6 从4.0=π的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。 （1）p 的数学期望是多少? （2）p 的标准差是多少? （3）p 的分布是什么？ 6.7 假定总体比例为55.0=π，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样 本。

（1） 分别计算样本比例的标准差p σ。 （2） 当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？ 6.8 假定顾客在超市一次性购物的平均消费是85元，标准差是9元。从中随机抽取40个顾 客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？ 6.9 在校大学生每月的平均支出是448元，标准差是21元。随机抽取49名学生，样本均值 在441～446之间的概率是多少？ 6.10 假设一个总体共有8个数值：54，55，59，63，64，68，69，70。从该总体中按重复 抽样方式抽取2=n 的随机样本。 （1） 计算出总体的均值和标准差。 （2） 一共有多少个可能的样本？ （3） 抽出所有可能的样本，并计算出每个样本的均值。 （4） 画出样本均值的抽样分布的直方图，说明样本均值分布的特征。 （5） （6） 计算所有样本均值的平均数和标准差，并与总体的均值和标准差进行比较，得 到的结论是什么？ 6.11 从均值为5.4=μ，方差为25.82=σ的总体中，抽取50个由5=n 个观测值组成的 随机样本，结果见Book6.11。 （1） 计算每一个样本的均值。 （2） 构造50个样本均值的相对频数分布，以此代表样本均值x 的抽样分布。 （3） 计算50个样本均值的平均值和标准差x σ。 6.12 来自一个样本的50个观察值见Book6.12。 （1） 用组距为10构建频数分布表，并画出直方图。 （2） 这组数据大概是什么分布？

正态总体下的四大分布

《概率论与数理统计》第六章样本及抽样分布 （2）正态总体下的四大分布：正态分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数 ). 1,0(~/N n x u def σμ -例：设总体ξ～2 12(1,2 ),,,n N ξξξ 且是取自ξ的样本，则（ D ） A) 1(0,1) 2 N ξ-B) 1(0,1) 4N ξ-C) ( ) 1(0,1) 2 N ξ-D ) (0,1) N ξt 分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数), 1(~/--n t n s x t def μ其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。 分布 2χ设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数 ), 1(~)1(22 2 --n S n w def χσ其中)1(2 -n χ 表示自由度为n-1的2χ 分布

例:已知F 0.1(7,20)=2.04,则F 0.9(20,7)=_______0.4902_____. 例.对于给定的正数α，10<<α ，设αu ，)(2 n α χ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α 分位数，则下面结论中不正确．．． 的是（B ） （A）α α --=1u u （B）) () (2 2 1n n ααχχ-=-（C）) ()(1n t n t αα--=（D）) ,(1 ) ,(12211n n F αα= -2、设X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则Z = 2 Y X 服从______t(1)_____分布(同时要写出 分 布的参数). 3.设ξ和η相互独立且都服从N(0,4)，而41,ξξ 和41,ηη 分别是来自总体ξ和η的样本，则统计量2 4 2 141......ηηξξ++++= U 服从的分布为 ) 4(t 。

习题六 样本及抽样分布.

习题六样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =； 2．在总体中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时，抽取一容量为9的样本，得到 ，则； 4．设为总体的一个样本，则 0.025 ； 5．设为总体的一个样本，且服从分布，这里， ，则1/3 ； 6．设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为 9 的 t 分布。 7．设是取自正态总体的简单随机样本且 ，则 0.05 ， 0.01 时，统计量服从分布，其自由度为 2 ；

8．设总体 X 服从正态分布,而是来自总体的简单随机样 本，则随机变量 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量则 F(n,1 ； 10．设随机变量且，A为常数，则 0.7 二、选择题 1．设是来自总体的简单随机样本，是样本均值， 记 则服从自由度的分布的随机变量是（ A ）； A． B． C． D． 2．设是经验分布函数，基于来自总体的样本，而是总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的（ B ） A．是分布函数 B．依概率收敛于 C．是一个统计量 D．其数学期望是

3．设总体服从0－1分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A． B． C． D． 4．设是正态总体的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。 A． B． C． D． 5．设和分别来自两个正态总体和的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从的统计量是（ B ） A． B． C． D． 6．设是正态总体的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ） A．相互独立； B．与相互独立； C．与相互独立D．与相互独立。

与正态总体有关的抽样分布定理证明

定理：设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一个随机样本，记 1 n i i X X n == ∑，2 2 1 ()n i i X X S n =-= ∑ 则有如下性质存在： （1）2 ~, X N n σμ?? ?? ? （2） 2 22 ~(1)nS n χσ - （3 ~(1)X t n - 证明： （1） 已知 ..212,, ,~(,)i i d n X X X N μσ 根据正态分布的性质有 212~(,)n X X X N n n μσ++ + 样本均值为 12n X X X X n ++ += 它的抽样分布为 2~(,)X N μσ （2） 对样本12,, ,n X X X 进行正交变换 Z AX = 其中()12,, ,n X X X X '=，()12,,,n Z Z Z Z '=，A 为正交矩阵

00 A n ?? ? ? ? ? ? = ? ? - ? ? ? ? ? 正交变换之后， i Z，1,2,, i n =相互独立，且 2 112 ~ (0,) Z X X Nσ = 2 2123 ~(0,) Z X X X Nσ =+ 2 112 ~(0,) ( n n Z X X X N n n σ- =++- ? 2 12 ~,) n n Z X X X N n σ =++ 即正交变换之后 2 ~(0,) i Z Nσ，1,2,,1 i n =- 2 ~,) n Z Nσ 由 i Z相互独立，且2 ~(0,) i Z Nσ，1,2,,1 i n =-，推导出 ~(0,1) i Z N σ ，1,2,,1 i n =- 标准正态分布的平方和服从2 χ分布，即有 1 2 2 1 2 ~(1) n i i Z n χ σ - =- ∑ 又因为

样本及抽样分布

样本及抽样分布 §6.1 基本概念 一、总体: 在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。 我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此

把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。 二、样本: 设总体X具有分布函数 F(x),若X 1, X 2 ,…,X n 是具有分布 函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本, 它们的观察值x 1,x 2 , …, x n 称为样

本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。 三、统计量: 设X 1, X 2, … , X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, … , X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,… ,X n )为统计量。

统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, … , x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, … , x n )是统计量g (X 1, X 2, … , X n )的一个观察值. 四、 常用的统计量:

, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n 1 2 i 2n 1 i 称为样本方差均值仍称为样本 它们的观察值为∑∑==--==i i x n n . B ,, 1,2,X A ,1k 2.222 21S S n n B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.k k k k 若总体X 的k 阶矩E(X )存在, 则当n 时, A . P 注： n i i 1 11. X X ; n ==∑样本均值2 n 2 i i 1 12. S (X ); n-1X ==-∑样本方差n k k i 1 13. k A X , k 1, 2, ; n i ===∑样本阶原点矩n k i i 1 14. k B (X ) , k 2, 3, . n k X ==-=∑样本阶中心矩

统计学答案 第八章 抽样与抽样分布

第八章抽样与抽样分布 一、名词解释 1、统计抽样：按照随机原则从被研究现象的总体中，抽取一部分单位进行观察，然后根据观察的结果运用数理统计的原理，来估计总体综合指标或者对总体综合指标的某种假设进行检验。 2、重复抽样：是从总体中每抽出一个样本单位后，把结果记录下来，随即将该单位放回到总体中去，使它和其余的单位在下一次抽选中具有同等被抽中的机会，再抽取第二个单位，直至抽取n个单位为止。 3、不重复抽样：一个单位被抽中后不再放回总体，然后再从所剩下的单位中抽取第二个单位，直到抽出n个单位为止，这样的抽样方法不可能使一个总体单位被重复抽中，所以称为不重复抽样。 4、简单随机抽样：在从总体中随机抽取n个单位作为样本时，要使得每一个总体的单位都 有相同的机会（概率）被抽中。 5、分层抽样：在抽样之前先将总体的单位划分为若干层（类），然后从各个层中抽取一定数量的单位组成一个样本，这样的抽样方式称为分层抽样，也称为分类抽样。 6、系统抽样：在抽样中先将总体各单位按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后，每隔一定的间隔抽取一个单位，直至抽取n个单位形成一个样本。这样的抽样方式称为系统抽样，也称等距抽样或机械抽样。 7、整群抽样：调查时，先将总体划分成若干群，然后再以群作为调查单位从中抽取部分群，进而对抽中的各个群中所包含的所有个体单位进行调查或观察，这样的抽样方式称为整群抽样。 8、总体分布：总体是我们关心的若干个元素的集合,总体中每个元素的取值是不同的，这些 观察值所形成的相对频数分布就是总体分布。 9、样本分布：是指一个样本中各观察值所形成的相对频数分布。 10.抽样分布：某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。 11、比率：是指总体（或样本）中具有某种属性的单位与全部单位总数之比。 12、样本比率的抽样分布：在重复选取容量为n的样本时，由样本比率的所有可能取值形成 的相对频数分布称为样本比率的抽样分布。 二、判断题 1、× 2、√ 3、× 4、× 5、√ 6、× 7、√ 8、√ 9、× 10、√ 三、选择题 1、A 2、A 3、B 4、B 5、C 6、D 7、D 8、D 9、C 10、D

统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布讲解学习

第5-6章 统计量及其抽样分布 5.1正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量 如果随机变量X 的概率密度为 22 ()21 (),2x f x e x μσπσ --=-∞<<∞ 则称X 服从正态分布。 记做 2 (,)X N μσ:，读作：随机变量X 服从均值为μ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ-∞<<∞，是随机变量X 的均值，0σ>是是随机变量X 的标准差 5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0f x ≥,即整个概率密度曲线都在x 轴的上方。 曲线 ()f x 相对于x μ=对称，并在 x μ=处达到最大值，

1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。 标准正态分布 当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X Nμσ : ,则 (0,1) X Z N μ σ - =: 变量 2 11 (,) X Nμσ :与变量2 22 (,) Y Nμσ :相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ : 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值()1() x x Φ-=-Φ 例：设 (0,1) X N :，求以下概率 （1） ( 1.5) P X< (2) (2) P X> (3) (13) P X -<≤

习题六__样本及抽样分布解答

样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716； 2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 4．设127,,...,X X X 为总体2 ~(0,0.5)X N 的一个样本，则7 21(4)i i P X =>=∑ 0.025 ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里， 22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ； 6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y 的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9 的 t 分布。 7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且 22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从 2χ分布，其自由度为 2 ； 8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机 样本，则随机变量 22 110 22 1115...2(...) X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21 ~()(1),,X t n n Y X >= 则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1 ()P X A > = 0.7 14 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2 N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量29 2 1 91Y Y X X U ++++= 服从 分布。t (9)

抽样方法、正态分布

抽样方法、正态分布 重点、难点讲解： 1．抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。 2．了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。 3．正态曲线及其性质：N()，其正态分布函数：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。 把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。 正态图象的性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 ②曲线关于直线x=μ对称。 ③曲线在x=μ时位于最高点。 ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 ⑤当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化 对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(x

任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。 5．了解“小概率事件”和假设检验的思想。 知识应用举例： 例1．从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？ 思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。 解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503 第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。 第三步：确定分段间隔k==10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，......，10；第二部分的个体编号11，12，......，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492， (500) 第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。 第五步：依次在第二部分，第三部分，……，第五十部分，取出号码为17，27，……，497，这样就得到了一个容量为50的样本。 例2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；（5）估计总体的数学期望。 思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。

讲概率分布和抽样分布

Stata软件基本操作和数据分析入门 第三讲概率分布和抽样分布 赵耐青 概率分布累积函数 1.标准正态分布累积函数norm(X) 2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度 3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度 4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度 5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母 自由度 6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为 分母自由度 累积函数的计算使用 正态分布计算 X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96) display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则 X服从N(μ,σ2)，则~(0,1) =，因此对其他正态分布只要在函 Y N σ

数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。 例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下 又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下 χ2分布累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下 χ2分布右侧累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下

t分布右侧累积概率计算 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下 F分布累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下： F分布右侧累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：

抽样分布习题及答案

第4章 抽样分布自测题 选择题 1.抽样分布是指（ ） A. 一个样本各观测值的分布 B. 总体中各观测值的分布 C. 样本统计量的分布 D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ ） A. μ B. x C. 2σ D. n 2 σ 3. 根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ ） A. μ B. x C. 2 σ D. n 2σ 4. 从均值为μ，方差为2σ的任意一个总体中抽取大小为n 的样本，则（ ） A. 当n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B. 只有当n<30时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 C. 样本均值x 的分布与n 无关 D. 无论n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5. 假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ ） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从2 χ分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样本均值的标准差（ ） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B. 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C.右偏，均值为2500元，标准差为400元 D. 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。如果从饭店门口随机抽取81名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为12分钟，标准差为0.33分钟 B. 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟 C. 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟