高二数学选修2-2第二章 推理与证明
§2.1.1 合情推理
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；
2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处） 在日常生活中我们常常遇到这样的现象：
（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.
以上例子可以得出推理是 的思维过程.
二、新课导学
探究任务一：考察下列示例中的推理
问题：因为三角形的内角和是180(32)??-，四边形的内角和是180(42)??-，五边形的内角和是180(52)??-……所以n 边形的内角和是
新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。 探究任务二：
问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？
新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想：
观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,
50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： .
归纳推理的一般步骤
1 。
2 。 ※ 典型例题
例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n 项和S n 的归纳过程。
例2设2
()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？
三、总结提升※ 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2. 已知2()
(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.
A.4()22x f x =+
B.2()1f x x =+
C.1()1f x x =+
D.2
()21f x x =+
3.111()1()23f n n N n +=+++???+∈，经计算得357
(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222
f f f f f =>>>>
猜测当2n ≥时，有__________________________.
4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=
(1)
2
n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。
变式1 观察下列等式： 1+3=4=2
2， 1+3+5=9=2
3， 1+3+5+7=16=2
4， 1+3+5+7+9=25=25，
……
结论
变式2 观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100， …… 结论
.
522的图象是一条直线）函数（+=x y 2.1.2 演绎推理
【使用说明及学法指导】
1.先预习教材p78…--p81,然后开始做导学案
2．针对预习提纲，深化对演绎推理的一般形式—“三段论”的理解 【学习目标】
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别 【学习难点重点】
教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 【课前预习案 】教材p78…--p81,然后开始做导学案
【自学提纲：(基本概念、公式及方法)】 一．基础性知识点
1.演绎推理的定义：_______________________________________________________ 2．演绎推理是由___________到___________的推理； 3．“__________________”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴____________---____________________； ⑵____________---____________________； ⑶____________---_____________________． 4.三段论的基本格式
M —P （M 是P ） （_________） S —M （S 是M ） （________） S —P （S 是P ） （_________）
用集合的观点来理解:______________________________________________________ 二．课前检测
1 .有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误 例2、已知8.0lg ,2lg 计算m =
211y x x =++.把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。 2.通项公式为
()
a =0n n cq cq ≠的数列{
}
a n 是等比数列。并分析证明过程中的三段论
1. 如图。在ABC ?中，AC>BC,CD 是AB 边上的高，求证：ACD BCD ∠>∠
,,.ABC CD AB AC BC AD BD
ACD BCD ?⊥>∴>∠>∠证明：在中于是 指出以上证明过程中的错误 【提醒】：演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。 2、把下列推理恢复成完全的三段论:
是直角三角形；，所以，，三边长依次为）因为（ABC ABC ??5431
3.用三段论证明：在梯形ABCD 中,,AD BC AB DC B C =∠=∠则
A
D
B
C
2.2.1 综合法和分析法
【学习目标】
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 【重点难点】
1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。
3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。 【知识梳理】
复习1 两类基本的证明方法: 和 。 复习2 直接证明的两中方法: 和 。 知识点一 综合法的应用
一般地,利用 ,经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。
反思 框图表示 要点 顺推证法；由因导果。 例1 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1
119a b c
++≥
变式 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证 111(1)(1)(1)8a b c
---≥。
小结 用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。 知识点二 分析法的应用
证明：基本不等式(0,0)2
a b
ab a b +≥>> 新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 反思：框图表示
要点：逆推证法；执果索因 ※ 典型例题
例2求证3526+>+ 变式：求证:3725+<
小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.
例2 设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=?==D 是AC 的中点.求证：PD 垂直于ABC ?所在的平面。
小结 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。
1.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证 3b c a a c b a b c
a b c
+-+-+-++>。
2.在△ABC 中，证明 2
2221
12cos 2cos b
a b B a A -=-。
2.2.2反证法
学习目标
（1）使学生了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题.
【概念形成】
反证法的思维方法：正难则反
反证法定义：一般地，由证明q p
? 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾。从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法。
【例题分析例1、已知,,,0, 1.a b c R a b c abc ∈++==求证：,,a b c 中至少有一个大于
32
。
例2．设23
3
=+b a ，求证.2≤+b a
反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； （4结论为 “唯一”类命题；
课后练习与提高
一、选择题
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数
Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数
2．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确
Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
二、填空题
4．.三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 至少有1个大于或等于60
的反面为_______． 5. 已知A 为平面BCD 外的一点，则AB 、CD 是异面直线的反面为_______．
三、解答题
6． 证明357，，不可能成等差数列．
2.3 数学归纳法
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 1. 教学数学归纳法概念：
给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.
不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.
完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
2、典例分析
题型一、用数学归纳法证明恒等式
例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=4
1 n 2
（n ＋1）2
题型二、用数学归纳法证明不等式 例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞10
9 （n ＞1，且N ∈n ）．
题型三、用数学归纳法证明几何问题 例3．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22
+-n n 个部分.
题型四、用数学归纳法证明整除问题
例4、 用数学归纳法证明32n ＋
2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．
用数学归纳法证明)(17)13(+∈-+N n n n 能被9整除
题型五 归纳、猜想、证明 例5．是否存在常数a ，b ，c 使等式
()()()
1223341112
2222
2
···…++++=
+++n n n n an
bn c 对一切自然数n 都成立，
并证明你的结论。
六、强化训练
1.用数学归纳法证明“1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋
1=
()N ∈≠--+n x x
x n ，1112
”成立时，验证n =1的过
程中左边的式子是 ( ) (A)1 (B)1＋x (C) 1＋x ＋x 2 (D) 1＋x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2
6.用数学归纳法证明
1－21＋31－)(21
21112112141N n n n n n n ∈+++++=--+
+ ,则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为
(A)121+k (B) 4
21
221+-+k k (C) －221+k (D) 121+k －221+k
8.如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列
结论正确的是 （ ）
A ．()p n 对所有自然数n 成立
B ．()p n 对所有正偶数n 成立
C ．()p n 对所有正奇数n 成立
D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立
10.证明
22
2*12(1)
,1335
(21)(21)2(21)
n n n n N n n n ++++=∈??-++
15.用数学归纳法证明：)(17)13(+∈-+N n n n
能被9整除
16．是否存在常数c b a ,,使等式c bn an n n n n n ++=-+???+-+-?2
4
2
2
2
2
2
2
)()2(2)1(1 对一切正整数n 都成立？证明你的结论。
17.数列
{}n a 的前n 项和2n n S n a =-，先计算数列的前4项，后猜想n a 并证明之．
第二章 推理与证明知识点：
1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤：
?通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； ?证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ?检验猜想。
3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括： ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立； (2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立； (4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*
00()n n N ∈时命题成立；
（2）（归纳递推）假设*
0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.
高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正
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2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，
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精品文档 类比推理题库及标准答案 （类比推理部分） 1、作家：读者 A. 售货员：顾客 B.主持人：广告 C.官员：腐败 D.经理：秘书【解答】此题属于专业人员与其面对的对象之间的类比推理题，故正确答案为A。 2、水果：苹果 A.香梨：黄梨 B.树木：树枝 C.经济适用房：奔驰 D.山：高山 【解答】该题题干中水果与苹果两个词之间是一般和特殊的关系，所以答案为选项D。选项B的两个词之间的关系 是整体与部分的关系。 3、努力：成功 A.原告：被告 B.耕耘：收获 C.城市：福利 D.扩招：失业【解答】努力与成功两个词具有因果关系，即只有努力才能成功或者说努力是成功必不可少的原因之一，故正确答案为B。 4、书籍：纸张 A.毛笔：宣纸 B.橡皮：文具盒 C.菜肴：萝卜 D.飞机：宇宙飞船【解答】此题属于物品与制作材料的推理关系，故正确答案为 C。 5、馒头：食物 A.食品：巧克力 B.头：身体 C.手：食指 D.钢铁：金属【解答】此题属于特殊与一般的推理关系，故正确答案为D。 6、稻谷：大米 A.核桃：桃酥 B.棉花：棉子 C.西瓜：瓜子 D.枪：子弹【解答】因为稻谷是大米的惟一来源，而棉花是棉子的惟一来源，故正确答案为B。 7、轮船：海洋 A.河流：芦苇 B.海洋：鲸鱼 C.海鸥：天空 D.飞机：海洋【解答】此题属于物体与其运动空间的类比推理题，故正确答案为 C。 8、芙蕖：荷花 A.兔子：嫦娥 B.窑洞：官邸 C.伽蓝：寺庙 D.映山红：蒲公英【解答】因为芙蕖是荷花的书面别称，而伽蓝是寺庙的书面别称，故正确答案为C。 9、绿豆：豌豆 A.家具：灯具 B.猴子：树木 C.鲨鱼：鲸鱼 D.香瓜：西瓜 【解答】选项 C 中的鲸鱼其实不是鱼，而是哺乳动物，故正确答案为D。 10、汽车：运输 A.捕鱼：鱼网 B.编织：鱼网 C.鱼网：编织 D.鱼网：捕鱼【解答】此题属于工具与作用的类比推理题，故正确答案为D。 11、医生：患者 A.工人：机器 B.啄木鸟：病树 C.警察：罪犯 D.法官：律师 答案:B 12、紫竹：植物学家 A.金属：铸工 B.铁锤：石头 C.动物：植物 D.蝴蝶：昆虫学家 答案:D 13、老师：学生 A.教师：职工 B.编辑：读者 C.师傅：学徒 D.演员：经济人 答案:C 14、书法：艺术 A.抢劫：犯罪 B.鲁迅：周树人 C.历史：世界史 D.权力：金钱答案:A 精品文档 15、森林：树木
高考真题分类汇编——推理与证明 (5)
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3
历年高考数学真题精选46 推理与证明
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示
四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )
高二数学类比推理综合测试题 (1)
类比推理 一、填空题 1．下列说法正确的是______ A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提有结论 C ．合情推理不能猜想 D ．合情推理得出的结论无法判定正误 2．下面几种推理是合情推理的是______ ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180° 3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为 三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为______ A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面 的面积，r 为四面体内切球的半径) D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)
4.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是____ ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③ 5．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质： (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第 四个面面积的14 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有______ A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对 6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练
1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：
高二数学类比推理综合测试题
第2课时类比推理 一、选择题 1．下列说法正确的是() A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论无法判定正误 [答案] B [解析]由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B. 2．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180° A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④ [答案] C
[解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理． 3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长， r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为 ( ) A ．V ＝13abc B ．V ＝13Sh C ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面 的面积，r 为四面体内切球的半径) D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) [答案] C [解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C. 4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③
推理与证明综合测试题
一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++
判断推理---类比推理
第三章类比推理 专题一语法关系 1.森林∶郁郁葱葱 A.法庭∶庄严肃穆 B.校园∶勤奋好学 C.餐桌∶饕餮大餐 D.公园∶嬉戏玩闹 2.航空母舰对于 ( ) 相当于潜艇对于 ( ) A.巡洋舰导弹 B.舰载机鱼雷 C.常规动力核动力 D.远程偷袭协同攻击 3.热爱∶五星红旗 A.读过∶莎士比亚 B.学过∶法律逻辑 C.游览∶故宫 D.喜欢∶名胜古迹 4.规则对于 ( ) 相当于思想对于 ( ) A.规矩交流 B.固定语言 C.制定传播 D.法律梦想 5.蚕∶吐丝∶蚕茧 A.虫∶感染∶虫草 B.树木∶加工∶纸 C.黄豆∶发酵∶豆酱 D.煤炭∶燃烧∶电能 专题二集合关系 视频讲解 1.琴棋书画∶经史子集 A.兵强马壮∶闭关自守 B.悲欢离合∶漂泊流浪 C.衣帽鞋袜∶冰清玉洁 D.鸟兽虫鱼∶江河湖海 2.素描∶单色∶绘画 A.色素∶食品∶添加剂 B.书签∶阅读∶工具 C.变脸∶表演∶艺术 D.新闻∶纪实∶文体 3.教∶学∶教学 A.买∶卖∶买卖 B.好∶坏∶好坏 C.正∶大∶正大 D.阴∶暗∶阴暗 4.资料∶文件 A.质量∶砝码 B.飞艇∶航空器 C.护卫舰∶补给舰 D.自然现象∶极光 5.胎生动物∶蝴蝶 A. 男教师∶女青年 B. 实数∶正数
C. 哺乳动物∶鸭嘴兽 D. 文科∶化学 6.地中海∶陆间海 A. 地黄∶怀庆地黄 B. 定音鼓∶乐器 C. 电缆∶导电线芯 D. 礼器∶青铜鼎 7.汽车∶底盘∶发动机 A. 车∶轿车∶货车 B. 车身∶车门∶车窗 C. 车灯∶车牌∶轮胎 D. 汽车∶箱型∶船型 8.孩子∶明珠∶女儿 A. 护士∶天使∶医生 B. 少年∶花朵∶儿童 C. 卧室∶港湾∶家 D. 师长∶春蚕∶教师 9.( ) 对于风筝相当于芝麻对于 ( ) A. 纸鸢脂麻 B. 串式风筝芝麻油 C. 竹篾白芝麻 D. 骨架草本植物 10. 绘画∶壁画∶山水画 A. 游泳∶蝶泳∶蛙泳 B. 银河系∶太阳系∶水星 C. 美术∶雕塑∶彩雕 D. 税∶所得税∶地方税 11. 大气对于 ( ) 相当于 ( ) 对于地球 A. 海洋月亮 B. 岩石地幔 C. 生命人类 D. 环境地核 12.鸿雁∶书信 A.江湖∶社会 B.汗青∶史书 C.同窗∶朋友 D.战争∶烽烟 13.杯∶碗与( )在在逻辑关系上最为相似。 A.锯∶刀 B.灯∶光 C.木∶椅 D.火∶炉 14. 自然科学∶化学∶化学元素 A.人文科学∶历史学∶历史人物 B.物理学∶生物物理学∶光合作用 C.语言学∶汉语言∶文学 D.社会学∶社会科学∶社区 15.河流∶水与( )在在逻辑关系上最 为相似。 A.沙漠∶泥土 B.森林∶树木 C.草原∶动物 D.山脉∶冰雪 16.律师∶厨师∶职业
高中数学-推理与证明单元测试卷
绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-
5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133
人教A版数学高二选修1-2单元测试第二章推理与证明2
阶段质量检测(二) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中() A．小前提错误B．大前提错误 C．推理形式错误D．结论正确 2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为() A．9(n＋1)＋n＝10n＋9 B．9(n－1)＋n＝10n－9 C．9n＋(n－1)＝10n－1 D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10 3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为() A．■B．△C．□D．○ 4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面() A．各正三角形内任一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝() A．28 B．76 C．123 D．199 6．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是() A．a>b B．a
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2 8．已知a n ＝????13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： 记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.????1367 B.????1368 C.????13111 D.??? ?13112 9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ?? ?? n (n ＋1)2 C.n (n ＋1)2 D.n (n ＋1)2 f (1) 10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( ) A ．S n ＝n 2 B ．S n ＝n 3 C ．S n ＝n 4 D ．S n ＝n (n ＋1) 11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( ) A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7 B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7 C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8 D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 8 12．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1 a n ，则a 2 016等于( ) A.1 2 B ．－1 C ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练
福利：本教程由捡漏优惠券（https://www.sodocs.net/doc/1f14440044.html, ）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元 支付的时候把选择余额宝就行呢 每天都可以领取早餐钱哟！ 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n
高中数学类比推理综合测试题有答案
高中数学类比推理综合测试题（有答案）选修2-2 2.1.1 第2课时类比推理 一、选择题 1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的 ．合情推理必须有前提有结论B ．合情推理不能猜想CD．合情推理得出的结论无法判定正误 ] B[答案[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确， 故应选B. 2．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180 ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)180 A．①② 页 1 第 B．①③④ C．①②④．②④D [答案] C[解析] ①是类比推理；②④
都是归纳推理，都是合情推理． 3．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到 四面体的体积为() 13abcV＝A．＝13ShB．VC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径) 为四面体的高)＋bc＋ac)h(h13(abD．V＝答案[] C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C. 4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是() ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都 页 2 第 相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ．①A B．①②C．①②③ D．③ [答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹
推理与证明练习题汇编
合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23
高二数学选择进修2-2第二章推理与证明
高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时
高二数学推理与证明
高二数学推理与证明 班级： 学号： 姓名： 时间:40分钟 总分:100分 一、选择题（6*7=42分） 1.若三角形能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ） A .锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3.在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行 成等差数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.在十进制中 ，那么在5进制中2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 5.设a c c b b a c b a 1 ,1 ,1 ),0,(,,+++-∞∈则 A 都不大于-2 B 都不小于-2 C 至少有一个不大于-2 D 至少有一个不小于-2 6. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●… 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●有( )个 (A)12 (B) 13 (C)14 (D)15 二.填空题(4*7=28) 7. 在日常活动和科学推理中,常用的两种推理是 和 在直接证明法中,解决数学问题常用的思维方式是 和 8.观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 9. 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 10已知：23150 sin 90sin 30sin 222=++ 23 125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _____________________________________________________= 23 三.解答题(3*10=30分) 11.设 1110,018a b a b a b ab ??+=++≥，且，求证：则 01232004410010010210 =?+?+?+?
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