2015年全国高中数学联赛(A卷word版本)

2015年全国高中数学联赛（A 卷）

（一试）

一、填空题（每个小题8分，满分64分）

1：设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 2：若实数α满足ααtan cos =，则αα

4cos sin 1+的值为 3：已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111???=++==+n ni z z z n n ，则=2015z

4：在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ?的最小值为

5：在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为

6：在平面直角坐标系中，点集{}

0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为

7：设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为

8：对四位数abcd ，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于

二、解答题

9：（本题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a c b a 424,242=+=+，求c 的最小值

10：（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：

{}??????----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i a a j i ，求4321a a a a +++的值

11：（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆12

22

=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围

（加试）

1：（本题满分40分）设)2(,,,21≥???n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈???n εεε，使得))(1()()(

122121∑∑∑===+≤+n i i i n i i n i i a n a a ε

2：（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ???=其中n A A A ,,,21???是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i n

i A k ，证明：存在i n i A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21???中的至少k

n 个集合

3：（本题满分50分）如图，ABC ?内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，

证明：FCB ABC ∠=∠2

4：（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：

对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn